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专题十排队论Queueing Theory10.1 排队论概述10.2 顾客达到流与服务时间的分布10.3 生灭过程及其状态平衡方程10.4 M/M/s 等待制排队模型10.5 排队服务系统的优化10.2 顾客到达流与服务时间的分布（1）事件流⚫事件流：同类事件在随机时刻，一个接一个地发生的序列．⚫事件流可以看作“点”在时间轴上的分布：0t0t•流的强度( λ )：单位时间内，事件发生的平均数．•正则流：事件发生的间隔时间相等、固定．•平稳流：事件发生的概率与时间无关．即发生的概率只与的长度有关，而与在时间轴上的位置无关，概率近为．•无后效性的流：每个事件发生的时刻互不相关．•普通性的流：在充分小的时间间隔中，最多有一个事件发生．Δt Δt➢事件流有以下几个特征：∆t ∆t λ∆t（2）泊松流(Poisson 流，也称最简单流)➢同时具有平稳性、无后效性和普通性的事件流．①概率分布，即在时间t 内到达n 个顾客的概率：n ()()!n t t P t e n λλ−=②数学期望：．•若取单位时间，即．※描述了在给定时间内，系统到达顾客数这一特征．()λ=⎡⎤⎣⎦E N t t ()1,则λ==t E N（3）负指数分布➢描述泊松流的另一重要特征：相邻两顾客到达的间隔时间．•间隔时间小于等于时间的概率：λ−=≤=−>=−=−≥0 ()()1()1()1(0)T t F t P T t P T t P t e t f ()(0)t T t et λλ−=≥•的分布密度函数：•数学期望：1()E T λ=T T t T※若到达顾客流是泊松流，则到达间隔时间服从指数分布．※泊松流具有可加性．即．T 1212,λλλλ→+⚫约定：对于一个输入流和输出流都是泊松流（或者说到达间隔时间和服务间隔时间都服从指数分布）的服务系统，习惯地描述为到达流服从泊松分布，服务间隔时间服从指数分布．排队服务系统到达流泊松流( λ )到达间隔时间负指数分布(1/λ)服务流泊松流( μ )服务间隔时间负指数分布(1/μ)小结：（1）泊松流的三个基本性质：平稳性、无后效性和普通性；（2）泊松流和负指数分布的概率分布式、期望值表达式；（3）将它们引入排队系统中所表征的基本含义；（4）两个分布之间的内在联系。
1排队论公式构成排队模型的三个主要特征指标(1) 相继顾客到达间隔时间的分布；(2) 服务时间的分布；(3) 服务台的个数。
根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall 记号：X/Y/ZX ：表示相继到达间隔时间的分布；Y ：表示服务时间的分布；Z ：并列的服务台的数目。
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号M——负指数分布(M 是Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov 性) D——确定型(deterministic)E k ——k 阶爱尔朗(erlang)分布G—— 一般(general)服务时间的分布Kendall 符号的扩充X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A ：系统容量限制N ，或称等待空间容量。
B ：顾客源数目m 。
分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。
C ：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。
（例如某排队问题为M/M/1/∞/∞/FCFS ，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(即泊松流)；服务时间为负指数分布；有1个服务台，系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。
）一、M/M/1/∞/∞ 设1λρμ=<， 则： 01P ρ=-；s L λμλ=-，q L ρλμλ=-；1s W μλ=-，q W ρμλ=- 故而：s s L W λ=，q q L W λ=；1s q W W μ=+，s q L L λμ=+ 二、M/M/1/N/∞（系统容量有限） 设λρμ=，则：2 12011,111,11N P P N P ρρρρ+⎧====⎪+⎪=⎨-⎪≠-⎪⎩； 101,12(1),111N s n N n N N L nP N ρρρρρρ+=+⎧=⎪⎪==⎨+⎪-≠--⎪⎩∑； 01(1)(1)Nq n s n L n P L P ==-=--∑；有效到达率0(1)e P λμ=-；ss e L W λ=，1q s W W μ=- 三、M/M/1/∞/m （顾客源有限）001!()!i m i P m m i λμ==⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；0(1)s L m P μλ=--，有效到达率0()(1)e s m L P λλμ=-=- 0(1)q s L L P =--；1=s s e e m L W λλλ=-，1q s W W μ=-四、M/M/c/∞/∞设1c λρμ=<，则： 0101111!!1k c c k P k c λλμρμ-==⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑02()!(1)c q c L P c ρρρ=-，s q L L λμ=+； s s L W λ=，q q L W λ=3五、一般服务时间M/G/1T 表示服务时间，当T 服从负指数分布时，1()E T μ=，而在M/G/1模型中，T 的分布是一般的。
