全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第23章 等腰三角形

（2022•桂林中考）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A．3+√22B．1+√2C．2√2D．2+√2【解析】选D．如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，因为∠C＝45°，所以△ADC是等腰直角三角形，所以AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=√2AC＝2√2，因为∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，所以∠DAB＝22.5°，所以∠B＝∠DAB，所以AD＝BD＝2，因为AD＝AC，AE⊥CD，所以DE＝CE，所以AE=12CD=√2，所以△ABC的面积为12•BC•AE=12×√2×（2+2√2）＝2+√2．（2022·安徽中考）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA（2022•泰安中考）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【解析】选A．如图，因为AB＝BC，∠C＝25°，所以∠C＝∠BAC＝25°，因为l1∥l2，∠1＝60°，所以∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，因为∠BEA＝∠C+∠2，所以∠2＝95°﹣25°＝70°（2022•宜宾中考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则CFAF =45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+√3．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解析】选B．如图1中，因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAD＝∠CAE，因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△DAE（SAS），所以BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，因为∠ADB+∠ADC＝180°，所以∠AEC+∠ADC＝180°，所以∠DAE+∠DCE＝180°，所以∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，所以A，D，C，E四点共圆，所以∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE=√5m，OA=√52m，过点C作CJ⊥DF于点J，因为tan∠CDF=CJDJ =CECD=2，所以CJ=2√55m，因为AO⊥DE，CJ⊥DE，所以AO∥CJ，所以CFAF =CJAO=2√55m√52m=45，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，所以BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，所以△BPN是等边三角形，所以BP＝PN，所以PA+PB+PC＝AP+PN+MN，所以当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，所以∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD=√3t，所以2+t=√3t，所以t=√3+1，所以CE＝BD=√3t＝3+√3，故④错误，故正确的结论是①②③.（2022•福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【解析】选B．因为AB＝AC，BC＝44cm，所以BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，因为∠ABC＝27°，所以tan∠ABC=ADBD≈0.51，所以AD≈0.51×22＝11.22cm．（2022•永州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【解析】选C．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，所以AC＝2BD＝4，因为∠C＝60°，所以∠A＝30°，所以BC=12AC＝2.（2022•鄂州中考）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【解析】选B．由题意可得AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA，因为∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，所以∠CAB＝∠CBA＝15°，因为l1∥l2，所以∠1＝∠CBA＝15°．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝90°B ．DE ＝DFC ．AD ＝BC D ．BD ＝CD【解析】选C ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，所以∠ADC ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠C ∠BED =∠CFD BD =CD，所以△BDE ≌△CDF （AAS ），所以DE ＝DF .（2022•龙东中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若△ABC 的面积是24，PD ＝1.5，则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【解析】选A ．如图，过点E 作EG ⊥AD 于G ，因为AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，所以∠PDF ＝∠EGP ＝90°，EG ∥BC ， 因为点E 是AB 的中点，所以G 是AD 的中点，所以EG =12BD ，因为F 是CD 的中点，所以DF =12CD ，所以EG ＝DF ，因为∠EPG ＝∠DPF ，所以△EGP ≌△FDP （AAS ），所以PG ＝PD ＝1.5，所以AD ＝2DG ＝6，因为△ABC 的面积是24，所以12•BC •AD ＝24，所以BC ＝48÷6＝8， 所以DF =14BC ＝2，所以EG ＝DF ＝2，由勾股定理得：PE =√22+1．52=2.5．A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°【解析】选A ．由题意可得BP 为∠ABC 的角平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ，因为AD ＝BD ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，所以∠ABC ＝2∠A ，因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝2∠A ，所以∠A +∠ABC +∠C ＝∠A +2∠A +2∠A ＝180°，解得∠A ＝36°．（2022•滨州中考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB ＝AC ，立柱AD ⊥BC ，且顶角∠BAC ＝120°，则∠C 的大小为 30° ．【解析】因为AB ＝AC 且∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）=12×60°＝30°．答案：30°．（2022•绍兴中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠BAC ＝80°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连结CD ，则∠BCD 的度数是 10°或100° ．【解析】如图，点D 即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，所以∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣80°）＝50°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD′，所以∠ACD′＝∠AD′C，因为∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，所以∠AD′C＝40°，所以∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．答案：10°或100°．（2022•娄底中考）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，所以△ACD≌△ABD′，故①正确；因为AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，所以ACAD =ABAD′，所以△ACB∽△ADD′，故②正确；因为△ACB∽△ADD′，所以S△ADD′S△ACB=（ADAC）2，因为当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，所以BD＝CD，所以当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；（2022•岳阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．【解析】因为AB＝AC，AD⊥BC，所以CD＝BD，因为BC＝6，所以CD＝3.答案：3（2022•德阳中考）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝√3．【解析】如图，设CE交AB于点O．因为∠ACB＝90°，AD＝DB，所以CD＝AD＝DB，所以∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，因为CE⊥AB，所以∠BCE+∠B＝90°，因为∠A+∠B＝90°，所以∠BCE＝∠A，所以∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，，所以CO＝CB•cos30°=√32因为DA＝DE，DA＝DC，所以DC＝DE，，所以CE=√3．因为DO⊥CE，所以CO＝OE=√32答案：√3．（2022•嘉兴中考）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°．【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，答案：∠B＝60°（2022•无锡中考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是4−√3．【解析】因为△ACB，△DEC都是等边三角形，所以AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，{CB=CA∠BCD=∠ACE CD=CE，所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠DBC＝∠EAC＝20°，因为∠BAC＝60°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BE交AC于点T．同法可证△BCD ≌△ACE ，所以∠CBD ＝∠CAF ，因为∠BTC ＝∠ATF ，所以∠BCT ＝∠AFT ＝60°，所以点F 在△ABC 的外接圆上运动，当∠ABF 最小时，AF 的值最小，此时CD ⊥BD ，所以BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4，所以AE ＝BD ＝4，∠BDC ＝∠AEC ＝90°，因为CD ＝CE ，CF ＝CF ，所以Rt △CFD ≌Rt △CFE （HL ），所以∠DCF ＝∠ECF ＝30°，所以EF ＝CE •tan30°=√3，所以AF 的最小值为AE ﹣EF ＝4−√3.答案：80，4−√3（2022•鄂州中考）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 42+18√77 ．【解析】因为△ABC 是等边三角形，所以AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE所以△ABD ≌△BCE （SAS ），所以∠BAD ＝∠CBE ，所以∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，所以∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，所以∠C ＝60°，所以△CEF 是等边三角形，所以∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，所以△APB ∽△BFE ，所以AP BP =BF EF =42=2， 设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，因为∠BPD ＝∠APE ＝60°，所以∠PBH ＝30°，所以PH =x 2，BH =√32x ，所以AH ＝AP +PH ＝2x +x 2=52x ，在Rt △ABH 中，AH 2+BH 2＝AB 2，即（52x ）2+（√32x ）2＝62， 解得x =6√77或−6√77（舍去），所以AP =12√77，BP =6√77， 所以△ABP 的周长为AB +AP +BP ＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77， 答案：42+18√77． （2022•泰州中考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB边相交于点D 、E ．若DE ＝CD +BE ，则线段CD 的长为 2或12 ．【解析】如图，过点O 的直线分别与AC 、AB 边相交于点D 、E ，连接BO ，CO ，因为O 为△ABC 的内心，所以CO 平分∠ACB ，BO 平分∠ABC ，所以∠BCO ＝∠ACO ，∠CBO ＝∠ABO ，当CD ＝OD 时，则∠OCD ＝∠COD ，所以∠BCO ＝∠COD ，所以BC ∥DE ，所以∠CBO ＝∠BOE ，所以BE ＝OE ，则DE ＝CD +BE ，设CD ＝OD ＝x ，BE ＝OE ＝y ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=10，所以{AD AC =DE BC AE AB =DE BC ，即{8−x 8=x+y 610−y 10=8−x 8，解得{x =2y =52，所以CD ＝2，过点O 作D ′E ′⊥AB ，作DE ∥BC ，因为点O 为△ABC 的内心，所以OD ＝OE ′，在Rt △ODD ′和Rt △OE ′E 中，{∠OE′E =∠ODD′OE′=OD ∠EOE′=∠D′OD，所以△ODD ′≌△OE ′E （ASA ），所以OE ＝OD ′，所以D ′E ′＝DE ＝CD +BE ＝CD ′+BE ′＝2+52=92，在△AD ′E ′和△ABC 中，{∠A =∠A ∠D′E′A =∠BCA，所以△AD ′E ′∽△ABC ， 所以AD′AB =D′E′BC ，所以AD′10=926，解得：AD ′=152，所以CD ′＝AC ﹣AD ′=12. 答案：2或12． （2022•包头中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为AB 边上一点，且BD ＝BC ，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE 的长为 3√2−3 ．【解析】因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，所以AB =√2AC ＝3√2，∠A ＝∠B ＝45°，因为BD ＝BC ＝3，AC ＝BC ，所以BD ＝AC ，AD ＝3√2−3．因为DC ＝DE ，所以∠DCE ＝∠DEC ．因为BD ＝BC ，所以∠DCE ＝∠CDB ，所以∠CED ＝∠CDB ，因为∠CDB ＝∠CDE +∠EDB ，∠CED ＝∠B +∠EDB ，所以∠CDE ＝∠B ＝45°．所以∠ADC +∠EDB ＝180°﹣∠CDE ＝135°．因为∠ADC +∠ACD ＝180°﹣∠A ＝135°，所以∠ACD ＝∠EDB ．在△ADC 和△BED 中，{AC =BD ∠ACD =∠EDB CD =DE，所以△ADC ≌△BED （SAS ）．所以BE ＝AD ＝3√2−3．答案：3√2−3．【解析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．因为AB＝AC=√2，∠BAC＝90°，所以BC=√(√2)2+(√2)2=2，因为AH⊥BC，所以BH＝AH＝1，所以AH＝BH＝CH＝1，所以AM+BN=√12+(1−x)2+√(√2)2+x2，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，√2）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（√2+1）x−√2，当y＝0时，x＝2−√2，所以AM+BN的值最小时，CM的值为2−√2.答案：2−√2（2022•自贡中考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．【证明】因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，所以∠ABD＝∠ACE＝120°，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠ABD=∠ACE BD=CE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠D＝∠E.（2022•怀化中考）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【解析】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，因为MQ∥BC，所以∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，所以△AMQ是等边三角形，所以AM＝QM，因为AM＝CN，所以QM＝CN，在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN ∠QMP=∠N QM=CN，所以△QMP≌△CNP（AAS），所以MP＝NP；（2）因为△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，所以AH＝HQ，因为△QMP≌△CNP，所以QP＝CP，所以PH＝HQ+QP=12 AC，因为AB＝a，AB＝AC，所以PH=1 2 a（2022•杭州中考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．（2022•绥化中考）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC 边上有一点D ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用面积证明：DE +DF ＝CG ．（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B '处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM ⊥FC 于M ，GN ⊥BC 于N ．若BC ＝8，BE ＝3，求GM +GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA ⊥AB ，ED ⊥CD ，连接BD ，且AB CD =AE DE ，BC =√51，CD ＝3，BD ＝6，求ED +EA 的长．【解析】（1）连接AD ，因为S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×CG =12×AB ×DE +12×AC ×DF ，因为AB ＝AC ，所以DE +DF ＝CG ；（2）因为将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，所以∠AFE ＝∠EFC ，AE ＝CE ，因为AD ∥BC ，所以∠AFE ＝∠CEF ，所以∠CEF ＝∠CFE ，所以CE ＝CF ，因为BC ＝8，BE ＝3，所以CE ＝AE ＝5，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB ＝4，所以等腰△CEF 中，CE 边上的高为4， 由（1）知，GM +GN ＝4；（3）延长BA 、CD 交于G ，作BH ⊥CD 于H ，因为ABCD =AEDE ，∠BAE ＝∠EDC ＝90°，所以△BAE ∽△CDE ，所以∠ABE ＝∠C ，所以BG ＝CG ，所以ED +EA ＝BH ，设DH ＝x ，由勾股定理得，62﹣x 2＝（√51）2﹣（x +3）2，解得x ＝1，所以DH ＝1， 所以BH =√BD 2−DH 2=√62−12=√35，所以ED +EA =√35．。

2021年全国(quán ɡuó)各地100份中考数学试卷分类汇编第23章等腰三角形一、选择题1.〔2021，7，3分〕如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，那么四边形BCED的面积为〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕【答案】B2. 〔2021，10，3分〕如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M是AE的中点，以下结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC +S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个【答案】D〔第7题〕3. 〔2021，10，3分〕如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结(li án ji é)CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 以下结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D4. 〔2021HY 全区，30〕如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，长为半径画弧，分别交、于D 、E 两点，并连接、．假设∠A =30∘，AB ＝AC ，那么∠BDE 的度数为何？A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75【答案】ＣABCDEFG5. 〔2021HY全区，34〕如图(十六)，有两全(liǎnɡ quán)等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：4【答案】Ｃ6. 〔2021，3，3分〕假如一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cm C．17cm D．16cm或者17cm【答案】D7. 〔2021凉山州，8，4分〕如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，那么DE等于〔〕A． B．C． D．【答案(dá àn)】C8.二、填空题1.〔2021，15，4分〕边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】cm2. 〔2021，14,4分〕等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .【答案】4或者63. 〔2021，16，4〕在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，那么点F到直线BC的间隔为．【答案】4. 〔2021，14,5分〕等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，假设∠ADF=80º，那么∠EGC的度数为【答案(dá àn)】80º5. 〔2021，14，5分〕如图，在△ABC中，AB=AC，，那么△ABC的外角∠BCD＝°．【答案】1106. 〔2021，11，3分〕如图〔四〕所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，那么∠A=_______。

等腰三角形一、选择题1. （2013 山东德州，4, 3 分）如图，AB // CD，点E 在BC 上，且CD=CE, / D=74°,,则/B的度数为（）A、68°B、32°C、22°D、16°【答案】B.【解读】在厶CDE 中，T CD=CE ,•••/ D= / DEF=74 : A / C=18° -2 74 °32 :•/ AB // CD , •/ B= / C=32 .【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和•本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查•注意等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质2. （2013山东日照，10, 4分）如图，在△ ABC中，以BC为圆的直径分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE .若BD平分/ ABC，则下列结论不一定成立的是2A.BD 丄ACB.AC =2AB -AEC.A ADE是等腰三角形D. BC = 2AD.【解读】••• BC为圆的直径，•/ BDC=9°，即BD丄AC。

•/ BD平分/ ABC , • AD=DC. ABC是等腰三角形。

由题意得/ ADE= / ABC, / A为公共角，•△ ADE ABC,AD 二△!,即AD AC =AB AE ,• AC2=2AB - AE o•△ ADE 是等腰三角形。

AB AC故只有D不一定正确。

【方法指导】本题是以圆为背景的几何证明题，涉及到的知道点等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。

3. （2013四川成都，4, 3分）如图，在△ ABC中，/ B=Z C, AB = 5,贝U AC的长为（）(A)2 (B)3 (C)4 (D)5BC第4题图 【答案】D •【解读】根据 等边对等角”可知，AC = AB = 5 .故选D •【方法指导】我们知道 等边对等角”、等角对等边”.一个三角形中，边和角还有以下关 系：较大的边所对的角较大”、较大的角所对边较大”. 4.（ 2013四川南充，3, 3分）如图，△ ABC 中，AB=AC ，/ B= 70°则/ A 的度数是（ ）A . 70 °B . 55 °C . 50 °D . 40 °【答案】：D .【解读】根据等腰三角形的性质等边对等角得到Z C= Z B=70° ,再根据三角形内角和定理得/ A=180°Z C-Z B=180°-70。

中考数学分类（含答案）等腰三角形一、选择题 1．（2010浙江宁波） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线， 则图中的等腰三角形有(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个【答案】A 2．（2010 浙江义乌）如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA =5，则线段PB 的长度为（ ▲ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】B3．（2010江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ）A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180° 【答案】B4.（2010 黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定ABC DPE D CBA(第10题)第15题图 【答案】B ． 5．（2010山东烟台）如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。

线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于 A 、80° B 、 70° C 、60° D 、50°【答案】C6．（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A ．8B ．7C ． 4D ．3【答案】B 7．（2010湖北武汉）如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ）DA.100°B.80°C.70°D.50° 【答案】A 8．（2010山东威海）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点， 连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是A ．BC ＝2BEADBEB ．∠A ＝∠EDAC ．BC ＝2AD D ．BD ⊥AC 【答案】C9．（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 10．（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A ．55°，55° B．70°，40° C ．55°，55°或70°，40° D ．以上都不对 【答案】C 11．（2010湖北随州）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定第15题图【答案】B12．（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,328,x y x y =⎧⎨+=⎩则此等腰三角形的周长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．5或4 【答案】A 13．（2010 山东东营）如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在ABB A第8题图 C同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（ ）（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小【答案】C 14．（2010 广东汕头）如图，把等腰直角△ABC 沿BD 折叠，使点A 落在边BC 上的点E 处．下面结论错误的是（ ）A ．AB ＝BE B ．AD ＝DC C ．AD ＝DE D ．AD ＝EC【答案】B15．（2010 重庆江津）已知：△ABC 中，AB=AC=x ，BC=6，则腰长x 的 取值范围是（ ）A ．03x <<B ．3x >C ．36x <<D ．6x >【答案】B16．（2010 重庆江津）如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ）①45EAF ∠=︒ ②△ABE ∽△ACD ③EA 平分CEF ∠ ④222BE DC DE +=A ．１个B ．２个C ．３个D ．４个【答案】C 17．（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是A 、15米B 、20米C 、25米D 、30米 【答案】C 18．（2010广东深圳）如图1，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°。

等腰三角形与直角三角形(共26道)一、单选题1(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在△ABC 中，∠B =90°,∠A =30°,BC =2,D 为AB 的中点．若点E 在边AC 上，且AD AB=DE BC ，则AE 的长为()A.1B.2C.1或32D.1或2【答案】D【分析】根据题意易得AB =23,AC =4，然后根据题意可进行求解．【详解】解：∵∠B =90°,∠A =30°,BC =2，∴AB =3BC =23,AC =2BC =4，∵点D 为AB 的中点，∴AD =12AB =3，∵AD AB =DE BC ，∴DE =1，①当点E 为AC 的中点时，如图，∴AE =12AC =2，②当点E 为AC 的四等分点时，如图所示：∴AE =1，综上所述：AE =1或2；故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．2(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若AB =4，CE =10，则AG =()A.2B.2.5C.3D.3.5【答案】C【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得BG=BF=5，在Rt△ABG中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD中，∴∠ABC=∠BAC=90°，∵F为CE的中点，CE=10，CE=5，∴BG=BF=12在Rt△ABG中，AG=BG2-AB2=52-42=3，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.3(2023·北京·统考中考真题)如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB=a，BC=b，DE=c，给出下面三个结论：①a+b<c；②a+b>a2+b2；③2a+b>c；上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】D【分析】如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，则DF=AC=a+b，由DF<DE，可得a +b<c，进而可判断①的正误；由△EAB≌△BCD，可得BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE =∠CDB，则∠EBD=90°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=AB2+AE2=a2+b2，由AB+AE>BE，可得a+b>a2+b2，进而可判断②的正误；由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即c2=2a2+b2，则c=2×a2+b2<2a+b，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，∴DF=AC=a+b，∵DF<DE，∴a+b<c，①正确，故符合要求；∵△EAB≌△BCD，∴BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE=∠CDB，∵∠CBD+∠CDB=90°，∴∠CBD+∠ABE=90°，∠EBD=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=AB2+AE2=a2+b2，∵AB+AE>BE，∴a+b>a2+b2，②正确，故符合要求；由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即c2=2a2+b2，∴c=2×a2+b2<2a+b，③正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,AC=x,∠BAC=α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：①若α=45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；②若α=60°，则AD的最大值为27；③若α=60°,△ABC∽△CBD，则OD的长为23；④若△ABC∽△BCD，则当x=2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为()A.①④B.②③C.①②④D.①③④【答案】A【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出△ABD的重心，即可求解；当α=60°，BD⊥BC时，AD取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得AD的长，即可求解；③如图5，若α=60°，△ABC∽△CBD，根据相似三角形的性质求得CD=3，GE=DF=32，CF=32，进而求得OD，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出CD=14BC2，在Rt△ABC中，BC2=16-x2，根据二次函数的性质，即可求AC+CD取得最大值时，x=2．【详解】①有3种情况，如图1，BC和OD都是中线，点E是重心；如图2，四边形ABDC是平行四边形，F是AD中点，点E是重心；如图3，点F不是AD中点，所以点E不是重心；①正确②当α=60°，如图4时AD最大，AB=4，∴AC=BE=2，BC=AE=23，BD=3BC=6，∴DE=8，∴AD=219≠27，∴②错误；③如图5，若α=60°，△ABC∽△CBD，∴∠BCD=60°，∠CDB=90°，AB=4，AC=2，BC=23，OE=3，CE=1，∴CD=3，GE=DF=32，CF=3 2，∴EF=DG=52，OG=3 2，∴OD=7≠23，∴③错误；④如图6，△ABC∽△BCD，∴CD BC =BC AB，即CD=14BC2，在Rt△ABC中，BC2=16-x2，∴CD=1416-x2=-14x2+4，∴AC+CD=x-14x2+4=-14(x-2)2+5，当x=2时，AC+CD最大为5，∴④正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．5(2023·浙江·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是()A.2B.22C.2D.1【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得BE=2AB，∠ABE=∠AEB=45°，∠BAE=90°，再判断出点A,B ,E ,D 四点共圆，在以BE 为直径的圆上，连接BD ，根据圆周角定理可得∠BDE =90°，∠ADB =∠AEB =45°，然后根据相似三角形的判定可得△ABD ∼△EBC ，根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：∵△BAE 是以AB 为腰的等腰直角三角形，∴BE =2AB ，∠ABE =∠AEB =45°，∠BAE =90°，∵AD ∥BC ,∠C =45°，∴∠ADE =180°-∠C =135°，∴∠ADE +∠ABE =180°，∴点A ,B ,E ,D 四点共圆，在以BE 为直径的圆上，如图，连接BD ，由圆周角定理得：∠BDE =90°，∠ADB =∠AEB =45°，∴∠ADB =∠C =∠CBD =45°，∴∠ABD +∠DBE =45°=∠EBC +∠DBE ，∴∠ABD =∠EBC ，在△ABD 和△EBC 中，∠ADB =∠C ∠ABD =∠EBC ，∴△ABD ∼△EBC ，∴CE AD =EB AB=2，∴CE =2AD =2×1=2，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点A ,B ,E ,D 四点共圆，在以BE 为直径的圆上是解题关键．6(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点，延长CB 至点F ，使BF =DE ，连结AE ,AF ,EF ，EF 交AB 于点K ，过点A 作AG ⊥EF ，垂足为点H ，交CF 于点G ，连结HD ，HC ．下列四个结论：①AH =HC ；②HD =CD ；③∠FAB =∠DHE ；④AK ⋅HD =2HE 2．其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据正方形ABCD 的性质可由SAS 定理证△ABF ≌△ADE ，即可判定△AEF 是等腰直角三角形，进而可得HE =HF =AH =12EF ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得HC =12EF ；由此即可判断①正确；再根据∠ADH +∠EAD =∠DHE +∠AEH ，可判断③正确，进而证明△AFK ∼△HDE ，可得AF HD =AK HE，结合AF =2AH =2HE ，即可得出结论④正确，由∠AED 随着DE 长度变化而变化，不固定，可判断②HD =CD 不一定成立．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠ADC =∠ABC =∠BAD =∠BCD =90°，∴∠ABF=∠ADC=90°，∵BF=DE，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴∠BAF=∠DAE，AF=AE，∴∠FAE=∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∠AEF=∠AFE=45°，∵AH⊥EF，∴HE=HF=AH=12EF，∵∠DCB=90°，∴CH=HE=12EF，∴CH=AH，故①正确；又∵AD=CD,HD=HD,∴△AHD≅△CHD(SSS),∴∠ADH=∠CDH=12∠ADC=45°，∵∠ADH+∠EAD=∠DHE+∠AEH，即：45°+∠EAD=∠DHE+45°，∴∠EAD=∠DHE，∴∠FAB=∠DHE=∠EAD，故③正确，又∵∠AFE=∠ADH=45°，∴△AFK∼△HDE，∴AF HD =AKHE，又∵AF=2AH=2HE，∴AK⋅HD=2HE2，故④正确，∵若HD=CD，则∠DHC=∠DCH=180°-45°2=67.5°，又∵CH=HE，∴∠HCE=∠HEC=67.5°，而点E是CD上一动点，∠AED随着DE长度变化而变化，不固定，而∠HEC=180°-∠AED-45°=135°-∠AED，则故∠HEC=67.5°不一定成立，故②错误；综上，正确的有①③④共3个，故选：C．【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二、填空题7(2023·湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为dm3．【答案】2【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE 的长，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，OD =22AD =22，OE =12OD =2∴图中阴影部分的面积为OE 2=2 2=2故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．8(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】 313【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG 的长．【详解】解：(1)过点E 作EH ⊥AD ，∵正方形ABCD 的边长为3，∴AD =3，∵△ADE 是等腰三角形，EA =ED =52，EH ⊥AD ，∴AH =DH =12AD =32，在Rt △AHE 中，EH =AE 2-AH 2=52 2-32 2=2，∴S △ADE =12AD ⋅EH =12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH 交AG 于点K ，∵正方形ABCD 的边长为3，∴∠BAD =∠ADC =90°，AB =3，∴AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，∵EK ⊥AD ，∴AB ∥EK ∥CD ，∴∠ABF =∠KEF ，∵F 为BE 的中点，∴BF =EF ，在△ABF 和△KEF 中，∠ABF =∠KEFBF =EF ∠AFB =∠KFE，∴△ABF ≌△KEF ASA ，∴EK =AB =3，由(1)可知，AH =12AD ，EH =2，∴KH =1，∵KH ∥CD ，∴△AHK ∽△ADG ，∴KH GD =AH AD，∴GD =2，在Rt △ADG 中，AG =AD 2+GD 2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．9(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BMMD=1，即：ND=AN=1，∴AD=AN+ND=2，当∠NMD=90°时，∵M为对角线BD的中点，∠NMD=90°∴MN为BD的垂直平分线，∴BN=ND，∵四边形ABCD矩形，AN=AB=1∴∠A=90°，则BN=AB2+AN2=2，∴BN=ND=2∴AD=AN+ND=2+1，综上，AD的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．10(2023·湖北·统考中考真题)如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由题意易得AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，AE=EF，DE=BE，∠DEB=∠AEF=∠BAC= 90°，则可证△AEB≌△FED SAS，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．【详解】解：∵△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∴AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，AE=EF，DE=BE，∠DEB=∠AEF=∠BAC=90°，∵∠DBA=∠DBE-∠ABE,∠EBC=∠ABC-∠ABE，∠AEB=∠AED+∠DEB,∠FED=∠AEF+∠AED，∴∠DBA=∠EBC,∠AEB=∠FED，故①正确；∴△AEB≌△FED SAS，∴AB=DF=AC,∠ABE=∠FDE，∠BAE=∠DFE，故③正确；∵∠ABE+∠BHE=90°,∠EFD+∠EGF=90°，∠BAE+∠EAC=90°，BE>AE，∴∠BHE≠∠EGF，∠EGF=∠EAC；故②错误；∴DF∥AC，∵DF=AC，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AD =CF ，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键．11(2023·山东·统考中考真题)如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点D ，E 在边BC 上，若∠DAE =30°，tan ∠EAC =13，则BD =．【答案】3-3【分析】过点A 作AH ⊥BC 于H ，根据等边三角形的性质可得∠BAC =60°，再由AH ⊥BC ，可得∠BAD +∠DAH =30°，再根据∠BAD +∠EAC =30°，可得∠DAH =∠EAC ，从而可得tan ∠DAH =tan ∠EAC =13，利用锐角三角函数求得AH =AB ⋅sin60°=33，再由DH AH =DH 33=13，求得DH =3，即可求得结果．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC =6，∠BAC =60°，∵AH ⊥BC ，∴∠BAH =12∠BAC =30°，∴∠BAD +∠DAH =30°，∵∠DAE =30°，∴∠BAD +∠EAC =30°，∴∠DAH =∠EAC ，∴tan ∠DAH =tan ∠EAC =13，∵BH =12AB =3，∵AH =AB ⋅sin60°=6×32=33，∴DH AH =DH 33=13，∴DH =3，∴BD =BH -DH =3-3，故答案为：3-3．【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH =∠EAC 是解题的关键．12(2023·山东日照·统考中考真题)如图，矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点P 在对角线BD 上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=9625；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③④【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP=PN，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出BD=10，MN=152，，利用S四边形MBND =12MN×BD判断②；根据相似可以得到S△MPES△DAB=MEBD2，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．【详解】解：∵EM=EN，MN⊥BD，∴MP=PN，在点P移动过程中，不一定MP=PN，相矛盾，故①不正确；延长ME交BC于点P,则ABPM为矩形，∴BD=AB2+AD2=62+82=10∵ME⊥AD，MN⊥BD，∴∠MED+∠MDE=∠MEP+∠EMN=90°，∴∠MDE=∠EMN，∴△MPN∽△DAB，∴MP AD =PNAB=MNBD，即68=PN6=MN10，解得：PN=92，MN=152，∴S四边形MBND =S△BMN+S△DMN=12MN×BP+12MN×DP=12MN×BD=12×152×10=752故②正确；∵ME∥AB，∴△DME∽△DAB，∴ME AB =MDAD=23，∴ME=4，∵∠MDE=∠EMN，∠MPE=∠A=90°，∴△MPE∽△DAB，∴S△MPES△DAB=MEBD2=425，∴S △MPE =425S △DAB =425×12×6×8=9625，故③正确，BM +MN +ND =BM +ND +152，即当MB +ND 最小时，BM +MN +ND 的最小值，作B 、D 关于AD 、BC 的对称点B 1、D 1,把图1中的CD 1向上平移到图2位置，使得CD =92，连接B 1D 1，即B 1D 1为MB +ND 的最小值，则AC =BD 1=72，BB 1=12,这时B 1D 1=BD 12+BB 12=72 2+122=252，即BM +MN +ND 的最小值是20，故④正确；故答案为：②③④【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AB 、AC 为腰分别向外作等腰直角△ABE 、△ACD ，连结ED 、BD 、EC ，过点A 的直线l 分别交线段DF 、BC 于点M 、N ，以下说法：①当AB =AC =BC 时，∠AED =30°；②EC =BD ；③若AB =3，AC =4，BC =6，则DE =23；④当直线l ⊥BC 时，点M 为线段DE 的中点．正确的有．(填序号)【答案】①②④【分析】①当AB =AC =BC 时，△ABC 是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出∠AED =∠ADE =12180°-120° =30°，进而判断①；证明△BAD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质判断②；作直线MN ⊥BC 于点N ，过点D 作DG ⊥MN 于点G ，过点E 作EH ⊥MN 于点H ，证明△ACN≌△DAG，△ABN≌△EAH，△EHM≌△DGM(AAS)，即可得M是ED的中点，故④正确，证明Rt△MEH≌Rt△MDG HL，可得MG=MH，在Rt△ABN中，AN2=AB2-BN2，在Rt△ANC中，AN2=AC2-CN2，得出a=2912，在Rt△MGD中，勾股定理即可求解．【详解】解：①当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠EAD=360°-90°-90°-60°=120°∵等腰直角△ABE、△ACD，∴BA=BE,BA=AD∴AE=AD∴∠AED=∠ADE=12180°-120°=30°；故①正确；②∵等腰直角△ABE、△ACD，∴AB=AE,AD=AC，∠BAE=∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∴△BAD≌△EAC∴EC=BD；故②正确；④如图所示，作直线MN⊥BC于点N，过点D作DG⊥MN于点G，过点E作EH⊥MN于点H，∵∠BAE=90°，MN⊥BC∴∠ABN+∠BAN=90°，又∠EAM+∠BAN=90°，∴∠EAM=∠ABN又∵EA=AB，∴△EAH≌△ABN AAS同理得，△ACN≌△DAG，∴GD=AN，AG=CN，EH=AN,AH=BN，∵∠EMH=∠DMG，∠EHM=∠DGM=90°，，∴△EHM≌△DGM(AAS)，∴EM=DM，即M是ED的中点，故④正确，∴MG=MH，设BN=a，则CN=BC-BN=6-a在Rt△ABN中，AN2=AB2-BN2在Rt△ANC中，AN2=AC2-CN2∴AB2-BN2=AC2-CN2∴32-a2=42-6-a2解得：a=29 12∴AG=CN=6-2912=43 12，∴AN=AB2-BN2=32-29122=45512，∴GH=AG-AH=AN-BN=6-2a=6-2×2912=76∴MG=12×76=712在Rt △MGD 中，MD =GD 2+MG 2=712 2+45512 2=142∴ED =2MD =14,故③错误故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．14(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为-8，6 ，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线y =-2x -6与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线y =-2x -6上，若△AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】M -8,6 或M -8,23【分析】如图，由△AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN =AN ，可得N 是圆H 与直线y =-2x -6的交点，当M ,B 重合时，符合题意，可得M -8,6 ，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ ⊥y 轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则∠NJA =∠MKN =90°，JK =AB =8，证明△MNK ≌△NAJ ，设N x ,-2x -6 ，可得MK =NJ =-x ，KN =AJ =-2x -6-6=-2x -12，而KJ =AB =8，则-2x -12-x =8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN =AN ，∴N 是圆H 与直线y =-2x -6的交点，当M ,B 重合时，∵B -8,6 ，则H -4,3 ，∴MH =AH =NH =4，符合题意，∴M -8,6 ，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ ⊥y 轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则∠NJA =∠MKN =90°，JK =AB =8，∴∠NAJ +∠ANJ =90°，∵AN =MN ，∠ANM =90°，∴∠MNK +∠ANJ =90°，∴∠MNK =∠NAJ ，∴△MNK ≌△NAJ ，设N x ,-2x -6 ，∴MK =NJ =-x ，KN =AJ =-2x -6-6=-2x -12，而KJ =AB =8，∴-2x -12-x =8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．15(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，∠BAC =90°,AB =AC =32．过点C 作CD ⊥BC ，延长CB 到E ，使BE =13CD ，连接AE ,ED ．若ED =2AE ，则BE =．(结果保留根号)【答案】7+1/1+7【分析】如图，过E 作EQ ⊥CQ 于Q ，设BE =x ,AE =y ，可得CD =3x ,DE =2y ，证明BC =2AB =6，CE =6+x ，△CQE 为等腰直角三角形，QE =CQ =22CE =226+x =32+22x ，AQ =22x ，由勾股定理可得：2y 2=6+x 2+3x 2y 2=22x 2+32+22x 2，再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过E 作EQ ⊥CQ 于Q ，设BE =x ,AE =y ，∵BE =13CD ，ED =2AE ，∴CD =3x ,DE =2y ，∵∠BAC =90°,AB =AC =32，∴BC =2AB =6，CE =6+x ，△CQE 为等腰直角三角形，∴QE =CQ =22CE =226+x =32+22x ，∴AQ =22x ，由勾股定理可得：2y 2=6+x 2+3x 2y 2=22x 2+32+22x 2 ，整理得：x 2-2x -6=0，解得：x =1±7，经检验x =1-7不符合题意；∴BE =x =1+7；故答案为：1+7．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973/1397【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH=CE+CH=9，∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴△ECD~△EHA，∴CD AH =CE HE，即CD4=69，解得：CD=8 3，∴DE=CE2+CD2=62+83 2=2973，∵CD∥AH，∴DE AD =CE CH，即2973AD=63，解得：AD=97 3．故答案为：97 3．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC∠A=90°硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最小值为，最大值为．【答案】88+22【分析】根据题意，可固定四边形GFCE，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．【详解】如图1，BC=4，AC=4×22=22，CI=BD=CE=12AC=2DI=BC=4∴四边形BCID周长=4+4+22=8+22；如图2，AF=AI=IC=FC=2∴四边形AFCI周长为2×4=8；故答案为：最小值为8，最大值8+2 2.【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．三、解答题18(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)∠AEF=90°，证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC=α=∠C，可得DE=DC，等量代换得到DM=DC即可；(2)延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，设DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，证明△ABF≅△ACH SAS，得到AF=AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE-∠C=α，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DM=DC，即D是MC的中点；(2)∠AEF=90°；证明：如图2，延长FE 到H 使FE =EH ，连接CH ，AH ，∵DF =DC ，∴DE 是△FCH 的中位线，∴DE ∥CH ，CH =2DE ，由旋转的性质得：DM =DE ，∠MDE =2α，∴∠FCH =2α，∵∠B =∠C =α，∴∠ACH =α，△ABC 是等腰三角形，∴∠B =∠ACH ，AB =AC ，设DM =DE =m ，CD =n ，则CH =2m ，CM =m +n ，∴DF =CD =n ，∴FM =DF -DM =n -m ，∵AM ⊥BC ，∴BM =CM =m +n ，∴BF =BM -FM =m +n -n -m =2m ，∴CH =BF ，在△ABF 和△ACH 中，AB =AC∠B =∠ACH BF =CH，∴△ABF ≅△ACH SAS ，∴AF =AH ，∵FE =EH ，∴AE ⊥FH ，即∠AEF =90°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．19(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC 和△ADE 是等边三角形，连接DC ，点F ，G ，H 分别是DE ,DC 和BC 的中点，连接FG ,FH ．易证：FH =3FG ．若△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，且∠BAC =∠DAE =90°，如图②：若△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，如图③：其他条件不变，判断FH 和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】图②中FH =2FG ，图③中FH =FG ，证明见解析【分析】图②：如图②所示，连接BD ，HG ，CE ，先由三角形中位线定理得到FG ∥CE ，FG =12CE ，GH ∥BD ，GH =12BD ，再证明△ABD ≌△ACE 得到CE =BD ，∠ACE =∠ABD ，则FG =HG ，进一步证明∠FGH =90°，即可证明△HGF 是等腰直角三角形，则FH =2FG ；图③：仿照图②证明△HGF 是等边三角形，则FH =FG ．【详解】解：图②中FH =2FG ，图③中FH =FG ，图②证明如下：如图②所示，连接BD ，HG ，CE ，∵点F ，G 分别是DE ，DC 的中点，∴FG 是△CDE 的中位线，∴FG ∥CE ，FG =12CE ，同理可得GH ∥BD ，GH =12BD ，∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，且∠BAC =∠DAE =90°，∴AB =AC ，∠BAD =∠CAE ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE SAS ，∴CE =BD ，∠ACE =∠ABD ，∴FG =HG ，∵BD ∥GH ，FG ∥CE ，∴∠FGH =∠FGD +∠HGD=∠DCE +∠GHC +∠GCH=∠DBC +∠DCB +∠ACD +∠ACE=∠DBC +∠ABD +∠ACB=∠ACB +∠ABC=90°，∴△HGF 是等腰直角三角形，∴FH =2FG ；图③证明如下：如图③所示，连接BD ，HG ，CE ，∵点F ，G 分别是DE ，DC 的中点，∴FG 是△CDE 的中位线，∴FG ∥CE ，FG =12CE ，同理可得GH ∥BD ，GH =12BD ，∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，∴AB =AC ，∠BAD =∠CAE ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE SAS ，∴CE =BD ，∠ACE =∠ABD ，∴FG =HG ，∵BD ∥GH ，FG ∥CE ，∴∠FGH =∠FGD +∠HGD=∠DCE +∠GHC +∠GCH=∠DBC +∠DCB +∠ACD +∠ACE=∠DBC +∠ABD +∠ACB=∠ACB +∠ABC=180°-∠BAC=60°，∴△HGF 是等边三角形，∴FH =FG ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．20(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =30°，连接BE ，CF ，延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：，∠BDC =°；(2)类比探究：如图2，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =120°，连接BE ，CF ，延长BE ，FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及∠BDC 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC 和△AEF 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠EAF =90°，连接BE ，CF ，且点B ，E ，F 在一条直线上，过点A 作AM ⊥BF ，垂足为点M ．则BF ，CF ，AM 之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD 中，AB =2，若平面内存在点P 满足∠BPD =90°，PD =1，则S △ABP =．【答案】(1)BE =CF ，30(2)BE =CF ，∠BDC =60°，证明见解析(3)BF =CF +2AM (4)7+74或7-74【分析】(1)根据已知得出∠BAE =∠CAF ，即可证明△BAE ≌△CAF ，得出BE =CF ，∠ABE =∠ACF ，进而根据三角形的外角的性质即可求解；(2)同(1)的方法即可得证；(3)同(1)的方法证明△BAE ≌△CAF SAS ，根据等腰直角三角形的性质得出AM =12EF =EM =MF ，即可得出结论；(4)根据题意画出图形，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P ,P 1，延长BP 至M ，使得PM =DP =1，证明△ADP ∽△BDM ，得出PA =22BM ，勾股定理求得PB ，进而求得BM ，根据相似三角形的性质即可得出PA =221+7 =2+142，勾股定理求得BQ ,PQ ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵∠BAC =∠EAF =30°，∴∠BAE =∠CAF ，又∵AB =AC ，AE =AF ，∴△BAE ≌△CAF ，∴BE =CF ，∠ABE =∠ACF设AC ,BD 交于点O ，∵∠AOD =∠ACF +∠BDC =∠ABE +∠BAO ∴∠BDC =∠BAO =∠BAC =30°，故答案为：BE =CF ，30．(2)结论：BE =CF ，∠BDC =60°；证明：∵∠BAC =∠EAF =120°，∴∠BAC -∠EAC =∠EAF -∠EAC ，即∠BAE =∠CAF ，又∵AB =AC ，AE =AF ，∴△BAE ≌△CAF ∴BE =CF ，∠AEB =∠AFC∵∠EAF =120°，AE =AF ，∴∠AEF =∠AFE =30°，∴∠BDC =∠BEF -∠EFD =∠AEB +30°-∠AFC -30° =60°，(3)BF =CF +2AM ，理由如下，∵∠BAC =∠EAF =90°，∴∠BAC -∠EAC =∠EAF -∠EAC ，即∠BAE =∠CAF ，又∵△ABC 和△AEF 均为等腰直角三角形∴AB =AC ,AE =AF ，∴△BAE ≌△CAF SAS ，∴BE =CF ，在Rt △AEF 中，AM ⊥BF ，∴AM =12EF =EM =MF ，∴BF =BE +EF =CF +2AM ；(4)解：如图所示，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P ,P 1，延长BP 至M ，使得PM =DP =1，则△MDP 是等腰直角三角形，∠MDP =45°∵∠CDB =45°,∴∠MDB =∠MDP +∠PDC +∠CDB =90°+∠PDC =∠ADP ，∵AD DB =12,DP DM =12，∴△ADP ∽△BDM∴PA BM =12=22，∴PA =22BM ，∵AB =2，在Rt △DPB 中，PB =DB 2-DP 2=22 2-12=7，∴BM =BP +PM =7+1∴PA =221+7 =2+142过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，设QB =x ，则AQ =2-x ，在Rt △APQ 中，PQ 2=AP 2-AQ 2，在Rt △PBQ 中，PQ 2=PB 2-BQ 2∴AP 2-AQ 2=PB 2-BQ 2∴2+1422-2-x 2=7 2-x 2解得：x =7-74，则BQ =7-74，设PQ ,BD 交于点G ，则△BQG 是等腰直角三角形，∴QG =QB =7-74在Rt △DPB ,Rt △DP 1B 中，DP =DP 1DB =DB∴Rt △DPB ≌Rt △DP 1B ∴∠PDB =∠P 1DB 又PD =P 1D =1，DG =DG ∴△PGD ≌△P 1DG ∴∠PGD =∠P 1GD =45°∴∠PGP 1=90°，∴P 1G ∥AB∴S △ABP 1=12AB ×QG =12×2×7-74=7-74，在Rt △PQB 中，PQ =PB 2-BQ 2=7 2-7-74 2=7+74∴S △ABP =12AB ×PQ =12×2×7+74=7+74，综上所述，S △ABP =7+74或7-74故答案为：7+74或7-74．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．21(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =BC ，D 是AB 边上一点，且AD BD=1n (n 为正整数)，E 是AC 边上的动点，过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】(1)如图1，当n =1时，兴趣小组探究得出结论：AE +BF =22AB ，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n =2，且点F 在线段BC 上时，试探究线段AE ，BF ，AB 之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE ，BF ，AB 之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF ，设EF 的中点为M ．若AB =22，求点E 从点A 运动到点C 的过程中，点M 运动的路径长(用含n 的代数式表示)．【答案】(1)见解析(2)①AE +12BF =23AB ，证明过程略；②当点F 在射线BC 上时，AE +1n BF =2n +1AB ，当点F 在CB 延长线上时，AE -1n BF =2n +1AB(3)n 2+1【分析】(1)连接CD ，当n =1时，ADBD=1，即AD =BD ，证明AD =CD ，从而得到△ADE ≌△CDF 即可解答；(2)①过BD 的中点G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，当n =2时，AD =DG ，根据GH ∥BC ，可得△AHG 是等腰直角三角形，JG =12FB ，根据(1)中结论可得AE +JG =22AG ，再根据JG =12FB ，AG =23AB ，即可得到AE +12BF =23AB ；②分类讨论，即当点F 在射线BC 上时；当点F 在CB 延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；(3)如图，当E 1与A 重合时，取E 1F 1的中点M 1，当E 2与C 重合时，取E 2F 2的中点M 2，可得M 的轨迹长度即为M 1M 2的长度，可利用建系的方法表示出E 1,F 1,E 2,F 2的坐标，再利用中点公式求出M 1,M 2，最后利用勾股定理即可求出M 1M 2的长度．【详解】(1)证明：如图，连接CD ，当n =1时，ADBD=1，即AD =BD ，∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠A =∠B =45°，CD ⊥AB ，∠FCD =12∠ACB =45°,∴CD =AD ，AB =2BC ，即BC =22AB ，∵DE ⊥FD ，∴∠ADE +∠EDC =∠FDC +∠EDC =90°，∴∠ADE =∠CDF在△ADE 与△CDF 中，∠ADE =∠CDFDA =DC ∠DAE =∠DCF，∴△ADE ≌△CDF ASA ，∴AE =CF ，∴BC =CF +BF =AE +BF =22AB ；(2)①AE +12BF =23AB 证明：如图，过BD 的中点G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，当n =2时，AD DB=12，即2AD =DB ，∵G 是DB 的中点，∴AD =DG ，AG =23AB ，∵HG ∥BC ，∴∠AHG =∠C =90°，∠HGA =∠B =45°，∵∠A =45°，∴△AHG 是等腰直角三角形，且△DJG ∽△DBF ，∴JG FB =DG DB=12，根据(1)中的结论可得AE +JG =22AG ，∴AE +JG =AE +12FB =22AG =23×22AB =23AB ；故线段AE ，BF ，AB 之间的数量关系为AE +12BF =23AB ；②解：当点F 在射线BC 上时，如图，在DB 上取一点G 使得AD =DG ，过G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，同①，可得AE +JG =22AG ，∵AD BD=1n ，AD =DG ，∴DG BD=1n ，AG =2n +1AB ，同①可得JG FB =DG DB =1n ，∴AE +JG =AE +1n FB =22AG =2n +1×22AB =2n +1AB ，即线段AE ，BF ，AB 之间数量关系为AE+1n BF =2n +1AB ；当点F 在CB 延长线上时，如图，在DB 上取一点G 使得AD =DG ，过G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，连接HD同(1)中原理，可证明△DHE ≌△DGJ ASA ，可得AE -GJ =22AG ，∵AD BD=1n ，AD =DG ，。

中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（共26道）一 、单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DEAB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或22．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.53．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B ．22C ．2D ．16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E 使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号）16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．19．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图① ABC 和ADE 是等边三角形 连接DC 点F G H 分别是,DE DC 和BC 的中点 连接,FG FH ．易证：3FH FG =．若ABC 和ADE 都是等腰直角三角形 且90BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：若ABC 和ADE 都是等腰三角形 且120BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：其他条件不变 判断FH 和FG 之间的数量关系 写出你的猜想 并利用图①或图①进行证明．20．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题 是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律 再结合其他数学知识的内在联系 最终可以获得宝贵的数学经验 并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 30BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：______ BDC ∠=______︒(2)类比探究：如图2 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 120BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC ∠的度数 并说明理由(3)拓展延伸：如图3 ABC 和AEF △均为等腰直角三角形 90BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 且点B E F 在一条直线上 过点A 作AM BF ⊥ 垂足为点M ．则BF CF AM 之间的数量关系：______(4)实践应用：正方形ABCD 中 2AB = 若平面内存在点P 满足90BPD ∠=︒ 1PD =，则ABP S =△______．21．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式 某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt ABC △中 90,C AC BC ∠=︒= D 是AB 边上一点 且1AD BD n=（n 为正整数） E 是AC 边上的动点 过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】(1)如图1 当1n =时 兴趣小组探究得出结论：2AE BF AB += 请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2 当2n = 且点F 在线段BC 上时 试探究线段AE BF AB ，，之间的数量关系 请写出结论并证明①请通过类比 归纳 猜想 探究出线段AE BF AB ，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论 不必证明） 【拓展运用】(3)如图3 连接EF 设EF 的中点为M ．若22AB = 求点E 从点A 运动到点C 的过程中 点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）．22．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==， 点E 在边BC 上 且2BE =．动点P 从点E 出发 沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动 作90PEQ ∠=︒ EQ 交边AD 或边DC 于点Q 连续PQ ．当点Q 与点C 重合时 点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)当点P 和点B 重合时 线段PQ 的长为__________ (2)当点Q 和点D 重合时 求tan PQE ∠(3)当点P 在边AD 上运动时 PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图①．请说明理由(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F 连接PF QF 当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时 直接写出t 的取值范围．23．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】（1）如图1 ABC 和BDE 都是等边三角形 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上． ①求证：AE CD =①用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型应用】（2）如图2 ABC 是直角三角形 AB AC = CD BD ⊥ 垂足为D 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上．用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型迁移】（3）在（2）的条件下 若42AD = 3BD CD = 求cos AFB ∠的值．24．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边ABC 中 AD BC ⊥于点D E 为线段AD 上一动点（不与AD 重合） 连接BE CE 将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF 连接AF ．(1)如图1 求证：CBE CAF ∠=∠(2)如图2 连接BF 交AC 于点G 连接DG EF EF 与DG 所在直线交于点H 求证：EH FH = (3)如图3 连接BF 交AC 于点G 连接DG EG 将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到APG 将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到DQG 连接PQ QF ．若4AB = 直接写出PQ QF +的最小值．25．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1 在ABC 中 AB AC = 点,M N 分别为边,AB BC 的中点 连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________ MN 与AC 的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2 若90,42BAC BC ∠=︒= 先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角） 得到BEF △ 当点,,A E F 在同一直线上时 AE 与BC 相交于点D 连接CF ．（1）求BCF ∠的度数（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒ 将BMN 绕点B 顺时针旋转α 得到BEF △ 连接AE CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒ 点,,C E F 在同一直线上时 利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或2【答案】D【分析】根据题意易得3,4==AB AC 然后根据题意可进行求解．【详解】解：①90,30,2B A BC ∠︒∠︒=== ①323,24AB BC AC BC ====①点D 为AB 的中点 ①132AD AB =①AD DE AB BC= ①1DE =①当点E 为AC 的中点时 如图，①122AE AC == ①当点E 为AC 的四等分点时 如图所示：①1AE =综上所述：1AE =或2故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线 熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF == 在Rt ABG △中 利用勾股定理即可求解.【详解】解：①矩形ABCD 中①90ABC BAC ∠=∠=︒①F 为CE 的中点 10CE = ①152BG BF CE === 在Rt ABG △中 2222543AG BG AB =--故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质 直角三角形斜边中线的性质 勾股定理 掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.3．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 【答案】D【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+ 由DF DE < 可得a b c +< 进而可判断①的正误 由EAB BCD ≌△△ 可得BE BD = CD AB a == AE BC b ==ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒ BDE △是等腰直角三角形 由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++ 由AB AE BE +> 可得22a b a b +>+ 进而可判断①的正误 由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+，则)2222c a b a b =++ 进而可判断①的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形①DF AC a b ==+①DF DE <①a b c +< ①正确 故符合要求①EAB BCD ≌△△①BE BD = CD AB a == AE BC b == ABE CDB ∠=∠①90CBD CDB ∠+∠=︒①90∠+∠=︒CBD ABE 90EBD ∠=︒①BDE △是等腰直角三角形由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++①AB AE BE +> ①22a b a b ++ ①正确 故符合要求由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+ ①)2222c a b a b ++ ①正确 故符合要求故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质 全等三角形的性质 勾股定理 等腰三角形的判定 不等式的性质 三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A 【分析】①有3种情况 分别画出图形 得出ABD △的重心 即可求解 当60α=︒ BD BC ⊥时 AD 取得最大值 进而根据已知数据 结合勾股定理 求得AD 的长 即可求解 ①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△ 根据相似三角形的性质求得3CD = 3GE DF == 32CF = 进而求得OD 即可求解 ①如图6 根据相似三角形的性质得出214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- 根据二次函数的性质 即可求AC CD +取得最大值时 2x =． 【详解】①有3种情况 如图1 BC 和OD 都是中线 点E 是重心如图2 四边形ABDC 是平行四边形 F 是AD 中点 点E 是重心如图3 点F 不是AD 中点 所以点E 不是重心①正确①当60α=︒ 如图4时AD 最大 4AB =∴2AC BE == 23BC AE == 36BD BC ==∴8DE = ∴1927AD =≠∴①错误①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△①60BCD ∠=︒ 90CDB ∠=︒ 4AB = 2AC = 3BC = 3OE = 1CE = ①3CD = 3GE DF ==32CF = ①52EF DG == 3OG ①723OD =≠①①错误①如图6 ABC BCD ∽△△ ①CD BC BC AB= 即214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- ①()221116444CD x x =-=-+ ①22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+ 当2x =时 AC CD +最大为5①①正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义 勾股定理 相似三角形的性质 二次函数的性质 分类讨论 画出图形是解题的关键．5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B 2C ．2D ．1【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质可得2BE = 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒ 再判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上 连接BD 根据圆周角定理可得90BDE ∠=︒45ADB AEB ∠=∠=︒ 然后根据相似三角形的判定可得ABD EBC 根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：BAE 是以AB 为腰的等腰直角三角形 2BE AB ∴ 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒,45AD BC C ∠=︒∥180135ADE C ∴∠=︒-∠=︒180ADE ABE ∴∠+∠=︒∴点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上如图，连接BD由圆周角定理得：90BDE ∠=︒ 45ADB AEB ∠=∠=︒45ADB C CBD ∴∠=∠=∠=︒45ABD DBE EBC DBE ∴∠+∠=︒=∠+∠ABD EBC ∠=∠∴在ABD △和EBC 中 ADB C ABD EBC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ABD EBC ∴2CE EB AD AB∴== 2212CE AD ∴==故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质等知识点 正确判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上是解题关键．6．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据正方形ABCD 的性质可由SAS 定理证ABF ADE △≌△ 即可判定AEF △是等腰直角三角形 进而可得12HE HF AH EF === 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12HC EF = 由此即可判断①正确 再根据ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 可判断①正确 进而证明AFK HDE 可得AF AK HD HE = 结合22AF HE == 即可得出结论①正确 由AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定 可 判断①HD CD =不一定成立．【详解】解：①正方形ABCD①AB AD = 90ADC ABC BAD BCD ∠=∠=∠=∠=︒①90ABF ADC ∠=∠=︒①BF DE =①ABF ADE △≌△SAS （）①BAF DAE ∠=∠ AF AE =①90FAE BAF BAE DAE BAE BAD ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒①AEF △是等腰直角三角形 45AEF AFE ∠=∠=︒①AH EF ⊥ ①12HE HF AH EF ===①90DCB ∠=︒ ①12CH HE EF == ①CH AH = 故①正确又①AD CD =,HD HD =,①(SSS)AHD CHD ≅, ①1452ADH CDH ADC ∠=∠=∠=︒ ①ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 即：4545EAD DHE ︒+∠=∠+︒①EAD DHE ∠=∠①FAB DHE EAD ∠=∠=∠ 故①正确又①45AFE ADH ∠=∠=︒①AFK HDE ①AF AK HD HE= 又①22AF AH HE = ①22AK HD HE ⋅= 故①正确①若HD CD =，则1804567.52DHC DCH ︒-︒∠=∠==︒ 又①CH HE =①67.5HCE HEC ∠=∠=︒而点E 是CD 上一动点 AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定而18045135HEC AED AED ∠=︒-∠-︒=︒-∠则故67.5HEC ∠=︒不一定成立 故①错误综上 正确的有①①①共3个故选：C ．【点睛】本题考查三角形综合 涉及了正方形的性质 全等三角形 相似三角形的判定与性质 等腰三角形＂三线合一＂的性质 直角三角形的性质 熟练掌握正方形的性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定和性质 直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．【答案】2【分析】根据正方形的性质 以及七巧板的特点 求得OE 的长 即可求解．【详解】解：如图所示依题意 222OD AD == 122OE OD ==①图中阴影部分的面积为2222OE ==故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质 勾股定理 七巧板 熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．【答案】 3 13【分析】（1）过点E 作EH AD ⊥ 根据正方形和等腰三角形的性质 得到AH 的长 再利用勾股定理 求出EH 的长 即可得到ADE 的面积（2）延长EH 交AG 于点K 利用正方形和平行线的性质 证明()ASA ABF KEF ≌ 得到EK 的长 进而得到KH 的长 再证明AHK ADG △∽△ 得到KH AH GD AD= 进而求出GD 的长 最后利用勾股定理 即可求出AG 的长．【详解】解：（1）过点E 作EH AD ⊥正方形ABCD 的边长为33AD ∴= ADE 是等腰三角形 52EA ED ==EH AD ⊥ 1322AH DH AD ∴=== 在Rt AHE 中 222253222EH AE AH ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132322ADE S AD EH ∴=⋅=⨯⨯=, 故答案为：3（2）延长EH 交AG 于点K正方形ABCD 的边长为390BAD ADC ∴∠=∠=︒ 3AB =AB AD ∴⊥ CD AD ⊥EK AD ⊥AB EK CD ∴∥∥ABF KEF ∴∠=∠F 为BE 的中点BF EF ∴=在ABF △和KEF 中ABF KEF BF EFAFB KFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABF KEF ∴≌3EK AB ∴==由（1）可知 12AH AD =2EH = 1KH ∴=KH CD ∥ AHK ADG ∴△∽△KH AH GD AD∴= 2GD在Rt ADG 中 22223213AG AD GD =++ 13【点睛】本题考查了正方形的性质 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理等知识 作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．【答案】221【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时 分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时①四边形ABCD 矩形①90A ∠=︒，则∥MN AB 由平行线分线段成比例可得：ANBMND MD =又①M 为对角线BD 的中点①BM MD = ①1ANBMND MD ==即：1ND AN ==①2AD AN ND =+=当90NMD ∠=︒时①M 为对角线BD 的中点 90NMD ∠=︒①MN 为BD 的垂直平分线①BN ND =①四边形ABCD 矩形 1AN AB ==①90A ∠=︒，则222BN AB AN =+= ①2BN ND ==①21AD AN ND =+综上 AD 的长为221故答案为：221．【点睛】本题考查矩形的性质 平行线分线段成比例 垂直平分线的判定及性质等 画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①①①【分析】由题意易得,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒，则可证()SAS AEB FED ≌ 然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．【详解】解：①,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形①,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒①,DBA DBE ABE EBC ABC ABE ∠=∠-∠∠=∠-∠ ,AEB AED DEB FED AEF AED ∠=∠+∠∠=∠+∠ ①,DBA EBC AEB FED ∠=∠∠=∠ 故①正确①()SAS AEB FED ≌①,AB DF AC ABE FDE ==∠=∠ BAE DFE ∠=∠ 故①正确①90,90ABE BHE EFD EGF ∠+∠=︒∠+∠=︒ 90BAE EAC ∠+∠=︒ BE AE >①BHE EGF ∠≠∠ EGF EAC ∠=∠ 故①错误①DF AC ∥①DF AC =①四边形ADFC 是平行四边形①AD CF = 故①正确故答案为①①①．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．【答案】33【分析】过点A 作AH BC ⊥于H 根据等边三角形的性质可得60BAC ∠=︒ 再由AH BC ⊥ 可得=30BAD DAH ∠+∠︒ 再根据=30BAD EAC ∠+∠︒ 可得DAH EAC ∠=∠ 从而可得1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ 利用锐角三角函数求得sin 6033AH AB =⋅︒= 再由1==333DH AH 求得3DH = 即可求得结果．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于H①ABC 是等边三角形①6AB AC BC === 60BAC ∠=︒①AH BC ⊥ ①1302BAH BAC ∠=∠=︒ ①=30BAD DAH ∠+∠︒①30DAE ∠=︒①=30BAD EAC ∠+∠︒①DAH EAC ∠=∠ ①1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ ①132BH AB == ① 3=sin 60=6=3AH AB ⋅︒①1==333DH AH ①3DH = ①==33BD BH DH - 故答案为：33【点睛】本题考查等边三角形的性质 锐角三角函数 熟练掌握等边三角形的性质证明DAH EAC ∠=∠是解题的关键．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①①①【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP PN = 可以判断① 利用相似和勾股定理可以得出10BD =152MN = 利用MBND 12S MN BD =⨯四边形判断① 根据相似可以得到2MPE DAB S ME S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 判断① 利用将军饮马问题求出最小值判断①．【详解】解：①EM EN = MN BD ⊥①MP PN =在点P移动过程中不一定MP PN =相矛盾延长ME 交BC 于点P ,则ABPM 为矩形 ①22226810BD AB AD +=+①ME AD ⊥ MN BD ⊥①90MED MDE MEP EMN ∠+∠=∠+∠=︒，①MDE EMN ∠=∠①MPN DAB ∽ ①MP PN MN AD AB BD == 即68610PN MN == 解得：91522PN MN ==， ①1111157510222222BMN DMN MBND S SS MN BP MN DP MN BD =+=⨯+⨯=⨯=⨯⨯=四边形 故①正确①ME AB ①DME DAB ∽①23ME MD AB AD == ①4ME =①MDE EMN ∠=∠ 90MPE A ∠=∠=︒ ①MPE DAB ∽①2425MPE DAB S ME SBD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ①44196682525225MPE DAB S S ==⨯⨯⨯=152BM MN ND BM ND ++=++ 即当MB ND +最小时，BM MN ND ++的最小值 作B D 关于AD BC 、的对称点11B D 、, 把图1中的1CD 向上平移到图2位置 使得9CD 2=连接11B D 即11B D 为MB ND +的最小值，则172AC BD == 112BB =, 这时222211117251222B D BD BB ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭即BM MN ND ++的最小值是20故①正确故答案为：①①①【点睛】本题考查矩形的性质 相似三角形的判定和性质 轴对称 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时 30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)【答案】①①①【分析】①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形 根据等角对等边 以及三角形的内角和定理即可得出()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 进而判断① 证明BAD EAC ≌ 根据全等三角形的性质判断① 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H 证明ACN DAG ≌ ABN EAH ≌ (AAS)EHM DGM ≌ 即可得M 是ED 的中点 故①正确 证明()Rt Rt HL MEH MDG ≌ 可得MG MH = 在Rt ABN △中 222AN AB BN =- 在Rt ANC △中 222AN AC CN =- 得出 2912a = 在Rt MGD 中 勾股定理即可求解． 【详解】解：①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形①60BAC ∠=︒①360909060120EAD ∠=︒-︒-︒-︒=︒①等腰直角ABE ACD①,BA BE BA AD ==①AE AD = ①()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 故①正确 ①①等腰直角ABE ACD①,AB AE AD AC == 90BAE DAC ∠=∠=︒①BAD EAC ∠=∠①BAD EAC ≌①EC BD = 故①正确①如图所示 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H①90BAE ∠=︒ MN BC ⊥①90ABN BAN ∠+∠=︒又90EAM BAN ∠+∠=︒①EAM ABN ∠=∠又①EA AB =①EAH ABN ≌()AAS同理得 ACN DAG ≌①GD AN = AG CN = ,EH AN AH BN == ①EMH DMG ∠=∠ 90EHM DGM ∠=∠=︒ ①(AAS)EHM DGM ≌①EM DM = 即M 是ED 的中点 故①正确 ①MG MH =设BN a =，则6CN BC BN a =-=-在Rt ABN △中 222AN AB BN =-在Rt ANC △中 222AN AC CN =-①2222AB BN AC CN -=-①()2222346a a -=-- 解得：2912a = ①294361212AG CN ==-= ①222229455312AN AB BN ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ①2976262126GH AG AH AN BN a =-=-=-=-⨯=①1772612MG =⨯= 在Rt MGD 中 222274551412122MD GD MG ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①214ED MD ==故①错误故答案为：①①①．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 等边三角形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形 可得N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN = 可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点 当,M B 重合时 符合题意 可得()8,6M - 当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB == 证明MNK NAJ ≌ 设(),26N x x -- 可得MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=-- 而8KJ AB ==，则2128x x ---= 再解方程可得答案．【详解】解：如图，①AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形①N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN =①N 是圆H 与直线26y x =--的交点当,M B 重合时①()8,6B -，则()4,3H -①4MH AH NH === 符合题意①()8,6M -当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB ==①90NAJ ANJ ∠+∠=︒①AN MN = 90ANM ∠=︒①90MNK ANJ ∠+∠=︒①MNK NAJ ∠=∠①MNK NAJ ≌ 设(),26N x x --①MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=--而8KJ AB ==①2128x x ---= 解得：203x =-，则22263x --= ①22202333CM CK MK =-=-= ①28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 综上：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是坐标与图形 一次函数的性质 等腰直角三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 圆周角定理的应用 本题属于填空题里面的压轴题 难度较大 清晰的分类讨论是解本题的关键．15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号） 71/17【分析】如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q 设,==BE x AE y 可得3,2CD x DE y == 证明26BC AB ==6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 )222632QE CQ x x ===+= 2AQ 由勾股定理可得：()()()222222263223222y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q设,==BE x AE y ①13BE CD = 2ED AE = ①3,2CD x DE y == ①90,32BAC AB AC ∠=︒== ①26BC == 6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 ①)222632222QE CQ x x ===+= ①2AQ = 由勾股定理可得：()()()2222222632232y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理得：2260x x --= 解得：17x = 经检验17x = ①17BE x == 故答案为：17【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质 勾股定理的应用 一元二次方程的解法 作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．971973【分析】过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 根据等腰三角形性质得出132===BH HC BC 根据勾股定理求出224AH AC CH =-= 证明CBD CED ∠=∠ 得出DB DE = 根据等腰三角形性质得出6CE BC == 证明CD AH ∥ 得出CD CE AH HE = 求出83CD = 根据勾股定理求出2222829763DE CE CD ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 根据CD AH ∥ 得出DE CE AD CH = 即297633AD = 求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 如图所示：则90AHC AHB ∠=∠=︒①5,6AB AC BC ===①132===BH HC BC ①224AH AC CH -=①ADB CBD CED ∠=∠+∠ 2ADB CBD ∠=∠①CBD CED ∠=∠①DB DE =①90BCD ∠=︒①DC BE ⊥①6CE BC ==①9EH CE CH =+=①DC BE ⊥ AH BC ⊥①CD AH ∥①~ECD EHA ①CD CE AH HE = 即649CD = 解得：83CD = ①2222829763DE CE CD ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭①CD AH ∥ ①DE CE AD CH= 即297633AD = 解得：97AD =． 97． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质 等腰三角形的判定和性质 勾股定理 平行线分线段成比例 相似三角形的判定与性质 平行线的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．【答案】 8 822+【分析】根据题意 可固定四边形GFCE 平移或旋转其它图形 组合成四边形 求出周长 判断最小值 最大值．【详解】如图1 4BC = 24222AC 122CI BD CE AC4DI BC①四边形BCID 周长=4422=8+22如图2 2AF AI IC FC①四边形AFCI 周长为248⨯=故答案为：最小值为8 最大值822+【点睛】本题考查图形变换及勾股定理 通过平移 旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．【答案】(1)见解析(2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE = 2MDE α∠=①C α∠=①D DEC M E C α∠-∠∠==①C DEC ∠=∠①DE DC =①DM DC = 即D 是MC 的中点（2）90AEF ∠=︒证明：如图2 延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH①DF DC =。

中考数学专题复习《等腰三角形》测试卷（附带答案) 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图在▱ABCD中AD=5AB=3DE平分∠ADC交BC边于点E则BE=（）A．2B．3C．4D．52．如图在▱ABCD中∠B=40°，AB=AC将△ADC沿对角线AC翻折AF交BC于点E 点D的对应点为点F则∠AEC的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°3．菱形ABCD如图E为AD上一点F为CB延长线上一点EF⊥AC于点P交AB于G若AE=13AD则AGFC的值为（）A．13B．15C．25D．164．如图△ABC是等腰三角形∠BAC=90°BC=7．点D在BC上且BD:CD=2:5．连接AD将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE连接BE DE．则△BDE的面积是（）A．4B．5C．6D．75．如图在△ABC中AB=AC=6∠BAC=120°以边BC为直径作⊙O与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E则弧DE的长为（）A．3πB．2πC．√3πD．2√3π6．如图EF为半圆形量角器直径直角三角板ABC与半圆形量角器如图放置其中斜边AB 与半圆形量角器交于A D两点AC经过点F AB∥EF若BD=8AF=BF则AD长度是（）A．4B．4√3C．6D．4√67．如图矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E过点A作AF⊥DE交DE于F点连接FO若DF=√2CD=3则FO的长为（）A．1B．23C．12D．148．如图△ABC中∠ABC=45°CD⊥AB于D BE平分∠ABC且BE⊥AC于E与CD相交于点F H是BC边的中点连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF=AC②CE=12BF③△DGF是等腰三角形④BD+DF=BC⑤S△BDFS△BCF=BDBCA．5B．4C．3D．2二填空题9．已知：等腰△ABC，BA=BC点D在AB上点E在BC的延长线上AD=CE连接DE 交AC于点F作DH⊥AC于点H∠HDF−∠E=30°CE=6，CF=2则HF的长为．10．如图矩形ABCD的对角线相交于O AE平分∠BAD交BC于E若∠CAE=15°则∠COE=度．11．如图菱形ABCD中∠ABC=135°DH⊥AB于H交对角线AC于E过E作EF⊥AD 于F若△DEF的周长为2 则菱形ABCD的边长为．12．如图在△ABC中∠B=90°AB=4BC=6以AC为斜边作等腰直角三角形ADC 连接BD则BD的长为．13．如图平行四边形A BCD的对角线AC BD相交于点O AB⊥AC AB=3∠ACB= 30°点P从点A出发沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q设点P的运动时间为t秒在点P的运动过程中当△APO是等腰三角形时t的值为．14．如图在△ABC中AB=AC点D为线段BC上一动点（不与点B C重合）连接AD 作∠ADE=∠B=40°DE交线段AC于点E下列结论：①∠DEC=∠BDA②若AB=DC则AD=DE③当DE⊥AC时则D为BC中点④当△ADE为等腰三角形时∠BAD=40°．正确的有．（填序号）15．如图已知A，B为反比例函数y=4x图象上两点连接AB线段AB经过原点O C为反比例函数y=kx(k<0)在第四象限内图象上一点当△CAB是以AB为底的等腰三角形且CA AB =58时k的值为．16．如图已知直线L：y=x+2交x轴于点A交y轴于点A1点A2A3…在直线L上点B1 B2B3…在x轴的正半轴上若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形直角顶点都在x轴上则△A2024B2023B2024的面积为．三解答题17．如图在△ABC中CD是AB边上的高．AB(1)若∠ABC=∠ACB=15°请证明：CD=12(2)若∠ABC=30°CD=3点E是BC边上的中点求AC+AE的最小值．18．如图已知△ABC中∠B=90°AB=8cm BC=6cm P Q是△ABC边上的两个动点其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm点Q从点B开始沿B→C 方向运动且速度为每秒2cm它们同时出发设出发的时间为t秒．(1)当t=2秒时求PQ的长(2)求出发时间为几秒时△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动则当点Q在边CA上运动时求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．19．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．(1)如图1 连接BD．①请你探究AE与BD之间的关系并证明你的结论②求证：AE2+AD2=2AC2．(2)如图2 若AE=2,AC=2√5点F是AD的中点求CF的长．20．如图在▱ABCD中∠BAD的平分线交边BC于点E交边DC的延长线于点F．(1)如图1 求证：CE=CF(2)如图2 若∠ABC=90°,G是EF的中点分别连结CG，BG，DG求证：DG⊥BG(3)如图3 若∠ABC=120°四边形CFGE为平行四边形分别连结DB，DG试判断△BDG的形状并证明．21．【问题背景】已知：在△ABC中AB=AC点D E分别为直线BC上两动点探究线段BD DE EC三条线段之间的数量关系：（1）如图1 当∠BAC=90°时点D E分别为线段BC上两动点且∠DAE=45°猜想BD DE EC三条线段之间存在的数量关系式直接写出你的猜想__________【问题拓展】（2）如图2 当动点E在线段BC上动点D运动在线段CB延长线上时其它条件不变（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明【问题迁移】（3）如图3 当∠BAC=60°时点D E在边BC上2BD−DE=3点F在边AB上点F到AC的距离是2√3且∠DFE=30°CE=7求△FDE的面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD为平行四边形AD=5AB=3∵AD∥BC,CD=AB=3,BC=AD=5∵∠ADE=∠DEC∵DE平分∠ADC∵∠ADE=∠CDE∵∠DEC=∠CDE∵CE=CD=3∵BE=BC−CE=5−3=2．故选：A．2．解：∵四边形ABCD为平行四边形∵AD∥BC∵∠DAC=∠ACB∵∠B=40°，AB=AC且AD∥BC∵∠B=∠ACB=40°，∠BAD=140°∵∠DAC=∠ACB=40°由折叠的性质可知∠DAC=∠FAC=40°∵∠AEC=180°−(∠ACB+∠FAC)=180°−(40°+40°)=100°．故选：C．3．解：∵菱形ABCD∵∠AEF=∠F∠EAC=∠ACF∠BAC=∠DAC AD=BC∵△APE∽△PFC∵∠AGE=∠BGF∵△AEG∽△BGF∵EF⊥AC∵在△AGP和△AEP中{∠BAC=∠DAC AP=AP ∠APG=∠APE∵△AGP≌△AEP∵AG=AE∵AE=13AD∵AE=13BC∵设AG=AE=x则BG=2x∵AG GB =12∵BF=2x ∵FC=5x∵AG FC =x5x=15故选：B．4．解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE ∵AD=AE，∠DAE=90°∵∠EAB+∠BAD=90°在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C=∠ABC=45°∵∠EAB=∠CAD∵△EAB≌△DAC(SAS)∵∠C=∠ABE=45°，CD=BE∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°∵BC=7，BD：CD=2：5∵BD=2，CD=BE=5∵S△BDE=12BD⋅BE=12×2×5=5故选：B．5．解：如图连接OA,OD,OE,CE∵∠BAC=120°AB=AC=6(180°−∠BAC)=30°∴∠CBE=∠BCD=12∵BC为⊙O的直径∴∠BEC=90°∴∠BCE=90°−∠CBE=60°∵∠DCE=∠BCE−∠BCD=30°∴∠DOE=2∠DCE=60°∵AB=AC=6OB=OC∴AO⊥BC∴OB=AB⋅cos∠CBE=AB⋅cos30°=3√3∴OD=OE=OB=3√3∴弧DE的长=60×3√3π=√3π180故选：C．6．解：如图连接OD DF．∵AD∥EF∠BAC=30°∵∠AFE=∠CAB=30°∠DOF=2∠CAB=60°∵OD=OF∵△ODF是等边三角形∵∠OFD=60°∵∠AFD=∠OFD−∠AFE=60°−30°=30°∵∠DAF=∠AFD=30°∵AD=DF∵FA=FB∵∠A=∠ABF=30°∵∠AFB=180°−30°−30°=120°∵∠BFD=∠AFB−∠AFD=120°−30°=90°∵DF=12DB∵BD=8∵AD=DF=4．故选：A．7．解：四边形ABCD为矩形CD=3∴AB=CD=3∠ADC=∠BAD=90°，OD=OB ∵DE平分∠ADC∴ADE=∠CDE=12∠ADC=45°∴△ADE为等腰直角三角形∴AD=AE∵AF⊥DE∴DF=EF，∠AFD=90°∴△ADF为等腰直角三角形∴AD=√DF2+AF2=√2DF=2∴AE=AD=2∴BE=AB−AE=3−2=1∵DF=EF，OD=OB即点F O分别为DE、BD的中点∴OF为△BDE的中位线∴OF=12BE=12故选：C．8．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC∵∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°∵∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°∵∠A=∠DFB∵∠ABC=45°，∠BDC=90°∵∠DCB =90°−45°=45°=∠DBC∵BD =DC在△BDF 和△CDA 中{∠BDF =∠CDA∠A =∠DFB BD =CD∵△BDF≌△CDA (AAS )∵BF =AC 故①正确．∵∠ABE =∠EBC =22.5°，BE ⊥AC∵∠A =∠BCA =67.5°∵BA =BC∵BE ⊥AC∵AE =EC =12AC =12BF 故②正确 ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC =45°∵∠ABE =∠CBE =22.5°∵∠BDC =90°，BH =HC∵∠BHG =90°∵∠BDF =∠BHG =90°∵∠BGH =∠BFD =67.5°∵∠DGF =∠DFG =67.5°∵DG =DF∵△DGF 是等腰直角三角形 故③正确．∵△BDF≌△CDA∵DF =AD∵BC =AB =BD +AD =BD +DF 故④正确∵BE 平分∠ABC∵点F 到AB 的距离等于点F 到BC 的距离∵ S △BDFS △BCF = BD BC 故⑤正确所以 正确的结论是①②③④⑤ 共5个故选：A ．9．解：如图过点D作DG∥BC交AC于点G．∵BA=BC∵∠A=∠BCA∵DG∥BC∵∠DGA=∠BCA，∠DGF=∠ECF∵∠A=∠DGA∵DA=DG∵AD=CE∵DG=CE=6在△DFG和△EFC中{∠DFG=∠CFE ∠DGF=∠EFC DG=EC∵△DFG≌△EFC(AAS)∵GF=CF=2，∠GDF=∠E∵∠HDF−∠E=30°∵∠HDG=∠HDF−∠GDF=30°∵DH⊥AC∵GH=12DG=3∵HF=GH+GF=3+2=5．故答案为：5．10．解：在矩形ABCD中AO=BO=CO=DO∠ABC=90°∵∠CAE=15°AE平分∠BAD∴∠BAE=∠BEA=45°∴AB=BE∴∠BAC=60°OA=OB∴△AOB是等边三角形∴∠BAC=60°AC=BO∴∠BCA=30°AB=12∴BE=BO又∵∠DBC=∠ACB=30°在△BOE中∠BOE=(180°−∠DBC)÷2=75°∴∠COE=180°−60°−75°=45°．故答案为：45．11．解：∵四边形ABCD是菱形∠ABC=135°∵AD∥BC∠DAC=∠BAC∵∠DAB=45°∵DH⊥AB EF⊥AD∵EF=EH∵AH=DH∵∠ADH=45°且EF⊥AD∵∠ADH=∠DEF=45°∵DF=EF∵DE=√2EF∵∵DEF的周长为2∵DE+EF+DF=2∵(2+√2)EF=2∵EF=2−√2∵EH=2−√2DE=2√2−2∵DH=DE+EH=√2∵AH=DH=√2∵AD=√2AH=2∵菱形ABCD的边长为2故答案为：212．解：当在AC上方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠DFB=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=α+45°∠BAD=∠BAC+∠DAC=(90°−α)+45°=135°−α∴∠DAE=180°−∠BAD=α+45°∵∠EAD=∠FCD∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF∵∠DEA=∠B=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形在Rt△ABC中AC=√AB2+BC2=2√13∵S四边形ABCD=S△ABC+S ADC=S△ABD+S BDC∴12AB⋅BC+12AC×12AC=12AB⋅DE+12BC⋅DF即4×6+12×(2√13)2=4DE+6DF=10DF解得DF=5即正方形BFDE的边长为5∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=5√2当在AC下方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠EBF=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=45°−α∠BAD=∠BAC−∠DAC=(90°−α)−45°=45°−α∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF AE=FC∵∠DEA=∠EBF=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形即BE=BF∵AB=4,BC=6∴AB+BE=BC−BF即4+BE=6−BE解得BE=1即正方形BFDE的边长为1∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=√2综上所述BD的长为5√2或√2故答案为：5√2或√2．13．解：如图所示作点E G M使得AE=OE AG=AO AO=MO当点P分别运动到点E G M时△APO是等腰三角形①当点P运动到点E：此时∠BFE=∠DEF=2∠EAO=2∠ACB=60°又∵∠ABC =90°−∠ACB =60° 且AE ∥BF∴四边形ABFE 为等腰梯形∴AE =OE =12EF =12AB =32∴t 1=32②当点P 运动到点G ：此时AG =AO =12AC =√32AB =3√32∴t 2=3√32③当点P 运动到点M ：AO =MO作OT ⊥AM 交AM 于点T ∠CAD =∠AMO =30°根据等腰三角形三线合一得：AM =2AT =2AO ⋅√32=√32AC =√32⋅AB ⋅√3=92∴t 3=92． 答：点P 的运动时间为32或3√32或92． 14．解：①∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠ADE =40° ∵∠BAD =∠CDE∵AB =AC∵∠B =∠C∵由三角形内角和定理知：∠DEC =∠BDA 故①正确 ②∵AB =AC∵∠B =∠C =40°由①知：∠DEC =∠BDA∵AB =DC∵△ABD ≌△DCE (AAS )∵AD =DE 故②正确③∵DE ⊥AC∵∠DEC =90°∵∠CDE=50°∵∠ADC=90°∵AD⊥BC∵AB=AC∵BD=CD∵D为BC中点故③正确④∵∠C=40°∵∠AED＞40°∵∠ADE≠∠AED∵△ADE为等腰三角形∵AE=DE或AD=DE当AE=DE时∠DAE=∠ADE=40°∵∠BAC=180°−40°−40°=100°∵∠BAD=60°当AD=DE时∠DAE=∠DEA=70°∵∠BAD=30°故④不正确．∵正确的有①②③故答案为：①②③．15．解：如图：作AE⊥y轴于E CF⊥y轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称∵AC=BC，OA=OB∵OC⊥AB∵∠CFO=∠COA=∠AEO=90°∵∠COF+∠AOE=90°，∠AOE+∠EAO=90°∵∠COF=∠OAE∵△CFO∽△OEA∵S△COF S△AOE =(COOA)2∵CA AB =58AO=OB∵CA:OA=5:4又∵AC2=OA2+OC2∵CO:OA=3:4∵S△COF S△AOE =(COOA)2＝916即12|k|12×4=916∵k<0∵k=−94故答案为：−94．16．解：y=x+2交y轴于点A1∴A1(0，2)∵△A1OB1是等腰直角三角形∴B1(2，0)∵若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形∴A2(2，4)B2(6，0)A3(6，8)B3(14，0)∴S△A1OB1=12×2×2=21S△A2B1B2=12×4×4=23S△A3B2B3=12×8×8=25…S△An B n−1B n=22n−1∴△A2024B2023B2024的面积为=24047故答案为：24047．17．（1）证明：∵∠ABC=∠ACB=15°CD是AB边上的高．∵AB=AC,∠CAD=30°∵CD=12AC=12AB（2）延长CD到C′使C′D=CD=3连接AC′,C′E如图：∵CD是AB边上的高∵BD是CC′的垂直平分线∵AC′=AC∴AC+AE=AC′+AE≥C′E,即AC+AE的最小值为C′E∵∠ABC=30°,CD=3∴BC=2CD=6∵ 点E是BC边上的中点∴CE=3=CD∵BC=C′C=6∠BCD=∠C′CE∴△BCD≌△C′CE(SAS)∴BD=C′EBD=√BC2−CD2=√62−32=3√3∴C′E=3√3即最小值为3√3．18．（1）解：∵AP=2×1=2(cm)BQ=2×2=4(cm)∵BP=AB−AP=8−2×1=6(cm)∵∠B=90°∵PQ=√BQ2+BP2=√42+62=2√13(cm)（2）解：根据题意得：BQ=BP即2t=8−t解得：t=83即出发时间为83秒时△PQB是等腰三角形（3）解：分三种情况：当CQ=BQ时如图1所示：则∠C=∠CBQ∵∠ABC=90°∴∠CBQ+∠ABQ=90°∠A+∠C=90°∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ∵CQ=AQ∵∠B=90°AB=8cm BC=6cm∴AC=√82+62=10(cm)∴CQ=AQ=12AC=5(cm)∴BC+CQ=11(cm)∴t=11÷2=5.5（秒）．当CQ=BC时如图2所示：则BC+CQ=12(cm)∴t=12÷2=6（秒）．当BC=BQ时如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E∵S△ABC=12AB×BC=12AC×BE则BE=AB⋅BCAC =6×810=4.8(cm)∴CE=√BC2−BE2=3.6(cm)∴CQ=2CE=7.2cm∴BC+CQ=13.2cm∴t=13.2÷2=6.6（秒）．由上可知当t为5.5秒或6秒或6.6秒时ΔBCQ为等腰三角形．19．（1）解：①AE=BD理由如下：∵∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠BCD又∵CA=CB,CE=CD,∵△ACE≌△BCD(SAS)∵AE=BD②∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD ∵∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∠CEA=∠CDE=45°,∠CAB=∠CBA=45°∵∠ECA=∠DCB在△ECA和△DCB中{CE=CD ∠ECA=∠DCB AC=BC∴△ECA≌△DCB(SAS),∵AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°,∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°∴△ADB是直角三角形∴AD2+BD2=AB2,∴AD2+AE2=AB2,∴AE2+AD2=2AC2．（2）解：过点C作CH⊥DE于H如图：∵AC2+BC2=2AC2,AD2+AE2=AB2,AE=2,AC=2,∴AD=6,∴DE=AE+AD=8,∵点F是AD的中点∴AF=DF=3,∴△ECD是等腰直角三角形∴CH=DH=EH=4,∴HF=DH−DF=1,∴CF=√GH2+HF2=√42+12=√17．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∵AB∥CD,AD∥BC∵∠F=∠BAF∠CEF=∠DAF∵AF平分∠BAD∵∠BAF=∠DAF∵∠F=∠CEF∵CE=CF．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∠ABC=90°∵四边形ABCD是矩形∵AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°∵∠BCF=90°∵G是EF的中点∵CG=EG=FG∵△CEG和△CFG都是等腰直角三角形∵∠ECG=∠F=45°∵∠ADC=90°∵∠DAF=45°∵△DAF是等腰直角三角形∵DA=DF∵BC=DF∵△BCG≌△DFG(SAS)∵∠BGC=∠DGF∵∠BGC−∠DGC=∠DGF−∠DGC=∠CGF=90°∵DG⊥BG．（3）解：△BDG是等边三角形理由如下：如图延长AB、FG交于点H连接DH∵FG∥CE,CE∥AD∵FH∥BC∥AD∵AH∥DF∵四边形AHFD是平行四边形∵∠DFA=∠FAB=∠DAF∵DA=DF∵四边形AHFD是菱形∵FD=FH,AD=AH∵∠ABC=120°∵∠DFH=∠DAH=60°∵△FDH和△ADH都是等边三角形∵∠DFG=∠DHB=∠FDH=60°,FD=HD ∵四边形BCFH是平行四边形∵BH=CF∵FG=CE,CE=CF∵FG=BH在△DFG和△DHB中{FG=BH∠GFD=∠BHD, FD=HD∵△DFG≌△DHB(SAS)∵∠FDG=∠HDB,DG=DB∵∠BDG=∠HDB+∠HDG=∠FDG+∠HDG=∠FDH=60°∵△BDG是等边三角形．21．解：（1）DE2=BD2+EC2证明：如图将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB FD=DB∠FAD=∠BAD∠AFD=∠ABD∵∠BAC=90°∠DAE=45°∵∠BAD+∠CAE=45°,∠FAD+∠FAE=45°∵∠CAE=∠FAE又∵AE=AE,AF=AB=AC∵△AFE≌△ACE∵∠DFE=∠AFD+∠AFE=45°+45°=90°∵DE2=FD2+EF2∵DE2=BD2+EC2（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD又∵AB=AC∵AF=AC∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°−(∠DAE−∠DAB)=45°+∠DAB∵∠FAE=∠EAC又∵AE=AE∵△AFE≌△ACE∵FE=EC∠AFE=∠ACE=45°∠AFD=∠ABD=180°−∠ABC=135°,∵∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°∵在Rt△DFE中DE2=FD2+EF2即DE2=BD2+EC2（3）过点F作FH∥AC交BC于点H作FG⊥AC于点G则FG=2√3∵∠BAC=60°∵∠AFG=30°AF∵AG=12AF)2+(2√3)2又∵AF2=AG2+FG2即AF2=(12解得：AF=4或AF=−4（舍）又∵AB=AC∵△ABC是等边三角形∵BA=BC又∵FH∥AC∵∠BFH=∠A=∠C=∠FHB=∠B=60°∵BF=BH=FH即AF =CH =4∵EH =EC −EH =7−4=3将△FDB 沿直线FD 对折 得△FMD 连ME 过E 点作EN ⊥DM 交DM 的延长线于点N ∵△FBD ≌△FMD∵FB =FM BD =DM ∠BFD =∠MFD ∠FBD =∠FMD∵∠BFH =60° ∠DFE =30°∵∠BFD +∠HFE =30°,∠DFM +∠MFE =30°∵∠HFEE =∠MFE又∵FE =FE,FH =FB =FM∵△FHE ≌△FME∵∠FME =∠FHE =60° EM =EH =3∵∠DME =∠FMD +∠FME =60°+60°=120°∵∠NME =60°∵∠MEN =30°∵MN =12EM =32 EN =√MF 2−MN 2=√32−(32)2=32√3∵DN =DM +MN =BD +MN =BD +32 又∵2BD −DE =3∵DE =2BD −3在Rt △DNE 中 DE 2=DN 2+EN 2 即(2BD −3)2=(BD +32)2+(32√3)2解得：BD =0（舍）或BD =5∵DE =7 BF =BH =BD +DE +EH =5+7+3=15过点F 作FQ ⊥BC 于点Q∵∠BFQ=30°∵BQ=12BF=152FQ=√BF2−BQ2=√152−(152)2=152√3∵S△DEF=12DE⋅FQ=12×7×152√3=105√34．。

三年中考2010-2012全国各地中考数学试题分类汇编第23章 等腰三角形2012年全国各地中考数学真题分类汇编第23章 等腰三角形一.选择题1.（2012黑龙江省绥化市，4，3分）等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 ．【解析】 解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：①当3是底边长时，周长为5+5+3=13；②当5是底边长时，周长为3+3+5=11．【答案】 11或13．【点评】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生稍不留神也会写出这种不合题意的答案．难度中等．2.（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A ．16B ．18C ．20D ．16或20【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长.【答案】C【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小.3．（2012江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）A ． 20°B ． 50°C ． 60°D ． 80°考点：等腰三角形的性质。

分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．故选B ．点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．4.（2012荆州）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ．2B ．C．3【解析】题目中已知了△ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。

等腰三角形2、(2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A ） 3 4. (B) 1 3. (C) 23. (D) 1 2.答案：D解析：以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，能作4个，其中A 1B 1O ，A 2B 2O 为等腰三角形，共2个，故概率为： 1 23、(2013年武汉)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ）AA．18° B．24° C．30° D．36°答案：A解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝12（180°－36°）＝72°，又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°4、（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B. 55°C. 50°D. 40°答案：D解析：因为AB=AC，所以∠C＝∠B=70°，∠A=180°－70°－70°＝40°5、（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）6、（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）8、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF 的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9、（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标10、（2013•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）14、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）=，，=，CD=，．15、（2013成都市）如图，在△ＡＢＣ中，B C∠=∠，AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.5答案：D解析：由∠B＝∠C，得AC＝AB＝5（等角对等边），故选D16、（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）17、（2013哈尔滨）如图，在 ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3故选B18、（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的180°﹣80°×2=20°，20、（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（ ）A 114 D 4分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算． 解：∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ， 过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ， ∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC （等腰三角形三线合一的性质）， ∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2， 在Rt △ADF 中，AF==4，则AC=2AF=8，tanB===2．故选B ．点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F 是AC 中点，难度较大． 21、（2013台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE 内部找一点P ，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：（甲） 连接BD 、CE ，两线段相交于P 点，则P 即为所求（乙） 先取CD 的中点M ，再以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AM 于P 点，则P 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确 考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE 的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．22、（2013台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC 长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（）A．20 B．35 C．40 D．55考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=PC，MP=MC，∵∠PBC=70°，∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，∴∠MPC=∠MCP=35°．故选B．点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．23、（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=65°．为边长的等腰三角形的周长为 5 ．25、（2013•黄冈）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B 为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= 6 ．AC×CO=3，AC×BC=3，26、（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是12°．27、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．∴∠DBC=BD==DE=BD=故答案为：△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有8 个．29、（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为80°或50°．30、（2013凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．31、（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为6，4或5，5 ．32、（2013凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：动点型．分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．33、（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm ．==x=cm题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个．35、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15 度．36、（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 6 个，写出其中一个点P的坐标是（5，0）．等腰三角形的判定；坐标与图形性质．37、（2013•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为2a ．∴∠BCD沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．又∵BE=DE，B′E⊥BD，∴DB′=BB′=．故答案是：．点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．39、（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．40、(2013年江西省)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．【答案】25°.【考点解剖】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．【解题思路】已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.∴∠DAE=11(180)5025 22ADE︒-∠=⨯︒=︒.【方法规律】先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.【关键词】平行四边形等腰三角形周长求角度41、（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．，即，﹣；的长为AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．（2）从数学思想上考虑解答．解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=3，∴点C（3， +2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1， +2），∵点A也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．44、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A，处，给出以下判断：（1）当四边形A，CDF为正方形时，EF=2（2）当EF=2时，四边形A，CDF为正方形（3）当EF=5时，四边形BA，CD为等腰梯形；（4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=5。