到达间隔的分布与服务时间的分布

专题十排队论Queueing Theory10.1 排队论概述10.2 顾客达到流与服务时间的分布10.3 生灭过程及其状态平衡方程10.4 M/M/s 等待制排队模型10.5 排队服务系统的优化10.2 顾客到达流与服务时间的分布（1）事件流⚫事件流：同类事件在随机时刻，一个接一个地发生的序列．⚫事件流可以看作“点”在时间轴上的分布：0t0t•流的强度( λ )：单位时间内，事件发生的平均数．•正则流：事件发生的间隔时间相等、固定．•平稳流：事件发生的概率与时间无关．即发生的概率只与的长度有关，而与在时间轴上的位置无关，概率近为．•无后效性的流：每个事件发生的时刻互不相关．•普通性的流：在充分小的时间间隔中，最多有一个事件发生．Δt Δt➢事件流有以下几个特征：∆t ∆t λ∆t（2）泊松流(Poisson 流，也称最简单流)➢同时具有平稳性、无后效性和普通性的事件流．①概率分布，即在时间t 内到达n 个顾客的概率：n ()()!n t t P t e n λλ−=②数学期望：．•若取单位时间，即．※描述了在给定时间内，系统到达顾客数这一特征．()λ=⎡⎤⎣⎦E N t t ()1,则λ==t E N（3）负指数分布➢描述泊松流的另一重要特征：相邻两顾客到达的间隔时间．•间隔时间小于等于时间的概率：λ−=≤=−>=−=−≥0 ()()1()1()1(0)T t F t P T t P T t P t e t f ()(0)t T t et λλ−=≥•的分布密度函数：•数学期望：1()E T λ=T T t T※若到达顾客流是泊松流，则到达间隔时间服从指数分布．※泊松流具有可加性．即．T 1212,λλλλ→+⚫约定：对于一个输入流和输出流都是泊松流（或者说到达间隔时间和服务间隔时间都服从指数分布）的服务系统，习惯地描述为到达流服从泊松分布，服务间隔时间服从指数分布．排队服务系统到达流泊松流( λ )到达间隔时间负指数分布(1/λ)服务流泊松流( μ )服务间隔时间负指数分布(1/μ)小结：（1）泊松流的三个基本性质：平稳性、无后效性和普通性；（2）泊松流和负指数分布的概率分布式、期望值表达式；（3）将它们引入排队系统中所表征的基本含义；（4）两个分布之间的内在联系。

1排队论公式构成排队模型的三个主要特征指标(1) 相继顾客到达间隔时间的分布；(2) 服务时间的分布；(3) 服务台的个数。

根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall 记号：X/Y/ZX ：表示相继到达间隔时间的分布；Y ：表示服务时间的分布；Z ：并列的服务台的数目。

表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号M——负指数分布(M 是Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov 性) D——确定型(deterministic)E k ——k 阶爱尔朗(erlang)分布G—— 一般(general)服务时间的分布Kendall 符号的扩充X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A ：系统容量限制N ，或称等待空间容量。

B ：顾客源数目m 。

分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。

C ：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。

（例如某排队问题为M/M/1/∞/∞/FCFS ，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(即泊松流)；服务时间为负指数分布；有1个服务台，系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。

）一、M/M/1/∞/∞ 设1λρμ=<， 则： 01P ρ=-；s L λμλ=-，q L ρλμλ=-；1s W μλ=-，q W ρμλ=- 故而：s s L W λ=，q q L W λ=；1s q W W μ=+，s q L L λμ=+ 二、M/M/1/N/∞（系统容量有限） 设λρμ=，则：2 12011,111,11N P P N P ρρρρ+⎧====⎪+⎪=⎨-⎪≠-⎪⎩； 101,12(1),111N s n N n N N L nP N ρρρρρρ+=+⎧=⎪⎪==⎨+⎪-≠--⎪⎩∑； 01(1)(1)Nq n s n L n P L P ==-=--∑；有效到达率0(1)e P λμ=-；ss e L W λ=，1q s W W μ=- 三、M/M/1/∞/m （顾客源有限）001!()!i m i P m m i λμ==⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；0(1)s L m P μλ=--，有效到达率0()(1)e s m L P λλμ=-=- 0(1)q s L L P =--；1=s s e e m L W λλλ=-，1q s W W μ=-四、M/M/c/∞/∞设1c λρμ=<，则： 0101111!!1k c c k P k c λλμρμ-==⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑02()!(1)c q c L P c ρρρ=-，s q L L λμ=+； s s L W λ=，q q L W λ=3五、一般服务时间M/G/1T 表示服务时间，当T 服从负指数分布时，1()E T μ=，而在M/G/1模型中，T 的分布是一般的。

到达间隔的分布和服务时间的一、背景介绍在排队论中，到达间隔的分布和服务时间是非常重要的概念。

它们决定了队列系统的性能和稳定性。

到达间隔的分布描述了顾客到达队列的时间间隔的概率分布，而服务时间则描述了每个顾客在队列中接受服务的时间长度。

二、到达间隔的分布到达间隔的分布是指顾客到达队列的时间间隔的概率分布。

在排队论中，常见的到达间隔分布包括泊松分布、指数分布和常数到达间隔分布。

2.1 泊松分布泊松分布是一种常用的描述到达间隔的分布，它适用于一些独立的随机事件发生的概率问题。

泊松分布的概率质量函数为：P(k;λ) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内随机事件平均发生的次数，k表示随机事件发生的次数。

2.2 指数分布指数分布是一种连续概率分布，它常用于描述到达时间间隔的分布。

指数分布的概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示到达率，x表示时间。

2.3 常数到达间隔分布常数到达间隔分布是一种特殊的分布，它假设每个顾客到达的时间间隔相同。

在实际应用中，常数到达间隔分布并不常见，但在一些理论推导中可以作为简化的假设。

三、服务时间服务时间是指每个顾客在队列中接受服务的时间长度。

服务时间分布的选择会直接影响到队列系统的性能和稳定性。

在排队论中，常见的服务时间分布包括指数分布、正态分布和均匀分布。

3.1 指数分布指数分布在服务时间分布中经常被使用，其概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示服务速率，x表示时间。

3.2 正态分布正态分布（也称为高斯分布）是一种常见的连续概率分布，其形状呈钟形曲线。

在服务时间的分布中，正态分布可以用于描述服务时间的变化范围和概率密度。

3.3 均匀分布均匀分布是一种连续概率分布，其概率密度函数是常数。

在服务时间的分布中，均匀分布通常用于描述服务时间在一个区间内随机分布的情况。

四、总结到达间隔的分布和服务时间是排队论中的关键概念，对于队列系统的设计和分析具有重要意义。