新高一资料1：集合复习 教师版

第1讲集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标：1.通过实例了解集合的含义．(难点)2.掌握集合中元素的三个特性．(重点)3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？[提示](1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.3．常见的数集及表示符号1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．() (2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．() (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()[答案](1)×(2)√(3)×2．用“book中的字母”构成的集合中元素个数为()A．1B．2 C．3 D．4C[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元素．]3．用“∈”或“”填空：1*；5________R.2________N；－3________Z；2________Q；0________N[答案]∈∈4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.3[由题意可知a＋1＝4，即a＝3.][合作探究·攻重难]集合的基本概念考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2016年第31届奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合．(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合．(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．[解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确．“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．元素与集合的关系(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2Q；③0∈N*；④|－5|N*.A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4 C．4 D．0(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]2．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1A,2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－2D [由题意可知⎩⎨⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，解得－4<a ≤－2.]集合中元素的特性及应用[探究问题]1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？提示：a ≠b2．若1∈A ，则元素1与集合中的元素a ，b 存在怎样的关系？提示：a ＝1或b ＝1.已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．思路探究：A 中含有元素：1和a 2――→a ∈A a ＝1或a 2＝a ―――→求a 的值检验集合中元素的互异性 [解] 由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，(1)若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.(2)若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列结论不正确的是( )A ．0∈N B.2Q C ．0Q D ．－1∈ZC [0是有理数，故0∈Q ，所以C 错误．]2．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.3的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体C[A.不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B.方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C.3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D.某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]4．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是() A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形D[由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. ]5．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.第2课时集合的表示学习目标：1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I|p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征．思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？[提示](1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.(2){x|x<5，x∈R}．[基础自测]1．思考辨析(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A ＝{x |x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．方程x 2＝4的解集用列举法表示为( )A ．{(－2,2)}B ．{－2,2}C ．{－2}D ．{2}B [由x 2＝4得x ＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]3．用描述法表示函数y ＝3x ＋1图象上的所有点的是( )A ．{x |y ＝3x ＋1}B ．{y |y ＝3x ＋1}C ．{(x ，y )|y ＝3x ＋1}D ．{y ＝3x ＋1}C [该集合是点集，故可表示为{(x ，y )|y ＝3x ＋1}，选C.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |4x －5<7} [用描述法可表示为{x |4x －5<7}．][合 作 探 究·攻 重 难]用列举法表示集合用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A .(2)小于8的质数组成的集合B .(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C .(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D .[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A ＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32.所以C ＝}23,1{-. (4)由⎩⎨⎧+-=+=623x y x y 得⎩⎨⎧==41y x 所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．1．用列举法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0的解集；(2)A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N }. [解] (1)由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，故该方程组的解集为{(1,1)}．(2)因为x ∈N ，y ∈N ，x ＋y ＝3，所以⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0.故A ＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．[解] (1){x ∈R |1<x <10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x <0，且y >0}．(3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．1.用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x －3<5的解组成的集合；(3)如图1-1-1中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.[解] (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy ≥0}． (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．集合表示方法的综合应用[探究问题]1．下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们各自的含义是什么？(2)它们是不是相同的集合？提示：(1)集合①{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ，所以实质上{x |y ＝x 2＋1}＝R ；集合②的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以实质上{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}；集合③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，可以认为是满足y ＝x 2＋1的图1-1-1数对(x ，y )的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1，所以{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．2．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}．(1)构成集合A 的元素是什么？(2)方程ax 2＋x ＋1＝0是关于x 的一元二次方程吗，为什么？ 提示：(1)构成集合A 的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的根．(2)不一定.当a ＝0时,方程是关于x 的一元一次方程；当a ≠0时，方程是关于x 的一元二次方程．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．思路探究：A 中只有一个元素――→等价转化方程kx 2－8x ＋16＝0只有一解――→分类讨论求实数k 的值[解] (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．1．不等式x －3<2且x ∈N *的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2可知x <5，又x ∈N *，故x 可以为1,2,3,4，故选B.]2．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [集合A 中有两个元素：(1,2)，(3,4)．]3．如果A ＝{x |x >－1}，那么( )A ．－2∈AB ．{0}∈AC ．－3∈AD ．0∈AD [∵0>－1，故0∈A ，选D.]4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．{－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集；(2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合. [解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}． 1.1.2 集合间的基本关系学习目标：1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．Venn 图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示] (1)不一定．如集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．思考2：{0}与∅相同吗？[提示]不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，①若A ⊆B ，且B ⊆C ，则A ⊆C ；②若A B ，B C ，则A C .(3)若A ⊆B ，A ≠B ，则A B .[基础自测]1．思考辨析(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( ) (2)任何一个集合都有子集．( )(3)若A ＝B ，则A ⊆B 或B ⊆A .( ) (4)空集是任何集合的真子集．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．下列四个集合中，是空集的为( )A ．{0}B ．{x |x >8，且x <5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x >4}B [满足x >8且x <5的实数不存在，故{x |x >8，且x <5}＝∅.]3．已知集合M ＝{菱形}，N ＝{正方形}，则有( )A ．M ⊆NB ．M ∈NC ．N ⊆MD ．M ＝NC [正方形是特殊的菱形，故N ⊆M .]4．集合{0,1}的子集有________个．4 [集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．][合 作 探 究·攻 重 难]集合间关系的判断判断下列各组中集合之间的关系：(1)A ＝{x |x 是12的约数}，B ＝{x |x 是36的约数}．(2)A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是菱形}，C ＝{x |x 是四边形}，D ＝{x |x 是正方形}．(3)M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n 2，n ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝12＋n ，n ∈Z . [解] (1)因为若x 是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以.(2)由图形的特点可画出Venn 图如图所示，从而.(3)对于集合M ，其组成元素是n 2，分子部分表示所有的整数； 而对于集合N ，其组成元素是12＋n ＝2n ＋12，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，.1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．] 2．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.]子集、真子集的个数问题已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集.[解]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．由集合间的关系求参数[探究问题]1．若A＝{x|x>1}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a满足什么条件？若B⊆A呢？提示：如图(1)，若A ⊆B ，则a ≤1；如图(2)，若B ⊆A ，则a >1.2．若集合A ＝{x |1<x <b }，试结合b 的取值，指出A 集合中的元素．提示：当b ≤1时，A ＝∅；当b >1时，A 中的元素是由满足不等式1<x <b 的实数组成的．已知集合A ＝|x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.思路探究：B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}――――――→分B ＝∅和B ≠∅结合数轴列不等式组―→求m 的取值范围[解] (1)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎨⎧ m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎨⎧ m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是m ≤3. 时，如图所示，此时不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .1．已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则()A．A⊆B B．A B C．B A D．B⊆AB[如图故A B.]2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是()A．16 B．8 C．7 D．4C[易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．]3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4[由B⊆A可知，m＝4.]4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<4，x∈N}，用适当符号填空：A________B，A________C，{2}________C,2________C.＝∈[∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．∴A＝B，A C，{2}C,2∈C]5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围．(2)若B⊆A，求a的取值范围．[解](1)若A B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.1.1.3 集合的基本运算第1课时并集、交集及其应用学习目标：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)[自主预习·探新知]1．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？[提示](1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．2．交集3．并集与交集的运算性质[基础自测]1．思考辨析(1)两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和．()(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．()(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．()[答案](1)×(2)×(3)√2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________，M∩N＝________.{－1,0,1,2}{0,1}[∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，∴M∩N＝{0,1}，M∪N＝{－1,0,1,2}．] 3．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________.{x|x>－3}[如图：故A∪B＝{x|x>－3}．][合作探究·攻重难]并集概念及应用(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝() A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．1．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，若S ∪T ＝R ，则实数a 应满足( )A ．－3<a <－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a >－1D ．a <－3或a >－1A [在数轴上表示集合S ，T 如图所示．因为S ∪T ＝R ，由数轴可得⎩⎨⎧a <－1a ＋8>5， 解得－3<a <－1.故选A.]交集概念及其应用(1)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |1≤x ≤4}(2)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(1)A (2)D [(1)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}．如图，故A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A ，∴A ∩B ＝{8,14}，故选D.]2．（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]3．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1D [因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.]集合交、并运算的性质及综合应用[探究问题]1．设A 、B 是两个集合，若已知A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，则集合A 与B 具有什么关系？提示：A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .2．若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ，B 间存在怎样的关系？提示：若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ＝B.已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．思路探究：A ∪B ＝A ――――→等价转化B ⊆A ――――――→分B ＝∅和B ≠∅建立k 的不等关系――→求交集得k 的范围[解] (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A .(2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ，只需⎩⎨⎧ －3<k ＋14≥2k －1k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知k ≤52.1．已知集合M ＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，则图1-1-2中阴影部分所表示的集合是( )A ．{0,1}B ．{0}C ．{－1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}D [由Venn 图，可知阴影部分所表示的集合是M ∪P .因为M ＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，故M ∪P ＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＝0，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2,3}B [∵B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＝0，x ∈Z }＝{－1,2}，A ＝{1,2,3}∴A ∩B ＝{2}．]3．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ∩B ＝{1,3}，则A ∪B ＝( )A ．{1,2} B．{1,3} C ．{1,2,3} D ．{2,3}C [∵A ∩B ＝{1,3}，∴3∈B ，∴m ＝3，∴B ＝{1,2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．]4．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 6 [用数轴表示集合A 、B 如图所示．由A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.]5．设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}，图1-1-2(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.[解](1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．第2课时补集及综合应用学习目标：1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[自主预习·探新知]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集R吗？[提示]全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．() (2)集合∁R A＝∁Q A.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁U A＝{0}，则A＝________.{－1,1}[∵U＝{－1,0,1}，∁U A＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3．设全集为U，M＝{1,2}，∁U M＝{3}，则U＝________.{1,2,3}[U＝M∪{∁U M}＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．]4．若集合A＝{x|x>1}，则∁R A＝________.{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴∁R A＝{x|x≤1}．][合作探究·攻重难]补集的运算(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)法一(定义法)因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U ＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．]1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5} C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝________.(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁A B＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁U A＝{x|0<x<2，或x≥6}．]集合交、并、补集的综合运算设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R B，∁R(A∪B)及(∁A)∩B.R[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁R B＝{x|x≤2或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁R A＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．[跟踪训练]2．全集U ＝{x |x <10，x ∈N *}，A ⊆U ，B ⊆U ，(∁U B )∩A ＝{1,9}，A ∩B ＝{3}，(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,7}，求集合A ，B .[解] 法一(Venn 图法)：根据题意作出Venn 图如图所示．由图可知A ＝{1,3,9}，B ＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁U B )∩A ＝{1,9}，(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,7}，∴∁U B ＝{1,4,6,7,9}．又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B ＝{2,3,5,8}．∵(∁U B )∩A ＝{1,9}，A ∩B ＝{3}，∴A ＝{1,3,9}.与补集有关的参数值的求解[探究问题]1．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∩B ＝∅，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：B ⊆A2．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∪B ＝U ，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：A ⊆B设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．思路探究：法一：由A 求∁U A ――→结合数轴∁U A ∩B ＝∅建立m 的不等关系法二：(∁U A )∩B ＝∅――→等价转化B ⊆A[解] 法一(直接法)：由A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }，得∁U A ＝{x |x <－m }．因为B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，所以－m ≤－2，即m ≥2，所以m 的取值范围是m ≥2.法二(集合间的关系)：由(∁U A )∩B ＝∅可知B ⊆A ，又B ＝{x |－2<x <4}，A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }，结合数轴：得－m ≤－2，即m ≥2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知集合M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,4,5}，则∁N M 等于( )A ．{2,3,4}B ．{0,2,3,4,5}C ．{0,5}D ．{3,5}C [因为M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,4,5}，所以∁N M ＝{0,5}．故选C.]2．U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,3,4}D ．{0,2,4}D [∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．]3．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( )A ．{x |－2<x ≤1}B ．{x |x ≤－4}C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≥1}C [因为S ＝{x |x >－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 2 [∵A ＝{x |1≤x ＜a }，∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，∴A ∪(∁U A )＝U ＝{x |1≤x ≤5}，且A ∩(∁U A )＝∅，∴a ＝2.]5．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，U 的子集P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，求实数a 的值.[解] 由已知，得－1∈U ，且－1P ，因此⎩⎨⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0， 解得a ＝2.当a ＝2时，U ＝{2,0，－1}，P ＝{2,0}，∁U P ＝{－1}，满足题意．因此实数a 的值为2.。