人教版八年级数学上册第十三章 等腰三角形中的常见证明思路专项练习

13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB 的长为 。

2．在△ABC 中，∠A=90°，BD 为角平分线，DE ⊥BC 于E ，且E 恰为BC 中点，则∠ABC 等于 。

3．等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上中线把其周长分成两部分之差为3cm ，则腰长为 。

4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为 。

5．△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= 。

6．等腰三角形底角的一个外角为100°，则它的顶角为 。

7．如图（2），AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，若∠D=136°，则∠DCA= 。

8．如图（3），在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D 、C 、B 、EABCDE图（1）DABC 图（2）ABCDE图（3）在一条直线上，且D B=AB ，CE=AC ，则∠E= ， ∠D= ，∠DAE= 。

9．如图（4），已知∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，则∠MAB 的度数为 。

10．等腰三角形的周长为24cm ，其中一边长为7cm ，则另外两条边为 。

二、解答题1．如图（5），△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ，求∠EDF 的度数。

2．如图（6），在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AD=AC ，DF ⊥AB 于D ，交BC 于F 。

求证：BD=CF 。

OA B M 图（4）ABD FE图（5）ABDCF图（6）3．如图（7），△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交BC 于F 。

2020年秋⼈教版⼋年级数学上册第13章《等腰三⾓形应⽤》（讲义、随堂测试、习题及答案）⼈教版⼋年级数学上册第13章等腰三⾓形应⽤（讲义）课前预习1.直⾓三⾓形全等的判定定理：_________________________．2.线段垂直平分线上的点到_____________________________．3.⾓平分线上的点到___________________________________．4.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．知识点睛1.垂直平分线相关定理：①________________________________________________；②到⼀条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．已知：如图，P A=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：2.⾓平分线相关定理：PB①________________________________________________；②在⼀个⾓的内部，到⾓的两边距离相等的点在这个⾓的平分线上．已知：如图，点P 在∠AOB 内部，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，且PC =PD ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：3. 在等腰三⾓形中，_________________，________________，______________重合（也称“__________”），这是等腰三⾓形的重要性质．若在⼀个三⾓形中，当中线，⾼线，⾓平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________．精讲精练1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内⼀点，且OB =OC ．求证：直线AO 垂直平分线段BC ．2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ．∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的⼤⼩．C B OAMNPCBOA3. 如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠F AC ．4. 已知：如图，AD 是△ABC 的⾓平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的⾼．求证：AD 垂直平分EF ．OF EDA FE D C A5. 如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，AE =AC ，连接CE ，点G 为EC 的中点，连接AG 并延长交BC 于D ，连接ED ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于F ．求证：EC 平分∠DEF ．6. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．G FE C AOEDC BA7.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，若CE=5cm，求BD8.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CE平分∠ACB，交AB于E，且AE=BE．A求证：BC=CD．EBCD9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或AC上取⼀点P，使△ABP是等腰三⾓形，符合条件的点P有________个．BC10.如图所⽰的正⽅形⽹格中，⽹格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三⾓形，则符合条件的点C 有________个．【参考答案】课前预习1．SAS，SSS，ASA，AAS，HL2．这条线段的两个端点的距离相等3．这个⾓的两边的距离相等4．这样的点有4个知识点睛1．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2．⾓平分线上的点到这个⾓的两边距离相等3．顶⾓的平分线底边上的中线底边上的⾼三线合⼀等腰三⾓形1.证明略（提⽰：利⽤等腰三⾓形“三线合⼀”）2. 55°，证明略3. 证明略（提⽰：过点E 作EM ⊥BF 于M ，EN ⊥BD 于N ，EP ⊥AC 于P ，证EP =EM ）4. 证明略（提⽰：利⽤等腰△DEF “三线合⼀”，证明AD 垂直平分EF ）5. 证明略6. 证明略（提⽰：连接BC ，证△ABC 是等边三⾓形）7. BD =10 cm （提⽰：延长BA 交CE 的延长线于F ，先证△BCF 是等腰三⾓形，再证△ADB ≌△AFC ）8. 证明略（提⽰：过点E 作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BC 于G ，证明△ABC 是等腰三⾓形） 9. 6个，作图略（两圆⼀线） 10. 8个，作图略（两圆⼀线）等腰三⾓形应⽤（随堂测试）1. 如图，D 为△ABC 内⼀点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ．若AC =5，BC =3，则BD 的长为___________．2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AE =DE ，DF ⊥AB于点F ，DG ⊥AC 于点G ，且DF =DG ．求证：DE ∥AB ．AB CDGFE A B DC【参考答案】1．12．证明略（提⽰：连接AD ，证明AD 是∠BAC 的⾓平分线，再根据等腰对等⾓倒⾓相等，最后根据内错⾓相等，得到两直线平⾏）等腰三⾓形应⽤（习题）例题⽰范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ．求证：DE =DF ．【思路分析】①读题标注：要证DE =DF ，考虑把这两条线段放在两个三⾓形中证全等．观察图形，可以放在△BDE 和△CDF 中，发现有两边对应相等，考虑找夹⾓．结合题中条件，AD 既是⾓平分线⼜是中线，三线中有两线重合，考虑证明△ABC 是等腰三⾓形，需利⽤倍长中线进⾏证明（见中线，要倍长），进⽽得到∠B =∠C ，再证明△BDE ≌△CDF 即可．【过程书写】证明：如图，延长AD 到点G ，使DG =AD ，连接CG ．∵BD =CD ，∠ADB=∠GDC ∴△ADB ≌△GDC （SAS ）∴AB =GC ，∠1=∠G∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2∴∠2=∠G ∴AC =GCE ACD F∴AB =AC∴∠B =∠ACD ∵BE =CF∴△BDE ≌△CDF （SAS ）∴DE =DF巩固练习1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的⼀点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别为C ，D ，连接CD ．求证：OP 是CD 的垂直平分线．2. 已知：如图，△ABC 的外⾓∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ．求证：点F 在∠DAE 的平分线上．P O DCBAFEDCB A3. 已知，如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ．求证：∠2=∠1+∠B ．4. 已知：如图，在等边三⾓形ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上⼀点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂⾜为M ．求证：BM =EM ．5. 已知：如图，在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，E 是BC 上⼀点，MDA21D CB A连接AD ，AE ，DE ．求证：∠EAD =∠EDA ．6. 在已知直线l 上找⼀点C ，和直线外的A ，B 两点组成⼀个等腰三⾓形．⼀共可以画出⼏个符合条件的等腰三⾓形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．思考⼩结1. 要证两条线段相等，如果放在⼀个三⾓形中考虑证________；如果放在两个三⾓形中考虑证全等． 2. 常见的条件组合搭配：l4321E CB A【参考答案】1.证明略（提⽰：利⽤等腰△CDP三线合⼀）2.证明略（提⽰：作射线AF，过F作FH⊥AD于H，作FM⊥BC于M，作FG⊥AE于G，利⽤⾓平分线定理②证明AF平分∠DAE）3.证明略（提⽰：利⽤两线重合构造等腰三⾓形，然后利⽤外⾓定理倒⾓）4.证明略（提⽰：连接BD，证明△BDE是等腰三⾓形）5.证明略（提⽰：证明△ABC≌△DBC，说明直线BC是线段AD的垂直平分线，进⽽得到EA=ED，∠EAD=∠EDA）6.5个，作图略（两圆⼀线）思考⼩结1.等腰2.这条线段两个端点的距离相等这个⾓的两边的距离相等三线合⼀等腰三⾓形斜边的⼀半等于斜边的⼀半。

等腰三角形的判断我预学：1．请你在纸上画一个等腰三角形ABC（如图），使得AB=AC．（1）请你判断一下∠B与∠C有什么大小关系呢？你的依照是什么？（2）请你再深入地思虑一个问题：若只知道∠B与∠ C相等，请你判断一下这个三角形是什么形状的呢？并说明你的探究思路．（3）由第（ 2）题你会获得一个什么结论呢？请用一句话归纳出来．2.已知 AB=AD, ∠ABC=∠ADC，说明 BC=CD的原因.下边是小明同学对这个题的说理过程，仔细的小慧发现了他的错误，请你指出小明的错误，并试着在预习完新课后写下你以为正确的方法 .我求援：预习后，你也许有些疑问，请写在下边的空白处：我梳理在一个三角形中，有一组相等，即：等腰三角形在一个三角形中，有一组相等一组相等，个性反省：经过本节课的学习，你必定有好多感想和收获，请写在下边的即：等腰三角形空白处：我达标1.在△ABC中，∠A的相邻外角是 110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= .2.如图， AB=AC，BD均分∠ABC，且∠C=2∠A，则图中等腰三角形共有个.3.如图，已知 D、E是 BC边上的点，且 BD=CE，以下条件不可以判断△ABE≌△A CD的是（）A．AB=AC B.AD=AEC. BE=CDD.∠BDA=∠CEA4. 以下说法正确的有（）①等角平等边；②等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的 2 倍；③过等腰三角形一腰上的点作底边的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形；④过等腰三角形底边上的点作一腰的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形.A..1 个B.2个C.3个D.4个5.如图，AC、 BD订交于点 O，AB∥C D，且 OA=OB，请说明 OC=OD的原因.6. 如图，在△ABC中，∠B和∠C的均分线订交于点O，且 OB=OC，请说明 AB=AC的原因.AO 我挑战7. （ 1）已知：OD均分∠AOB，ED∥OB. 请说明：EO=ED.B C（2）已知：OD均分∠AOB，EO=ED.请说明：ED∥OB.（ 3）已知：ED∥OB，EO=ED.请说明：OD均分∠AOB.知识链接：该图形是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角均分线、平行线、等腰三角形”这三者中如有二者必有第三，娴熟这个结论，对解决含有这个基本图形的较复杂的题目是很有帮助的.8.如图，在△ ABC中，已知∠ B 和∠ C的均分线订交于点 F，过Ｆ作 DE∥ BC，交 AB于点 D，交 AC于点 E，若 BD+CE=9，则线段 DE的长为（）.(A) 9(B) 8(C) 7(D) 69.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE均分∠ADB，DF均分∠ADC，且 EF∥BC，若 EF交 AD于 M，EF=12，则DM=.我登峰10．如图，已知在△ABC中，在AB上取一点D，又在AC延伸线上取点 E，使 CE=BD，连接 DE交 BC于点 G，有 DG=GE，试说明：AB=AC.等腰三角形的判断1．70°或 40°或 55°2．33．C4．C 5. 略6．略7．略8．A9 ．6 10．提示过D作 DF∥AE交 BC于点 F。

人教版八年级上第十三章等腰三角形同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．等腰三角形一边长为5，另一边长为7，则周长为__________.2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，以AC 为边，作△ACD ，满足AD=AC ，点E 为BC 上一点，连接AE ，2△BAE=△CAD ，连接DE ．若BE =a ，CE=b ，则DE =____（用含a 、b 的代数式表示）．4．如图，△ABC 中，∠B =75°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为______．5．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果45CDE ∠=︒，那么∠BAF 的度数为______．6．如图，AB =BC =CD ，AB ∠BC ，∠BCD =30°，则∠BAD =________°．7．在正方形ABCD 中，5AB =，点E 、F 分别为AD 、AB 上一点，且AE AF =，连接BE 、CF ，则BE CF +的最小值是______．二、单选题8．若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为（ ）A ．9B ．14C ．18D ．229．如图，ABC AED ≌△△，点D 在BC 边上．若∠EAB ＝50°，则∠ADE 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．30°10．如图，AB 过半∠O 的圆心O ，过点B 作半∠O 的切线BC ，切点为点C ，连接AC ，若∠A ＝25°，则∠B 的度数是（ ）A ．65°B ．50°C ．40°D ．25°11．如图，直线a b ∥，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，240∠=︒，则1∠的度数为（）A．80︒B．70︒C．60︒D．50︒12．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个．A．5B．6C．8D．9三、解答题13．如图，在ABC中()<，过点C作CD ABAB BC=，CB上∥，在CD上截取CD CB、．截取CE AB=，连接DE DB(1)求证：ABC ECD△△；≌△的面积．(2)若90,3,A AB BD∠=︒==BCD14．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF AD∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．15．已知：如图，AB CD ，点E 在AC 上．求证：A CED D ∠=∠+∠．参考答案：1．17或19【分析】先确定第三边的取值范围，再确定第三边的长，最后求周长即可．【详解】∠7-5＜第三边＜7+5，∠2＜第三边＜12，∠该三角形是等腰三角形，∠第三边为5或7，∠周长为5+5+7=17或5+7+7=19，故答案为：17或19．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和对等腰三角形的认识，解题关键是理解题意，确定第三边的取值．2．垂直平分线垂直平分线【分析】根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．据此填空．【详解】解：根据轴对称的性质，可得如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，故答案为：垂直平分线，垂直平分线．【点睛】本题主要考查轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．3．2a+b##b+2a【分析】延长EB至G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明∠GAC∠∠EAD，则DE=CG，即可求解．【详解】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，∠∠ABC=90°，∠AB∠GE，∠AB 垂直平分GE ，∠AG =AE ，∠GAB =∠BAE =12∠DAC ， ∠2∠BAE =∠GAE ，∠∠GAE =∠CAD ，∠∠GAE +∠EAC =∠CAD +∠EAC ，∠∠GAC =∠EAD ，在∠GAC 与∠EAD 中，AG AE GAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠GAC ∠∠EAD （SAS ），∠DE =CG ，∠BE =a ，CE=b ，∠DE =CG =CE +GE =CE +2BE =2a +b ，故答案为：2a +b ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE ，是本题的突破口，也是常用方法．4．45°##45度【分析】根据内角和定理求得∠BAC =75°，由中垂线性质知DA =DC ，即∠DAC =∠C =30°，从而得出答案．【详解】解：在△ABC 中，∠∠B =75°，∠C =30°，∠∠BAC =180°-∠B -∠C =75°，由作图可知MN 为AC 的中垂线，∠DA =DC ，∠∠DAC =∠C =30°，∠∠BAD =∠BAC -∠DAC =45°，故答案为：45°．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．15︒##15度【分析】由题意可确定DE AF ∥，30ABC ∠=︒，再根据平行线的性质和三角形外角的性质即可解答．【详解】由题意可知DE AF ∥，∠45AFC CDE ∠=∠=︒．由含30°角的三角板的特点可知：30ABC ∠=︒，∠15BAF AFC ABC ∠=∠-∠=︒．故答案为：15︒【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中的角度计算．利用数形结合的思想是解题关键．6．15【分析】把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，可得∠CDE 是等边三角形，从而得到DE =CD =CE ，∠DEC =60°，再由∠BCD =30°，可得BC ∠DE ，然后根据AB =BC =CD ，可得BC =CE ，AB =DE ，从而得到()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到∠BED =15°，再证得四边形ABED 是平行四边形，即可求解．【详解】解：如图，把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，∠∠DCE =60°，CD =CE ，∠∠CDE 是等边三角形，∠DE =CD =CE ，∠DEC =60°，∠∠BCD =30°，∠∠BCE =30°，∠∠BCD =∠BCE ，∠BC ∠DE ，∠AB =BC =CD ，∠BC =CE ，AB =DE ，∠()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒， ∠∠BED =∠BEC -∠DEC =15°，∠AB ∠BC ，∠AB ∠DE ，∠四边形ABED 是平行四边形，∠∠BAD =∠BED =15°．故答案为：15【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．7．【分析】如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，先证明∠ABE ∠∠ADF 得到BE =DF ，则BE D F '=，从而推出当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，由此求解即可．【详解】解：如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，∠D F DF '=，AD AD '=，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB =AD =CD ，∠ADC =90°，又∠∠F AD =∠EAB ，AF =AE ，∠∠ABE ∠∠ADF （SAS ），∠BE =DF ，∠BE D F '=，∠BE CF CF D F '+=+，∠当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，在Rt ∠D DC '中，CD '故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．8．C【分析】根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，即可确定三角形的周长的取值范围．【详解】解：设三角形的第三边为x，∠三角形的两边长分别为4和7，∠7-4<x<7+4，即：3<x<11，∠3+4+7<x+4+7<11+4+7，即：14 <x+4+7<22，符合条件的只有C选项，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系以及不等式的性质1，熟练地掌握三角形三边之间的关系和不等式的性质1是解题的关键．9．C【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．【详解】解：∠ABC∠∠AED，∠∠BAC＝∠EAD，∠∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD，∠∠DAC＝∠EAB＝50°，∠AD＝AC∠∠ADC＝∠C＝∠ADE＝118065 2DAC︒-∠=︒（）故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∠BC与半∠O相切于点C，∠∠OCB＝90°，∠∠A＝25°，∠OA＝OC，∠∠A＝∠OCA，∠∠BOC＝2∠A＝50°，∠∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．11．A【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【详解】解：∠∠ABC为等边三角形，∠∠A＝60°，∠∠A＋∠3＋∠2＝180°，∠∠3＝180°−40°−60°＝80°，∥，∠a b∠∠1＝∠3＝80°．故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．12．C【分析】分别以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P 的位置．【详解】解：如图，以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA 的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，综上所述，满足条件的点P 有8个．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．13．(1)证明见解析(2)10ACD S =【分析】（1）根据AB CD ∥，可以得到ABC ECD ∠=∠，即可用SAS 证明得出结论； （2）根据全等三角形的性质，可以得到90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，则3CD BC x ==+，因为在Rt BED △中，222DE BD BE =-，而在Rt CED 中，222DE CD CE =-，即可列出方程求出三角形的面积．（1）证明：∠AB CD ∥∠ABC ECD ∠=∠又∠,AB CE BC CD ==∠()ABC ECD SAS ≌；（2）由（1）ABC ECD ≌△△， ∠90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，∠3AB CE ==，则3CD BC x ==+，在Rt BED △中，222DE BD BE =-，在Rt CED 中，222DE CD CE =-，∠2222BD BE CD CE -=-，即2222(3)3x x -=+-，整理得：23100x x +-=，解得：122,5x x ==-（舍去），∠2BE =，∠4DE ==，235BC BE CE =+=+=， ∠11541022ACD S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．14．(1)见详解 (2)254【分析】（1）先证明四边形ADFM 是矩形，得到AD =MF ，∠AMF =90°=∠MFD ，再利用MN ∠BE 证得∠MBO =∠OMF ，结合∠A =90°=∠NFM 即可证明；（2）利用勾股定理求得BE =10=MN ，根据垂直平分线的性质可得BO =OE =5，BM =ME ，即有AM =AB -BM =8-ME ，在Rt ∠AME 中，222AM AE ME +=，可得222(8)6ME ME -+=，解得：254ME =，即有254BM ME ==，再在Rt ∠BMO 中利用勾股定理即可求出MO ，则NO 可求．（1） 在正方形ABCD 中，有AD =DC =CB =AB ，∠A =∠D =∠C =90°，BC AD ∥，AB DC ∥，∠MF AD∥，∠A=∠D=90°，AB DC∥，∠四边形ADFM是矩形，∠AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∠∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∠MN是BE的垂直平分线，∠MN∠BE，∠∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∠∠MBO=∠OMF，∠90NFM AMF ABOMF MBO⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABE∠∠FMN；（2）连接ME，如图，∠AB=8，AE=6，∠在Rt∠ABE中，10==BE，∠根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∠MN是BE的垂直平分线，∠BO=OE=12BE=5，BM=ME，∠AM=AB-BM=8-ME，∠在Rt∠AME中，222AM AE ME+=，∠222(8)6ME ME-+=，解得：254 ME=，∠254 BM ME==，∠在Rt ∠BMO 中，222MO BM BO =-，∠154MO ==， ∠ON =MN -MO =15251044-=． 即NO 的长为：254． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．15．见解析【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可.【详解】解：在CDE △中，∠180C CED D ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理），∠180CED D C ∠+∠=︒-∠（等式的性质），又∠//AB CD （已知），∠180A C ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∠180A C ∠=︒-∠（等式的性质），∠A CED D ∠=∠+∠（等量代换）．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。

人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）； （2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）； （3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ． 证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。

人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称之等腰三角形专题拓展练习（含答案）例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

E分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。

因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝∠ACB ，所以2121∠1＝∠E ，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点所以∠1＝∠ABC 21又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E所以∠ACB ＝2∠E即∠1＝∠E所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例2. 如图，已知：中，，D 是BC 上一点，且，ABC ∆AC AB =CA DC DB AD ==，求的度数。

BAC ∠ A B CD 解：因为，所以AC AB =CB ∠=∠ 因为，所以；DB AD =C DAB B ∠=∠=∠ 因为，所以（等边对等角）CD CA =CDA CAD ∠=∠ 而DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以BDAC B ADC ∠=∠∠=∠22， 所以B3BAC ∠=∠又因为 180=∠+∠+∠BAC C B 即 所以 180B 3C B =∠+∠+∠36B =∠即求得108BAC =∠ 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。

把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。

本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。

2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。

例3. 已知：如图，中，于D 。

求证：ABC ∆AB CD AC AB ⊥=，。

专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！一．解答题（共50小题）1．（2022秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC 于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．2．（2022秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．3．（2022秋•林州市期末）已知△ABC的两边长a和b满足√a−9+（b﹣4）2＝0．（1）若第三边长为c，求c的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．4．（2022秋•河东区校级期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB 与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．5．（2022秋•武冈市期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O 点．（1）求证：EO＝BE；（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．6．（2022秋•盘龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．BC，若D是AC的7．（2022秋•大石桥市期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．8．（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC中点，连接AF．（1）直接写出∠BAE的度数为；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．9．（2022秋•宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．10．（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．11．（2022秋•台江区期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．12．（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB 的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．13．（2022秋•平房区期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．14．（2022秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．15．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B 出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A 同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQ∥BC？16．（2022秋•清江浦区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？17．（2022春•渠县校级期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．18．（2022秋•北仑区期中）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式．19．（2022秋•余干县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求证：BC＝DC．20．（2022春•焦作期末）如图，在等边三角形ABC中∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F．小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．21．（2022秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD＝°时，△BED是等边三角形．22．（2022春•梅州校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；（2）设AD＝x，CF＝y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．23．（2022秋•阳新县校级期末）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1点D为AC 上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD＝n，（1）当n＝1时，则AF＝；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH＝AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．24．（2022•宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．25．（2022秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠P AB＝15°，点C关于直线P A的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：∠BAP＝∠CAH．26．（2022春•本溪县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．27．（2022秋•澧县期末）如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B 处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B处与灯塔C距离．28．（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．29．（2022春•嵩县期末）如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．30．（2022秋•沂南县期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF 交AD于点O．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．31．（2022秋•张家港市校级期末）如图：AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，用轴对称图形说明：CD＝AB+BD．32．（2022春•锦江区校级期末）操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在△ABC中，AB＝AC．试说明∠B＝∠C的理由；探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD．（1）BE与AD是否相等，为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．33．（2022•海丰县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）34．（2022春•余杭区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，BC．E为BC延长线上一点，且CE=12（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．35．（2022•白城校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝；（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，请说明理由．36．（2022秋•乐亭县期末）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．37．（2022秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．38．（2022秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE ＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．39．（2022春•静安区校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．40．（2022秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．41．（2022秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE＝DF；BC．（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF=14AE，则CF＝BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝BC．（3）如图（3），若BE=1342．（2022春•峄城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）若CD＝2，求DF的长．43．（2022秋•红山区期末）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．44．（2022•南京模拟）数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几对全等三角形？丁图中有几对等边三角形？45．（2022秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．46．（2022•南京模拟）如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC 交AB于E，已知AE＝10cm，求PD的长度．47．（2022春•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．48．（2022秋•龙华区期末）如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C 在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BCF的度数．49．（2022春•电白区期末）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则（1）BP＝cm，BQ＝cm．（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？50．（2022•南京模拟）如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF．（1）试说明△DEF是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．。

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（最新精品同步练习题）13.3等腰三角形基础巩固1.（知识点2）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A=50°，∠B=80°C.AB=AC=2，BC=4D.AB=3，BC=7，周长为102.（题型一）如图13-3-1，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（）图13-3-1A.120°B.125°C.130°D.140°3.（知识点1）如图13-3-2，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β.若α=10°，则β的度数是（）图13-3-2A.40°B.50°C.60°D.不能确定4.（知识点3）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所组成的三角形是（）2A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5.（知识点3）如图13-3-3，M，N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN，则∠BAN= .图13-3-3 图13-3-46.（知识点1）如图13-3-4，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA＝BD，∠DAC＝12∠B，∠C＝50°，则∠BAC的度数为 .7.（题型一）如图13-3-5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °.图13-3-5 图13-3-68.（知识点2）如图13-3-6，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm.9.（知识点1）如图13-3-7，在△ABC中，AB=AC，BE=EC.求证：∠ABE=∠ACE.图13-3-710.（知识点1）如图13-3-8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，E 是AC的中点，连接DE，DF⊥AB于点F.求证：∠BDF=∠ADE.（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）图13-3-8能力提升。

八年级数学上册：等腰三角形的判定定理及推论练习（含答案）一．选择题（共8小题）1．如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个 C．7个 D．8个第1题第2题第4题7．如图,坐标平面内一点A（2,﹣1）,O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为（）A．2 B． 3 C． 4 D． 53．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．6种5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C．AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为136．下列说法中：（1）顶角相等,并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等,且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等,且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A．1,2,1 B．2,2,1 C．1,3,1 D． 2,2,58．已知：如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④ B．①②③④C．①②④ D．①③二．填空题（共10小题）9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,底边用了10根,则一腰至少要用_________ 根火柴．10．如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD= _________第10题第11题第14题第18题11．如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE经过点M,且DE∥BC,则图中有_________ 个等腰三角形．12．在△ABC中,与∠A相邻的外角是100°,要使△ABC是等腰三角形,则∠B的度数是_________ ．13．在△ABC中,∠A=100°,当∠B= _________ °时,△ABC是等腰三角形．14．如图,在△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,则∠1=_________ 度,图中有_________ 个等腰三角形．15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0,则△ABC的形状是_________ ．16．如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________ 三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形,这样的等腰三角形一共可以围攻成_________ 种．18．如图,已知AD平分∠EAC,且AD∥BC,则△ABC一定是_________ 三角形．三．解答题（共5小题）19．如图,在△ABC和△DCB中,AC与BD相交于点O．AB=DC,AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________ ．（直接写出结论,不需证明）20．已知：如图,OA平分∠BA C,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．21．如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的一点,BE与CD交于点O,给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中,哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件,试说明△ABC是等腰三角形．22．如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．23．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,连接AC,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD 和B′C相交于点O,连接BB′．（1）求证：△ABC≌△CDA．（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等,请说明理由．答案：一、DCDCBABA二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三、19、（1）证明：在△ABC和△DCB中,∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）解：∵△ABC≌△DCB,∴∠OBC=∠OCB．∴OB=OC．∴△OBC为等腰三角形．故填等腰三角形．20、解答：证明：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB ．∴AB=AC ．∴△ABC 是等腰三角形．21解：（1）①③,①④,②③和②④；（2）以①④为条件,理由：∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB ．又∵∠DBO=∠ECO,∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形．22解：△ABC 中∵AB=AC,∠A=36°∴∠B=∠ACB=21（180°﹣∠A ）=72° ∵CD 平分∠ACB∴∠DCB=21∠ACB=36° 在△DBC 中∠BDC=180°﹣∠B ﹣∠DCB=72°=∠B∴CD=CB即△BCD 是等腰三角形．23、解：（1）证明：∵AB ∥CD,AD ∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∠ACD=∠BAC,在△ABC 和△CDA 中,,∴△ABC ≌△CDA （ASA ）；（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC,△ABB′,△CBB′；∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,∴△AB′C≌△ABC,∴∠ACB=∠ACB′,AB=AB′,即△ABB′为等腰三角形,∴∠DAC=∠ACB′,∴OA=OC,即△OAC为等腰三角形,∵CB=CB′,∴△CBB′为等腰三角形；（3）△AB′O≌△CDO,理由为：证明：∵△AB′C≌△ABC,且△ABC≌△CDA,∴△AB′C≌△CDA,∴B′C=DA,AB′=CD,又OA=OC,∴DA﹣OA=B′C﹣OC,即OB′=OD,在△AB′O和△CDO中,,∴△AB′O≌△CDO．。

等腰三角形的判定方法及典例1、利用定义2、根据等角对等边另外，等腰三角形还具有“三线合一〞的性质．反过来，能否借助这个说明等腰三角形？思考：①如图，假设AD平分∠BAC，AD⊥BC，那么△ABC是否是等腰三角形？〔可借助三角形三内角和相等说明∠B=∠C〕②如图，假设AD⊥BC，且D是BC中点，那么△ABC是否是等腰三角形？〔可借助“中垂线性质〞说明〕③如图，假设AD平分∠BAC，D是BC中点，那么△ABC是否是等腰三角形？〔可利用“中线倍长〞或过D作角两边的垂线来添加辅助线说明结论成立〕3、三角形中一边上的中线、高线和对角的平分线中，有两线合一，即可说明是等腰三角形．例1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠BAC的平分线为AF，AF与CD交于E．求证：△CEF是等腰三角形．证明：∵AF平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠1＋∠5=90°，∠2＋∠3=90°，∴∠3=∠5．∵∠4＝∠5，∴∠3=∠4，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形．总结：证明等腰三角形通常证明两角相等，此题还可以结合角平分线条件作垂线，再去证明等腰三角形．例2、如图，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过F作DE//BC交AB于D，交AC于E．试说明BD＋EC=DE．解：∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∵DE//BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BD=DF．同理：CE=EF，∴BD＋CE=DF＋EF=DE．总结：过角平分线上一点作角两边的垂线可以构造全等三角形，过角平分线上一点作角一边的平行线，可以得到等腰三角形，结合此题结论，还可以得到△ADE 周长=AB＋AC．例3、如图，在△ABC中，AB=AC，EF为过点A的任一直线，CF⊥BC，BE⊥BC．求证：AE=AF．证明：延长BA交CF于G．∵AB=AC，∴∠1=∠2，∵CF⊥BC，∴∠1＋∠4=∠2＋∠3=90°，∴∠3=∠4，∴AC=AG，∴AB=AG．∵BE⊥BC，CF⊥BC，∴BE//CF，∴∠E=∠F．在△BAE和△GAF中，∴△BAE≌△GAF〔AAS〕，∴AE=AF．例4、如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=FE．求证：AC=BF．证明：延长AD至G，使GD=AD，连BG．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△BGD和△CAD中，∴△BGD≌△CAD〔SAS〕，∴BG=AC，∠G=∠3．∵AE=FE，∴∠3=∠5．又∵∠4=∠5，∴∠3＝∠4．∴∠4 =∠G ，∴BG=BF，∴AC = BF．总结：通过中线倍长可以将要证明相等的线段转化到一个三角形中，再证明该三角形是等腰三角形即可．变式：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F，求证：BE＝CF＝12〔AB＋AC〕．证明：延长EM到G，使GM＝FM，连BG．∵M是BC中点，∴BM＝CM．在△BMG和△CMF中，∴△BMG≌△CMF〔SAS〕．∴CF＝BG，∠G＝∠4．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2．∵ME∥AD，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．∴∠E＝∠3．而∠3＝∠4，∴∠E＝∠4，∴∠E＝∠G．∴BE＝BG，∴BE＝CF．∵AB＝BE－AE，AC＝CF＋AF，∴AB＋AC＝BE＋CF＋AF－AE．而∠E＝∠3，∴AF＝AE．∴AB＋AC＝2BE＝2CF，∴BE＝CF＝12〔AB＋AC〕．。