2.集合运算(教师版) WPS文字 文档

集合的运算与运算法则在数学中，集合是最基本的概念之一。

集合是由一些确定的元素所组成的。

对于一个集合而言，可以对它进行不同的运算。

那么集合的运算有哪些呢？它们又有哪些运算法则呢？本文将为大家详细讲解。

一、集合的基本运算1. 并集运算并集运算指的是将两个或多个集合的元素合并成一个新的集合。

例如：集合A={1,2}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的并集为{1,2,3,4}。

2. 交集运算交集运算是指将两个或多个集合中公共元素取出来组成一个新的集合。

例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的交集为{2,3}。

3. 差集运算差集运算是指将一个集合中属于另一个集合的元素从该集合中去除。

例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的差集为{1}。

4. 补集运算补集运算指的是在一个全集中，去掉一个集合后得到的剩余部分。

假设有集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则集合A的补集为{4,5}。

五个符号来表示集合的基本运算：并集运算：A ∪ B交集运算：A ∩ B差集运算：A - B补集运算：A’集合相等：A=B二、集合的运算法则1. 并集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。

②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∪B=B∪A。

③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。

④恒等律：对于任意的集合A来说，A∪Φ=A。

2. 交集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。

②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∩B=B∩A。

③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）。

④恒等律：对于任意的集合A来说，A∩U=A。

3. 差集运算的法则①差集运算的定义：对于任意的集合A和B来说，A-B={x|x∈A 且 x∉B}。

《集合》公式汇总(一）元素与集合1、元素与集合的关系:∈∉、∈，读作“a属于A”若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A∉，读作“a不属于A".若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2，3,5}描述法：{x｜x具有的性质｝,其中x为集合的代表元素. 形如：｛x｜x2＋2x－3＞0}}图示法：用数轴或韦恩图来表示集合。

3、常见数集的符号表示：自然数集(非负整数集）N；或N*；正整数集N+整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R+（二)集合间的基本关系（2）A=∅=（3)A B真子集A B（1）读作“A真包含于B”或“B真包含A”（2）A=∅非空真子集A B且A≠∅空集∅空集是任何集合的子集注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。

2、集合个数：★★★★★集合A中有n个元素,则集合A的子集有（2n）个，真子集有（21n-）个n-)个，非空真子集有（22元素子集真子集非空子集非空真子集n2n21n-21n-n-22(三)集合的基本运算及运算法则集合韦恩图数轴表示交集在画数轴时，要注意层次感和实心空心!并集只要是线下面的部分都要！补集UUAA注：1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外 Cu （A ∩B ）=Cu A ∩Cu B Cu （A ∪B ）=Cu A ∪Cu B2、常见结论： 若A ∪B=B ，则A B ⊆ 若A B A =，则A B ⊆。

专题18集合的基本运算（补集与集合的综合应该运算）学习目标1.在具体情境中，了解全集的含义2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲高中必备知识点1：全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集高中必备知识点2：补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言[知识点拨](1)简单地说，∁U A是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．典例剖析高中必会题型1：补集的运算1．设全集{}22,3,23U a a =+-，{}1,2A a =+，{}5U A =ð，求a 的值【答案】2a =或4a =-.因为{}5U A =ð，所以5U ∈，2235a a +-=，解得2a =或4a =-，当2a =时，{}2,3,5U =，{}3,2A =，满足{}5U A =ð，符合题意；当4a =-时，{}2,3,5U =，{}3,2A =，满足{}5U A =ð，符合题意；所以2a =或4a =-.2．已知全集{}321,3,2S x x x =--，{}1,21A x =-如果{}0S A =ð，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由.【答案】存在，是1x =-或2x =.∵{}0S A =ð，∴0S ∈且0A ∉，即3220x x x --=，解得1230,1,2x x x ==-=，当0x =时，211x -=，1是A 中的元素，不符合题意；当1x =-时，213x S -=∈；当2x =时，213x S -=∈.∴这样的实数x 存在，是1x =-或2x =.3．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，A U ⊆，B U ⊆，且{3,5}A B = ，{4,8}U A B ⋂=ð，{1}U U A B ⋂=痧，求集合A ，B ．【答案】{3,4,5,8}A =，{2,3,5,6,7}B =因为{3,5}A B = ，所以3,5A ∈且3,5B ∈，因为{4,8}U A B ⋂=ð，所以4,8A ∈且4,8B ∉，因为{1}U U A B ⋂=痧，所以{}2,3,4,5,6,7,8A B = ，因此有{3,4,5,8}A =，{2,3,5,6,7}B =.4．设集合{}22,3,23A a a =+-，{}21,2B a =-.（1）若{}5A C B =，求实数a 的值；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）2a =；（2）{2--.（1）由5A C B =得：2235213a a a ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得：2a =；（2）①若213a -=，解得：2a =或1a =-，当2a =时，2235a a +-=，满足题意，当1a =-时，2234a a +-=-，满足题意，②若22123a a a -=+-，解得：a =或2a =--当a =时，{}1A =-，{}1,2B =-，满足题意，当2a =--{2,3,5A =+，{}5B =+，满足题意，综上所述，实数a 的取值集合为：{2--.5．已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{22B x m x m =-≤≤+，}x R ∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若()R A B A ⋂=ð，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{5m m >，或}3m <-．（1）因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；（2）{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >，或}3m <-．高中必会题型2：集合的交并、补集的综合运算1．已知U ={x ∈R |1<x ≤7}，A ={x ∈R |2≤x <5}，B ={x ∈R |3≤x ≤7}.求：（1）A ∪B ；（2）(ðU A )∪(ðU B ).【答案】（1）A ∪B ={x |2≤x ≤7}；（2）(ðU A )∪(ðU B )={x |1<x <3或5≤x ≤7}.(1)因为A ={x |2≤x <5}，B ={x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ={x |2≤x ≤7}.(2)因为U ={x |1<x ≤7}，A ={x ∈R |2≤x <5}，B ={x ∈R |3≤x ≤7}.所以ðU A ={x |1<x <2或5≤x ≤7}，ðU B ={x |1<x <3}，所以(ðU A )∪(ðU B )={x |1<x <3或5≤x ≤7}.2．已知集合3|52⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭A x x ，{|1B x x =<或2}x >，U =R ．（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）求()U A B ⋃ð．【答案】（1）(5,1)-（2）(5,2]-（1）因为3|52⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭A x x ，{|1B x x =<或2}x >，所以=(5,1)A B - （2）由{|1B x x =<或2}x >，U =R 知[1,2]U B =ð，所以()(5,2]U A B =- ð.3．已知全集}{1,2,3,4,5,6,7U =.集合}{1,2,4,6A =,}{2,4,5,7B =.（1）求U A ð；（2）求U ()A B ð.【答案】（1）{}3,5,7；（2）{}1,2,3,4,6解：（1）因为全集}{1,2,3,4,5,6,7U =.集合}{1,2,4,6A =,.所以{}U 3,5,7A =ð（2）因为}{2,4,5,7B =，所以}{U 1,3,6B =ð，所以(){}U 1,2,3,4,6A B = ð4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,3,6}A =，集合{1,2,3,5}B =，（1）求A B ，U B ð；（2）求()U A B ð，()U A B ð.【答案】（1）{1,2,3,5,6},{4,6,7}U A B B ⋃==ð；（2）(){1,5}U A B ⋂=ð，(){1,4,5,6,7}U A B ⋂=ð.（1）因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,6}A =，{1,2,3,5}B =，所以{1,2,3,5,6}A B ⋃=，{4,6,7}U B =ð；（2）因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,6}A =，{1,2,3,5}B =，所以{}1,4,5,7U A =ð，{}2,3A B ⋂=，所以(){1,5},(){1,4,5,6,7}U U A B A B ⋂=⋂=痧.5．已知全集U =R ，集合{|4},{|66}A x x B x x =>=-<<．（Ⅰ）求A B 和A B ；（Ⅱ）求U B ð．【答案】（Ⅰ）{}|46A B x x =<< ，{}|6A B x x ⋃=>-；（Ⅱ）{|6U B x x =≤-ð或}6x ≥（Ⅰ）{}|4A x x => ,{}|66B x x =-<<，{}|46A B x x ∴=<<I ,{}|6A B x x ⋃=>-（Ⅱ）U =R ，{}|66B x x =-<<，{|6U B x x ∴=≤-ð或}6x ≥高中必会题型3：与补集有关的求参数问题1．已知集合U ={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ={﹣1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B )=___________.【答案】{﹣2，3}解：∵U ={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ={﹣1，0，1}，B ={1，2}，∴A ∪B ={﹣1，0，1，2}，∁U (A ∪B )={﹣2，3}.故答案为：{﹣2，3}.2．已知集合{}37|A x x =≤＜，{}210|B x x =＜＜，则()A A B U ð＝_____．【答案】∅∵{}37|A x x =≤＜，{}210|B x x =＜＜，∴{}2|10A B x x =＜＜U ，∴()A A B =∅U ð．故答案为：∅．3．已知集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,4M =，{}1,2,3N =，则()U M N ⋂=ð______．【答案】{}2,3由题意{}0,2,3,5U M =ð，而{}1,2,3N =，所以(){}2,3U M N = ð．故答案为：{}2,3.4．已知全集U Z =，{}1,0,1,2A =-，{}2|B x x x ==，则U A C B ⋂=_______【答案】{}1,2-.因为全集U Z =，{}{}2|0,1B x x x ===，所以{}|,0,1U C B x x Z x x =∈≠≠，又因为{}1,0,1,2A =-，所以{}1,2U A C B ⋂=-，故答案为：{}1,2-.5．已知全集U Z =，定义{}|,A B x x a b a A b B ==⋅∈∈ 且，若{}1,2,3A =，{}1,0,1B =-，则()U C A B = ___________.【答案】{}|||4,x x x Z ≥∈由题意可知，{}3,2,1,0,1,2,3A B =--- ，所以{}()|||4,U C A B x x x Z =≥∈ .故答案为：{}|||4,x x x Z ≥∈对点精练1．设集合A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}，全集U =A ∪B ，则集合ðU (A ∩B )=（）A ．{1，2，3，5}B ．{1，2，3}C ．{1，2，5}D ．{1，2，3，4，5}【答案】C因为A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}，所以全集U =A ∪B ={1，2，3，4，5}，A ∩B ={3，4}，所以U (A ∩B )={1，2，5}.故选：C.2．已知集合M ＝{x ∈R|x 2﹣2x ＝0}，U ＝{2，1，0}，则U M =ð（）A ．{0}B ．{1，2}C ．{1}D ．{1，0，2}【答案】C 解：集合M ＝{x ∈R|x 2﹣2x ＝0}＝{0，2}，U ＝{2，1，0}，则{}U 1M =ð．故选：C ．3．设全集{}*,6U xx N x =∈<∣，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则()U C A B 等于（）A ．{2,4}B ．{1,5}C ．{2,5)D ．{1,4}【答案】A由题得{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5}A B ⋃= ，(){2,4}U C A B ∴⋃=.故选：A4．已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=ð（）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-【答案】C {}{}2914027B x x x x x =-+<=<< ,{2U B x x ∴=≤ð或}7x ≥，{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-ð.故选：C.5．已知全集{}1,0,1,2,3,4U =-，集合{}1,A x x x =≤∈N ，{}1,3B =，则()U A B = ð（）.A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,2,4-D ．{}1,0,2,4-【答案】C {}{}1,0,1A x x x =≤∈=N ,{}0,1,3A B ∴⋃=,(){}1,2,4U A B ∴=- ð.故选：C.6．设U =R ，N ={x |-2<x <2}，M ={x |a -1<x <a +1}，若ðU N 是ðU M 的真子集，则实数a 的取值范围是（）A ．-1<a <1B ．-1≤a <1C ．-1<a ≤1D ．-1≤a ≤1【答案】D因为ðU N 是ðU M 的真子集，所以M 是N 的真子集，所以a -1≥-2且a +1≤2，等号不同时成立，解得-1≤a ≤1.故选：D7．已知{}{},14||A x x a B x x =<=<<，若R A B ⊆ð，则实数a 的取值范围为（）A ．{}|1a a <B ．{}4|a a ≤C ．{}|1a a ≤D ．{}|1a a ≥【答案】C因为{}{},14||A x x a B x x =<=<<，所以|1{R B x x =≤ð或}4x ≥，因为R A B ⊆ð，所以1a ≤.故实数a 的取值范围为{}|1a a ≤故选：C 8．设全集U =R ，已知集合{|3A x x =<或9}x ，集合{|}B x x a =，若()U A B ⋂≠∅ð，则a 的取值范围为（）A ．3a >B ．3a C ．9a <D ．9a 【答案】C因为全集U =R ，集合{|3A x x =<或9}x ，所以{|39}U A x x =<ð，又因为()U A B ⋂≠∅ð，{|}B x x a =9a ∴<.故选：C9．已知集合{(3)(1)0}A x x x =-+>，{}11B x x =->，则()R A B = ð（）A ．[1,0)(2,3]- B ．(2,3]C ．(,0)(2,)-∞+∞ D ．(1,0)(2,3)- 【答案】A 集合{{(3)(1)0}3A x x x x x =-+>=或}1x <-，集合{}{112B x x x x =->=或}0x <，则 {}13R A x x =-≤≤，( {)10R A B x x ⋂=-≤<或}23x <≤故选：A.10．设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所示的集合为（）A ．()M P SB ．()()U M PC S C ．()M P SD ．()()U M P C S 【答案】B 由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x ∉S ，∴x ∈U C S ，且x ∈M ∩P ，因此x ∈（U C S ）∩（M ∩P ）．故选：B ．11．已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则∁U M=()A ．{x|-1<x<3}B ．{x|-1≤x≤3}C ．{x|x<-1或x>3}D ．{x|x≤-1或x≥3}【答案】C由题意，全集U =R ，集合{|13}M x x=-＃，所以{|1U C M x x =<-或3}x >，故选C.12．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若(∁R M )⊇(∁R N )，则k 的取值范围是()A ．k ≤2B ．k ≥－1C ．k >－1D ．k ≥2【答案】D【解析】由()()M N ⊇R R 痧可知M N ⊆，则k 的取值范围为2k ≥.故选D.13．已知集合U ＝R ，A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |x ﹣a ＜0}，若满足U B A ⊆ð，则实数a 的取值范围为__.【答案】a ≤﹣1求出∁U A ，再利用集合的包含关系即可求解.因为A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，所以∁U A ＝{x |x ＞1或x ＜﹣1}，B ＝{x |x ﹣a ＜0}＝{x |x ＜a }若B ⊆∁U A ，则a ≤﹣1.故答案为：a ≤﹣1.14．设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．【答案】{135}，，【解析】M ∪N 元素去掉M∩∁U N 元素得N ＝{1，3，5}15．设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A∩B)＝________.【答案】{1，4，5}因为集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}所以A∩B ＝{2，3}，所以∁U (A∩B)＝{1，4，5}．故答案为{1，4，5}.16．已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R|−2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且R M P Íð，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≥2【解析】由题意得M ＝{x |−2＜x ＜2}，R P ð＝{x |x ＜a }．∵M ⊆R P ð，∴由数轴知a ≥2.17．已知集合U ={x ∈Z |-2<x <10}，A ={0，1，3，4，8}，B ={-1，1，4，6，8}.求A ∩B ，ðU (A ∪B )，A ∩(ðU B )，B ∪(ðU A ).【答案】A ∩B ={1，4，8}，ðU (A ∪B )={2，5，7，9}，A ∩(ðU B )={0，3}，B ∪(ðU A )={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.集合U ={x ∈Z |-2<x <10}={-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ={0，1，3，4，8}，B ={-1，1，4，6，8}，所以A ∩B ={1，4，8}，A ∪B ={-1，0，1，3，4，6，8}，所以ðU (A ∪B )={2，5，7，9}，又ðU B ={0，2，3，5，7，9}，ðU A ={-1，2，5，6，7，9}，所以A ∩(ðU B )={0，3}，B ∪(ðU A )={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.18．已知全集U =R ，集合{}32A x x =-<<，{}16B x x =≤≤，{}121C x a x a =-≤≤+.（1）求()U A B ð；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{2x x <或}6x >，（2）2a <-解：（1）因为全集U =R ，{}16B x x =≤≤，所以{U 1B x x =<ð或}6x >，因为{}32A x x =-<<所以(){U 2A B x x =< ð或}6x >，（2）因为{}32A x x =-<<，{}16B x x =≤≤，所以{}12A B x x =≤< ，当集合C =∅时，()C A B ⊆⋂成立，则121a a ->+，解得2a <-，当集合C ≠∅时，则12111212a a a a -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得a ∈∅，综上，a 的取值范围2a <-19．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x ≤3}.求：（1）A ∩B ；（2）∁U (A ∪B )；（3）A ∩(∁U B ).【答案】（1）{}|02x x <<；（2）{|1x x ≤-或3}x >；（3）{|10}x x -<≤.(1)因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |0<x ≤3}＝{x |0<x <2}.(2)A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |0<x ≤3}＝{x |－1<x ≤3}，∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x >3}.(3)A ∩(∁U B )＝{x |－1<x <2}∩{x |x >3或x ≤0}＝{x |－1<x ≤0}.20．已知集合A={x|x 2-x-2=0}，B={x|x 2+mx+m-1=0}.（1）当m=1时，求(∁R B )∩A ;（2）若(∁R A )∩B=⌀，求实数m 的取值.【答案】（1）(∁R B )∩A={2}；（2）m 的取值为2或-1.解方程x 2-x-2=0，即(x+1)(x-2)=0，解得x=-1，或x=2.故A={-1，2}.（1）当m=1时，方程x 2+mx+m-1=0为x 2+x=0，解得x=-1，或x=0.故B={-1，0}，∁R B={x|x ≠-1，且x ≠0}.所以(∁R B )∩A={2}.（2）由(∁R A )∩B=⌀可知，B ⊆A.方程x 2+mx+m-1=0的判别式Δ=m 2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当Δ=0，即m=2时，方程x 2+mx+m-1=0为x 2+2x+1=0，解得x=-1，故B={-1}.此时满足B ⊆A.②当Δ>0，即m ≠2时，方程x 2+mx+m-1=0有两个不同的解，故集合B 中有两个元素.又因为B ⊆A ，且A={-1，2}，所以A=B.故-1，2为方程x 2+mx+m-1=0的两个解，由根与系数之间的关系可得-(-1)2-1(-1)2m m =+⎧⎨=⨯⎩，，解得m=-1.综上，m 的取值为2或-1.21．全集U =R ，对集合A 、B 定义U A B A B -=⋂ð，定义()()A B A B B A ∆=-⋃-.若集合{}{}|15|37A x x B x x =<≤=≤≤，，求A B ∆.【答案】{13x x <<或}57x <≤解：因为{}{}|15|37A x x B x x =<≤=≤≤，，所以{1U A x x =≤ð或}5x >，{3U B x x =<ð或}7x >，所以{}13U A B A B x x -=⋂=<<ð，{}57U B A B A x x -=⋂=<≤ð，所以{()()13A B A B B A x x ∆=-⋃-=<<或}57x <≤22．已知集合{A x x a =<或}21x a >+，{}24B x x =≤≤.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）当a 取使不等式21x ax +≥恒成立的a 的最小值时，求()R C A B .【答案】（1）{a a ≤}2a ≤≤；（2）{}24x x ≤≤.（1）{A x x a =<或}21x a >+，{}24B x x =≤≤，()22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭ ，21a a ∴<+，若A B =∅ ，则2214a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得a ≤或2a ≤≤，所以a的取值范围为{a a ≤}2a ≤≤；（2）由21x ax +≥得210x ax -+≥恒成立，则240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，所以a 的最小值为2-，当2a =-时，{|2A x x =<-或}5x >{}25R C A x x ∴=-≤≤，(){}24R C A B x x ∴⋂=≤≤。

集合运算公式大全集合是数学中的一个重要概念，它是由若干个确定的元素所组成的整体。

在集合的运算中，我们常常会用到一些基本的运算公式，这些公式在解决问题时起着至关重要的作用。

本文将为大家介绍集合运算的各种公式，希望能对大家的学习和工作有所帮助。

1. 并集运算公式。

对于集合A和B的并集运算，我们有以下公式：A ∪B = {x | x∈A 或 x∈B}。

这个公式表示A和B的并集是包含了A和B中所有元素的集合。

换句话说，A∪B中的元素要么属于A，要么属于B，或者同时属于A和B。

2. 交集运算公式。

对于集合A和B的交集运算，我们有以下公式：A ∩B = {x | x∈A 且 x∈B}。

这个公式表示A和B的交集是包含了A和B中共同元素的集合。

换句话说，A∩B中的元素既属于A，又属于B。

3. 补集运算公式。

对于集合A的补集运算，我们有以下公式：A' = {x | x∈U 且 x∉A}。

其中U表示全集。

A'中包含了全集U中属于A的元素的补集。

换句话说，A'中的元素属于U，但不属于A。

4. 差集运算公式。

对于集合A和B的差集运算，我们有以下公式：A B = {x | x∈A 且 x∉B}。

这个公式表示A-B是包含了A中属于B的补集的集合。

换句话说，A-B中的元素属于A，但不属于B。

5. 对称差运算公式。

对于集合A和B的对称差运算，我们有以下公式：A △B = (A B) ∪ (B A)。

这个公式表示A△B是A-B和B-A的并集。

换句话说，A△B中的元素属于A-B或者属于B-A。

以上就是集合运算的几种基本公式，它们在解决实际问题时非常有用。

通过运用这些公式，我们可以更方便地处理集合之间的关系，解决各种实际问题。

除了基本的集合运算公式外，还有一些特殊的集合运算，比如笛卡尔积、幂集等。

这些运算也有各自的公式和性质，但由于篇幅有限，本文不再一一介绍。

总之，集合运算公式是数学中非常重要的一部分，它们在解决问题时起着至关重要的作用。

集合的运算与性质集合是数学中的一个基本概念，是由一些确定的元素组成的整体。

在集合论中，常常需要对不同的集合进行运算，以便得到新的集合，同时也需要研究集合的性质和特点。

本文将探讨集合的运算以及与之相关的性质。

一、并集运算并集是指将两个集合合并在一起，保留两个集合中的所有元素，并去除重复的元素。

用符号“∪”表示，例如对于集合A和集合B的并集，可以表示为A ∪ B。

例如，假设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A ∪ B={1, 2, 3, 4, 5}。

并集运算有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A ∪ B = B ∪ A。

2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B∪ C)。

3. 幂等律：对于任意的集合A，有A ∪ A = A。

二、交集运算交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。

用符号“∩”表示，例如对于集合A和集合B的交集，可以表示为A ∩ B。

例如，假设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A ∩ B={3}。

交集运算有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A ∩ B = B ∩ A。

2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩C)。

3. 幂等律：对于任意的集合A，有A ∩ A = A。

三、差集运算差集是指从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素后所得到的集合。

用符号“-”表示，例如对于集合A和集合B的差集，可以表示为A - B。

例如，假设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A - B={1, 2}。

差集运算有以下几个性质：1. 差集的顺序不可交换，即A - B ≠ B - A。

2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A - B) - C = A - (B ∪ C)。

3. 幂等律：对于任意的集合A，有A - A = ∅，其中∅表示空集。