第一节 集合的概念与运算-教师版

微课程2：集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合A⊆B，但存在元素x ∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意x∈A，有x∈B，则A⊆B。

若集合A⊆B，但存在元素x ∈B ，且x∉A，则A B表示方法A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

A不是B的子集时，记作A B或B A。

若集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。

性质①A⊆A ②∅⊆A③A⊆B，B⊆C⇒A⊆CA B，且B C⇒A C子集个数含n个元素的集合A的子集个数为n2含n个元素的集合A的真子集个数为n2－1空集不含任何元素的集合，记为∅。

空集是任何集合的子集，用符号语言表示为∅⊆A；若A非空（即A≠∅），则有∅A。

集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。

（3）图形语言（Venn图）表示：。

2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。

（3）图形语言表示（Venn图）：。

3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x∉A}。

（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。

【典例精析】例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。

（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A≠B ，那么B 必是A 的真子集； （6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立。

第一讲 集合的概念与运算教学目的： 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。

了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能正确进行“集合语言”、“数学语言”“图形语言”的相互转化.教学重点： 交集、并集、补集的定义与运算.教学难点： 交集、并集、补集的定义及集合的应用.【知识概要】新课标教学目标： 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 知识点1 集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

集合中每个对象叫做这个集合的元素 点评：（1）集合是数学中不加定义的基本概念．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象． （2）集合里元素的特性确定性：集合的元素，必须是确定的．任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素．互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现． 无序性：集合与组成它的元素顺序无关．如集合{a, b, c}与{c, a, b}是同一集合． （3）元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A （或a ∈A ）．（4）集合的分类集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集（用记号φ表示）．有限集：含有有限个元素的集合（单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集。

2.完成《学案》知识梳理，双基自测部分.（一）复习导入展示知识梳理模块的PPT，唤醒学生已有的知识储备，激发学习兴趣，导入新课.导语：在高一年级，我们已经学习了集合的概念及运算.下面，我们一起做一下这些填空题，检验一下对过往知识的掌握情况.（二）考点突破·互动探究考点一集合的基本概念——自主练透例1(1)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是() A．－2∈A B．2023∈AC．3k2＋1∉A D．－35∈A(2)(理)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(文)(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(3)已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2 023a 的值为 ；若1∉A ，则a 不可能取得的值为 ．做题方法：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点二 集合之间的基本关系——师生共研例2 (1)(2021·新高考八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且C R M ⊆N ，则M ∪(C R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，B ＝{x |ax ＋1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 的值不可能为( )A ．－3B ．－2C ．0D ．3(3)(理)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 3＋16，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 6＋13，k ∈Z ，则下面正确的是( ) A ．M ＝N B ．M ⊊N C ．N ⊊MD ．M ∩N ＝∅(文)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ，则A 与B 之间的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊊B C ．B ⊊AD ．无法比较做题方法：判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(3)题解法一)描述法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题解法二)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.考点三集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算例3(1)(2021·新高考Ⅰ，1，5分)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}(2)(2020·课标Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2，3}B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3}D．{－2，－1，0，2，3}(3)(理)(2021·浙江杭州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，集合B＝{x|log3(x＋1)<1}，则A∪B＝，C R A)∩B＝．(文)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(C R B)＝()A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2}D．{x|0<x<2}角度2利用集合的运算求参数例4(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a 的取值范围是()A．(0，3)B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m 的取值范围为．[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？解：应对B＝∅和B≠∅进行分类．①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.②若B≠∅，由例得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：由A ∪B ＝B ，即A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B . [引申3]本例(2)中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A ⊊B ，则m 的取值范围为 (－∞，－3] ．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，1－2m ≥5，解得m ≤－3.做题方法：集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． 2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．考点四 集合中的新定义问题例5 定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝⎛⎭⎫B A ∪B 中的元素个数为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9做题方法：集合新定义问题的“3定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 教师活动：通过课件，出示例题，对有难度的题型加以引导. 学生活动：认真审题，独立完成.设计意图：使学生明确本节考点及命题方式. （三）达标检测A∩B＝{x|x∈A且A∪B＝{x|x∈A或。

2013年数学40个考点总动员 考点01 集合的概念与运算（教师版）新课标【高考再现】热点一 集合的概念1 ．（2012年高考（新课标））已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈， 则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．103.（2012年高考（广东））设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U C M =（ ）A ．UB ．{}1,3,5C ．{}3,5,6D ．{}2,4,6热点二 集合间的关系和运算4．（2012年高考（陕西））集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N = （ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】C【解析】{|lg 0}{|1}M x x x x =>=>,{|22}N x x =-≤≤,{12}M N x x =<≤,故选C.5．（2012年高考（山东））已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U C A B （）为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C【解析】因}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C. 6 ．（2012年高考（辽宁））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集 合B={2,4,5,6,8},则)()(B C A C U U 为 （ ） A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}热点三 与集合为背景探求参数取值7.（2012年高考（大纲））已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m = （ ）A ．0或B ．0或3C ．1D ．1或38．（2012年高考（天津理））已知集合={||+2|<3}A x R x ∈,集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n - ,则=m _____,=n _______. 【答案】1-,1【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)A B n - ,画数轴可知=1m -,=1n .9.（2012年高考（上海春））已知集合[1,2,},{2,5}.A k B ==若{1,2,3,5},A B = 则k =______.【考点剖析】 一．明确要求1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算. 二．命题方向三．规律总结 1.一个性质要注意应用A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 2.两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 3.三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．【基础练习】1.(教材习题改编)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝ ( )A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5} 【答案】C【解析】先求出M 的补集∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．2. (教材习题改编)设集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B 等于( )． A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |x ≥3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ≥2}4. (人教A 版教材习题改编)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________. 【答案】2【解析】A ∪B ＝{1,3，m }∪{3,4}＝{1,2,3,4}，∴2∈{1,3，m }，∴m ＝2.【名校模拟】一．扎实基础1.（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1答案：C解析：由M N N = ，根据集合元素的互异性，则1a =-，故选C 。

《第一节集合的概念》同步学习与训练一、知识点归纳知识点一元素与集合的相关概念1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合相等：构成两个集合的元素是一样的．4.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．知识点二元素与集合的关系及常用数集1.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.2.数学中一些常用的数集及其记法知识点三列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.知识点四描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．二、题型分析题型一集合的基本概念【例1】考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B. 【规律总结】判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.【变式1】．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．【解析】(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．题型二元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2 C．3D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4C．4 D．0【答案】(1)B(2)B【解析】(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.【规律总结】判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.【变式2】．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【答案】0,1,2【解析】∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.题型三集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．【答案】0【解析】由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.【规律方法】1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．【变式3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．【答案】a＝－1【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.题型四用列举法表示集合【例4】用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A ；(2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D .【解析】(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A ＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32， 所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，32. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4. 所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．【规律方法】用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.【变式4】．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ； (4)15的正约数组成的集合N .【解析】(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素有－2，－1,0,1,2，故A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解为x ＝2或x ＝3，∴M ＝{2,3}．(3)解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴B ＝{(3,2)}．(4)15的正约数有1,3,5,15，故N ＝{1,3,5,15}．题型五 用描述法表示集合【例5】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．【解析】(1){x ∈R |1<x <10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x <0，且y >0}．(3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．【规律方法】描述法表示集合的2个步骤【变式5】.用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x －3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解析】(1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤32，0≤y ≤1. (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．题型六 集合表示方法的综合应用【例6】集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．【解析】(1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．【规律方法】1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本题中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．【变式6】(2019-2020学年·铜仁思南中学高一期中)已知集合M＝{－1，0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}，则集合N中所有元素之和为()A．－1 B．0C．1 D．2【答案】A【解析】∵集合M＝{－1,0,1}，∴N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}＝{－1,0}，∴集合N中所有元素之和为－1.三、课堂达标检测1.已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A【答案】C【解析】∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.2．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.3的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体【答案】C【解析】A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.3．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A ．{x |－3<x <11，x ∈Z }B ．{x |－3<x <11}C ．{x |－3<x <11，x ＝2k }D ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }【答案】D【解析】由题意可知，满足题设条件的只有选项D ，故选D.4．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( )A ．{1，－2}B ．{x ＝1，y ＝－2}C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)} 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，y ＝－2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}． 5.（2019-2020学年•城关区校级期中）考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数 ④的近似值． A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③【答案】：C ．【解答】解：对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；对于④，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合． 综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．6.（2019-2020学年•湖北期中）下列表示正确的是（ ）A ．0∈NB ．C ．π∉RD ．0.333∉Q【答案】：A ．【解答】解：0是自然数，则A 对．不是整数，故B 错．π是实数，故C 错．0.333是有理数．故D错．7.（2019-2020学年•浦东新区期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，用列举法可表示为A＝．【答案】：{﹣1，2}．【解析】；解方程x2﹣x﹣2＝0得：x＝﹣1或2，∴A＝{﹣1，2}，8.（2019-2020学年•普陀区校级月考）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为．【答案】：{x|x＝3k+1，k∈N}．【解析】：被3除余数等于1的自然数可以表示为：x＝3k+1，其中k∈N，所以用描述法可表示为：{x|x＝3k+1，k∈N}，9.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．【答案】a＝0或a＝－1【解析】∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.10.（2019-2020学年•镜湖区校级月考）用适当的方法表示下列集合．（1）方程组，的解集；（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；（4）所有三角形构成的集合．【答案】见解析【解析】：（1）．解方程组，得，故解集为{（4，﹣2）}；（2）．集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．（3）．集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}（4）．集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．四、课后提升作业一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．拥有手机的人B ．2020年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数 【答案】B【解析】B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.2.已知集合A ＝{x ∈N |x <6}，则下列关系式不成立的是( )A ．0∈AB ．1.5∉AC ．－1∉AD ．6∈A 【答案】D【解析】∵A ＝{x ∈N |x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A ，故选D.3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37D.7 【答案】D【解析】由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( ) A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}【答案】D 【解析】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集【解析】由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.6．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R【答案】D【解析】选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．7.（多选）（2019-2020学年•天津期末）由实数﹣a ，a ，|a |，所组成的集合可以含有（ ）个元素 A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】：AB ．【解析】：当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有1个元素；当a ≠02,0,0a a a a a >⎧=⎨-<⎩2a |a |相等且一定与a 或﹣a 中的一个一致， 故组成的集合可以含有1个或2个元素．二、填空题8．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．【答案】{k |k ≠±1}【解析】∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.9．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ；(2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .【答案】(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈【解析】(1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D .]10．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.【答案】1【解析】由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1. 11．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________.【答案】{1,3}【解析】由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4，则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．12.若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x ∈A }，C ＝{x |x ⊆A }用列举法表示集合B ＝_________；C ＝_________．【答案】{1，2}，{∅，{1}，{2}，{1，2}}【解析】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x ∈A }，C ＝{x |x ⊆A }，∴用列举法表示集合B ＝{1，2}；C ＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}．三、解答题13．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=Z x Z x A 34. (1)用列举法表示集合A ；(2)求集合A 的所有元素之和．【答案】(1)A ＝{－1,1,2,4,5,7};(2)18【解析】 (1)由43－x∈Z ，得3－x ＝±1，±2，±4.解得x ＝－1,1,2,4,5,7. 又∵x ∈Z ，∴A ＝{－1,1,2,4,5,7}．(2)由(1)得集合A 中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.14．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．【答案】x ＝1，y ＝0【解析】因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.15.已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．【答案】见解析【解析】：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a ＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.【能力提升】1．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M【答案】C【解析】由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x －2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.选C.2．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】当x>0时，x＝|x|＝x2，－3x3＝－x<0，此时集合共有2个元素，当x＝0时，x＝|x|＝x2＝－3x3＝－x＝0，此时集合共有1个元素，当x<0时，x2＝|x|＝－x，－3x3＝－x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.3．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，则有() A．a∈A B．－a∉AC．{a}∈A D．{a}∉A【答案】A【解析】由题意，当k＝2时，x＝5，所以a∈A.当k＝－3时，x＝－5，所以－a∈A.故选A.4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为()A．3B．4 C．5D．6【答案】B【解析】当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素．5．（2019-2020学年•东宝区校级期中）将集合{（x，y）|}表示成列举法，正确的是（）A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【答案】：B．【解答】：解方程组：521x yx y+=⎧⎨-=⎩，可得23xy=⎧⎨=⎩，故选B6．（2019-2020学年•榆社县校级月考）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【答案】：C．【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），7．（多选）（2019-2020学年•北镇市校级月考）已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．1【故选】：AC．【解答】解：由题意得，2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，若2＝3x2+3x﹣4，即x2+x﹣2＝0，∴x ＝﹣2或x ＝1，检验：当x ＝﹣2时，x 2+x ﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去；当x ＝1时，x 2+x ﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x 2+x ﹣4，即x 2+x ﹣6＝0，∴x ＝2或x ＝﹣3，经验证x ＝2或x ＝﹣3为满足条件的实数x ．8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.【答案】6【解析】∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6.9．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________． 【答案】3【解析】当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b b ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－b b＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 10．已知集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________.【答案】{0,1}【解析】∵x ∈A ，∴当x ＝－1时，y ＝|x |＝1；当x ＝0时，y ＝|x |＝0；当x ＝1时，y ＝|x |＝1.11．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,10}，若－3∈A ，则a ＝______.【答案】－32【解析】因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，当a －2＝－3时，a ＝－1，此时2a 2＋5a ＝－3，与元素的互异性不符，所以a ≠－1.当2a 2＋5a ＝－3时，即2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32.显然a ＝－1不合题意．当a ＝－32时，a －2＝－72，满足互异性．综上，a ＝－32. 12.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值；(2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围；(3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素． (2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0， 即a <98且a ≠0时方程有两个实根， 又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤98. (3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素． 当集合A 中没有元素，即A ＝∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98. 综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素. 13.数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． (1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．【答案】见解析【解析】：根据已知条件“若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素． (1)其他所有元素为－1，12. (2)假设－2∈A ，则13∈A ，则32∈A .其他所有元素为13，32. (3)A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 证明如下．由已知，若a ∈A ，则11－a ∈A 知，11－11－a ＝a －1a ∈A ，11－a －1a＝a ∈A . 故A 中只能有a ，11－a，a －1a 这3个元素． 下面证明三个元素的互异性．若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a ≠11－a .a－1 a，11－a≠a－1a.结论得证．同理可证，a≠。

§1.1集合的概念﹑集合间的基本关系（第1课时）学习目标1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言﹑图形语言﹑集合语言描述不同的具体问题。

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

学习重点，难点 1.集合的不同表示形式2.集合中元素与集合，集合与集合的包含关系 学习过程 一﹑知识要点1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)2.集合间的关系(1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集：若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B (或B A )．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A ，∅ B (B ≠∅)． (4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的非空子集有2n －1个． (5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .二﹑小题训练1．下列集合中表示同一集合的是________．(填序号) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{2,3}，N ＝{3,2}；③M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}； ④M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}． 答案 ②2. (数学之友P 44)已知集合A ＝{a ＋2，2a 2＋a}，若3∈A ，则a ＝________．－32(数学之友P 44)变式训练：以正整数为元素的集合S ，满足“S x S x ∈∈-8,则若”写出符合条件的二元集答案：{1,7} {2,6} {3,5} 3.已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，0≤y<2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}4.设M 为非空的数集，M ⊆{0，1，2，3}，则这样的集合M 共有________个．答案：15三﹑典型题型题型一 集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.试题分析： 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”．答案 (1)10 (2)2试题解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ， 当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.解题回顾：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．变式训练： 数学之友P 94(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．(2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.答案 (1)2 (2)0或98试题解析： (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2. (2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二 集合间的基本关系例2 （江海零距离P 22 ）(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (1)4 (2)(－∞，4]试题解析： (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形．当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.（备用题数学之友P 82）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B B A ≠ ，则实数m 的取值范围是________解题回顾 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、V enn 图来直观解决这类问题．变式训练 (1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有________个．(2)．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则M________N. 答案 (1)6解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)． 答案 (2) M ⊂N四﹑课堂反馈1.集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，则a 2 016＋b 2 017的值 1 ．解：由于a ≠0，由ba ＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 016＋b 2 017＝1.2．(数学之友P 61)（2014.山东）已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是5．3. (数学之友P 45) 设集合A ＝{x|x 2-3x+2=0}，B ＝{x| ax －2=0}．若B ⊆A ，,则实数a 的取值集合 {0,1,2}4. (数学之友P 52)已知A ＝{x|1<x<2}，B ＝{x| x>a}．若A ⊂B ，则a 的取值范围是1≤a反思小结1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ÍB ，则需考虑A ＝Æ和A ≠Æ两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．§1.2集合的基本运算（第2课时）学习目标1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集。

第一讲：集合的概念与运算一、知识梳理：1． 集合的含义与表示：（1） 一般地，我们把研究对象统称为__________，把一些元素组成的总体叫做____________（简称______）.（2） 集合中元素的三个性质：____________,__________,___________. （3）集合中元素与集合的关系分为____________和____________两种，分别用__________和_________表示. （4） 几种常用集合的表示法：数集 自然数集正整数集整数集有理数集 实数集 表示（5） 集合的三种表示法：___________,____________,_______________. 2． 集合间的基本关系：（1）B ⊆的含义是：__________________________________________. （2）若集合B A ⊆且A B ⊆，我们就说____________________________. （3）若集合B A ⊆且B A ≠，则称__________________记着___________. 即若B A ⊆，但存在B x ∈0，且A x ∉0。

（4）不含任何元素的集合叫做________，记为_______，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

3．集合的基本运算：（1）B A ⋃的含义是__________________________________________. （2）B A ⋂的含义是_______ _____________________________. （3）如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__________________，通常记作________________.（4）对于一个集合A ，由全集U 中___________________的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作________________. 即________________________________=C U 。