八上第一、二章(等腰三角形部分)提优练习

一、经典类型题学习（一）类型一关于“构造全等”例题1、如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。

1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求证：∠C=2∠B．练习2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.类型二关于“等腰三角形”例题2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．练习2、如图，P是△ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EB＝EC，∠1＝∠2，求证：AP⊥BC。

练习3、如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.类型题三关于“角平分线”例题3、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。

问：（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。

（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。

练习4、如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC．交BC于G，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC交AC的延长线于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．练习5、如图，已知∠B=∠C=90，M是BC中点，AM平分∠DAB。

求证：DM平分∠ADC类型四“新型题型”例4、如图所示，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC ②AD＝AE；③∠B＝∠C；①BD＝CE．请以其中三个论断作为条件．余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题并证明．练习6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC．CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且 AD平分∠FAC．请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．类型五“平行线与全等”例题5.如图，AB∥CD，AD∥BC， AC,BD交于O，过O画直线EF交AD于E，交BC于F,，则图中共有几对全等三角形？并选择其中一对进行证明。

八年级数学（上）第一、二、三章培优检测题一、选择题1.在△ABC 中， ∠C =∠B ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC 中与这个角对应的角是 ( ) A ．∠B B ．∠A C ．∠C D ．∠B 或∠C2. 如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．△ACE ≌△BCD B ．△BGC ≌△AFC C ．△DCG ≌△ECF D ．△ADB ≌△CEA第2题 第4题 第7题3. 根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝64. 如图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P ′分别在边OA 、OB 上．如果要得到OP=OP ′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为（ ） ①∠OCP=∠OCP ′；②∠OPC=∠OP ′C ；③PC=P ′C ；④PP ′⊥OC ．A.①②B.④③C.①②④D.①④③5．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形.7．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°8．已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB C ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 9．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称D ．以上都不对10．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 11．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离为5，Q 是OB 上任一点，则（ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5 C．PQ ＜5 D ．PQ≤5 12．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ）A ．3cm 或5cmB ．3cm 或7cmC ．3cmD ．5cm13. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ）A. 4B. 8C. 10D. 12P AECBDBA DPO C14.小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（ ）A. 小丰认为指的是屏幕的长度B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度 15. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（ ）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形16. 一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm , 则斜边的长( ) A. 18cm B. 20 cm C. 24 cm D. 25cm 17. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( )①；，，514131===c b a ②6=a ，∠A =45°; ③∠A =320, ∠B =58°；④；，，25247===c b a ⑤.422===c b a ，，A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个18. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60° 19. 在△ABC 中，AB =12cm ，BC =16cm,，AC =20cm,，则△ABC 的面积是（ ）A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 2 20. 如图：有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm （3=π）在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）A. 10cmB. 12cmC. 19cmD. 20cm21. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A. 5、4、3、 B. 13、12、5 C. 10、8、6 D. 26、24、1022.如图，在同一平面上把三边为BC ＝3，AC ＝4、AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ） A.125 B. 135 C. 56 D. 24523. 直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，那么此三角形的周长是（ ）A. 120B. 121C. 132D. 12324．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．6cm 2 B ．8cm 2 C ．10cm 2 D ．12cm 2（22题） （25题） （27题 ） 二、填空题25.如图，AD=AE ，BE=CD ，∠1=∠2=100°，∠BAE=60°，那么∠CAE=________.26.AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边BC 的取值范围是 ； 中线AD 的取值范围是 ．27. 如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积是30cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，则DE= cm ．（20题图）BAA B D C （24题） C ′B C A28．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 29．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．30．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 31．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=72°，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠A CB 的 （31题）平分线，它们的交点为F ，则图中等腰三角形有___________个． 32．（2012•梧州）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=32°，则∠BAC= _______°． 33．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ，则∠BAC=____________． 34．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． （32题） 35. 如图，AC ⊥CE ，AD =BE =13，BC =5，DE =7，则AC = .36. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 .37. 在ΔABC 中,若AB=30,AC=26,BC 上的高为AD=24,则此三角形的周长为 .38. 已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形． 39．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2．三、解答题40．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ， 且P 到∠AOB 两边的距离相等．41. 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？42. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC 它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？（39题图） AB C DE （35题图） （36题图）2032A BAB CD7cm AC ··DOBC BAD E43. （8分）（1）已知：如图①，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=50°， （1）求证：①AC=BD ；②∠APB=50°． （2）如图②，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD间的等量关系为 ，∠APB 的大小为 .44. （8分）如图①A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE=CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，B F ⊥AC ，若AB=CD ． （1）图①中有 对全等三角形，并把它们写出来 （2）求证：BD 与EF 互相平分于G ；（3）若将△ABF 的边AF 沿GA 方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．45．等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．A C BPQ46. 如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB=2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）保持图1中△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．47．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.48．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2） 若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？东北FE A B49．CD 经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E F ，分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E F ，在射线CD 上， ①如图1，若90BCA ∠=，90α∠=，则BECF ；②如图2，若0180BCA <∠<，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，使①中的结论仍然成立，并说明理由．（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF BE AF ，，三条线段数量关系的合理猜想： ．50.如图，在等边△ABC 中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M 以3厘米/秒的速度运动． （1）如果点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动，点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动．它们同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN 和△CDM 是否全等？请说明理由． ②当两点的运动时间为多少时，△BMN 是一个直角三角形？（2）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都顺时针沿△ABC 三边运动，经过25秒点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度 是 厘米/秒．（直接写出答案）A B C E F D D A B CEF A DF C E B （图1） （图2） （图3）图1 图2 图351.（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE 在这个角的内部，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，且AB=AC ，CF⊥AE 于点F ，BD⊥AE 于点D ．求证：△ABD≌△CAF；（2）如图2，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 都在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△AB E 、△CAF 的外角．已知AB=AC ，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF； （3）如图3，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ．点D 在边BC 上，CD=2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC 的面积为15，求△ACF 与△BDE 的面积之和．（12分）52.如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。

第一章：勾股定理一、选择题1.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、60cm 22.一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（ ） （A ） 4 （B ） 8 （C ） 10 （D ） 123.如图，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的关系是（ ）（A ）321S S S =+ （B ）232221S S S =+ （C ）321S S S >+ （D ） 321S S S <+4. 若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．（A ）3cm 2 （B ）32cm 2 （C ）33cm 2 （D ）4cm 26. 在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成 直角三角形的是 （ ）（A ）a=9 、b=41 、c=40 （B ）a=11 、b=12 、c=15 （C ）a ∶b ∶c=3∶4∶5 （D ） a=b=5 、c=257、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33二、填空题1.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为____________。

2. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 。

3.若正方形的面积为18cm 2，则正方形对角线长为__________cm 。

4. 一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的长为 。

B6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．7. 如下图，已知OA =OB ，那么数轴上点A 所表示的数是____________.8. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 . 10.在△ABC 中，∠C =90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．三、解答题4. 小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？7. 如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？8. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA =10km,CB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？第二章:实数一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、－2 的倒数是＿＿＿＿。

八年级上册数学第一章和第二章综合测试（本卷共三部分，120分满分，考试时间90分钟）一．选择题（共15小题，每题4分，共60分）1．（2011•贵阳）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）　A．2.5B．C．D．2．（2010•临沂）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）　A．B．C．D．3．（2010•长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）5、12、13　A．3、4、5B．6、8、10C．、2、D．4．（2010•新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）9m　A．3m B．5m C．7m D．5．（2010•铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）　A ．米B ．米C ．（+1）米D ．3米　6．（2014•巴中）要使式子有意义，则m 的取值范围是（ ）　A ．m ＞﹣1B ．m ≥﹣1C ．m ＞﹣1且m ≠1D．m ≥﹣1且m ≠1　7．（2014•重庆）在中，a 的取值范围是（ ）　A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ＞0D ．a ＜0　8．（2015•日照）的算术平方根是（ ）　A ．2B ．±2C ．D ．±　9．（2014•潍坊）的立方根是（ ）　A ．﹣1B ．0C ．1D ．±1　10．（2014•威海）若a 3=﹣8，则a 的绝对值是（ ）　A ．2B ．﹣2C ．D．﹣　11．（2013•济南）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）　A ．12mB ．13mC ．16mD ．17m12．（2002•滨州）如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（ ）105m　A．105m B．210m C．70m D．13．（2014•钦州）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）4种　A．1种B．2种C．3种D．14．（2011•安徽）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）4和5　A．1和2B．2和3C．3和4D．15．（2015•宜昌）下列式子没有意义的是（ ）　A．B．C．D．二．填空题（共5小题，每题4分，共20分）16．（2015•枣庄）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．17．（2003•吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．18．（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．19．（2015•泉州）比较大小：4 （填“＞”或“＜”）20．（2015•凉山州）的平方根是 ．三．解答题（共4小题，共40分）21．（8分）计算：|﹣4|+（﹣）0﹣（）﹣1．22．（10分）（1）计算：+（）0+|﹣1|；（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．23．（10分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）24．（12分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．八年级上册数学第一章和第二章综合测试参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2011•贵阳）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）　A．2.5B．C．D．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．解答：解：由勾股定理可知，∵OB==，∴这个点表示的实数是．故选D．点评：本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法．2．（2010•临沂）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）　A．B．C．D．考点：勾股定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．解答：解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．∴∠BDC=∠CBD=30°．∴∠BDE=90°．∴BD==4．故选：D．点评：此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．3．（2010•长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）5、12、13　A．3、4、5B．6、8、10C．、2、D．考点：勾股定理的逆定理．分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解答：解：A、32+42=52，故是直角三角形，故A选项不符合题意；B、62+82=102，故是直角三角形，故B选项不符合题意；C、（）2+22≠（）2，故不是直角三角形，故C选项符合题意；D、52+122=132，故是直角三角形，故D选项不符合题意．故选C．点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（2010•新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）9m　A．3m B．5m C．7m D．考点：勾股定理的应用．专题：应用题；压轴题．分析：为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA 交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．解答：解：连接OA，交半圆O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA==10；又OE=OB=6，所以AE=OA﹣OE=4．因此选用的绳子应该不大于4m，故选A．点评：此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．5．（2010•铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）　A．米B．米C．（+1）米D．3米考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．解答：解：Rt△ABC中，AC=1米，AB=2米；由勾股定理，得：BC==米；∴树的高度为：AC+BC=（+1）米；故选C．点评：正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．6．（2014•巴中）要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）　A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠1考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：，解得：m≥﹣1且m≠1．故选：D．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．7．（2014•重庆）在中，a的取值范围是（ ）a＜0　A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质：被开方数大于等于0，就可以求解．解答：解：a的范围是：a≥0．故选；A．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．8．（2015•日照）的算术平方根是（ ）±　A．2B．±2C．D．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．解答：解：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．9．（2014•潍坊）的立方根是（ ）　A ．﹣1B ．0C ．1D ．±1考点：立方根．专题：计算题．分析：根据开立方运算，可得一个数的立方根．解答：解：的立方根是1，故选：C ．点评：本题考查了立方根，先求幂，再求立方根．10．（2014•威海）若a 3=﹣8，则a 的绝对值是（ ）　A ．2B ．﹣2C ．D．﹣考点：立方根；绝对值．专题：常规题型．分析：运用开立方的方法求解．解答：解：∵a 3=﹣8，∴a=﹣2．∴a 的绝对值是2故选：A ．点评：本题主要考查开立方的知识，关键是确定符号．　11．（2013•济南）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）17m　A．12m B．13m C．16m D．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．解答：解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．点评：本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．12．（2002•滨州）如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（ ）105m　A．105m B．210m C．70m D．考点：勾股定理的应用；三角形的外角性质．专题：应用题．分析：连接ED，根据三角形内角与外角的关系可求出∠AED的度数，再根据勾股定理即可求出DE的长．解答：解：连接ED，可得∠AED=120°﹣30°=90°，故在Rt△BDE中，∠AED=90°，BD=210m，∠D=30°，解可得DE=105．故选A．点评：本题考查三角形的外角性质与勾股定理的应用．13．（2014•钦州）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）4种　A．1种B．2种C．3种D．考点：勾股定理的应用．专题：计算题．分析：如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．解答：解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选：C．点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键．14．（2011•安徽）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）4和5　A．1和2B．2和3C．3和4D．考点：估算无理数的大小．专题：计算题．分析：先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后计算介于哪两个相邻的整数之间．解答：解：∵16＜19＜25，∴4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，∴3＜a＜4，∴a在两个相邻整数3和4之间；故选C．点评：此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．15．（2015•宜昌）下列式子没有意义的是（ ）　A．B．C．D．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．解答：解：A、没有意义，故A符合题意；B、有意义，故B不符合题意；C、有意义，故C不符合题意；D、有意义，故D不符合题意；故选：A．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．二．填空题（共5小题）16．（2015•枣庄）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　8　．考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．解答：解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD===8．故答案是：8．点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．17．（2003•吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　49　cm2．考点：勾股定理．分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解答：解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为：49cm2．点评：熟练运用勾股定理进行面积的转换．18．（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．考点：勾股定理．专题：压轴题；规律型．分析：首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．解答：解：由勾股定理得：OP4==，∵OP1=；得OP2=；依此类推可得OP n=，∴OP2012=，故答案为：．点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．19．（2015•泉州）比较大小：4　＞　（填“＞”或“＜”）考点：实数大小比较；二次根式的性质与化简．专题：推理填空题．分析：根据二次根式的性质求出=4，比较和的值即可．解答：解：4=，＞，∴4＞，故答案为：＞．点评：本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道4=，题目较好，难度也不大．20．（2015•凉山州）的平方根是　±3　．考点：平方根；算术平方根．分析：首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．解答：解：=9，9的平方根是±3，故答案为：±3．点评：此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．三．解答题（共4小题）21．（2015•丽水）计算：|﹣4|+（﹣）0﹣（）﹣1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=4+1﹣2=3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2014•福州）（1）计算：+（）0+|﹣1|；（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．考点：实数的运算；整式的混合运算—化简求值；零指数幂．分析：（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据完全平方公式、单项式成多项式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．解答：解：（1）原式=3+1+1=5；（2）原式=x2+4x+4+2x﹣x2=6x+4，当x=时，原式=6×+4=2+4=6．点评：本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式的运算．23．（2015•娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）考点：勾股定理的应用．分析：根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．解答：解：此车没有超速．理由：过C作CH⊥MN于H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73（m），∵60千米/小时=m/s，∴=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），∴此车没有超速．点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．24．（2010•铜仁地区）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据已知条件易证明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，则DE=AF，从而进一步证明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；（2）根据直角三角形的性质可以得到CE=AC，则CE=CD，即AB是CE的垂直平分线，则BC=BD=1．再根据直角三角形的性质进一步求得AB、BE的长，则AE=AB﹣BE，结合（1）中的全等三角形，知DF=AE．解答：（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CFD=90°．∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，∴Rt△AEC≌Rt△DFC．∴CE=CF．∴DE=AF．而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，∴Rt△AFG≌Rt△DEG．∴GF=GE．（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，∴CE=AC=CD．∴CE=ED．∴BC=BD=1．又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，∴BE=BC=BD=．在直角三角形ABC中，∠A=30°，则AB=2BC=2．则AE=AB﹣BE=．∵Rt△AEC≌Rt△DFC，∴DF=AE=．点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质；用到的知识点为：直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半．。

2020 年秋浙教版八年级数学上册第 2 章特殊三角形单元提高测试卷一、选择题（共 10 题；共 30 分）1.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教 育．下列安全图标不是轴对称的是（）A. C. D.2.等腰三角形的一个内角为 70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）A. 55°，55°B. 70°，40°或 70°，55°C. 70°，40°D. 55°，55°或 70°，40° 3.如图， ΔABC 中， 垂直平分 ，垂足为 D ，交 于 E ，若 ∠B = 32° ， ，则AC = CEDE AB BC ∠C 的度数是（ ）A. °B. ° 55C. °D. ° 52 60 65 4.以下命题：（1）如果 a ＜0， b ＞0 ，那么 a + b ＜0；（2）相等的角是对顶角；（3）同角的补角 相等；（4）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等.其中真命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，下列条件中不能说明△ABC 是直角三角形的 是（ ）A. a ＝3 ， b ＝4 ， c ＝5 22 2 B. a ＝9，b ＝12，c ＝15 C. ∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3D. ∠C ﹣∠B ＝∠A6.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AE 平分∠BAC ，ED⊥AB ，则 ED 的长 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 67.如图，三角形纸片 ABC ，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD ，把△ABD 沿着 AD 翻折，得到△AED ， DE 与 AC 交于点 G ，连接 BE 交 AD 于点 F.若 DG ＝GE ，AF ＝3，BF ＝2，△ADG 的面积为 2，则点 F 到 BC 的距离为（ ）A. B. C. D. ， √552√554√554√338.如图，将长方形 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 与 交于点 O 若 ，AE = 5ABC D EF EF AC ，则 的长为（）BF = 3 A O A. B. C. D. 4√53 √5√5 2√529.如图，在 中， ∠ACB = 90° ，点 H 、E 、F 分别是边 的值为（ ）CH、 、 的中点，若 CARt △ ABC AB BC ，则EF + CH = 8 A. 3 B. 4 C. 5 D. 610.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为中线，延长 CB 至点 E ，使 BE=BC ，连结 DE ，F 为 DE 中点，连结 BF.若 AC=8，BC=6，则 BF 的长为（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 4二、填空题（共 8 题；共 24 分）△11.在等腰ABC 中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线 AD 交 BC 于点 D，E 为 AB 的中点，若 BC=12，AD=8，则 DE 的长为________.13.在中，∠C=90°，若，则的长是________．Rt△ABC AB−AC=2,BC=8AB△△14.如图，ABC 中，AB＝AC=4，以 AC 为斜边作 Rt ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB ＝30°，E、F 分别是 BC、AC 的中点，则 ED＝________.OB15.如图，以原点 O 为圆心，为半径画弧与数轴交于点A，则点 A 在数轴上表示的数为________.16.如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点 R，PS⊥AC于点 S，PR＝PS，有下列四个结论：①点 P 在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有________(填序号即可).17.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段 PQ=AB ， P ， Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AO 上运动，当 AP=________时，△ABC 和△PQA 全等．18.如图， ΔABC 中，点在边 上， ， ∠ ∠ ， 垂直于 的延长线 E 于点BEAC EB = EA 的长为________.BCA = 2 CBE CD D ， ，AC = 11，则边BD = 8 三、解答题（共 6 题；共 46 分）19.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD 是直角吗？说明理由.20.如图，在笔直的铁路上 两点相距 ， 为两村庄， ， ，CB = 14kmA, B 20km C, D DA = 8km 于 ， 于 . 现要在 上建一个中转站 ，使得 ， 两村到 站的距离DA ⊥ AB A CB ⊥ AB B AB E C D E 相等，求 的长.AE 21.如图，在△ABC 中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以 AB 为边作等边△ABD(点 C 、D 在边 AB 的 同侧)，连接 CD ，(Ⅰ)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC 的度数； (Ⅱ)当∠BAC=2∠BDC 时，请判断△ABC 的形状并说明理由； (Ⅲ)当∠BCD 等于多少度时，∠BAC=2∠BDC 恒成立。

浙教版八年级数学上册第二章特殊三角形2.3《等腰三角形的性质定理》同步练习题一、选择题1．一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为()A．20° B．30° C．80° D．120°2．等腰三角形的一个外角为140°，则顶角的度数为()A．40° B．40°或70° C．70° D．40°或100°3．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD＋CE＝9，则线段DE的长为()A. 9B. 8C. 7D. 6(第3题)(第4题)4．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100° B．80° C．70° D．50°5．等腰三角形的“三线合一”指的是()A．中线、高线、角平分线互相重合 B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合C．顶角的平分线、中线、高线互相重合D．顶角的平分线，底边上的高线、底边上的中线互相重合(第6题)6．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点．现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是()A．AC和BC，焊接点C B．AB和AC，焊接点AC．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A二、填空题7．(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝80°，则∠DAC＝40°；若BC＝6 cm，则CD＝____cm；(2)在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝2.5 cm，则BC＝5c m，∠ADB＝；(3)在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝50°，则∠BAC＝__，∠ADC＝____．8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝____．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，延长BA至点D.若∠CAE＝36°，则∠B＝_-_，∠CAD＝______．10. 在等腰三角形A BC中，AB＝AC，AD是角平分线，有下列结论：①AD⊥BC，②BD＝DC，③∠B＝∠C，④∠BA D＝∠CAD.其中正确的是________ (填序号)．三、解答题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明理由．12．如图，在△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC＝110°，求∠P AQ的度数．(第13题)13．如图，已知等腰△ABC的周长为16 cm，AD是顶角∠BAC的平分线，AB∶AD＝5∶4，且△ABD的周长为12 cm.求△ABC各边的长．(第14题)14．如图，已知D是等腰三角形ABC的底边BC上一点，它到两腰AB，AC的距离分别为DE，DF，请指出当D在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．(第15题)15．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE且∠DAB＝∠EAC，则DE∥BC吗？为什么？(第16题)16．如图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，分别以AB ，AC 为边做等边△ABE 和△ACD ，连结ED 交AB 于点F .求证：(1)BC ＝12AB ； (2)EF ＝FD .参考答案：1.D2.D3.A4.A5.D6.C7.3; 90°;100°, 90° 8. 39. ∠B ＝54°，∠CAD ＝108°．10. ①②③④11.【解】 猜想：AE 垂直平分BC ，即AE ⊥BC ，BD ＝CD.理由如下：∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△ACO(SSS)，∴∠BAO ＝∠CAO.∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．12.【解】∵PM垂直平分AB，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠B.同理，∠QAC＝∠C.∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°，∴∠P AB＋∠QAC＝70°.∵∠P AQ＝110°－(∠P AB＋∠QAC)，∴∠P AQ＝110°－70°＝40°.13.【解】设AB＝5x，则AD＝4x，AC＝5x，BC＝16－10x.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC＝12BC＝8－5x，∴5x＋4x＋(8－5x)＝12，解得x＝1.∴AB＝5x＝5，AC＝5x＝5，BC＝16－10x＝6.14.【解】当D在BC的中点时，DE＝DF.证明：当BD＝CD时，∵∠B＝∠C，∠DEB＝∠DFC＝90°，∴△DBE≌△DCF(AAS)，∴DE＝DF.15.【解】DE∥BC.理由如下：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B ＝∠C ，∠D ＝∠E.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠B ＋∠DAB ＝∠C ＋∠EAC ， ∴∠AFG ＝∠AGF ，∴∠AFG ＝12(180°－∠EAD )． 又∵∠D ＝12(180°－∠EAD )， ∴∠AFG ＝∠D ，16.【解】 (1)过点E 作EG ⊥AB 于点G . ∵△ABE 为等边三角形，∴BG ＝12AB ，∠BEG ＝12∠AEB ＝30°，BA ＝BE . ∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠BGE ＝∠BCA ＝90°，∠BAC ＝∠BEG . 在△ACB 和△EGB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BGE ＝∠BCA ，∠BEG ＝∠BAC ，BE ＝BA ，∴△ACB ≌△EGB (AAS )，∴BC ＝BG .∴BC ＝12AB . (2)∵△ACB ≌△EGB ，∴AC ＝EG .∵△ACD 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，AC ＝AD ，∴EG ＝DA .∵∠BAC ＝30°，∴∠DAF ＝∠CAD ＋∠BAC ＝90°. ∴∠EGF ＝∠DAF .在△EGF 和△DAF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EFG ＝∠DF A ，∠EGF ＝∠DAF ，EG ＝DA ，∴△EGF ≌△DAF (AAS )， ∴EF ＝FD .。

1八年级数学(上)第一章综合提优卷(时间：90分钟满分：100分)一、填空题(每空2分，共30分)1．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为_______．2．若等腰三角形一个底角的外角等于100°，则它的顶角为_________．3．若等腰三角形有一个角为40°，则另两个角的度数是__________．4．在如图的格点三角形ABC中，相等的边是________．5．如图，正方形ABCD ，△EAD为等边三角形，则∠EBC=________．6．在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，则∠B=_________．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，BC 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，则CD=_______．8．等腰三角形中有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角为________．9．在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=56°，CD=CB ，则∠ABD=________．10．等腰三角形的周长是22cm ，一边长是8cm ，则其他两边的长分别是_______．11．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足(a －b)2+(b －c)2=0，则△ABC 为_______三角形．12．在下列四个图形中：①角；②等边三角形；③线段；④平行四边形，不是轴对称图形的是________．13．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=3∠B ，则∠A=________°，∠B=______°．14．在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上，图中的全等三角形有______对．2二、选择题(每题4分，共28分)15．下列图形中对称轴条数最多的是()A ．正方形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰梯形16．等腰三角形的一边长是10cm ，另一边长是6cm ，则它的周长是()A ．26cm B ．22cm C ．16cmD ．22cm 或26cm 17．在下列说法中，错误的有()①两个全等的三角形是关于某条直线对称的；②两个全等的等腰三角形是关于某条直线对称的；③关于某直线对称的两个三角形全等；④关于某直线对称的两个三角形不一定全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．下面四个图形中，不是轴对称图形的是()A ．有两个内角相等的三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．有一个内角是45°的直角三角形D ．有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形19．如图，在△ABC 中，AC=DC=DB ，∠ACD=100°，则∠B 等于()A ．50°B ．40°C ．25°D ．20°20．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于P 点，则∠APE 的度数为()A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°21．等腰三角形的底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰3长为()A ．6B ．5C ．6或10D ．3或5三、解答题(第22～25题每题6分，第26～27题每题9分，共42分)22．如图，AD 平分∠BAC ，AE=DE ，试说明：ED ∥AC．23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是高，试说明：四边形BCDE是等腰梯形．24．如图，△ABC 为等边三角形，D 为AB 上任意一点，连结CD ．(1)在BD 左侧，以BD 为一边作等边三角形BDE(尺规作图，保留痕迹)．(2)连结AE ，求证：AE=CD．25．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点E 在AB 上，且AE=AC ，EF ∥BC 交AC 于点F ．求证：EC 平分∠DEF．426．如图，已知∠AOB=a 外有一点P ，画点P 关于直线OA 的对称点P ′，再作点P ′关于直线OB 的对称点P ″．(1)试猜想∠PO P″与a 的大小关系，并说出你的理由．(2)当P 为∠AOB 内一点或∠AOB 边上一点时，上述结论是否成立?27．如图(1)，点D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的三边的中点，这时△ABC 被分割成4个全等的三角形．通过观察、思考，你能把图(2)中的等边三角形分割成面积相等的4部分，且其中3部分的图形都是等腰梯形吗?请尝试．5参考答案1．40°2．20°3．70°和70°或者40°和100°4．BA=BC5．75°6．50°或80°或20°7．4cm 8．25°或40°9．17°10．8cm 、6cm 或7cm 、7cm 11．等边12．④13．1083614．315．A 16．D 17．C 18．B 19．D 20．C 21．C22．∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．∵AE=DE ．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴ED ∥AC ．23．先说明△AC E ≌△ABD(AAS)，得AD=AE ，于是BD=CE ，因为1802A AED ABC °−∠∠=∠=．∴DE ∥BC ．BE 、CD 不平行，因此四边形BCDE 是梯形．∴梯形BCDE 是等腰梯形．24．(1)作图：分别以B 、D 为圆心，BD 长为半径画弧，两弧交于点E．(2)∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC ．又△BED 是等边三角形，∴∠ABE=60°，BE=BD ．在△ABE 和△CBD 中，AB=CB ，∠ABE=∠CBD ，BE=BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS)．∴AE=CD ．25．提示：先证：△ADE ≌△ADC ，则DE=DC ，所以∠DEC=∠DCE ，又EF ∥BC ，所以∠DCE=∠FEC ，则∠FEC=∠DEC ．26．(1)∠PO P″=2a ．(2)结论仍成立．27．。

人教版八年级数学试题13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥C D，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）…（4分）21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．（2）解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：（1）成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．（2）∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

初中数学湘教版八年级上册第二章2.3等腰三角形同步练习一、选择题1.下列条件不能得到等边三角形的是()A. 有两个内角是60°的三角形B. 有一个角是60°的等腰三角形C. 腰和底相等的等腰三角形D. 有两个角相等的等腰三角形2.已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为()A. 100°B. 80°C. 50°或80°D. 20°或80°3.等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是()A. 30cmB. 33cmC. 24cm或21cmD. 30cm或33cm4.如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为()A. β=α+γ2B. α=β+γ2C. β=α−γ2D. α=β−γ25.如图，AD是等边△ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为()A. 30°B. 20°C. 25°D. 15°6.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=50°，则∠ABE等于()A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°7.已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为()A. 10B. 6C. 4或6D. 6或108.已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是()A. 52<x<5 B. 0<x<2.5 C. 0<x<5 D. 0<x<109.在下列各图中，可以由题目条件得出∠1=∠2的图形个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.如果一个三角形的三边长分别为6，a，b，且(a+b)(a−b)=36，那么这个三角形的形状为()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形二、填空题11.在平面直角坐标系内的点A(−3,2)，B(1,4)，在x轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则点C的坐标为______．12.等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为______．13.已知等腰三角形的两边长是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是______cm．14.已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是______cm．15.等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为______．三、解答题16.如图，在6×5的网格(小正方形边长为1)中，Rt△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中，找到格点D，使四边形ACBD的面积为10，并画出这个四边形．(2)借助网格、只用直尺(无刻度)在AB上找一点E，使△AEC为等腰三角形，且AE=AC．17.如图，△ABC中，BA=BC，点D是AC延长线上一点，平面上一点E，连接EB、EC、ED、BD，CB平分∠ACE．(1)若∠ABC=50°，求∠DCE的度数；(2)若∠ABC=∠DBE，求证：AD=CE．18.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：(1)EF⊥AB；(2)△ACF为等腰三角形．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；故选：D．根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理．2.【答案】D【解析】解：(1)若等腰三角形一个底角为80°，顶角为180°−80°−80°=20°；(2)等腰三角形的顶角为80°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．故选：D．已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解答此类题目的关键是要注意分类讨论，不要漏解．3.【答案】D【解析】解：①当9为腰时，9+9>12，故此三角形的周长=9+9+12=30；②当12为腰时，9+12>12，故此三角形的周长=9+12+12=33．故选：D．由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．4.【答案】B【解析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2−∠1=∠α−∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2−∠1=∠β−∠α，∴∠α−∠γ=∠β−∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=β+γ2，故选：B．根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2−∠1=∠α−∠γ，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出∠2−∠1=∠β−∠α，代入上式即可求出答案．本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出∠2−∠1=∠α−∠γ和∠2−∠1=∠β−∠α是解此题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×60°=30°，∴∠ADC=90°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°−∠CAD2=75°，∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°．故选：D．由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【解析】解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是BC的线段垂直平分线，∵E是AD上一点，∴EB=EC，∴∠EBD=∠ECD，∵∠CED=50°，∴∠ECD=40°，又∵∠ABC=60°，∠ECD=40°，∴∠ABE=60°−40°=20°，故选：C．先根据等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，得出∠ABC=∠ACD，∠ABE=∠ACE.可求出∠ABE的值．本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形外角和内角的关系；熟练掌握并灵活运用这些知识是解决问题的关键．7.【答案】A【解析】解：(1)设底为x，则腰为(x+6)，由题意得：x+2(x+6)=24，解得：x=4，当x=4时，x+6=10，此时等腰三角形的三边为：4，10，10；(2)设底为x，则腰为(x−6)，由题意得：x+2(x−6)=24，解得：x=12，当x=12时，x−6=6，12，6，6不能构成三角形，不符合题意；因此，腰为10，故选：A．分两种情况分别计算三角形的三边，再根据三边关系进行取舍即可．考查等腰三角形的性质，以及分类讨论思想方法的应用，设未知数，列方程求解是常用的方法．【解析】解：依题意得：10−2x−x<x<10−2x+x，<x<5．解得52故选：A．根据已知条件得出底边的长为：10−2x，再根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求出第三边长的范围．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元一次不等式组等知识；根据三角形三边关系定理列出不等式，接着解不等式求解是正确解答本题的关键．9.【答案】C【解析】解：在第一个图中，∵AB=AC，∴∠1=∠2；在第二个图中，∠1=∠2；在第三个图中，∵a//b，∴∠1=∠3，而∠2=∠3，∴∠1=∠2；在第四个图中，∠1>∠2．故选：C．根据等腰三角形的性质对第一个图形进行判断，根据对顶角相等对第2个图进行判断；根据平行线的性质和对顶角相等对第3个图进行判断；根据三角形外角性质对第4个图进行判断．本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，对顶角相等，正确的识别图形是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵(a+b)(a−b)=36，∴a2−b2=36，∴a2+36=b2，又∵6，a，b是三角形三边长，∴这个三角形的形状为直角三角形，故选：C．根据平方差公式进行计算，再利用勾股定理逆定理可得答案．此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．,0)(−1,0)11.【答案】(3,0)(1,0)(12【解析】解：∵A(−3,2)，B(1,4)，∴AB2=(−3−1)2+(2−4)2=20，当△ABC是等腰三角形，设C(m,0)①AB=BC，即(1−m)2+44=20，解得：m=−1，m=3，∴C1(3,0)，C4(−1,0)；②AB=AC，即(−3−m)2+22=20，解得m=−7，m=1，∴C2(1.0)，C5(−7,0)(此时C，A，B三点共线)；③AC=BC，即(−3−m)2+22=(1−m)2+42，解得：m=1，2,0)．∴C3(12,0)，(−1,0)．综上所述：点C的坐标为：(3,0)，(1.0)，(12根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以AB的长度为半径画圆，与x轴的交点即为所求的点C，AB的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足△ABC是等腰三角形．本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．12.【答案】50°或80°【解析】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°−100°=80°，=50°；则其底角为：180°−80°2②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°−100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角与②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．13.【答案】15【解析】解：若3cm是腰长，则三角形的三边分别为3cm，3cm，6cm，∵3+3=6，∴不能组成三角形，若3cm是底边，则三角形的三边分别为3cm，6cm，6cm，能组成三角形，周长=3+6+6=15cm，综上所述，这个等腰三角形的周长是15cm．故答案为：15．分3cm是腰长和底边两种情况，根据三角形的三边关系讨论求解即可．本题考查了等腰三角形的性质，关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．14.【答案】6或7【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．=7cm，根当腰长=6cm时，底边=20−6−6=8cm，当底边=6cm时，腰长=20−62据三角形的三边关系，即可推出腰长．【解答】解：∵等腰三角形的周长为20cm，∴当腰长=6cm时，底边=20−6−6=8cm，即6+6>8，能构成三角形，=7cm，即7+6>7，能构成三角形，∴当底边=6cm时，腰长=20−62∴腰长是6cm或7cm，故答案为：6或7．15.【答案】15【解析】解：如图：AB=AC=17，BC=16．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；BC=8；则BD=DC=12Rt△ABD中，AB=17，BD=8；由勾股定理，得：AD=√AB2−BD2=15．故答案为：15．在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度．本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．16.【答案】解：(1)如图，四边形ACBD即为所求；(2)如图，点E即为所求．【解析】本题考查了作图−应用与设计作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．(1)根据网格，即可找到格点D，使四边形ACBD的面积为10，并画出这个四边形；(2)借助网格、只用直尺即可在AB上找一点E，使△AEC为等腰三角形，且AE=AC．17.【答案】解：(1)∵△ABC中，BA=BC，∠ABC=50°，=65°，∴∠BAC=∠ACB=180°−50°2∵CB平分∠ACE，∴∠BCE=∠ACB=65°，∴∠DCE=180°−65°−65°=50°；(2)∵△ABC中，BA=BC，∴∠BAC=∠ACB，∵CB平分∠ACE，∴∠BCE=∠ACB∴∠BCE=∠BAC，∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△BAD≌△BCE(ASA)，∴AD=CE．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠BAC=65°，进而解答即可；(2)根据全等三角形的判定和性质解答即可．此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．18.【答案】证明：(1)∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=36°，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；(2)∵FE⊥AB，AE=BE，∴FE垂直平分AB，∴AF=BF，∴∠BAF=∠ABF，又∵∠ABD=∠BAD，∴∠FAD=∠FBD=36°，又∵∠ACB=72°，∴∠AFC=∠ACB−∠CAF=36°，∴∠CAF=∠AFC=36°，∴AC=CF，即△ACF为等腰三角形．【解析】(1)依据AB=AC，∠BAC=36°，可得∠ABC=72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD=36°，由∠BAD=∠ABD，可得AD=BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB；(2)依据FE⊥AB，AE=BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF=∠ABF，依据∠ABD=∠BAD，即可得到∠FAD=∠FBD=36°，再根据∠AFC=∠ACB−∠CAF=36°，可得∠CAF=∠AFC=36°，进而得到AC=CF．本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．。

八年级数学(上)第一章综合提优卷(时间：90分钟满分：100分)一、填空题(每空2分，共30分)1．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为_______．2．若等腰三角形一个底角的外角等于100°，则它的顶角为_________．3．若等腰三角形有一个角为40°，则另两个角的度数是__________．4．在如图的格点三角形ABC中，相等的边是________．5．如图，正方形ABCD，△EAD为等边三角形，则∠EBC=________．6．在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则∠B=_________．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8 cm，BC的垂直平分线DE交AB于点D，则CD=_______．8．等腰三角形中有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角为________．9．在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=56°，CD=CB，则∠ABD=________．10．等腰三角形的周长是22 cm，一边长是8 cm，则其他两边的长分别是_______．11．已知△ABC的三边a，b，c满足(a－b)2+(b－c) 2=0，则△ABC为_______三角形．12．在下列四个图形中：①角；②等边三角形；③线段；④平行四边形，不是轴对称图形的是________．13．在△ABC中，AB=AC，∠A=3∠B，则∠A=________°，∠B=______°．14．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，图中的全等三角形有______ 对．二、选择题(每题4分，共28分)15．下列图形中对称轴条数最多的是( )A．正方形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰梯形16．等腰三角形的一边长是10 cm，另一边长是6 cm，则它的周长是( )A．26 cm B．22 cm C．16 cm D．22 cm或26 cm17．在下列说法中，错误的有( )①两个全等的三角形是关于某条直线对称的；②两个全等的等腰三角形是关于某条直线对称的；③关于某直线对称的两个三角形全等；④关于某直线对称的两个三角形不一定全等．A．1个B．2个C．3个D．4个18．下面四个图形中，不是轴对称图形的是( )A．有两个内角相等的三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．有一个内角是45°的直角三角形D．有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形19．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于( )A．50°B．40°C．25°D．20°20．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，则∠APE的度数为( )A．45°B．55°C．60°D．75°21．等腰三角形的底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为( )A．6 B．5 C．6或10 D．3或5三、解答题(第22～25题每题6分，第26～27题每题9分，共42分) 22．如图，AD平分∠BAC，AE=DE，试说明：ED∥AC．23．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，试说明：四边形BCDE是等腰梯形．24．如图，△ABC为等边三角形，D为AB上任意一点，连结CD．(1)在BD左侧，以BD为一边作等边三角形BDE(尺规作图，保留痕迹)．(2)连结AE，求证：AE=CD．25．如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．26．如图，已知∠AOB=a外有一点P，画点P关于直线OA的对称点P′，再作点P′关于直线OB的对称点P″．(1)试猜想∠PO P″与a的大小关系，并说出你的理由．(2)当P为∠AOB 内一点或∠AOB边上一点时，上述结论是否成立?27．如图(1)，点D、E、F分别是等边三角形ABC的三边的中点，这时△ABC被分割成4个全等的三角形．通过观察、思考，你能把图(2)中的等边三角形分割成面积相等的4部分，且其中3部分的图形都是等腰梯形吗?请尝试．参考答案1．40°2．20°3．70°和70°或者40°和100°4．BA=BC 5．75°6．50°或80°或20°7．4 cm 8．25°或40°9．17°10．8 cm、6 cm或7 cm、7 cm 11．等边12．④13．108 36 14．315．A 16．D 17．C 18．B 19．D 20．C 21．C 22．∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．∵AE=DE．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴ED∥AC．23．先说明△AC E≌△ABD(AAS)，得AD=AE，于是BD=CE，因为1802AAED ABC ︒-∠∠=∠=．∴DE∥BC．BE、CD不平行，因此四边形BCDE是梯形．∴梯形BCDE是等腰梯形．24．(1)作图：分别以B、D为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点E．(2) ∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC．又△BED是等边三角形，∴∠ABE=60°，BE=BD．在△ABE和△CBD中，AB=CB，∠ABE=∠CBD，BE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE=CD．25．提示：先证：△ADE≌△ADC，则DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，又EF∥BC，所以∠DCE=∠FEC，则∠FEC=∠DEC．26．(1) ∠PO P″=2a．(2)结论仍成立．27．。

浙教版八上数学第二章：特殊三角形能力提升测试一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列图案是轴对称图形的是( )2. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝45°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A. 3.5B. 3.7C. 4D. 4.53.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是中线，E为AB的中点，AC＝6，则DE＝( )A．2 B．3 C．4 D．65.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于点E，交BC于点D.若AB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为( )A．16 B．14 C．20 D．186.下列命题中，是假命题的是( )A．在△ABC中，若∠B＝∠C＋∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a∶b∶c＝5∶4∶3，则△ABC是直角三角形7.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是( )A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定8.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于点H，EF⊥AB于点F，下列结论：①∠ACD＝∠B；②CH＝CE＝EF；③AC＝AF；④CH＝HD.其中正确的结论为( ) A．①②④ B．①②③ C．②③ D．①③9.若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于( )A．2 B．3 C．4 D．510.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中，正确的结论有()①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CE BD S BCDE ⋅=21四边形；⑤2222CD BE DE BC +=+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11.命题：“平行四边形是中心对称图形”的逆命题为_______________________________12．如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AC.若AB ＝8，则BD ＝_______，∠CDE ＝________13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是经过A 点的一条直线，且B ，C 在AE 的两侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，CE ＝2，BD ＝6，则DE 的长为________14.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE=3，则BF=________15.如图，∠BAC=30°，AP 平分∠BAC ，GF 垂直平分AP ，交AC 于F ，Q 为射线AB 上一动点，若PQ 的最小值为5，则AF 的长________16.如图所示，△ABC 的两条外角平分线AP 、CP 相交于点P ，PH ⊥AC 于H ．若∠ABC=60°，则下面的结论：①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PB=2PH ；④∠APH=∠BPC ，其中正确的结论是________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且AE ＝AF.求证：DE ＝DF.18（本题8分）. 如图所示，延长△ABC 的各边，使得BF ＝AC ，AE ＝CD ＝AB ，连结DE ，EF ，FD ，得到△DEF 为等边三角形．求证：(1)△AEF ≌△CDE ；(2)△ABC 为等边三角形．19（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BD ＝DF.求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB.20（本题10分）．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，连结AE 并延长交BC 的延长线于点F.(1)求证：CF ＝AD ；(2)若AD ＝2，AB ＝8，当BC 的长为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么？21（本题10分）.如图，在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠B ＝∠ADE.(1)如图1，当点D 为BC 中点时，求证：∠EDC ＝21∠BAC ； (2)如图2，连结CE ，当EC ⊥BC 时，求证：△ABC 为等腰直角三角形．22（本题12分）已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．(1)直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G(如图1)，求证：AE＝CG；(2)直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由23（本题12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数；（3）若∠A=∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．。

八年级数学上册等腰三角形同步练习班级考号姓名总分一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个2．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．6种5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4 D．AB=3，BC=7，周长为136．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（）A．1，2，1 B．2，2，1 C．1，3，1 D．2，2，58．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③二．填空题（共10小题）9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形，底边用了10根，则一腰至少要用_________根火柴．10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有_________个等腰三角形．12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是_________．16．如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是_________三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成_________种．18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_________三角形．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________．（直接写出结论，不需证明）20．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．22．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．（1）求证：△ABC≌△CDA．（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．附：参考答案答案：一、DCDCBABA二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三、19、（1）证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）解：∵△ABC≌△DCB，∴∠OBC=∠OCB．∴OB=OC．∴△OBC为等腰三角形．故填等腰三角形．20、解答：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵AO平分∠BAC，∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2，∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．21解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．22解：△ABC中∵AB=AC，∠A=36°∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=72°∵CD平分∠ACB∴∠DCB=∠ACB=36°在△DBC中∠BDC=180°﹣∠B﹣∠DCB=72°=∠B∴CD=CB即△BCD是等腰三角形．23、解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA）；（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，∴△AB′C≌△ABC，∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，∴∠DAC=∠ACB′，∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，∵CB=CB′，∴△CBB′为等腰三角形；（3）△AB′O≌△CDO，理由为：证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，∴△AB′C≌△CDA，∴B′C=DA，AB′=CD，又OA=OC，∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，在△AB′O和△CDO中，，∴△AB′O≌△CDO．。

2020年秋浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元提高测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A. B. C. D.2.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A. 55°，55°B. 70°，40°或70°，55°C. 70°，40°D. 55°，55°或70°，40°3.如图，ΔABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于E，若∠B=32°，AC=CE，则∠C的度数是（）A. 52°B. 55°C. 60°D. 65°4.以下命题：（1）如果a＜0，b＞0 ，那么a + b＜0；（2）相等的角是对顶角；（3）同角的补角相等；（4）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A. a＝32，b＝42，c＝52B. a＝9，b＝12，c＝15C. ∠A：∠B：∠C＝5：2：3D. ∠C﹣∠B＝∠A6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC，ED⊥AB，则ED的长（）A. 3B. 4C. 5D. 67.如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 翻折，得到△AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F.若DG ＝GE ，AF ＝3，BF ＝2，△ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为（ ）A. √55B. 2√55C. 4√55D. 4√338.如图，将长方形 ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为 EF ， EF 与 AC 交于点O 若 AE =5 ， BF =3 ，则 AO 的长为（ ）A. √5B. 32√5C. 2√5D. 4√59.如图，在 Rt △ABC 中， ∠ACB =90° ，点H 、E 、F 分别是边 AB 、 BC 、 CA 的中点，若 EF +CH =8 ，则 CH 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE=BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF 的长为（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 4二、填空题（共8题；共24分）11.在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为________.13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB−AC=2,BC=8，则AB的长是________．14.如图，△ABC中，AB＝AC=4，以AC为斜边作Rt △ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB ＝30°，E、F分别是BC、AC的中点，则ED＝________.15.如图，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴交于点A，则点A在数轴上表示的数为________.16.如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，有下列四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有________(填序号即可).17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q两点分别在AC 和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等．18.如图，ΔABC中，点在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延长线E于点D，BD=8，AC=11，则边BC的长为________.三、解答题（共6题；共46分）19.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？说明理由.20.如图，在笔直的铁路上A,B两点相距20km，C,D为两村庄，DA=8km，CB=14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B .现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长.21.如图，在△ABC中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以AB为边作等边△ABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD，(Ⅰ)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数；(Ⅱ)当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；(Ⅲ)当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立。

【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 测试卷2考试时间：120分钟 满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( ) A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．182．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m ，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ） A ．10m B ．15m C ．26m D ．30m 3．“赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 如图，连接AE ，若大正方形ABCD 的面积为25，△ABE 的面积为8，则小正方形EFGH 的面积是（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）4．如图，△ABC 中，△ABC 与△ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE△BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE ＝BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF ＝CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，△DEF 为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A ．β=α+γ2 B ．α=β+γ2 C ．β=α−γ2 D ．α=β−γ26．如图，折叠直角三角形纸片ABC ，使得点A ，B 都与斜边AB 上的点F 重合，折痕分别为DE 和GH ．则下列结论不一定成立的是( ) A ．DH=12AB B ．EF=FG C ．EF△FG D ．DE△GH7．如图，四边形 ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 B ′ 处，点 A 的对应点为点 A ′ ， B ′C =3 ，则 AM 的长为（ ） A ．1.8 B ．2 C ．2.3 D ．√5（第7题） （第8题） （第9题）8．如图，Rt△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，DE△AB 交AC 于点E ，已知CE=3，CD=4，则AD 长为（ ） A ．7 B ．8 C ．4√3 D ．4√59．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，√3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为( )．A ．√132B ．√312C ．3+√192D ．2√710．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是()A．S4B．S1+S4-S3C．S2+S3+S4D．S1+S2-S3二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，Rt△AED中，∠AED=90°，AB=AC=AD，EC=2，BE=8（1）若AB=√41，则AE的值为；（2）DE的值为.12．已知正△ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，当点Q停止运动时，点P也同时停止运动．在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与△PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为．13．问题背景：如图1，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，△BCD＝60°，连接AD，求AD的最大值．解决方法：以AC为边作等边△ACE，连接BE，推出BE＝AD，当点E在BA的延长线上时，线段AD取得最大值4问题解决：如图2，点C为线段AB外一动点，且AB＝AC＝2，若BC＝CD，△BCD＝90°，连接AD，当AD取得最大值时，△ACD的度数为．14．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+4√3；⑤S△AOC+S△AOB= 6+9√34．其中正确的结论是．（第14题）15．如图，以直角三角形ABC的三条边为边长，向形外分别作正方形，连结CG，其中正方形ACDE 和正方形ABGF的面积分别为1和5，则CG长为.（第15题）（第16题）16．如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别为边BC、CD上一点，EF△AE，将△ECF 沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE=时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，∠A<90°，CD是ΔABC的高，BE是ΔABC的角平分线，CD与BE 交于点P.当∠A的大小变化时，ΔEPC的形状也随之改变..（1）当∠A=36°时，求∠BPD的度数；（2）设∠A=α，∠EPC=β，求变量β与α的关系式；（3）当ΔEPC是等腰三角形时，求∠ACB的度数.18．如图，△ABC是等边三角形，P，Q分别是边AC，BC上的点，且AP=CQ，AQ，BP交于点O.（1）求证：△ACQ≅△BAP；（2）求∠BOQ的度数；（3）当∠CBP=45°，BQ=4√6时，求OB的长.19．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分△CAE交DE于点F，连接FC．（1）如图1，求证：△ABE=△ACF；（2）如图2，当△ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；（3）如图3，当△ABC=45°，且AE∥BC时，求证：BD=2EF．20．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE△AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP.（1）观察猜想：如图（1），DP与CP之间的数量关系是，DP与CP之间的位置关系是.（2）类比探究：将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由.（3）问题解决：若BC＝3BD＝3√2，将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE△AB 时，请直接写出线段CP的长.21．如图，在△ABC中，△ABC＝90°，AB＝8，BC＝35AC，E是AC边上的中点，D是射线AB上的一点，连结DE，过B点作BF△DE于F.（1）求AC的长度.（2）若点D在线段AB上.①若BD＝CE时，求证：DF＝EF.②若△ADE是等腰三角形，求AD的长.（3）点A关于直线BF的对称点为A′，当A′、B、E三点共线时，求AA′＝-（请直接写出答案）.22．如图，在Rt△ABC中，AB=6√2，BC⊥AC，P为线段AC(包括端点)上一点，点Q，P关于直线BC 对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连接DP，设AP=m，（1）如图1，当∠A=45°时，①求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；②当△ADP是等腰三角形时，求出m的值；(√2≈1.4)（2）如图2，当∠A=60°时，△PCE与△PDE的面积之比为1：3，直接写出CEBE=．23．已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°.（1）试判定△ABO的形状；（2）如图1，若BC△BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE；（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论.24．综合与实践某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）[材料理解]如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABD和等腰△ACE．AB＝AD，AC＝AE，∠BAD=∠CAE，连接BE，CD，试猜想BE与CD的大小关系，并说明理由；（2）[深入探究]如图2，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°，分别以AB，AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ABC，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，求BE的长．（3）[延伸应用]如图3，在△ABC中，AB＝10，点D为平面内一点，连接AD，BD，满足AD＝6，BD＝BC，∠DBC＝60°，∠DAC＝30°，求AC的长．。

15.3 《等腰三角形》提升练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．如图，等边三角形ABC与相互平行的直线a，b 订交，若∠ 1=25 °，则∠ 2 的大小为（）A．25°B．35°C． 45°D． 55°2．某等腰三角形的三边长分别为x，3， 2x﹣ 1，则该三角形的周长为（）A．11B． 11 或 8C． 11 或 8 或 5D．与 x 的取值相关3．如图，等边三角形ABC中， AD⊥ BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠ EBC=45°，则∠ ACE 等于（）A．15°B．30°C． 45°D． 60°4．如图，∠ AOB=60°， OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向挪动，以AC为边在右侧作等边△ ACD，连结 BD，则 BD 所在直线与OA 所在直线的地点关系是（）A．平行B．订交C．垂直D．平行、订交或垂直P 是三角形内的随意一点，PD∥ AB， PE∥ BC， PF∥ AC，5．如图，△ABC是等边三角形，点12，则PD+PE+PF=（）若△ ABC的周长为A．12B．8 C． 4D． 3二、填空题6．如图，在凸四边形ABCD中， AB=BC=BD，∠ ABC=80°，则∠ ADC 等于°．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为．8．如图，等腰△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=50°，AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，则∠ DBC 的度数是．三、解答题9．已知：如图，△ABC 中， AB=AC，点 D 是△ ABC内一点，且 DB=DC，连结 AD 并延伸，交BC 于点 E．（1）依题意补全图；（2）求证： AD⊥ BC．10．如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别在边BC、AC上，且 AE=CD，BE 与 AD 订交于点P，BQ⊥AD 于点 Q．（1）求证：△ ABE≌△ CAD；（2）请问 PQ 与 BP有何关系？并说明原因．第2课时一、选择题1．如图，以点O 为圆心，随意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点 A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（）A．30°B．45°C． 60°D． 90°2．如图：在△ABC中，以下条件中能说明△ABC是等边三角形的是（）A．AB=AC，∠ B=∠ C B． AD⊥ BC， BD=CDC． BC=AC，∠ B=∠C D． AD⊥ BC，∠ BAD=∠ CAD3．下边给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（ 4）有一个角为 60°的等腰三角形，此中是等边三角形的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个4．已知：在△ ABC中，∠ A=60°，如要判断△ ABC 是等边三角形，还需增添一个条件．现有下边三种说法：①假如增添条件“AB=AC”，那么△ ABC是等边三角形；②假如增添条件“∠ B=∠ C”，那么△ ABC是等边三角形；③假如增添条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ ABC是等边三角形．上陈述法中，正确的有（）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个5．如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°，BD，CE是角均分线，则图中的等腰三角形共（）有A．8 个B．7 个C．6 个D．5 个二、填空题6．假如 a，b，c 为三角形的三边，且（ a﹣b ）2+（ a﹣ c）2+|b ﹣ c|=0 ，则这个三角形是．7．假如一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是三角形．8．如图，在△ABC 中， BC=8cm， BP、 CP分别是∠ABC 和∠ ACB的均分线，且PD∥ AB， PE ∥ AC，则△ PDE的周长是cm．三、解答题9．如图，在△ ABC 中，AB=AC=2，∠ B=∠ C=40°，点 D 在线段 BC 上运动（ D 不与 B、C 重合），连结 AD，作∠ ADE=40°，DE 交线段 AC 于 E．（ 1）当∠ BDA=115°时，∠ EDC=°，∠ DEC=°；点D从B向C运动时，∠ BDA 渐渐变（填“大”或“小”）；ABD≌△ DCE，请说明原因；（ 2）当DC等于多少时，△（ 3）在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状能够是等腰三角形吗？若能够，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以够，请说明原因．10．如图，点O 是等边△ ABC内一点，∠ AOB=110°，∠ BOC=α．以 OC为一边作等边三角形OCD，连结 AC、 AD．（1）当α=150°时，试判断△ AOD 的形状，并说明原因；（2）研究：当 a 为多少度时，△ AOD 是等腰三角形？第3课时一、选择题1．如图，将一个有45°角的三角板的直角极点放在一张宽为3cm 的纸带边缘上．另一个顶点在纸带的另一边缘上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（）A．3cm B． 6cm C． 8cm D． 9cm2．如图，△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AC=3，点 P 是 BC 边上的动点，则AP 的长不行能是（）A．3.5B．4.2C． 5.8D． 6.53．如图，在△ABC 中，∠ A=90°，∠ C=30°，AD⊥ BC 于D， BE 是∠ ABC 的均分线，且交AD 于 P，假如AP=2，则AC 的长为（）A．2B． 4C． 6D． 8BC的长（）4．如图，在△ABC中， AB=AC，∠ C=30°， AB⊥ AD， AD=4cm，求A．8cm B． 12cm C． 15cm D．16cm5．如图，已知∠ AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=10，点M 、N在边OB 上，PM=PN，若MN=2 ，则 OM=（）A．3B． 4C． 5D． 6二、填空题6．如图，在等边△ABC中， BD是AC 边上的中线，过点 D 作DE⊥ BC于点E，且CE=1.5，则AB 的长为．7．假如一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为．8．在等腰△ABC中，AD⊥ BC交直线BC于点D，若 AD=BC，则△ ABC的顶角的度数为．三、解答题9．如图，一艘轮船清晨8 时从点 A 向正北方向出发，小岛P 在轮船的北偏西15°方向．轮船每小时航行15 海里， 11时轮船抵达点 B 处，小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向．（ 1）求此时轮船距小岛为多少海里？（ 2）在小岛 P 的四周 20 海里范围内有暗礁，假如轮船不改变方向持续向前航行，能否会有触礁危险？请说明原因．10．已知，如图 Rt△ABC中，∠ BAC=90°，AD 是 BC边上的高，∠ B=2∠ C，E 是 BC的中点．求证： DE=AB．参照答案第1课时1．解：过点 C 作 CD∥ b，∵直线 a∥ b，∴CD∥ a∥ b，∴∠ 4=∠ 1=25°，∵∠ ACB=60°，∴∠ 3=∠ ACB﹣∠ 4=60°﹣ 25°=35°，∴∠ 2=∠ 3=35°．应选： B．2．解：当x=3 时，此时 2x﹣1=5，∴3+3＞ 5，能构成三角形，此时三角形的周长为： 3+3+5=11，当 x=2x﹣1 时，此时 x=1，∴1+1＜ 3，不可以构成三角形，当 2x﹣ 1=3 时，此时 x=2∴3+2＞ 3，能构成三角形，此时三角形的周长为： 3+3+2=8，应选： B．3．解：∵等边三角形ABC 中， AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD 是BC 的垂直均分线，∵点 E在 AD上，∴BE=CE，∴∠ EBC=∠ ECB，∵∠ EBC=45°，∴∠ ECB=45°，∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ACB=60°，∴∠ ACE=∠ ACB﹣∠ ECB=15°，应选： A．4．解：∵∠ AOB=60°， OA=OB，∴△ OAB 是等边三角形，∴OA=AB，∠ OAB=∠ ABO=60°①当点 C 在线段 OB 上时，如图 1，∵△ ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠ CAD=60°，∴∠ OAC=∠ BAD，在△ AOC和△ ABD 中，，∴△ AOC≌△ ABD，∴∠ ABD=∠ AOC=60°，∴∠ DBE=180°﹣∠ ABO﹣∠ ABD=60°=∠AOB，∴BD∥ OA，②当点 C 在 OB 的延伸线上时，如图2，同①的方法得出OA∥ BD，∵△ ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠ CAD=60°，∴∠ OAC=∠ BAD，在△ AOC和△ ABD 中，，∴△ AOC≌△ ABD，∴∠ ABD=∠ AOC=60°，∴∠ DBE=180°﹣∠ ABO﹣∠ ABD=60°=∠AOB，∴BD∥ OA，应选： A．5．解：延伸EP、 FP 分别交 AB、 BC于 G、 H，则由 PD∥AB， PE∥BC， PF∥AC，可得，四边形 PGBD， EPHC是平行四边形，∴PG=BD， PE=HC，又△ ABC是等边三角形，又有 PF∥ AC， PD∥ AB 可得△ PFG，△ PDH 是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ ABC的周长为12，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4，应选： C．6．解：∵ AB=BC=BD，∠CBD，∴∠ ADB=90°﹣∠ ABD，∠ CDB=90°﹣∴∠ ADC=∠ ADB+∠ CDB=90 °﹣∠ ABD+90°﹣∠CBD=180 °﹣（∠ ABD+∠ CBD）=180 °﹣× 80°=180 °﹣40°=140 °．故答案为： 140．7．解：①如图一，∵△ ABC是等腰三角形，BD⊥ AC，∠ ADB=90°，∠ ABD=50°，∴在直角△ ABD 中，∠ A=90°﹣ 50°=40°，=70°；∴∠ C=∠ ABC=②如图二，∵△ ABC是等腰三角形，BD⊥ AC，∠ ADB=90°，∠ ABD=50°，∴在直角△ ABD 中，∠ BAD=90°﹣ 50°=40°，又∵∠ BAD=∠ABC+∠ C，∠ ABC=∠ C，∴∠ C=∠ ABC===20°．故答案为： 70°或 20°．8．解：∵ AB=AC，∠ A=40°，∴∠ ABC=（180°﹣∠ A）=（180°﹣50°）=65°，∵MN 垂直均分线 AB，∴ AD=BD，∴∠ ABD=∠ A=50°，∴∠ DBC=∠ ABC﹣∠ ABD=65°﹣50°=15°．故答案为： 15°．9．解：（ 1）如下图，（2）∵ AB=AC，∴点 A 在 BC的垂直均分线上，∵BE=CE，∴点 E 在 BC 的垂直均分线上，∴A、E 都在BC的垂直均分线上，∵延伸 AE交 BC边于点 D，∴AD⊥ BC．10．（ 1）证明：∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠ BAC=∠ ACB=60°，在△ BAE和△ ACD中：∴△ BAE≌△ ACD（2）答： BP=2PQ．证明：∵△ BAE≌△ ACD，∴∠ ABE=∠ CAD．∵∠ BPQ为△ ABP外角，∴∠ BPQ=∠ ABE+∠ BAD．∴∠ BPQ=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=60°∵BQ⊥ AD，∴∠ PBQ=30°，∴ BP=2PQ．第2课时1．解：连结AB，依据题意得：OB=OA=AB，∴△ AOB 是等边三角形，∴∠ AOB=60°．应选： C．2．解：A、AB=AC，∠B=∠C，只好说明△ABC 是等腰三角形，错误；B、 AD⊥ BC， BD=CD，只好说明△ ABC是等腰三角形，错误；C、 BC=AC，∠ B=∠C，能说明△ ABC是等边三角形，正确；D、 AD⊥BC，∠ BAD=∠ CAD，只好说明△A BC是等腰三角形，错误；应选： C．3．解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（ 1），（ 4）推出等边三角形，（2）若每个角各取一个外角时，该结论建立．而（ 3）只好得出这个三角形是等腰三角形．应选： C．4．解：①若增添的条件为AB=AC，由∠ A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若增添条件为∠B=∠ C，又∵∠ A=60°，∴∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=∠ B=∠ C，则△ ABC为等边三角形；AB、BC 上的高相等，如下图：③若增添的条件为边已知：∠ BAC=60°， AE⊥ BC，CD⊥AB，且 AE=CD，求证：△ ABC为等边三角形．证明：∵ AE⊥ BC， CD⊥ AB，∴∠ ADC=∠ AEC=90°，在 Rt△ ADC和 Rt△ CEA中，，∴Rt△ ADC≌ Rt△CEA（ HL），∴∠ ACE=∠ BAC=60°，∴∠ BAC=∠B=∠ ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有 3 个．应选： A．5．解：∵ AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ ACB=（180°﹣∠ A）=72°，∵ BD， CE是角均分线，∴∠ ABD=∠ DBC=∠ ABC=36°，∠ ACE=∠ECB=36°，∴∠ A=∠ ABD=∠ ACE，∠ DBC=∠ ECB，∴∠ BDC=180°﹣∠ ACB﹣∠ DBC=180°﹣ 72°﹣ 36°=72°，同理∠ BEC=72°，∴∠ BDC=∠ ACB，∠ BEC=∠ EBC，∴∠ EOB=180°﹣∠ BEC﹣∠ EBD=180°﹣ 72°﹣36°=72°，同理∠ DOC=72°，∴∠ BEO=∠ BOE，∠ CDO=∠ COD，即等腰三角形有△ OBC，△ ADB，△ AEC，△ BEC，△ BDC，△ ABC，△ EBO，△ DCO，共 8 个，应选： A．6．解：∵（ a﹣ b）2+（ a﹣c） 2+|b ﹣ c|=0 ，∴a﹣ b=0，a﹣ c=0， b﹣ c=0，∴a=b， a=c，b=c，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形；故答案为：等边三角形．7．解：等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的均分线相互重合（三线合一），∴假如一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是等边三角形．8．解：∵ BP、 CP分别是∠ ABC和∠ ACB 的角均分线，∴∠ ABP=∠ PBD，∠ ACP=∠PCE，∵PD∥ AB， PE∥ AC，∴∠ ABP=∠BPD，∠ ACP=∠CPE，∴∠ PBD=∠ BPD，∠ PCE=∠ CPE，∴BD=PD， CE=PE，∴△ PDE的周长 =PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．故答案是： 8．9．解：（ 1）∠ EDC=180°﹣∠ ADB﹣∠ ADE=180°﹣ 115 °﹣ 40°=25 °，∠DEC=180°﹣∠ EDC﹣∠ C=180°﹣ 40°﹣ 25°=115°，∠BDA 渐渐变小；故答案为： 25°， 115°，小；（2）当 DC=2时，△ ABD≌△ DCE，原因：∵∠ C=40°，∴∠ DEC+∠ EDC=140°，又∵∠ ADE=40°，∴∠ ADB+∠ EDC=140°，∴∠ ADB=∠ DEC，又∵ AB=DC=2，∴△ ABD≌△ DCE（AAS），（ 3）当∠ BDA 的度数为 110°或 80°时，△ ADE的形状是等腰三角形，原因：∵∠ BDA=110°时，∴∠ ADC=70°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=70°，∠ AED=∠ C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠ DAC=∠AED，∴△ ADE的形状是等腰三角形；∵当∠ BDA 的度数为80°时，∴∠ ADC=100°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=40°，∴∠ DAC=∠ADE，∴△ ADE的形状是等腰三角形．10．解：（1 ）∵△ OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ ACB=∠ OCD=60°，∴∠ BCO=∠ ACD，在△ BOC与△ ADC 中，∵，∴△ BOC≌△ ADC，∴∠ BOC=∠ ADC，而∠ BOC=α=150°，∠ ODC=60°，∴∠ ADO=150°﹣ 60°=90°，∴△ ADO 是直角三角形；（2）∵设∠ CBO=∠ CAD=a，∠ ABO=b，∠ BAO=c，∠ CAO=d，则 a+b=60°， b+c=180°﹣110°=70°， c+d=60°，∴ b﹣ d=10°，∴（ 60°﹣ a）﹣d=10°，∴ a+d=50°，即∠ DAO=50°，①要使 AO=AD，需∠ AOD=∠ ADO，∴190°﹣α=α﹣ 60°，∴α=125°；②要使 OA=OD，需∠ OAD=∠ ADO，∴ α﹣ 60°=50°，∴ α=110°；③要使 OD=AD，需∠ OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．因此当α为 110°、125°、 140°时，三角形AOD 是等腰三角形．第3课时1．解：过点 C 作 CD⊥ AD， CD=3cm，在直角三角形ADC 中，∵∠ CAD=30°，∴AC=2CD=2× 3=6cm ．应选： B．2．解：∵△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AC=3，∴AB=2AC=6，即 AP 的范围是 3≤ AP≤ 6，∴ 6.5 不在范围内；应选： D．3．解：∵△ ABC中，∠ BAC=90°，∠ C=30°，∴∠ ABC=60°．又∵ BE是∠ ABC 的均分线，∴∠ EBC=30°，∴∠ AEB=∠ C+∠ EBC=60°，∠ C=∠ EBC，∴∠ AEP=60°， BE=EC．又 AD⊥ BC，∴∠ CAD=∠ EAP=60°，则∠ AEP=∠EAP=60°，∴△ AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△ AEB中，∠ ABE=30°，则 EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．应选： C．4．解：∵ AB=AC，∠ C=30°，∴∠ B=∠ C=30°，∠ BAC=120°，∵AB⊥ AD，∴∠ BAD=90°，∵AD=4cm，∴BD=2AD=8cm，∵∠ DAC=120°﹣ 90°=30°，∴∠ DAC=∠C，∴AD=DC=4cm，∴BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm，应选： B．5．解：作PH⊥ MN 于 H，∵PM=PN，∴MH=NH= MN=1 ，∵∠ AOB=60°，∴∠ OPH=30°，∴OH= OP=5，∴OM=OH﹣ MH=4 ，应选： B．6．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ABC=∠ C=60°， AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴ AD=CD=3，∴ AB=AC=AD+CD=6．故答案为： 67．解：此题分两种状况议论：（ 1）如图 1，当 BD 在三角形内部时，∵BD= AB，∠ ADB=90°，∴∠ A=30°；（ 2）当如图 2， BD 在三角形外面时，∵BD= AB，∠ ADB=90°，∴∠ DAB=30°，∠ ABC=180°﹣∠ DAB=30°=150°．故答案是： 30°或 150°．8．解：① BC 为腰，∵AD⊥ BC于点 D，AD= BC，∴∠ ACD=30°，如图 1， AD 在△ ABC内部时，顶角∠ C=30°，如图 2， AD 在△ ABC外面时，顶角∠ ACB=180°﹣30°=150°，② BC 为底，如图 3，∵AD⊥ BC于点 D，AD= BC，∴AD=BD=CD，∴∠ B=∠ BAD，∠ C=∠ CAD，∴∠ BAD+∠ CAD=× 180°=90°，∴顶角∠ BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或 150°或 90°．故答案为： 30°或 150°或 90°．9．解：（ 1）∵∠ PAB=15°，∠ PBC=30°，∴∠ PAB=∠ APB，PB=AB=15× 3=45 海里；（2）过 P 点作 PD⊥ BC于 D，在 Rt△ PBD中，∠ PBD=30°， PB=45，∴ PD==22.5，22.5＞ 20．因此，轮船持续向前航行，不会有触礁危险．10．解：∵ Rt△ ABC中，∠ BAC=90°，∠ B=2∠ C，∴∠ B=60°，∠ C=30°，∴BC=2AB，∵AD 是 BC边上的高， E 是 BC 的中点．∴ BC=2AE，∴ AB=AE，∴∠ AED=60°，∴∠ DAE=30°，∴AE=2DE=AB，即 DE= AB．。

八年级数学上册《第二章 等腰三角形》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.等腰三角形的一边长为3 cm ，周长为19 cm ，则该三角形的腰长为（ ）A.3 cmB.8 cmC.3 cm 或8 cmD.以上答案均不对2.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,其周长为20cm,则边AB 的取值范围是( ).A.1cm<AB<4cmB.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm3.已知等腰△ABC 的底边BC=8,且|AC-BC|=2,那么腰AC 的长为( )A.10或6B.10C.6D.8或64.若a,b 为等腰△ABC 的两边，且满足520a b --=，则△ABC 的周长为 ( ）A.9B.12C.15或12D.9或125.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形6.在△ABC 中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ）A ．21B ．21或27C ．27D ．258.在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ ）A ．1cm ＜AB ＜4cm B ．5cm ＜AB ＜10cmC ．4cm ＜AB ＜8cmD ．4cm ＜AB ＜10cm二、填空题9.如果等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则这个等腰三角形的底边长是 .10.已知等腰△ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ．11.一个等腰三角形的底边长为5 cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分之差是3 cm ，则它的腰长是12.如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为________13.一副三角形叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度；14.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.三、解答题15.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm和 15cm两部分求这个三角形的腰长。