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电子技术• Electronic Technology88 •电子技术与软件工程 Electronic Technology & Software Engineering【关键词】动态取样 工艺风险 Cpk1 介绍现如今随着半导体制造过程的复杂性不断提升，采用科学有效的工艺管控方法来帮助快速侦测并改进异常工艺表现是非常重要的。
工艺管控方法中最有效的方法就是改进取样方案。
通过高效的取样方案，能够快速检测到工艺的偏离，并实现改进和预防措施。
目前业界常用的取样方法是在初始阶段建立，之后根据需要人工改变频率。
本文介绍了一种新的动态取样解决方案，通过采用工艺风险评估并配合多种因素作用，实现针对不同工艺风险的取样决定。
2 全面动态取样方案全面动态取样系统是基于工艺状况、机台情况、工艺不确定性、异常事件信号以及量测机台产能来调整取样率的。
我们根据工艺风险将取样方案分成三个区间，即低-基准-高。
当工艺流程处在一个较低的风险级时，取样在低频率下进行,反之将在高频率下进行。
如果线上工艺流程表现出向高风险发展的趋势，取样率会随着提升，并伴随改进方案的实施，从而减少风险产品的数量。
反之取样率会随之降低，量测机台的产能得到缓解，同时低取样率也能够缩短制造工艺的周期。
本文的取样方案是以传统方案作为框架并配合动态改变取样率实现的。
下面对各影响因素作介绍：2.1 工艺状况整体的工艺状况代表了生产出满足客户需求的产品的能力。
线上量测的图表是一个表现工艺状况好坏的重要指标，而Cpk 又是表现工艺能力的重要参数，我们基于Cpk 的表现来判断工艺流程的风险级别，高风险的将会一种针对半导体制造工艺的全面动态取样方案文/陈彧触发高取样率。
2.2 机台情况机台情况是影响整体工艺风险的重要因素。
当机台接近它们的维护周期时，机台性能会出现退化，这种情况会给工艺带来额外的风险，因此取样方案也要做相应的调整。
机台的风险会随着定期维护的周期发生着变化，当机台越接近维护的时间前后，机台的风险会随着增加。
第37卷第13期2007年7月数学的实践与认识M AT HEMA TICS IN PRACTICE AND T HEORYV o l.37 No.13 July ,2007 具有可变抽样区间的Poisson EWMA 控制图丛方媛, 赵选民, 师义民, 王彩玲(西北工业大学应用数学系,陕西西安 710072)摘要: 传统的EW M A 控制图通常都是针对计量型质量特性值的,而对于计数型质量特征值少有研究.设计了单位缺陷数服从Pois son 分布的EW M A 控制图,并对Pois son EW M A 控制图进行了可变抽样区间设计,利用M arkov chain 方法计算了其平均报警时间,计算结果表明,所设计的动态Pois son EW M A 控制图较Sh ew hart c-图和固定抽样区间的Poiss in EWM A 控制图能更好的监控过程的变化.关键词: Pois son EWM A 控制图;可变抽样区间;M arkov chain ;平均报警时间1 引 言收稿日期:2007-01-22基金项目:国家自然科学基金(79970022);航空科学基金(02J 53079);陕西省自然基金(NSG5002) 由于质量特性值通常有两大类,一类是计量型的,如温度,长度,电阻等;一类是计数型的,如不合格品数,缺陷数等,因此,常规的质量控制图也分计量型控制图和计数型控制图两种[1].自从1924年Shew har t 提出了控制图的概念以来,Shew hart 的x --图,R -图等,以及EWM A(指数加权移动平均)控制图和CU SU M (累积和)控制图已经对计量型控制图有了很好的研究,而对于计数型质量特征值控制图的研究还只停留在Shew har t c-图和u-图上.且由于传统的休哈特控制图的统计变量是由当前观测值得出的,而其他观测值经过了它所在的当前时刻就被弃置不用,因此浪费了大量的历史信息和相关信息,造成了传统的休哈特控制图无法具有较高的精度且对小波动的持续上升、下降不敏感.EWM A 控制图的统计变量是观测值的一个加权线性组合,其对过程均值的微小变化比较敏感,正好弥补了Shew hart 控制图的缺陷[2—5].因此,针对计数型质量特征值,为了能更有效的发现过程均值的微小变化,本文在单位缺陷数服从Poisson 分布的假设下,提出了Poisson EW MA 控制图模型.静态控制图都是假定抽样区间,样本容量以及其控制限是固定不变的,其不利于及时有效的发现过程的变化,尤其是过程的微小变化,于是Rey no lds et al 提出了具有可变抽样区间的Shew hart 均值控制图,从此开启了动态控制图这一新的研究领域[6—7].因此,本文在前人研究的基础上对Poisson EWM A 控制图进行可变抽样区间设计,并且利用Markov chain 方法计算出其平均报警时间,计算结果表明,与Shew hatr 控制图和静态Poisson EWMA 控制图相比,可变抽样区间Poisson EWM A 控制图在过程失控时具有较短的平均报警时间,从而能够更有效的提高生产效率.2 Poisson EWMA 控制图的描述设X 表示生产过程中的单位缺陷数,通常情况下假设X 服从Poisson 分布.从该过程中获得的一列质量特征观测值X1,X2,…独立同分布于期望为L的Poisson分布,当过程处于受控状态时,L=L0.要对这个过程进行控制,定义Poisson EWM A统计量为:Z0=L0Z t=K X t+(1-K)Z t-1(1)根据Z t的定义可以直接得出E(Z t)=L0Var(Z t)=K2-K[1-(1-K)2t]L0(2)当t充分大时,可以得到Z t方差的渐近形式:Var(Z t)≈K2-KL0=Var(Z∞)(3)其中K为平滑参数,且0<K F1.这时Po isso n EWMA控制图的控制限可以基于(2)式得出,也可以基于方差的渐进形式(3)式得出,这样就产生了两种控制效果不同的控制图.为方便计算,在本文中我们将仅考虑基于渐近形式(3)式所生成控制限的控制图.因此,当Z t> h U或者Z t<h L时,过程失控.其中h L=L0-A L Var(Z∞)=L0-A LK L0 2-K,h U=L0+A U Var(Z∞)=L0+A UK L0 2-K,A U和A L可根据特定的受控时的ARL(平均运行长度,Average Run Leng th)的大小来确定,有时取A=A L=A U.但需要注意的是,由于X1,X2,…独立同分布于期望为L的Po isso n分布,则由(1)式定义的Poisson EW MA统计量Z t是一个非负数,那么当控制下限小于或等于零时,对过程均值的向下偏移就不会发出报警信号,即不能检测出过程的向下偏移,所以这时取A L≠A U是很有必要的.3 Poisson EWMA控制图的动态设计3.1 动态控制图的描述动态控制图是指下一个样本的抽样区间或样本容量依赖于现时样本点统计量的控制图.控制图的动态设计一般有可变抽样区间(Variable Sampling Interval,VSI),可变样本容量(Variable Sample Size,VSS)及可变样本容量和抽样区间(V SSI)这三种情况.其主要思想为:在控制图的中心限和控制限之间加上警戒限,将中心限与警戒限之间的区域称为中心域,警戒限与控制限之间的区域称为警戒域.如果现时样本点统计量位于中心域,则表明其后的点子超出控制限的可能性相对较小,这时可等待较长的时间再去抽取下一个样本,且下一个样本的样本容量可以较小;反之,若现时样本点统计量位于警戒域内,这表明其后的点子很有可能超出控制限,为了能尽快地发现过程的偏移,应等待较短的时间就去抽取下一个样本,且其样本容量应该较大,也就是说下一个样本的抽样区间和样本容量的大小取决于现时样本点统计量的大小.一般只取两个抽样区间长度d1和d2,d1>d2和两个样本容量n1和n2,n1<n2.当现时样本点统计量位于中心域时,选取样本容量n1和抽样区间d1;当其位于警戒域时,选用样本容量n2和抽样区间d2;若其超出警戒限,则发出报警信号,过程失控. 80数 学 的 实 践 与 认 识37卷一般情况下,用检测过程偏移的速度来评价一个控制图的有效性.当抽样区间和样本容量固定时,一般采用ARL 的大小来进行比较.即在过程处于受控状态的ARL 一定时,其失控状态的ARL 越小,表明该控制图对过程偏移检测的效果越好,越能及时地发现偏移.但是可变抽样区间控制图的抽样区间长度是变化的,故其无法采用ARL 来进行比较.这时我们将采用另外一种比较法则:平均报警时间(Aver age Time to Signal ,AT S )来比较.平均报警时间(AT S)是指从过程发生偏移到控制图发出报警信号所需要的平均时间.若过程偏移在零时刻发生,那么ATS 就是从过程开始检测到发出报警信号所需要的平均时间.本文将只考虑可变抽样区间Poisson EWM A 控制图.令<i 表示报警前采用抽样区间d i 的样本数(i =1,2),d 0表示从过程开始到第一个样本之间的抽样区间,可取d 0=d 1或d 2.则根据AT S 的定义可知:A T S =d 0+<1d 1+<2d 2计算ATS 的方法很多,本文我们采用M arko r chain 的方法计算Poisson EWM A 控制图的AT S.3.2 Poisson EWMA 控制图ATS 计算本文只考虑偏移L ′>L 0的情况.假设过程失控从零时刻开始,过程均值从L 0偏移到L 0+D L 0,为了能用M arkov chain 方法来计算失控过程的平均报警时间,如图1所示,将控制图的受控区域分成N 个长度相同的小区间,每个区间的长度为h U -h LN,第j 个子区间是(L j ,U j ),其中L j =h L +(j -1)(h U -h L )N ,U j =h L +j (h U -h L )N,第j 个子区间的中点m j =h L +(2j -1)(h U -h L )2N .这样对应于N 个M ar ko v chain 状态,从下到上分别记为E 1,E 2,…,E N ,第N +1个状态是吸收状态,表示超出h U 或小于h L 的失控区域.定义b =(b 1,b 2,…,b N )T ,若状态E i (i =1,2,…,N )的中心点位于中心域,则b i =d 1;若状态E i 的中心点位于警戒域内,则取b i =d 2.那么从状态E i (i =1,2,…,N )到状态E j (j =1,2,…,N )的转移概率记为p i ,j ,p i ,j =P (L j <Z t <U j ûZ t -1=m i )=P (L j <K X t +(1-K )Z t -1<U j ûZ t -1=m i )=P (L j <K X t +(1-K )m i <U j )=h L +(j -1)(h U -h L )N<K X t +(1-K )h L +(2i -1)(h U -h L )2N<h L +j (h U -h L )N =P h L +h U -h L2N K [(2(j -1)-(1-K)(2i -1)]<X t<h L +h U -h L2N K[(2j -(1-K )(2i -1)]令该M ar ko v chain 对于这N 个状态的转移矩阵为P =[p i ,j ]N ×N .令Q =(I -P )-1=(m ij )k ×k .其中I 为N ×N 的单位矩阵.则根据参考文献[2]推广可得到可变抽样区间的8113期丛方媛,等:具有可变抽样区间的P oisson EW M A 控制图图1 把受控区域划分成N 个相等的子区间Po isso n EWMA 控制图的平均报警时间AT S 为:A TS =∑Ni =1mk 0,i b i,(4)其中k 0表示中心限L 0处于状态E k 0.(若控制图的上控制限和下控制限关于中心限对称时,应取N 为奇数,这样可以使得中心限L 0正好处于状态E (N +1)/2的中点处,即k 0=(N +1)/2.因此根据AT S 的计算公式(4)即可求出过程质量特性对于不同偏移量D 的平均报警时间,当过程的质量特性X 的偏移量D =0时,由公式(4)求出的平均报警时间即为过程受控时平均报警时间.4 VSI Poisson EWMA 控制图与Poisson EWMA 控制图及c -图的比较要对不同控制图的控制效果进行比较,应使这些控制图处于同样的条件下进行比较,即使控制图在受控状态时具有相同的平均报警时间AT S .首先我们假设过程的单位缺陷数X 服从均值为4的Poisson 分布,即L 0= 4.则标准c -图的上控制限和下控制限可分别计算得:L CL =L 0-3L 0=4-34=-2UCL =L 0+3L 0=4+34=10此时的LCL 小于0,这时应重新设置LCL 为0.对于c -图,该过程受控时的平均报警时间AT S 为:82数 学 的 实 践 与 认 识37卷A T S =1P (x >10ûL 0=4)≈352即在受控时的AT S 约为352时,来比较这三种控制图的控制效果.具体数据见表1所示:表1 对于L 0=4时的c -图,P oisso n EW M A 和V SI P oisso n EW M A 控制图AT S 的比较,其中V SI 图上下警戒限分别为4.8和3.2,N =11D c -图Pois son EWM A 控制图(K =0.2)VS I Poiss on EW M A 控制图(K =0.2)(d 1,d 2)=(1.05,0.6)(d 1,d 2)=(1.10,0.80)0352348.70339.70358.330.5149.2588.0978.0085.851.071.9929.8126.0529.401.539.5315.2212.7214.632.023.479.657.909.172.514.96 6.95 5.66 6.593.010.155.424.425.14同样我们还可以得出这三种控制图对各种不同均值的控制效果的比较,表2为这三种控制图对L 0=10时的控制效果的比较:表2 对于L 0=10时的c -图,P oisso n EW M A 和V SI P oisso n EW M A 控制图A T S 的比较,其中V SI 图上下警戒限分别为11和9,N =11D c -图Pois son EWM A 控制图(K =0.2)VS I Poiss on EW M A 控制图(K =0.2)(d 1,d 2)=(1.3,0.65)(d 1,d 2)=(1.1,0.8)0284.74276.48275.20283.540.5171.87147.25144.87148.651.0107.4665.6661.9863.471.569.7934.2430.8731.532.046.9820.8218.1518.512.532.6814.2012.1712.393.023.4410.528.979.14从表1和表2中的数据可以看出,静态的Poisson EWM A 控制图的平均报警时间较标准的Shewhart 的c -图要小,而VSI Poisson EWMA 控制图的平均报警时间又较静态的Po isso n EWMA 控制图要小,即在这三种控制图中,VSI Poisson EW MA 控制图对过程均值的偏移最为敏感,能够最快最准确的检测出过程均值的偏移.因此,在实际的应用中,对于单位缺陷数,可以采取VSI Po isso n EWM A 控制图来提高生产的效率,降低生产成本.参考文献:[1] 周纪芗,茆诗松.质量管理统计方法[M ].北京:中国统计出版社,1999.[2] Douglas C M ontgomery.Introduction to Statis tical Quality Control[M ].Fourth Edition J oh n Wiley &Sons Inc,2001.8313期丛方媛,等:具有可变抽样区间的P oisson EW M A 控制图84数 学 的 实 践 与 认 识37卷[3] Gan F F.Joint monitoring of proces s mean an d variance u sing ex ponentially w eig hted moving average controlchart[J].T echnometrics,1995,37:446—453.[4] Connie M B,Charles W C,S teven E R.Poisson EW M A control charts[J].Journ al of Quality Techn ology,1998,30(4):352—361.[5] Gan F F.Designs of one-and tw o-sided expon ential EW M A chart[J].Journ al of Quality Tech nology,1998,30(1):55—69.[6] Antonio F B Costa.X-bar chart w ith varialb e sample s ize and samplin g intervals[J].Journ al of QualityTech nology,1997,29(2):197—204.[7] Baxley R V,Jr.An ap plication of variable sampling inter val control char ts[J].Jour nal of Q uality Technology,1995,27:275—282.[8] 王兆军.关于动态质量控制图的设计理论[J].应用概率统计,2002,18(3):316—333.[9] 赵选民,徐伟等.数理统计[M].北京:科学出版社.Poisson EWMA Control Chart withVariable Sampling Intervals ZHAO Xuan-min, SHI Yi-min, WAN G Cai-lingCONG Fang-yuan, Array (Dept.o f A pplied M athematics,N o rt hw ester n P olyt echnical U niver sity,X i′an710072,China)Abstract: T he measur ing quality character istic has been w idely studied by the t raditionalEWM A contr ol chart,but the counting quality char acter istic ha s been unusual resear ched.APo isson EWM A co nt ro l char t is pr oposed.A nd the Po isson EW M A contr ol char t w ith var iablesampling interv als is constructed also.T he M ar ko v chain method is used t o calculate theaver ag e time to signal.T he computing r esults show that the VSI P oisso n EW M A co nt ro l chartis the most efficient in detecting shift s amo ng the Shew har t c-chart,the fix ed sampling interv alPo isson EWM A co nt ro l char t and the V SI P oisson EW M A co ntr ol char t.Keywords: po isson EW M A co ntr o l chart;var iable sampling inter vals;marko v chain;aver ag etime t o sig nal。
摄影测量与遥感习题-2011-07一、单项选择题（每题的备选答案中只有一个最符合题意，不答或答错不得分）1．航摄像片的内方位元素包括（A ）。
A. 航摄像机主距和像主点的像平面坐标值B. 航摄像机主距和摄影姿态参数C. 像主点的像平面坐标值和摄影中心位置D. 航摄像机主距和摄影中心位置2. 一张航摄像片有（ D ）个外方位元素。
A. 2B. 3C. 4D. 63. 在兼顾设计精度和设计工作量的同时，保证设计用图比例尺和航摄比例尺的倍率在（ A ）之间。
A. 2-5倍B. 3-6倍C. 1-3倍D. 4-7倍4．航摄像片上一段距离与地面相对应距离之比为（C ）。
A. 成图比例尺B. 地形图比例尺C. 摄影比例尺D. 制图比例尺5．若需测绘1：5000的地形图，则航摄比例尺为（ B ）A. 1：7000～1：14 000B. 1：10 000～1：20 000C. 1：20 000～1：40 000D. 1：25 000～1：60 0006．同一条航线上，相邻像片之间的影像重叠称为（D）重叠。
A. 垂直B. 旁向C. 水平D. 航向7．相邻航线像片之间的影像重叠称为（B）重叠。
A. 垂直B. 旁向C. 水平D. 航向8．常用光学航摄像片为（C ）投影A. 平行B. 正射C. 中心D. 斜9．摄影中心与像片平面的垂线的交点为（A ）。
A. 像主点B. 像底点C. 地底点D. 主合点10．航摄仪有效使用面积内镜头分辨率的要求（B）。
A. 每毫米内不少于 20 线对B. 每毫米内不少于 25 线对C. 每毫米内不少于 30 线对D. 每毫米内不少于 40 线对11．高程注记点依据地形类别及地物点和地形点的多少，其密度大约控制在图上每100cm2内（ D ）个。
A. 10~30B.20~40C. 5~ 10D. 5～2012．立体像对相对定向元素有（C ）个。
A. 3B. 4C. 5D.613．立体像对绝对定向元素有（D ）个。
控制图(control charts)又名：统计过程控制( statistical process control)方法演变：EQ \o(\s\up5(－),\s\do2(x))计量值控制图：⎺X－R控制图（又名均值极差控制图），⎺X－s控制图，单值控制图（又名X 控制图，X-R控制图，IX-MR控制图，XmR控制图，移动极差控制图），移动均值-移动极差控制图（又名MA-MR控制图），目标偏差控制图（又名差异控制图、偏差控制图、名义值偏差控制图），CUSUM（又名累计和控制图），EWMA（又名指数加权移动平均控制图），多元控制图（又名Hotelling T2控制图）。
计数值控制图：p控制图（又名不良品率控制图），np控制图，c控制图（又名缺陷数控制图），u控制图。
两种数据都适用的控制图：短期过程控制图（又名稳定控制图或者Z控制图），组控制图（又名多属性值控制图）。
概述控制图是一种对过程变异进行分析和控制的图形工具。
数据按时间顺序绘制在图上，控制图一般有一条代表均值的中心线，一条上控制限位于中心线上方，一条下控制限位于中心线下方，这些线是根据过程数据确定的。
通过当前数据和由历史数据计算所得的控制限的比较，我们可以判定当前过程变异是稳定的（受控制）还是不稳定的（不受控制，受到某个特定因素的干扰）。
控制图分为很多种，不同的过程、不同的数据，我们采用不同的控制图。
计量值数据的控制图经常是成对应用，其中常绘制在上方的一张控制图监测均值，或者说过程数据的分布中心，而绘制在下方的一张控制图监测极差，或者说分布的波动程度。
如果借助于练习打靶的例子来说明，那么均值就是靶子上射击集中的地方，极差是射击点的离散程度。
计量值数据要成对使用控制图，计数值数据则通常只使用一张控制图就足够了。
适用场合·当你希望控制当前过程，问题出现时能察觉并能对其采取补救措施时；·当你希望对过程输出的变化范围进行预测时：·当你判断一个过程是否稳定（处于统计受控状态）时；·当你分析过程变异来源是随机性（偶然事件）还是非随机性（过程本身固有）时；·当你决定怎样完成一个质量改进项目时——防止特殊问题的出现，或对过程进行基础性的改变。
文章编号:1002—1566(2002)06—0045—04固定时间域可变采样间隔的统计控制图Ξ张 航, 阳宪惠(清华大学自动化系,北京 100084)摘 要:本文从提高统计控制图对过程波动检测能力和方便管理的角度出发,对可变采样间隔(VSI)控制图进行改进,提出了针对连续过程质量控制应用需要的固定时间域可变采样间隔(VSIFT)控制图。
文章详细介绍了VSIFT均值极差控制图、VSIFT EWMA控制图的设计,并分别评价了它们对过程异常状态的检测能力。
关键词:统计过程控制;统计控制图;异常状态检测;固定时间域可变采样间隔中图分类号:O213.1文献标识码:AV ariable sampling interval control chartwith sampling at f ixed times in continuous processZHAN G Hang,YAN G Xian2hui(Tsinghua University,Beijing 100084,China)Abstract:This paper expands the Variable Sampling Interval(VSI)control charts and brings forward the Variable Sampling Interval at Fixed Times(VSIFT)control charts,from the perspective of improving the detecting ability on process drift and convenient for management.It describes in detail the design of VSIFT X control charts and the e2 valuation to the detecting ability of VSIFT X control charts to process drift.Then it introduces the designs of VSIFT EWMA control charts,and their abilities of detecting process abnormity.K ey w ords:Statistical process control(SPC);control chart,process drift detecting;variable sampling interval(VSI); variable sampling interval at fixed times(VSIFT)1、引 言自休哈特(Shewhart)博士在1931年绘制出世界上第一张控制图以来,统计过程控制SPC (Statistical Process Control)取得了许多重要的研究进展,如各种统计分析方法、多种形式的统计控制图、统计控制图中控制限的计算、多变量统计过程控制等,并得到了广泛应用。
对采样频率的研究一直是该领域十分活跃的课题之一,如对固定采样间隔(Fixed Sampling Interval,简称FSI)下采样频率选择的研究,可变采样间隔(Variable Sampling Interval,简称VSI)的研究等。
本文作者根据统计质量控制的应用需求,提出将固定时间域可变采样间隔VSIF T (Variable Sampling Interval with Fixed Time)的统计控制图方法应用于连续生产过程,进一步丰富了对控制图采样频率研究的内容,发展了VSIF T控制图的应用。
VSI统计控制图的基本思想是根据当前的样本确定下一次的采样时间,这个时间是可变的。
因为采样的时间点不确定,采样所得的样本也无法和诸如班组交班、一个批次的加工时间这样的过程自然时间所对应。
从管理的角度而言,这种在采样间隔上的可变性就显得不是那么方便。
本文提出的基于固定时间域可变采样间隔VSIF T对VSI进行了改进,使其更加吻合过Ξ收稿日期:2001-06-21, 修改稿日期:2001-09-10程的自然时间,更方便于管理。
该方法在正常情况下对一些固定的、等间距的时间点进行采样,而在过程出现异常趋势时,允许在这些固定的点之间进行一些额外的采样。
当某次采样表明过程恢复正常运行之后,将采样时间点恢复到原来设定的固定采样时间点上。
采用固定时间域可变采样间隔而得到的控制图被称作VSIF T 控制图。
引入VSIF T 的目的,在于缩短控制图对异常状态的监测报警时间,同时方便管理。
本文将VSIF T 控制图用于连续过程的统计质量控制。
以下部分详细介绍了VSIF T 均值极差控制图的设计及其对过程异常状态检测能力的评价,并介绍了VSIF T EWMA 控制图。
2.VSIF T 均值极差控制图考察一个均值为μ,方差为σ2的正态分布的过程变量的监控问题。
Reynolds 在文献中对离散工业中均值为μ,方差为σ2的正态分布变量X (均值 x )的VSIF T 统计控制图进行了讨论。
现在,假设从t 0=0开始考察过程运行。
在此之前,过程已在受控的状态下运行一段时间,并分别获得均值μ和方差σ2的估计值^μ和^σ2。
假设为了获得这两个估计值,事先对处于受控状态的过程进行了N 次采样。
根据统计理论,有如下的公式: x =6N i =1X i /N那么,E ( x )=E (6N i =1X i /N )=6N i =1E (X i )/N =E (X )可见,用样本的平均值作为总体均值的估计值为无偏估计。
同样,对于方差的估计,有如下的公式:S 2=6N i =1(X i - x )2/(N -1)E (S 2)=N N -1×{D (X )+[E (X )]2-[D (X )N-[E (X )]2]}=D (X ) 可见,用S 2来估计总体方差也是无偏估计。
在本文中,将统计控制图的控制限设定在μ0±h^σ。
其中,μ0是变量的目标值,h 是偏离目标值的方差倍数,通常被设置为3,以获得“3σ”的控制限。
假设出于管理的需要,或者过程的特性决定了需要在固定时间点d F ,2d F ,3d F …进行采样。
那么,只要过程没有显示异常,过程将按照d F 的时间间隔进行采样。
但是,如果某次采样表明过程出现了异常,将会在这些固定的时间点之间增加额外的采样。
假设在固定采样点之间的时间间隔被平分成了η个长度为d 1的子区间,使得在d F 的内部出现了d 1、2d 1…(η-1)d 1总共η-1个可能的采样点。
例如,如果d F =8分钟,η=4,那么每8分钟,总会进行一次采样,但是如果某一次采样表明过程出现了较为明显的波动(不一定是异常),那么在这次采样进行了2两分钟之后将会有一次额外的采样(d 1=d F /η=2)。
对η的选择(或者对d 1的选择),往往依赖于在实际情况下,进行了一次采样之后,还要多久才能进行下一次采样。
为了确定在什么情况下,需要增加额外的采样,可将控制限之间的区域分成区域D 1和D 2,其中:D 1=[μ0-h^σ,μ0-g^σ]∪〔μ0+g^σ,μ0+h^σ〕D 2=[μ0-g^σ,μ0+g^σ],其中0≤g ≤h 。
对于第K 次的采样,决策规则如下:i.如果X k 超出了控制限,那么就发出过程异常信号;ii.如果X k ∈D 1,那么再经过长度为d 1的时间进行第k +1次采样iii.如果X k∈D2,那么下一次采样的时间就是下一个固定的采样时间。
根据从炼油过程获得的某一位号的过程数据,绘制的VSIF TX控制图如图1所示。
其中,d F=8分钟,η=4,μ0=706,^σ=12.5603,h=3,g=1.5。
图中标出了17个采样点。
第32分钟所获得的采样值落在了区间D2,因此下一次采样是在8分钟以后,即下一个固定采样时刻第40分钟进行的。
但是第40分钟所得到的采样值落在了区间D1,因此紧接着的这次一采样选择了两分钟之后,即第42分钟。
因为第42分钟得到的采样值又回到了区间D2,因此下一次采样时间又回到了固定的采样时刻第48分钟。
对于VSIF T控制图的性能,Reynolds等人在文献中给出了评价指标,并对VSIF T均值极差控制图与FSIX控制图的性能进行了比较。
根据文献中所给出的数据,可以得出如下结论:在VSIF T控制图使用与FSI控制图相同的d F的条件下,VSIF T控制图能够提供比FSI快得多的故障检出能力;在VSIF T控制图所采用的d F为FSI的两倍的条件下,选取适当的η,可以获得与FSI大致相同的检出能力,但是大大减少了采样次数。
图1.VSIF T均值极差控制图3.VSIF T EWMA控制图在某些过程中,检测过程参数的微小波动往往是非常重要的。
为此,人们提出了EWMA 图,这种控制图对于过程参数的微小波动能够提供比传统的休哈特图快得多的检测能力。
用来监视过程均值的EWMA控制图在图上标注的是当前和过去采样值的指数平均值所构成的控制统计量。
在k次采样的时候,这个控制统计量Y k,可以用X k和Y k-1表示如下:Y k=(1-λ)Y k-1+λX k 其中,λ是这个控制图的平滑常数,并且0<λ≤1。
λ的值决定了当前这次采样的权重,并且这个参数决定了控制图检测不同的过程参数波动的能力。
较小的λ比较适合于检测较小的过程波动,较大的λ比较适合于检测较大的过程波动。
如果Y K落在了控制限μ0±hσY,其中,σY=λ/(2-λ)σx是Y K的方差,控制图就发出过程异常的信号。
为了应用VSIF T控制图,把D1和D2和设置成如下:D1=[μ0-hσY,μ0-gσY]∪(μ0+hσY,μ0+gσY)D2=[μ0-gσY,μ0+gσY] 对于VSIF T EWMA控制图,我们令P1为采样点落在D1区间的概率。
不能简单地用P r (Y k∈D1)来表示P1。
虽然X的概率分布可以假定为正态分布,但是对于Y k的分布却不能得出这样的结论,因为Y k的分布往往是随着k的变化而变化的,并且相邻的两个Y k值并不是相互独立的。
因此,对于VSIF T EWMA控制图而言,用VSIF T均值极差控制图中所使用的指标来衡量VSIF T EWMA控制图的性能就是不可能的了。
Reynolds(1996)提出了用Markov 过程方法来计算VSIF T EWMA控制图的A TS,并且指出,VSIF T EWMA控制图在检测过程波动的能力上,所需要的平均时间要少于FSIEWMA控制图,与VSI EWMA控制图大致相等。
但是,它相对于VSI EWMA控制图而言,优势在于方便管理。
