排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间

第七章排队论Chapter 7Queuing Theory§7.1 排队的基本概念7.1.1 顾客、服务台、服务先举一些排队系统的例子。

排队的过程可表示为：队列服务台顾客到达进入队列接受服务顾客离去7.1.2 排队系统的分类7.1.2.1、按顾客到达的类型分类(1)按顾客源顾客的数量，可分为有限顾客源和无限顾客源；(2)按顾客到达的形式，可分为单个到达和成批到达；(3)按顾客相继到达的时间间隔分布，可分为定长分布和负指数分布；7.1.2.2、按排队规则分类(1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去；(2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去；例如：*队列容量有限的系统。

设队列容量为L0，顾客到达时的队长为L。

若L<L0，则顾客进入队列等待服务，若L=L0，则顾客离去。

*顾客对等待时间具有不耐烦性的系统。

设最长等待时间是W0，某个顾客从进入队列后的等待时间为W。

若W<W0，顾客继续等待；若W=W0，则顾客脱离队列而离去。

7.2.1.3、按服务规则分类(1)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）；(2)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）；(3)有优先权的服务（PR，Priority）(4)随机服务（SIRO，Service in Random Order）7.1.2.4、根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为(1)单服务台单队(2)多服务台单队(3)多队多服务台(4)多服务台串联服务7.1.3 排队论中常用的记号及各类排队系统的符号7.1.3.1、排队论中常用的记号n ––系统中的顾客数；λ––顾客到达的平均速率，即单位时间内平均到达的顾客数；μ––平均服务速率，即单位时间内服务完毕离去的顾客数；P n(t) ––时刻t系统中有n个顾客的概率；c ––服务台的个数；M ––顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布；D ––顾客相继到达的时间间隔服从定长分布；E k––顾客相继到达的时间间隔服从k阶Erlang分布。

排队论顾客到达时间的间隔分布和服务时间的分布（1）泊松分布（顾客到达数满足泊松分布）随机变量x （单位时间内顾客到达数），满足泊松分布：x~P(λ)，概率分布为：()!kP x k e k λλ-==注意：泊松分布中的λ，既是数学期望又是方差，即E(x)=D(X)= λ(单位时间内平均到达的顾客数)（2）负指数分布随机变量T （顾客相继到达时间间隔），满足负指数分布，即：~()()t T f t e λλ-=密度函数注意：E(T)=1/λ(为相继到达平均间隔时间),21D(T)λ=。

说明：顾客到达数满足泊松分布等价于顾客相继到达时间间隔满足负指数分布。

随机变量v （顾客相继离开的间隔时间），满足负指数分布，即：~()()t v f t e μμ-=密度函数注意：E(v)=1/μ(为相继离开平均间隔时间),D(v)= 1/μ2 。

（3）爱尔朗分布设k 个顾客到达系统的时间间隔序列为：v1 ， v2 ,…, vk ，（为相互独立的随机变量），且都服从参数为kλ的负指数分布，即：k),...,2,1(i e k ~ vi k -=λλ 则随机变量Tk I=1iT v =∑服从k 阶爱尔朗分布()()()()()()()121~0,01!111,,k k t k i i i k k t T f t e t k E v E T v D T k k λλλλλλλ--==>>-====∑ 说明1：K=1时，就是负指数分布。

说明2：假设系统中有串联的K 个服务台，每个服务台对顾客的服务时间相互独立，且服从参数为kμ的负指数分布，则一个顾客接受完k 个服务台服务所需的总时间T 就服从k 阶爱尔朗分布。

第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。

在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。

由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。

对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。

若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。

因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。

排队论是优化理论的重要分支。

排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。

第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。

1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。

包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。

顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。

如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。

（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。

（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。

这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。

（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。

在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。

到达间隔的分布和服务时间的一、背景介绍在排队论中，到达间隔的分布和服务时间是非常重要的概念。

它们决定了队列系统的性能和稳定性。

到达间隔的分布描述了顾客到达队列的时间间隔的概率分布，而服务时间则描述了每个顾客在队列中接受服务的时间长度。

二、到达间隔的分布到达间隔的分布是指顾客到达队列的时间间隔的概率分布。

在排队论中，常见的到达间隔分布包括泊松分布、指数分布和常数到达间隔分布。

2.1 泊松分布泊松分布是一种常用的描述到达间隔的分布，它适用于一些独立的随机事件发生的概率问题。

泊松分布的概率质量函数为：P(k;λ) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内随机事件平均发生的次数，k表示随机事件发生的次数。

2.2 指数分布指数分布是一种连续概率分布，它常用于描述到达时间间隔的分布。

指数分布的概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示到达率，x表示时间。

2.3 常数到达间隔分布常数到达间隔分布是一种特殊的分布，它假设每个顾客到达的时间间隔相同。

在实际应用中，常数到达间隔分布并不常见，但在一些理论推导中可以作为简化的假设。

三、服务时间服务时间是指每个顾客在队列中接受服务的时间长度。

服务时间分布的选择会直接影响到队列系统的性能和稳定性。

在排队论中，常见的服务时间分布包括指数分布、正态分布和均匀分布。

3.1 指数分布指数分布在服务时间分布中经常被使用，其概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示服务速率，x表示时间。

3.2 正态分布正态分布（也称为高斯分布）是一种常见的连续概率分布，其形状呈钟形曲线。

在服务时间的分布中，正态分布可以用于描述服务时间的变化范围和概率密度。

3.3 均匀分布均匀分布是一种连续概率分布，其概率密度函数是常数。

在服务时间的分布中，均匀分布通常用于描述服务时间在一个区间内随机分布的情况。

四、总结到达间隔的分布和服务时间是排队论中的关键概念，对于队列系统的设计和分析具有重要意义。