第七单元 三角形第23课时 等腰三角形

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第23课时 等腰三角形
(60分)
一、选择题(每题6分，共30分)

1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是 (B)
A．80° B．80°或20°
C．80°或50° D．20°
2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点
D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为 (A)
A．40° B．45° C．60° D．70°
【解析】 ∵AE∥BD，
∴∠CBD＝∠E＝35°，

∴∠CBA＝70°，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，
∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.
3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，
∠ABC＝72°，则∠ABD＝ (B)
A．36° B．54°
C．18° D．64°
【解析】 ∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠A＝36°，

图23－1
图23－2
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∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°－36°＝54°.
4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平
分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交
AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN.
∵MN＝ME＋EN，
∴MN＝BM＋CN.
∵BM＋CN＝9，
∴MN＝9，故选D.
5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段
AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，
则BC的长为 (C)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
【解析】 ∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，

图23－3
图23－4
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∵△BCN的周长是7 cm，
∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，
∴AN＋NC＋BC＝7(cm)，
∵AN＋NC＝AC，∴AC＋BC＝7(cm)，
又∵AC＝4 cm，∴BC＝7－4＝3(cm)．
二、填空题(每题6分，共30分)
6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC中，AB＝AC，AD
⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是
__20__.
7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时
候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣
服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠
AOB＝60°，如图23－6②，则此时A，B两点之间的距离是__18__cm.

图23－6
【解析】 ∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18 cm.
8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，
DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝__15__°.
【解析】 ∵DE垂直平分AB，

图23－5

图23－7
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∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°－40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.
9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB
与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°
__.

图23－8 图23－9
10．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点
A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.
三、解答题(共8分)
11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，
BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：
△BED≌△CFD.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，

图23－10
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∴∠DEB＝∠DFC.
又∵BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)．
(20分)
12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，
连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.
以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作

为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.
(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)
__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；
(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)
解：(2)选择①③⇒②，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE.
13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，
AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.
求证：(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD.
证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，
∴∠CFD＝∠B，

图23－11
图23－12
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∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠B，
在△AEF与△CEB中，






∠AFE＝∠B，

∠AEF＝∠CEB，
AE＝CE，

∴△AEF≌△CEB(AAS)；
(2)∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∴AF＝2CD.
(12分)
14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D在等边三角形ABC的边AB上，
点F在边AC上，连结DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.
求证：AD＝CE.

图23－13
证明：如答图所示，作DG∥BC交AC于G，则∠DGF
＝∠ECF，
在△DFG和△EFC中，

第14题答图
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




∠DGF＝∠ECF，

∠DFG＝∠EFC，
FD＝EF，

∴△DFG≌△EFC(AAS)，
∴GD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝GD，
∴AD＝CE.