专题01 集合概念与运算(教师版)

集合的概念与运算老师辅导教案集合的概念与运算导学目标1．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．夯实基础1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B．5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．设全集为U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B．A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U．突破考点题型一、集合的基本概念例1若a ，b ∈R ，集合{1,a ＋b,a}＝{0,ba,b}，求b －a 的值．【解题导引】解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．【解析】由{1,a ＋b,a}＝{0,ba ,b}可知a≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2．变式迁移1设集合A ＝{1,a,b}，B ＝{a,a 2,ab}，且A ＝B ，求实数a ，b ．【解析】由元素的互异性知，a≠1，b≠1，a≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0．题型二、集合间的关系例2设集合M ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2,a ∈R}，N ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2,b ∈R}，则下列关系中正确的是( )A.M ＝NB.M NC.N MD.M ∈N【解题导引】一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．【答案】A【解析】集合M ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2,a ∈R}＝{x|x ＝(a －2)2＋1,a ∈R}＝{x|x≥1}， N ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2,b ∈R}＝{y|y ＝(2b ＋1)2＋1,b ∈R}＝{y|y≥1}．∴M ＝N ．变式迁移2设集合P ＝{m|－1<m<0}，Q ＝{m|mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R}，则下列关系中成立的是( )A.P QB.Q PC.P ＝QD.P∩Q ＝∅【答案】A【解析】P ＝{m|－1<m<0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝16m 2＋16m<0，或m ＝0．∴－1<m≤0．∴Q ＝{m|－1<m≤0}．∴P Q ．题型三、集合的运算例3设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}． (1)当a ＝－4时，求A∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A)∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．【解题导引】解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．【解析】(1)A ＝{x|12≤x≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴A∩B ＝{x|12≤x<2}，A ∪B ＝{x|－2<x≤3}．(2)∁R A ＝{x|x<12或x>3}．当(∁R A)∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A∩B ＝∅． ①当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}， 要使B ⊆∁R A ，需－a≤12，解得－14≤a<0．综上可得，a 的取值范围为a≥－14．变式迁移3已知A ＝{x||x －a|<4}，B ＝{x||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，A ＝{x|－3<x<5}，B ＝{x|x<－1或x>5}．∴A∩B ＝{x|－3<x<－1}．(2)∵A ＝{x|a －4<x<a ＋4}，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a<3．∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用(1)若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合； (2)若集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合． 【答题模板】(1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12．故所求集合为{0,13,－12}．(2)当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 若B≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3．故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}． 【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．数学思想1．下列集合表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B.M ＝{(x,y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1} C.M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D.M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)}【答案】C2．已知集合M ＝{x|－3<x≤5}，N ＝{x|－5<x<5}，则M∩N 等于( ) A.{x|－5<x<5}B.{x|－3<x<5}C.{x|－5<x≤5}D.{x|－3<x≤5}【答案】B【解析】画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N ＝{x|－3<x<5}．3．设集合A ＝{(x,y)|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x,y)|y ＝3x }，则A∩B 的子集的个数是( )A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，所以A∩B 包含两个元素，故A∩B 的子集个数是4个．4．集合M ＝{y|y ＝x 2－1,x ∈R}，集合N ＝{x|y ＝9－x 2,x ∈R}，则M∩N 等于( ) A.{t|0≤t≤3}B.{t|－1≤t≤3}C.{(－2,1),(2,1)}D.∅【答案】B【解析】∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1,＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0．∴N ＝[－3,3]．∴M∩N ＝[－1,3]． 5．已知集合A ＝{1,3,a}，B ＝{1,a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝＿＿＿＿＿． 【答案】－1或2【解析】由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y ＝2x }，{x|y ＝2x }，{(x,y)|y ＝2x }表示不同的集合． 3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．名师点津明确考向4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用V enn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠∅时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝∅的情况，然后取补集．一、选择题1．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()A.2B.3C.4D.8【答案】B【解析】A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．2．设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P,b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()A.9B.8C.7D.6【答案】B【解析】P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8．3．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于()A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}【答案】B【解析】由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3,－2,－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5,x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2或a≥4}C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4}【答案】C【解析】由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1．由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6．5．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是()精题精练A.{x|－2≤x<1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}【答案】C【解析】题图中阴影部分可表示为(∁U M)∩N ，集合M 为{x|x>2或x<－2}，集合N 为 {x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N ＝{x|1<x≤2}．二、填空题6．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是＿＿＿＿＿． 【答案】4【解析】由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}． 7．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝＿＿＿＿＿．【答案】{2,4,6,8}【解析】A ∪B ＝{x ∈N *|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}． 8．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2,a 2＋4}，A∩B ＝{3}，则实数a ＝＿＿＿＿＿． 【答案】1【解析】∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1．三、解答题9．集合A ＝{x|x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x|x 2＋3x>0}，求A ∪B 和A∩B ．【解析】∵A ＝{x|x 2＋5x －6≤0}＝{x|－6≤x≤1}．B ＝{x|x 2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}． 如图所示，∴A ∪B ＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R ．A∩B ＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0}＝{x|－6≤x<－3,或0<x≤1}．10．已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x|－12<x≤2}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解析】当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a<0时， 若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a >2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≥－8，a>－12.∴－12<a<0；当a>0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤2，a≤2.∴0<a≤2． 综上知，当B ⊆A 时，－12<a≤2．11．已知集合A ＝{x|x －5x ＋1≤0}，B ＝{x|x 2－2x －m<0}，(1)当m ＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．【解析】由x －5x ＋1≤0，所以－1<x≤5，所以A ＝{x|－1<x≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，则∁R B ＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}． (2)因为A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8． 此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意， 故实数m 的值为8．。

专题01集合一、关键能力1.通过集合的学习，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性。

2.通过常用逻辑用语的学习，使学生学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容；体会逻辑用语在表述和论证中的作用，形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识，发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证过程的能力，从而能够更好地进行交流。

二、教学建议1．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义。

3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

三、自主先学1．重读课本．独立完成下列梳理． 2．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)3.集合间的关系(1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：若A B ⊆，且A B ≠，则A B ⊂≠(或B A⊃≠)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即A ∅⊆，B⊂≠∅(B ≠∅)．(4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的非空子集有2n －1个． (5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B . 4．集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集5．集合的运算性质 并集的性质：A ∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .交集的性质：A ∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .补集的性质：)(A C A U ⋃＝U ；)(A C A U ⋂＝∅；)(A C C U U ＝A .四、高频考点+重点题型 考点一、文氏图1．（2020·全国高三其他模拟（文））记全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}4,6,7,8B ．{}7,8C ．{}2D ．{}1,2,3,4,6【答案】B 【详解】由图知，阴影部分所表示的集合是)(B A C U ⋃∵{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =， ∴{}1,2,3,4,5,6AB =，∴{}87)(，=⋃B A C U故选：B.2．（2020·浙江高三练习）设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}{}2,4,5,7,1,4,7,8A B ==，那么图中的白色部分所表示的集合是（ ）.A ．{}3,6B ．{}4,7C ．{}1,2,4,5,7,8D ．{}1,2,3,5,6,8【答案】C3．（2020·南岸区·重庆第二外国语学校高三月考）已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，(){}ln 3B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2,4B ．{}2,3C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,4【答案】B 【详解】图中阴影部分表示的集合为=⋂)(B C A U {}2,3 故选：B4．（2021·全国高三专题练习（文））设全集{}{}2,40,1,U R A x x B x x ==-≥=≤-则下图阴影部分表示的集合为（ ）A ．(]1,2-B ．[]1,2-C ．[)2,1--D ．(],1-∞-【详解】{}{}2|40|22A x x x x =-≥=-≤≤，易知阴影部分为集合(]1,2-，5．（八省新高考统一适应性模拟考试 2021届高三二模T1）如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合.若x ，y ∈R ，A ＝{x |y }，B ＝{y |y ＝3x ,x >0}，则A #B 为（ ）A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |x =0或x >2}答案：D考点二、含参集合1．（2020·山东）已知集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊂A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．1{1,}2B ．1{1,}2-C ．1{0,1,}2D ．1{0,1,}2-【答案】D 【详解】当0a =时, B =∅，满足条件，所以0a =，当0a ≠时, 1{}B a=，由B ⊆A 得11a =-或12a =，所以1a =-或12a =，因此由实数a 的所有可能的取值组成的集合为1{0,1,}2-故选：D2．（2021·辽宁高三一模（理））已知集合{}12A x a x a =-≤≤+，{}35B x x =<<，则使A B ⊇成立的实数a 的取值范围为（ ） A ．{}34a a <≤ B ．{}34a x ≤≤C ．{}34a a <<D ．∅【答案】B若满足A B ⊇， 由已知条件得1325a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得 34m ≤≤，故选：B ．3．（2021·新余市第一中学高三二模（理））已知集合{}2|20P y y y =-->，{}2|0Q x x ax b =++≤，若P Q R =，则(2,3]P Q ⋂=，则a b +=A ．-5B ．5C ．-1D ．1【答案】A【解析】{}2|20{2y 1}P y y y y y =-->=<-或,而由P Q R ⋃=及(2,3]P Q ⋂=得[13]Q ，=- ,所以1,3-是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得 13,132,3,5a b a b a b -=-+=-⨯⇒=-=-+=- ，选A.4．（2020·吉林吉林市·高三三模（理））设全集,U R =集合{}|1A x x =>，集合{}|,B x x p =>若()UA B ⋂=∅，则p 应该满足的条件是A ．1p >B ．p ≥1C ．1p <D ．p ≤1 【答案】B【解析】由{}1A x x =得：，由()UA B ⋂=∅，得p ≥1，故选B.5．（2020·安徽淮南市·高三二模（文））已知全集U R =，集合{|20}M x x a =+≥，()2{|log 11}N x x =-<，若集合(){|13}U M C N x x x ⋂==≥或，那么a 的取值为A ．12a =B ．12a ≤C ．12a =-D ．12a ≥【答案】C 【详解】由题得：:2M x a ≥-，:13N x <<，因为(){|13}U M C N x x x ⋂==≥或，所以12a =- 题型三、集合关系判断1．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U ，A ，B ，C 为U 的非空子集，且)(B A C C U ⋃⊂，则下列正确的是（ ）A ．A A C C U =⋃)（B ．R B C C U =⋃)（ C ．A C C C U U ⊂ D ．A A C C U =⋂)（ 【答案】D2．（2018·辽宁高三期中（理））已知集合,M N I ⊂，若M N N ⋂=，则（ ） A ．I I C M C N ⊇ B ．I M C N ⊆C ．I I C M C N ⊆D ．I M C N ⊇【答案】C 【详解】∵M∩N=N ，∴N ⊆M ，若把I 看作全集，作出韦恩图如图所示： ∴N 的补集包含M 的补集， 故选C ．3．（2017·陕西西安市·高三其他模拟（理））已知U 是全集，M 、N 是U 的两个子集，若M N U ⋃≠，M N ≠∅，则下列选项中正确的是A ．U C M N =B ．UC N M =C ．()()U U C M C N ⋂=∅D ．()()U U C M C N U ⋃≠【答案】D 【详解】由韦恩图可知,A B 不一定成立，由集合的运算律可知()()()U U U U C M C N C M N C U φ⋂=⋃≠=， 所以选项C 是错误的，故选D ．4．（2017·上海市奉贤中学）设U 是全集，若A B U ⋃=，则下列关系式一定正确的是A ．φ=⋂B A B ．AC B U ⊂ C ．B A C U ⊂D ．U B C A C U U =⋂【答案】C 【详解】如图，A B U ⋃=，此时U C A B ⊆.故选：C5．（2017·四川高三三模（理））已知全集U ，集合M ，N 满足M N U ⊆⊆，则下列结论正确的是 A ．M N U ⋃= B ．φ=⋂)()N C M C U U （ C ．φ=⋂)(N C M U D ．φ=⋃)()N C M C U U （ 【答案】C题型四、新定义集合1．（2021·全国高三其他模拟）已知M ，N 是任意两个非空集合，定义集合{},M N x x M x N -=∈∉，则()MN M -=（ ）A ．NB ．N M -C ．M N -D ．M N ⋂【答案】B 【详解】由题意(){}{},,M N M x x M N x M x x N x M N M ⋃-=∈⋃∉=∈∉=-. 故选：B.2．（2019·浙江高三专题练习）设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{|}P Q a b a P b Q ∈∈＋＝＋，．若{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q ＋中元素的个数是( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】B【详解】根据题意，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}， 其中有8个元素，故选B ．3．（2021·全国高三专题练习）设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂.已知{|A x y ==，{}1B x x =，则A B ⨯等于A ．[]()0,12,⋃+∞B ．[)()0,12,⋃+∞C ．[]0,1 D ．[]0,2【答案】A 【详解】求出集合A 中的函数的定义域得到：220x x -≥，即()20x x -≥可化为020x x ≥⎧⎨-≥⎩或020x x ≤⎧⎨-≤⎩解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，{}1B x x =)0A B ⎡⋃=+∞⎣，，](12A B ⋂=， 则[]()012A B ⨯=⋃+∞，， 故选A4．（2016·湖南高三竞赛）设集合{}0123,,,S A A A A =，在集合S 上定义运算“⊕”：j i k A A A ⊕=，其中，k 为i j +被4除的余数，i 、{}0,1,2,3j ∈.则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B解：当x=A 0时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 0⊕A 0）⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2 当x=A 1时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 1⊕A 1）⊕A 2=A 2⊕A 2=A 0 当x=A 2时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 2⊕A 2）⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2 当x=A 3时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 3⊕A 3）⊕A 2=A 2⊕A 2=A 0则满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为：2个． 故选B ．5．（2020·湖南株洲市·株洲二中高一月考）定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B =∈=-∈∈R ※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-； 当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-； 当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=； 当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-. 所以集合 A B ※ 的共有3个元素. 故选：B题型五、集合与不等式、方程、函数结合1．（2019·江西宜春市·上高二中高三月考（理））已知全集U =R ，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-答案：C 【详解】解：图中阴影部分表示的集合U N C M ⋂，由1{|21}{|30}8x N x x x =<<=-<<，(){|ln 1{|1},M x y x x x ==--=<- 则{|1}U C M x x =≥-， 则{|10}U N C M x x ⋂=-≤<． 故选C ．2．（2019·北京高考模拟（理））已知集合{}1,0,1,2A =-，{|B x y ==，则下图中阴影部分所表示的集合为A ．{}1-B ．{}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-答案：B 【详解】∵B ＝{x |x 2﹣1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤﹣1}， ∴∁U B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，又由图象可知阴影部分对应的集合为A ∩（∁U B ）， ∴A ∩（∁U B ）＝{0}， 故选B ．3．（2019·全国高三专题练习）已知集合(){}22,|,,2M x y x y xy =+=为实数且，(){},|,,2N x y x y x y =+=为实数且，则M N ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B 【详解】联立方程组2222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 所以2210x x -+= 判别式0∆= ，所以M N ⋂ 的解集只有一个． 故选B4．（2018·全国高三专题练习）已知*n N ∈，集合13521,,,,2482n n n M -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得80n T >的最小正整数n 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15 答案：B【解析】当n=2时，n M 的所有非空子集为：{1313,?},2424⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, ∴和为S=1237244⨯+= 当n=3时，∴和为S=1235412448⨯+⨯+⨯= 当n≥4时，当最小值为212n n - 时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2n-1-1个非空子集，S 1=212n -当最小值为1232n n --不含212n n -含1232n n --共n-2个元素，有2n-2-1个非空子集， S 2=23......2n - ∴n T =S 1+S 2+S 3+…+S n =212n -+2237531......222442n n --++++=则21802n -> 的最小正整数n 为13故选B5．（2019·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））集合{}{|3},1,0,1xM y R y N =∈==-，则下列结论正确的是A ．B ．(0,)M N ⋃=+∞C ．()(,0)R C M N ⋃=-∞D ．{}()1,0R C M N ⋂=- 答案：D 【详解】{}0M y y =，{|0}R M y y =≤，所以{}()1,0R C M N ⋂=-，故选D6．（2016·吉林白城市·高三月考（理））已知集合{|{||1|2}M x y N x x ==+≤，且M 、M 都是全集I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为A．{|1}x x ≤≤B ．{|31}z z -≤≤ C．{|3z z -≤<D．{|1x x <≤答案：C【详解】试题分析：{{}|,|31{|I M x x N x x C M x x =≤=-≤≤⇒=I N C M ⇒⋂={|3x x -≤<,故选C ．7．（2011·河北唐山市·高三二模（理））已知i 是虚数单位，集合M Z =（整数集）和()2211,,,i N i i i i ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭的关系韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷个 答案：B【详解】因为21i =-，()2211222i i i i i i i+++===，所以集合1,1,,2N i i ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 因为阴影部分所示的集合为M N ⋂，M Z =，所以{}1,2M N ⋂=-，阴影部分所示的集合的元素共有2个，故选B ．达标测试一、单项选择题1．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0， －1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.2．已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}，则集合A 的真子集有( )A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个答案 A解析 ∵集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}＝{x ∈N *|－1<x <4}＝{1,2,3}，∴集合A 中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．3．已知集合M ＝{x |x >4或x <1}，N ＝[－1，＋∞)，则M ∩N 等于( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－1,1)∪(4，＋∞)C ．∅D ．[－1,1)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为M ＝{x |x >4或x <1}，N ＝[－1，＋∞)，所以M ∩N ＝[－1,1)∪(4，＋∞)． 4．(2020·山东模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B 等于() A ．{(1,1)} B ．{(－2,4)}C ．{(1,1)，(－2,4)}D ．∅答案 C解析 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.从而集合A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．二、多项选择题5．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( ) A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．三.填空题6．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________．答案：－1或2解析：由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.7．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析 当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1<a ，∴A ∪B ＝R ，故a <1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．四.解答题8．已知集合A ＝()122log 23215x x x x ⎧⎫⎧+>-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤+⎩⎩⎭，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：(1)解不等式12log (2)x +>－3得：－2<x <6. ① 解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5. ②由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

考点一集合的概念与运算知识梳理一、集合的含义与表示1 . 集合的相关概念(1)集合的含义：某些指定对象集中在一起就成为一个集合(或集)，用大写字母A、B、C...表示(2)元素的含义：集合中的每个研究对象叫做这个集合的元素，用小写字母a、b、c...表示(3)不含任何元素的集合叫空集，用“∅”表示(空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集)(4)集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．(5)集合元素的三个特征：确定性：集合中元素是确定的，不能模棱两可互异性：集合中元素互不相同，相同的元素在同一集合中只能算一个无序性：集合中元素没有顺序的2．集合的表示法列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法或列几个元素作为代表，其余元素用省略号例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5...} (元素用逗号隔开，不重复，无顺序)描述法：用集合元素共同特征描述出来，写在大括号内表示集合的方法，形如：{x|x满足的条件} 例如：大于3的所有整数{x|x＞3且x∈N}图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合，这个区域叫做V enn图3.常见数集的记法4.属于∈，元素a属于集合A，记为：a∈A，读作：a属于集合A不属于∉，元素a不属于集合A，记为：a∉A，读作：a不属于集合A (符号只能表示集合与元素之间关系)5.易错分析(1)x∈∅错误，x∉∅真理(2)a和{a}不同，前者是元素，后者是集合(单元素集)，特别地：0和{0}<教师备案>1.下列语句能否确定一个集合? ③⑤①所有的三角形；②高一数学课本中的难题；③方程x2+2=0的实数解；④班上所有的帅哥；⑤不超过20的实数2.①集合{x，x2}中实数x应满足怎样的取值要求? x≠0且x≠2②如果数集{0，1，x+2}中有3个元素，那么x应满足怎样的取值要求？x≠2，x≠-13.用∈和∉填空①若A={x|x2-3x-4=0}，则-1 A；-4 A ②0 ∅；0 {0}；πR；-3 Z二、集合间的基本关系A B(或B A)子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．A不是B的子集记作：A B，读作A不包含B<教师备案>用适当符号填空：真子集，等于，真子集，等于，不等于①{1} {x|x2-3x+2=0} ②{1,2} {x|x2-3x+2=0} ③{x|x=2k，k∈N} {x|x=6a，a∈n} ④∅{x|x2+2=0} ⑤{(2,3)} {(3,2)}三、集合的运算1.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2)对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，x∉A}．(强调补集时，一定要强调全集是谁)即∁U A＝{x|x∈U，且<教师备案>已知全集U ={1,2,3，...，10}，A ={1,2,3,4,5}，B ={4,5,6,7,8}，C={3,5,7,9} 求：A ∪B ，A ∩B ，A ∩∁U B ，∁U A ∪B ，A ∪(B ∩C)典例剖析题型一 集合的基本概念例1 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是 答案 5 解析 列表根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．变式训练 已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则集合B 中有________个元素． 答案 6解析 因为x －y ∈A ，∴x ≥y ． 当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝0或y ＝1； 当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合B 中有6个元素．解题要点 研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x ，则是数集，如果代表元素是数对(x ，y )，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 2解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，且由a 在分母的位置可知a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.变式训练 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性． 题型二 集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有 个 答案 4解析 根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练 设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有 个 答案 6解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合． 例4 设，若，则a 的取值范围是 ．答案解析 根据题意作图：由图可知，，则只要即可，即a 的取值范围是．变式训练 已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =-+≤=-∞⊆，则a 的取值范围是 ． 答案 (4,)+∞ 解析 []2{|540}1,4A x x x =-+≤=，∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a 的取值范围(4,)+∞.解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到.题型三 集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案 5解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________． 答案 {－1,0,1,2}解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B 为整数集，A ∩B ＝{－1,0,1,2}.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个． 例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________． 答案 {x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 在数轴上表示如图．∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．答案 R解析 ∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用数轴表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ．解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U A B =ð________．答案 {4}解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以ðU (A ∪B )＝{4}． 2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 答案 {0，1}解析 由集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，得到M ∩N ={0，1}． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______答案4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析 集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y <2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝ ． 答案 {1，2}解析 由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．课后作业1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B 等于________． 答案 (2,3)解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)．2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝________． 答案 {－2,0,2}解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}， 故M ∪N ＝{－2,0,2}．3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >4}，则M ∪N 等于________．答案 {x |x <－5或x >－3}解析 在数轴上表示集合M 和N ，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}． 4．若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________． 答案 4解析 a ＝0时，ax 2+ax +1=0无解，此时，A =∅，不合题意；a ≠0时，由题意得方程ax 2＋ax ＋1＝0有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＝0a ≠0，解得a ＝4.5．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则U A B ð()= ________． 答案 {0,2,4}解析 ∵U A ð＝{0,4}，U A B ð()＝{0, 2,4}.6．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =________．答案 {1,4}解析 ∵x ＝n 2，n ∈A ，∴x ＝1,4,9,16. ∴B ＝{1,4,9,16}．∴A ∩B ＝{1,4}．7．满足条件{0,2}∪M ＝{0,1,2}的所有集合M 的个数为________． 答案 4解析 由题可知集合M 中必有1，满足条件的M 可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 答案 0或3解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A ，故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1，又根据集合元素的互异性m ≠1，所以m ＝0或m ＝3. 9．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )等于________． 答案 {1}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}.10．已知A ＝{3,5,6,8}且集合B 满足A ∩B ＝{5,8}，A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B 有________个． 答案 4解析 ∵A ∩B ＝{5,8}，∴5,8∈B ，又∵A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}而A ＝{3,5,6,8}， ∴2,4,7∈B ，∴3,6可以属于B ，也可不属于B ． ∴这样的B 有22＝4(个)．11．若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B 等于 ． 答案 {x |－3<x <2}解析 由题意，得A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}．12．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为 答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17…}，B ＝{6,8,10,12,14}，集合A ∩B 中有两个元素．13． 已知A ＝{x |2a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝R ， 则a 的取值范围是________． 答案 －3≤a <－12解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >5}，A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <－1，a ＋8≥5， 解得－3≤a <－12.。

专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。

集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。

集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。

【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。

专题01 集合的含义及运算一、本专题要特别小心：1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱；6．子集中忽视空集陷阱；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱.二、【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(V enn)图表达集合间的关系与运算．三、【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法．(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B；若A⊆B，且A≠B，，我们就说A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。

3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：∁U A＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(4)∁U(A∩B)＝∁U A∪∁U B，∁U(A∪B)＝∁U A∩∁U B，A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A；(5)A⊆B，B⊆A，则A＝B.四．题型方法规律总结（一）集合的含义与表示例1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.练习1．给出下列四个关系式：(1)；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】（1）R为实数集，为实数，所以正确；（2）Z、Q分别为两个集合，集合间不能用属于符号，所以错误；（3）空集中没有任何元素，所以错误；（4）空集为任何集合的子集，所以正确.故选B.练习2．若A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意得集合，所以集合B中共有4个元素．故选D．（二）集合中代表元易错点揭秘例2．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为() A．-1 B．1 C．0 D．±1【答案】B【解析】由题意，当时，，令代入，则，则，则，即，所以，故选B.练习1．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是A．｛1｝B．｛｝C．｛0，1｝D．｛，0，1｝【答案】D【解析】时，，满足题意；时，，．综上的取值集合是．练习2．用列举法表示集合＝________．【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.【解析】，为的因数则则答案为练习3．集合{|y y ∈N =用列举法可表示为__________.【答案】{}1,2,4,8 【解析】∵,1x x ∈≠N ,∴当0x =时, 8y =-,不符合题意, 当2x =时, 8y =,符合题意, 当3x =时, 4y =,符合题意, 当4x =时, 83y =,不符合题意, 当5x =时, 2y =,符合题意,当6x =时, 85y =,不符合题意, 当7x =时, 86y =,不符合题意,当8x =时, 87y =,不符合题意,当9x =时, 1y =,符合题意,则y =，不符合题意.∴用列举法可表示为{}1,2,4,8. （三）集合的基本关系 例3．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵集合M={x|x 2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N ⊆M ，∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}， ∵N ⊆M ，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．练习1．已知集合，，则的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴的真子集的个数为个．故选C．练习2．若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的单调区间为，由，得．∵函数在区间内没有最值，∴函数在区间内单调，∴，∴，解得．由，得．当时，得；当时，得，又，故．综上得的取值范围是．故选B．练习3.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.（四）子集中常见错误例4. 已知集合,,若,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】当集合时，，解得，此时满足；当，即时，应有：，据此可得：，则，综上可得：实数的取值范围是.本题选择C选项.练习1．Z(M)表示集合M的子集个数，设集合A=，B=，则= A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】；B=∴；集合的子集有：∴Z（A∩B）＝4．故选：B练习2.设集合，不等式的解集为B.（Ⅰ）当时，求集合A,B；（Ⅱ）当，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或.【解析】（Ⅰ）当时，，.（Ⅱ）①若，即时，可得， 满足，故符合题意．②当时，由，可得，且等号不能同时成立， 解得． 综上可得或．∴实数的取值范围是．练习3．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A ∪B=A ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2） .【解析】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为.（五）集合的基本运算 例5.已知，，则()R AB ð中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．8【答案】B【解析】解：{1x x =<，或3}x ≥，，，的元素个数为2个.故选:B .练习1．已知集合，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.练习2．集合，,若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，可得，，要使，则，故选B.练习3．设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是________.【答案】【解析】∵，∴， ∴．（六）集合的应用例6．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A ．20 B ．17C ．14D ．23【答案】B【解析】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B练习1．已知集合.给定一个函数，定义集合若对任意的成立，则称该函数具有性质“”(I)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是_____；(Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】（答案不唯一）①②【解析】(I)对于解析式：，因为，，…符合。

2.完成《学案》知识梳理，双基自测部分.（一）复习导入展示知识梳理模块的PPT，唤醒学生已有的知识储备，激发学习兴趣，导入新课.导语：在高一年级，我们已经学习了集合的概念及运算.下面，我们一起做一下这些填空题，检验一下对过往知识的掌握情况.（二）考点突破·互动探究考点一集合的基本概念——自主练透例1(1)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是() A．－2∈A B．2023∈AC．3k2＋1∉A D．－35∈A(2)(理)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(文)(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(3)已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2 023a 的值为 ；若1∉A ，则a 不可能取得的值为 ．做题方法：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点二 集合之间的基本关系——师生共研例2 (1)(2021·新高考八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且C R M ⊆N ，则M ∪(C R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，B ＝{x |ax ＋1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 的值不可能为( )A ．－3B ．－2C ．0D ．3(3)(理)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 3＋16，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 6＋13，k ∈Z ，则下面正确的是( ) A ．M ＝N B ．M ⊊N C ．N ⊊MD ．M ∩N ＝∅(文)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ，则A 与B 之间的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊊B C ．B ⊊AD ．无法比较做题方法：判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(3)题解法一)描述法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题解法二)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.考点三集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算例3(1)(2021·新高考Ⅰ，1，5分)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}(2)(2020·课标Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2，3}B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3}D．{－2，－1，0，2，3}(3)(理)(2021·浙江杭州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，集合B＝{x|log3(x＋1)<1}，则A∪B＝，C R A)∩B＝．(文)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(C R B)＝()A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2}D．{x|0<x<2}角度2利用集合的运算求参数例4(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a 的取值范围是()A．(0，3)B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m 的取值范围为．[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？解：应对B＝∅和B≠∅进行分类．①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.②若B≠∅，由例得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：由A ∪B ＝B ，即A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B . [引申3]本例(2)中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A ⊊B ，则m 的取值范围为 (－∞，－3] ．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，1－2m ≥5，解得m ≤－3.做题方法：集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． 2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．考点四 集合中的新定义问题例5 定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝⎛⎭⎫B A ∪B 中的元素个数为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9做题方法：集合新定义问题的“3定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 教师活动：通过课件，出示例题，对有难度的题型加以引导. 学生活动：认真审题，独立完成.设计意图：使学生明确本节考点及命题方式. （三）达标检测A∩B＝{x|x∈A且A∪B＝{x|x∈A或。

第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1 集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a 当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅ , 则 a 的取值范围是．【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <= 时, M N =∅ ． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =3a >时, M N =∅ ． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤，即[13a ∈ 时, M N ≠∅ ．故填[1.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ= ，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是 A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证2 P个.该校的班级数不多于1。