到达间隔的分布与服务时间的分布

排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。

排队过程的一般过程可用下图表示。

我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。

它们可以是人，也可以是某种物质或设备。

排队可以是有形的，也可以是无形的。

尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。

包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。

包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。

3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。

包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。

泊松分布排队论
泊松分布是概率论中一种重要的离散概率分布，常用于描述独立事件在给定时间或空间上的发生次数。

排队论则是研究随机到达和服务过程的数学理论，常用于描述排队系统中顾客到达和服务的规律。

在排队论中，泊松分布被广泛应用于以下两个方面：
1.顾客到达模型：当顾客的到达服从泊松过程时，即顾客到
达的时间间隔服从泊松分布，可以使用泊松分布来描述顾客到达的模型。

这个模型假设顾客的到达是随机、独立和恒定的，并允许在单位时间内到达的顾客数量有一定的概率。

2.服务时间模型：当服务时间服从指数分布时，可以使用泊
松过程来描述服务时间的模型。

指数分布是泊松过程的一个重要特例，这意味着服务时间满足随机、独立和恒定的分布，且具有无记忆性质。

在使用泊松分布进行排队论分析时，可以使用M/M/1模型来描述单服务台排队系统。

其中，M表示到达过程服从泊松分布，M表示服务时间服从指数分布，1表示系统中只有一个服务台。

通过泊松分布和指数分布的特点，可以推导出系统的各种性能指标，如平均队长、排队时间等。

需要注意的是，排队论的分析模型还可以根据实际情况使用其他分布，如负指数分布、超几何分布等。

除了M/M/1模型
外，还存在其他排队系统模型，如M/M/m模型（多个服务台）和M/G/1模型（服务时间服从一般分布）。

选择适当的排队系统模型对于准确描述和分析实际排队系统至关重要。

总而言之，泊松分布在排队论中是常用的概率分布，用于描述到达和服务的规律。

它为排队系统的性能评估和优化提供了理论基础。

1、管理就是管理者运用各种资源达成某既定目标的过程。

2、管理科学：是一门应用多学科与多领域理论、方法、技术和知识的综合性交叉学科，其目的是研究人类利用有限资源实现组织目标的管理活动方面的动态、复杂和创新的社会行为及其规律。

3、管理科学的基本特征：（1）以管理决策为基点；（2）以科学方法论为依据；（3）以系统观点为指导；（4）以数学模型为主要工具。

4、图解法只能用于两个变量的情况，并得到两个重要结论：（1）线性规划的约束集合是凸多面体；（2）线性规划若有最优解，则最优解一定能在凸多面体的角点（定点）上达到。

5、基本解：假设B为线性规划问题的基，对约束系数矩阵A目标函数系数响亮C，决策向量X进行分块处理，则有：A=（B，N），C=（CB，CN），X=[XB，XN]T，其中，N表示非基矩阵，XB表示基变量所构成的子向量，XN表示非基变量所构成的子向量，CN 为非基变量所对应的目标函数所构成的子向量，由AX =b得到：AX=（B，N）[XB，XN]T=B XB +N XN=b，由此式解出XB，并令非基变量的取值等于零，得到X =[B-1b，0]T，则称X为基B下的基本解。

6、线性整数规划：限制部分决策变量或全部决策变量只能取整数的线性规划。

7、非线性规划：目标或约束中含有非线性函数的优化问题成为非线性规划。

8、梯度：若f（X）在X0的领域内有连续一阶偏导数，则称f（X）在点X0对n个变元的偏导数组成的向量为f（X）在X0的梯度，记为▽f（X0）9、海赛阵：若f（X）在X0的领域内有连续二阶偏导数，则称f（X）在点X0对n个变元两两组合的二阶偏导数组成的矩阵为f（X）在X0的海赛阵，记为H（X0）10、多目标规划解法的基本思想：利用一个复合函数将多目标问题转化为单目标问题求解。

11、图与网络具有的两个基本要素：一是被研究的对象，通常用点来表示；二是所研究对象之间的某种特定关系，通常用点与点之间的连线表示12、边：两点之间不带箭头的联线由点及边构成的图称之为无向图13、弧：两点之间带箭头的联线由点及弧构成的图称之为有向图14、网络：在有向图D=（V，A）中，Vs为起点，Vt为终点，而对每一弧（Vi，Vj）∈A赋以量cij>0称为弧的容量，则称这样的有向图为一个网络，记为D=（V，A，C）15、树：一个无圈的连通图16、Dijkstra方法是求解最短路问题的一种有效方法17、网络图的组成要素：箭线、结点和线路18、确定型决策：这类决策问题只可能出现一种确定的自然状态，每个行动方案在这唯一的自然状态下的结局是可以计算出来的19、风险型决策：这类决策问题在决策过程中可以出现多种自然状态，每一个行动方案在不同自然状态下有不同的结局，且能预先估计出各个自然状态出现的概率20、完全不确定型决策；这类决策问题在决策过程中可以出现多种自然状态，但在这类决策问题中，不能预先估计出各个自然状态出现的概率，所以称之为完全不确定型决策21、决策树：是一种由结点和分支构成的由左向右横向展开的树状图形22、贝叶斯决策分三步走：先验分析、预验分析、后验分析23、效用值是风险下损益值在决策者心目中的满意程度的衡量尺度24、一般来讲，库存量不足会造成缺货损失，而库存量过大又会造成物质积压，库存费用增大，流动资金占用过大25、补充就是储存系统的输入26、状态：过程各阶段所处的“位置”称为状态27、某阶段初装台决定后，从这状态向下一阶段哪个状态演变的选择称为决策28、前一阶段的状态和决策决定了下一阶段的状态，它们之间的关系称为状态转移29、由阶段k=1至阶段k=n的全过程中，由每个阶段所选择的决策构成一决策序列，称之为一个策略30、层次分析法（简称AHP）是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代中期提出的，它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。

数学排队问题的题型在我们的日常生活中，排队是一件常见的事情。

你有没有想过，在排队的时候，我们能够利用数学知识帮助我们更加高效地排队呢？今天我们就来讲一讲数学排队问题的题型。

数学排队问题主要涉及到概率论和统计学知识，通常可以分为两种类型：单队列问题和多队列问题。

一、单队列问题单队列问题是指只有一个排队通道的情况。

在这种情况下，我们最想知道的就是队列的平均长度和队列的平均等待时间。

那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以用排队论中的公式来计算，它的公式如下：Lq = λWq其中，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间。

同样地，如何计算队列的平均等待时间呢？我们可以利用排队论中的另一个公式来计算，它的公式如下：Wq = Lq / λ其中，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数。

二、多队列问题多队列问题是指有多个排队通道的情况。

在这种情况下，我们需要考虑如何将人员分配到不同的队列中，以及如何计算队列的平均长度和队列的平均等待时间。

在多队列问题中，人员的分配可以有多种方法。

最常见的方法是随机分配，即每个人有相同的几率被分配到任何一个队列中。

那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以使用排队论中的Kendall’s notation，它由三个参数组成：A/B/C。

其中，A 表示到达队列的时间间隔分布，常见的有常数间隔（M）、泊松分布（P）等；B 表示服务时间的分布，常见的有常数服务时间（M）和指数分布（E）等；C 表示队列的数量，常见的有 FIFO（先进先出）和 LIFO（后进先出）等。

例如，M/M/2 表示到达队列的时间间隔和服务时间都是常数，队列的数量为两个。

那么我们可以利用排队论的公式来计算队列的平均长度和等待时间。

对于多队列问题，计算队列的平均长度和等待时间相对更加复杂，需要更多的排队论知识和模型分析。

排队论模型及其应用摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象匸作过程中的的数学理论和方法，乂叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。

乂主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。

而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。

比如：学校超市的排队现象或岀行车辆等现象，。

排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。

后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统讣平衡模型，并山此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。

关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，乂被广泛的应用于交通物流领域。

在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。

然而有基于扩展原理乂对模糊排队进行了一定的分析。

然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。

对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为陷而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。

一.排队模型排队论是运筹学的一个分支，乂称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。

它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。

一般排队系统有三个基本部分组成⑴:（1）输入过程：输入过程是对顾客到达系统的一种描述。

顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。

（2）排队规则：排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。

1排队论公式构成排队模型的三个主要特征指标(1) 相继顾客到达间隔时间的分布；(2) 服务时间的分布；(3) 服务台的个数。

根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall 记号：X/Y/ZX ：表示相继到达间隔时间的分布；Y ：表示服务时间的分布；Z ：并列的服务台的数目。

表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号M——负指数分布(M 是Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov 性) D——确定型(deterministic)E k ——k 阶爱尔朗(erlang)分布G—— 一般(general)服务时间的分布Kendall 符号的扩充X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A ：系统容量限制N ，或称等待空间容量。

B ：顾客源数目m 。

分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。

C ：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。

（例如某排队问题为M/M/1/∞/∞/FCFS ，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(即泊松流)；服务时间为负指数分布；有1个服务台，系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。

）一、M/M/1/∞/∞ 设1λρμ=<， 则： 01P ρ=-；s L λμλ=-，q L ρλμλ=-；1s W μλ=-，q W ρμλ=- 故而：s s L W λ=，q q L W λ=；1s q W W μ=+，s q L L λμ=+ 二、M/M/1/N/∞（系统容量有限） 设λρμ=，则：2 12011,111,11N P P N P ρρρρ+⎧====⎪+⎪=⎨-⎪≠-⎪⎩； 101,12(1),111N s n N n N N L nP N ρρρρρρ+=+⎧=⎪⎪==⎨+⎪-≠--⎪⎩∑； 01(1)(1)Nq n s n L n P L P ==-=--∑；有效到达率0(1)e P λμ=-；ss e L W λ=，1q s W W μ=- 三、M/M/1/∞/m （顾客源有限）001!()!i m i P m m i λμ==⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；0(1)s L m P μλ=--，有效到达率0()(1)e s m L P λλμ=-=- 0(1)q s L L P =--；1=s s e e m L W λλλ=-，1q s W W μ=-四、M/M/c/∞/∞设1c λρμ=<，则： 0101111!!1k c c k P k c λλμρμ-==⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑02()!(1)c q c L P c ρρρ=-，s q L L λμ=+； s s L W λ=，q q L W λ=3五、一般服务时间M/G/1T 表示服务时间，当T 服从负指数分布时，1()E T μ=，而在M/G/1模型中，T 的分布是一般的。