无穷小与无穷大

无穷大与无穷小无穷大与无穷小的定义：（用→x ＊表示某一极限变化过程）()0lim =→x f x ＊，则称()x f 是→x ＊下的无穷小量。

()()()lim (lim;lim)x x x fx fx fx →→→=∞=+∞=-∞＊＊＊，则称()x f 是→x ＊下的无穷大量。

无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。

注：1.无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

2.无穷大与无界的区别。

无穷小与极限在自变量的同一变化过程0x x →（或∞→x ）中，()()lim x x f x a f x a β→=⇔=+0，β是该变化过程中的无穷小量. 无穷小的运算1.有限个无穷小的和也是无穷小。

2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

注：1.无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。

2.无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。

例如，当∞→n 时，n1是无穷小，n2个这种无穷小之和的极限显然为2。

3.无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。

4.无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。

极限的运算在给定极限过程中，()lim f x 和()lim g x 都存，且()A x f =lim ，()B x g =lim 。

则有如下运算法则成立：（1）()()[]()()B A x g x f x g x f +=±=±lim lim lim （2）()()CA x f C x Cf ==lim lim（3）()()()()AB x g x f x g x f =⋅=lim lim lim ()[]()[]n nnA x f x f ==lim lim（4）()()()()()0lim lim lim≠==B BA x g x f x g x f注意：1.上面运算法则是在()lim f x 和()lim g x 都存在的情况下成立的；2. ()lim f x 、()lim g x 、()()lim f x g x +⎡⎤⎣⎦、()()lim f x g x -⎡⎤⎣⎦这四个极限中：（1）任何两个存在都能得到另两个存在；（2）如果其中一个存在，一个不存在，则另两个必不存在。

§1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是高等数学中两个重要概念，而无穷小与无穷大又有密切的联系。

一 无穷小定义1如果函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时的极限为零，那么称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷小。

例如，由于0limsin 0x x →=，所以函数sin x 当0x →时为无穷小；又如，由于1lim 0x x →∞=，所以函数1x当x →∞时为无穷小。

我们也可以用极限的""εδ-（或N ε-）来描述：对于0,0()εδ∀>∃>或X>0，使得适合不等式00()x x x X δ<-<>或的一切x 所对应的函数值都满足不等式()f x ε<。

则称当0x x →（或x →∞）时，()f x 是无穷小量。

记为0lim ()0x x f x →=（或lim ()0x f x →∞=）。

关于无穷小，我们做以下注释：1 不要把无穷小与很小的数混为一谈，因为无穷小量不是很小的数,它是极限为零的函数任意非零常数（无论多小）极限都不是零。

2 数零是唯一可作为无穷小的常数。

3 无穷小指相对自变量的某一变化过程，而不是量的大小。

例如 当2x →时，函数()2f x x =-是无穷小；而当1x →时，函数()2f x x =-就不是无穷小。

由于无穷小是极限为零的函数，因此无穷小与函数极限之间有着密切关系，下面的定理给出了这种关系。

定理1 若0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中0lim ()0x x x α→=。

二 无穷大在自变量的变化趋势下，函数)(x f 的极限可能存在，也可能不存在，在极限不存在的情形下，我们着重讨论()f x 无限变大的情形。

如果当()∞→→x x x 或0时，对应的函数的绝对值()f x 的极限无限增大，则称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷大。

物理学中的无穷大与小在物理学中，我们经常会听到无穷大和无穷小这两个概念。

那么，它们究竟是什么呢？在这篇文章里，我们将深入探讨这两个古老而又神秘的概念。

一、无穷大无穷大是指一个数可以趋近于正无穷或负无穷，但是永远无法达到。

在物理学中，我们常常会使用这个概念来描述极端的情况，比如我们经常听到“速度趋近于无穷大”或者“质量趋近于无穷大”。

在物理学中，无穷大的概念通常与粒子物理、宇宙学和黑洞等领域相关。

例如，在粒子物理中，描述微观粒子的电荷、质量和能量时，我们常常需要使用无穷大这个概念。

另外，在描述黑洞的质量和半径时，我们也常常使用无穷大。

虽然无穷大在物理学中可以非常有用，但是也存在着一些问题。

例如，在一些情况下，无穷大的概念可能与现实世界中的物理实际不符。

因此，我们需要在使用无穷大时谨慎地考虑其适用性。

二、无穷小与无穷大不同，无穷小是指一个数可以趋近于零，但永远不会等于零。

在物理学中，无穷小常常用于描述一些极端的物理现象，例如微小颗粒的运动和量子力学中的粒子。

在这些情况下，我们经常需要使用无穷小来对微观粒子的运动进行描述。

另外，无穷小在物理学中也有着广泛的应用。

例如，在描述物体的加速度和速度变化时，我们常常使用无穷小。

又如，在描述量子力学中的粒子波动时，我们也会使用无穷小这个概念。

虽然无穷小在物理学中有着广泛的应用，但是也存在着一些问题。

例如，在某些情况下，无穷小的概念可能与现实世界中的物理实际不符。

因此，我们需要在使用无穷小时谨慎地考虑其适用性。

三、结论在本文中，我们详细探讨了物理学中的无穷大和无穷小的概念。

尽管它们在物理学中经常被使用，我们也深刻理解到了它们的局限性和适用性。

在以后的学习中，我们需要谨慎地应用这些概念，以便更好地理解物理世界。

轻松理解数学中的无穷大与无穷小无穷大与无穷小是数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等领域中起着至关重要的作用。

本文将以轻松易懂的方式解释数学中的无穷大与无穷小，并探讨它们的性质与应用。

1. 无穷大的定义与性质在数学中，无穷大是指趋向于正无穷或负无穷的数。

我们用符号∞表示正无穷，用符号-∞表示负无穷。

无穷大具有以下性质：1) 任何有限数与无穷大相加、相乘或相除，结果仍为无穷大；2) 无穷大与无穷大相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷大、有限数或不存在。

例如，考虑数列{1, 2, 3, ...}，它的每一项都比前一项大1。

当n趋向于无穷大时，数列的项也趋向于无穷大。

这意味着数列{1, 2, 3, ...}中的每一项都可以被认为是无穷大。

2. 无穷小的定义与性质与无穷大相对应的是无穷小。

无穷小是指趋向于零的数，通常用符号ε表示。

无穷小具有以下性质：1) 任何有限数与无穷小相加、相乘或相除，结果仍为无穷小；2) 无穷小与无穷小相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷小、有限数或不存在。

举个例子，考虑数列{1/n}，其中n为正整数。

当n趋向于无穷大时，数列的每一项都趋向于零。

这意味着数列{1/n}中的每一项都可以被认为是无穷小。

3. 无穷大与无穷小的关系无穷大和无穷小是相对的概念。

当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。

换句话说，无穷大与无穷小是互为倒数。

这一性质在数学分析中有着重要的应用。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。

当x趋向于正无穷时，函数f(x)趋向于零；当x趋向于零时，函数f(x)趋向于正无穷。

这说明函数f(x)中的无穷大与无穷小是互为倒数的关系。

4. 无穷大与无穷小的应用无穷大与无穷小在微积分中有着广泛的应用。

它们常用于描述函数的极限行为、导数和积分等。

在求极限的过程中，我们经常需要使用无穷大与无穷小的概念。

例如，当我们计算函数在某一点的极限时，可以利用无穷小的性质来简化计算。

无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。

无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。

首先，我们来定义无穷大和无穷小。

无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。

无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。

这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。

1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。

而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。

无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。

这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。

当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。

这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。

通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。

在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。

无穷小和无穷大的四则运算无穷小和无穷大是微积分中的重要概念，用于描述变量趋近于某个极限值时的性质。

在四则运算中，无穷小和无穷大的概念有着特殊的性质和运算规则。

无穷小可以理解为极限为零的量。

当变量x趋近于某个实数a 时，如果函数f(x)满足lim(x→a)f(x)=0，那么f(x)就是当x趋近于a时的无穷小。

无穷小可以用符号o(x-a)表示，表示x趋近于a时的无穷小。

无穷大表示极限趋向于正无穷或负无穷的量。

当变量x趋近于某个实数a时，如果函数f(x)满足lim(x→a)|f(x)|=+∞，那么f(x)就是当x趋近于a时的无穷大。

无穷大可以用符号∞表示。

在四则运算中，无穷小和无穷大之间的关系可以用以下运算规则总结：1. 无穷小与常数的四则运算：- 无穷小与有限常数相加减仍为无穷小。

例如，o(x) + a =o(x)，其中a为常数。

- 无穷小与有限常数相乘仍为无穷小。

例如，o(x) * a = o(x)，其中a为常数。

- 无穷小与有限常数相除仍为无穷小。

例如，o(x) / a = o(x)，其中a为常数，且a ≠ 0。

2. 无穷小与无穷小的四则运算：- 无穷小之和（差）仍为无穷小。

例如，o(x) + o(x) = o(x)，o(x) - o(x) = o(x)。

- 无穷小之积为更高阶的无穷小。

例如，o(x) * o(x) = o(x^2)。

- 无穷小之商的极限为常数。

例如，lim(x→∞)(o(x)/o(x)) = 1。

3. 无穷大与常数的四则运算：- 无穷大与有限常数相加减仍为无穷大。

例如，∞ + a= ∞，-∞ + a = -∞，其中a为常数。

- 无穷大与有限常数相乘仍为无穷大。

例如，∞ * a = ∞，-∞* a = -∞（当a > 0时），∞ * a = -∞，-∞ * a = ∞（当a < 0时）。

- 无穷大与有限常数相除为无穷大或零。

例如，∞ / a = ∞（当a > 0时），∞ / a = -∞（当a < 0时），-∞ / a = ∞（当a >0时），-∞ / a = -∞（当a < 0时）。