到达时间间隔与到达时刻的分布(应用随机过程,陈萍)

泊松过程是概率论和统计学中重要的随机过程之一，它描述了在一定时间内某一事件发生的次数。

在实际应用中，泊松过程常常用于描述诸如通联方式呼叫、交通流量、以及粒子的撞击等随机现象。

泊松过程的到达时间间隔服从指数分布是其重要性质之一，本文将对这一性质进行证明。

证明内容如下：1. 泊松过程的定义泊松过程是一种随机过程，其具体定义为：在任意时间段[0,t]内，事件的到达次数N(t)服从泊松分布，即N(t)~P(λt)，其中λ为事件的到达速率。

泊松过程具有无记忆性和独立增量等性质。

2. 指数分布的定义指数分布是一种连续概率分布，描述了随机变量等待的时间长度。

指数分布的概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ为分布的参数，x 为随机变量的取值。

3. 证明泊松过程的到达时间间隔服从指数分布假设事件的到达时间分别为t1,t2,...,tn，其中ti表示第i个事件的到达时间。

根据泊松过程的定义，事件到达的时间间隔t2-t1,t3-t2,...,tn-tn-1分别服从指数分布，下面我们将对这一性质进行严格的证明。

考虑事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率，其中Δt为一个小的时间间隔。

根据泊松过程的定义，该时间段内到达次数N(Δt)服从泊松分布，即N(Δt)~P(λΔt)。

事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以表示为P(Δt) = P(N(Δt)=1)，即事件在该时间段内到达一次的概率。

当Δt趋近于0时，事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以近似为P(Δt) = λΔt。

而事件到达时间间隔在[t,t+Δt]之外的概率可以忽略不计，因为Δt趋近于0。

事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率密度函数为f(Δt) = λe^(-λΔt)。

而指数分布的概率密度函数也为f(Δt) = λe^(-λΔt)。

事件到达时间间隔服从指数分布。

4. 结论根据上述证明，可以得出结论：泊松过程的到达时间间隔服从指数分布。

定理2.2.1 到达时间间隔序列1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立同分布的，且服从参数为λ的指数分布.这个命题应是在意料之中的. 事实上，泊松分布定义中的平稳独立增量的假定等于说在概率意义上过程是在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（独立增量），且与原过程有完全同样的分布（平稳性），也就是通常讲的无后效性.证明 1）求1T 的分布. 由于1T 表示第一次事件发生之前所需的时间，故1{}T t >表示在[0,)t 时间段内事件还未出现，所以111()()1()1(()0)1,0t T F t P T t P T t P N t e t λ-=≤=->=-==-∀≥即1~()T E λ.2）求2T 的分布. 由平稳增量性，在时间区间[,)s s t +内事件发生的次数与s 无关，而只与时间间隔的长度t 有关，即21()(()()0)(()0),0t P T t T s P N s t N s P N t e t λ->==+-====∀≥由全概率公式，()()()()1221210||t T P T t P T t T s f s ds e P T t T s λ∞->=>===>=⎰即2~()T E λ且与1T 独立.3）求,2n T n >的分布.对于11,,,0n t s s -∀≥ ，有11111111(,,)(()()0)(()0)n n n n n tP T t T s T s P N t s s N s s P N t e λ----->===+++-++====即~(),2n T E n λ∀>，且相互独立.于是结论成立. □ 注意，定理2.2.1的逆命题也成立. 先研究到达时刻的分布，之后再来讨论这个问题.定理2.2.2 到达时刻n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布.证明 由定理2.2.1，1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立且k T 的特征函数是 ()()()00012222cos sin 1itx x x x k t e edx tx e dx i tx e dx t t i i t t λλλϕλλλλλλλλλ∞∞∞----==+⎛⎫=+=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰于是，1,1,2,nn k k T n τ===∑ 的特征函数是()111n n n k t t i it τλϕλλ-=⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∏而(),αβΓ分布的特征函数为()t it αβϕβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()~,n n τλ∴Γ 定理 2.2.3 若计数过程}0),({≥t t N 的到达时间间隔序列,1,2,k T k = 是相互独立同参数为λ的指数分布，则}0),({≥t t N 是参数为λ的泊松过程.证明 由指数分布的无记忆性知, 过程}0),({≥t t N 具有平稳独立增量.于是只要证明()~()N t P t λ.注意到n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布，且11{()}{}{}{}{}n n n n N t n t t t t ττττ++==>⋂≤=>->所以11100(())({})({})({})({})()()(1)!!n n n n n n t t x x P N t n P t P t P t P t x x e dx e dx n n λλττττλλλλ++---==>->=≤-≤=--⎰⎰令y x λ=并由分部积分法得()(()),0,0,1,2,!nt t P N t n e t n n λλ-==∀≥= 。

离散系统建模与仿真理论基础_南开大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.SIMSCRIPT的第一个版本基于以下哪个算法？答案:事件调度算法2.有些统计工具软件总是会拟合出某个概率分布，而不论其是否合理。

答案:正确3.对于两个系统比较的相关抽样法，如果一个系统在模型结构的某一方面完全不同于另一个系统，则同步性将不再适用，或者说不能实现同步。

答案:正确4.比较两个系统性能时，统计显著性与仿真实验和输出数据有关。

答案:正确5.在无限源模型中，到达率（单位时间内到达顾客的平均数量）不受已进入排队系统顾客数量的影响。

答案:正确6.考虑到排队系统的多样性，有学者针对并行服务台系统提出了一套被广为采用的符号体系，这一体系缩略版为A/B/c/N/K，其中A代表什么含义（）？答案:到达间隔时间分布7.选择仿真软件时，需要考虑的输出特性不包括（）答案:动作质量8.发生在外部环境，对系统造成影响的活动和事件是指什么（）？答案:外生（活动或事件）9.发生在系统内部的活动和事件是指什么（）？答案:内生（活动或事件）10.下列关于随机数流的说法不正确的是（）。

答案:对于线性同余生成器而言，随机数流就是一组数据11.下列哪项不属于仿真历史的一个时期？答案:成熟期12.随机数生成后，若完全相同的随即数列重复出现，说明该方法发生了（）。

答案:退化13.在随机数检验中，即使一个数集通过了全部检验，也不能保证随机数生成器的随机性，因为还有很多方法可能得出不同的结论。

答案:正确14.在独立性检验中，如果不能拒绝原假设，意味着通过检验未发现存在依存关系的证据。

答案:正确15.在排队系统中，如果服务台数量减少，那么排队等待时间、服务台利用率，以及顾客到达后不能立即获得服务的概率都会（）？答案:增加16.连续型经验累积分布函数的反函数是：X=x(i-1)-ai(R-ci-1),其中ci-1＜R≤ci。

答案:错误17.舍选法就是不断生成服从某种统计分布的随机变量R直到满足条件为止。

排队论顾客到达时间的间隔分布和服务时间的分布（1）泊松分布（顾客到达数满足泊松分布）随机变量x （单位时间内顾客到达数），满足泊松分布：x~P(λ)，概率分布为：()!kP x k e k λλ-==注意：泊松分布中的λ，既是数学期望又是方差，即E(x)=D(X)= λ(单位时间内平均到达的顾客数)（2）负指数分布随机变量T （顾客相继到达时间间隔），满足负指数分布，即：~()()t T f t e λλ-=密度函数注意：E(T)=1/λ(为相继到达平均间隔时间),21D(T)λ=。

说明：顾客到达数满足泊松分布等价于顾客相继到达时间间隔满足负指数分布。

随机变量v （顾客相继离开的间隔时间），满足负指数分布，即：~()()t v f t e μμ-=密度函数注意：E(v)=1/μ(为相继离开平均间隔时间),D(v)= 1/μ2 。

（3）爱尔朗分布设k 个顾客到达系统的时间间隔序列为：v1 ， v2 ,…, vk ，（为相互独立的随机变量），且都服从参数为kλ的负指数分布，即：k),...,2,1(i e k ~ vi k -=λλ 则随机变量Tk I=1iT v =∑服从k 阶爱尔朗分布()()()()()()()121~0,01!111,,k k t k i i i k k t T f t e t k E v E T v D T k k λλλλλλλ--==>>-====∑ 说明1：K=1时，就是负指数分布。

说明2：假设系统中有串联的K 个服务台，每个服务台对顾客的服务时间相互独立，且服从参数为kμ的负指数分布，则一个顾客接受完k 个服务台服务所需的总时间T 就服从k 阶爱尔朗分布。

到达间隔的分布和服务时间的一、背景介绍在排队论中，到达间隔的分布和服务时间是非常重要的概念。

它们决定了队列系统的性能和稳定性。

到达间隔的分布描述了顾客到达队列的时间间隔的概率分布，而服务时间则描述了每个顾客在队列中接受服务的时间长度。

二、到达间隔的分布到达间隔的分布是指顾客到达队列的时间间隔的概率分布。

在排队论中，常见的到达间隔分布包括泊松分布、指数分布和常数到达间隔分布。

2.1 泊松分布泊松分布是一种常用的描述到达间隔的分布，它适用于一些独立的随机事件发生的概率问题。

泊松分布的概率质量函数为：P(k;λ) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内随机事件平均发生的次数，k表示随机事件发生的次数。

2.2 指数分布指数分布是一种连续概率分布，它常用于描述到达时间间隔的分布。

指数分布的概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示到达率，x表示时间。

2.3 常数到达间隔分布常数到达间隔分布是一种特殊的分布，它假设每个顾客到达的时间间隔相同。

在实际应用中，常数到达间隔分布并不常见，但在一些理论推导中可以作为简化的假设。

三、服务时间服务时间是指每个顾客在队列中接受服务的时间长度。

服务时间分布的选择会直接影响到队列系统的性能和稳定性。

在排队论中，常见的服务时间分布包括指数分布、正态分布和均匀分布。

3.1 指数分布指数分布在服务时间分布中经常被使用，其概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示服务速率，x表示时间。

3.2 正态分布正态分布（也称为高斯分布）是一种常见的连续概率分布，其形状呈钟形曲线。

在服务时间的分布中，正态分布可以用于描述服务时间的变化范围和概率密度。

3.3 均匀分布均匀分布是一种连续概率分布，其概率密度函数是常数。

在服务时间的分布中，均匀分布通常用于描述服务时间在一个区间内随机分布的情况。

四、总结到达间隔的分布和服务时间是排队论中的关键概念，对于队列系统的设计和分析具有重要意义。