§1.1集合的概念及其基本运算(教师)

§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若则），则称A a ∉B a ∈集合A 为集合B 的子集，记为A B 或B A ；如果A B ，并且A B ，这时集合A 称为集⊆⊇⊆≠合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A B 、B A ，则A=B.⊆⊇5.补集：设A S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，⊆记为 .A C s 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B.⋂8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B.⋃9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.Φ10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N ，整数集记作Z ，有理*数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和⊆⊇⊆“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间⊇∈∉的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =易漏掉的情况.Φ5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1n 2n2三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组 得 或 ∴选B⎩⎨⎧+=+=112x y x y ⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==21y x 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或 ∴C={0，1，2}{}{}21或[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又∈∈{}Z a a x x ∈=,2|{}Z a a x x ∈+=,12|C=，则有： （ ）{}Z a a x x ∈+=,14|A ．m +n A B. m +n B C.m +n C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个∈∈∈错解：∵m A ，∴m =2a ,a ,同理n =2a +1,a Z, ∴m +n =4a +1,故选C∈Z ∈∈错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m A, ∴设m =2a 1,a 1Z , 又∵n ,∴n =2a 2+1,a 2 Z ,∈∈B ∈∈∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2 Z , ∴m +n B, 故选B.∈∈[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须 3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－．21点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则A ，且1∉A.a -11∈1≠a ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.a1⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒∈A ⇒ 2∈A 21∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即＝012+-a a该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ ∈A ⇒ ∈A ⇒A ，即1－∈A a -11a --1111111---a a ∈a 1⑷由⑶知a∈A 时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.a-11a 1a 1a -11①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠a -11a-11②若a=1－，即a 2-a+1=0，方程无解∴a≠1－ a 1a1 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.a 1a -11a 1a -11综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={|=,∈N +}，集合B={|=,∈N +}，试证：a a 12+n n b b 542+-k k k A B ．证明：任设∈A，a 则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N +),a 12+n n n n ∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N*∴ a∈B 故 ①显然，1，而由{}*2,1|Nn n a a A ∈+==∈B={|=,∈N +}={|=，∈N +}知1∈B，于是A≠B b b 542+-k k k b b 1)2(2+-k k ②由①、② 得A B ．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x∈ Z}，则A∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－ }C ．{±2，± }D ．{，－}55553. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．P Q5．若集合M ＝｛｝，N ＝{|≤}，则M N ＝（ ）11|<xx x 2x x A ． B ．}11|{<<-x x }10|{<<x x C ． D ．}01|{<<-x x ∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设，函数若的解集为A ，a R ∈2()22.f x ax x a =--()0f x >，求实数的取值范围。

第一讲 集合的概念与运算教学目的： 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。

了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能正确进行“集合语言”、“数学语言”“图形语言”的相互转化.教学重点： 交集、并集、补集的定义与运算.教学难点： 交集、并集、补集的定义及集合的应用.【知识概要】新课标教学目标： 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 知识点1 集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

集合中每个对象叫做这个集合的元素 点评：（1）集合是数学中不加定义的基本概念．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象． （2）集合里元素的特性确定性：集合的元素，必须是确定的．任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素．互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现． 无序性：集合与组成它的元素顺序无关．如集合{a, b, c}与{c, a, b}是同一集合． （3）元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A （或a ∈A ）．（4）集合的分类集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集（用记号φ表示）．有限集：含有有限个元素的集合（单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集。

集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念，它描述了一组对象构成的整体。

在集合论中，集合是由元素组成的，而元素可以是任何事物，可以是数值、符号、人、动物等。

本文将介绍集合的基本概念以及常见的运算。

一、集合的基本概念集合可以用大括号{}来表示，元素在大括号内用逗号分隔。

例如，集合A可以表示为A={1,2,3}，其中的元素为1,2和3。

一个集合中的元素是无序的，表示一个集合的方式只是列出其中的元素，并不考虑元素的先后顺序。

在集合中，元素的个数称为集合的基数。

例如，集合A={1,2,3}的基数为3。

当一个集合中的元素个数为有限个时，该集合称为有限集；当一个集合中的元素个数为无限个时，该集合称为无限集。

二、集合的关系1. 相等关系当两个集合的所有元素完全相同时，它们是相等的。

例如，考虑集合A={1,2,3}和B={2,3,1}，虽然它们的元素顺序不同，但它们包含的元素是相同的，因此A和B是相等的。

2. 包含关系当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，该集合被称为另一个集合的子集。

例如，考虑集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，所有A 中的元素也都属于B，因此A是B的子集。

3. 空集一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。

三、集合的运算1. 并集运算给定两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，包含了A和B中所有的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集运算给定两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集运算给定两个集合A和B，它们的差集表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集运算给定一个集合U作为全集，集合A的补集表示为A'，包含了属于全集U但不属于A的元素。

专题一集合与常用逻辑用语【真题典例】1.1集合的概念及运算挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.集合的含义与表示1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2018课标Ⅱ,2集合中元素个数的判断集合间的基本关系、集合的基本运算★☆☆2.集合间的基本关系1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集2011北京,1集合间的基本关系二次不等式的解法★☆☆2.在具体情境中,了解全集与空集的含义3.集合的基本运算1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集3.能使用韦恩(Venn)图表示集合间的关系及运算2018北京,12017北京,12016北京,12016北京文,142015北京文,12014北京,12013北京,1集合的交、并、补运算不等式和方程的解法★★★分析解读 1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握子、交、并、补集的概念,熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质,能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一集合的含义与表示1.(2018课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4答案 A2.(2012课标全国,1,5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10答案 D考点二集合间的基本关系3.已知集合A={0,a},B={x|-1<x<2},且A⊆B,则a可以是()A.-1B.0C.1D.2答案 C4.若集合A={x|0<x<1},B={x|x2-2x<0},则下列结论中正确的是()A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.A⊆BD.B⊆A答案 C考点三集合的基本运算5.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则(∁U A)∩B=()A.{1}B.{3,5}C.{1,6}D.{1,3,5,6}答案 B6.若集合A={x|-3<x<1},B={x|x<-1或x>2},则A∩B=()A.{x|-3<x<2}B.{x|-3<x<-1}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<2}答案 B7.设全集U={x|x<5},集合A={x|x-2≤0},则∁U A=()A.{x|x≤2}B.{x|x>2}C.{x|2<x<5}D.{x|2≤x<5}答案 C8.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C炼技法【方法集训】方法1利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=()A.(0,4]B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0]答案 B2.(2014重庆,11,5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=.答案{7,9}方法2集合间的基本关系的解题方法3.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是()A.M=NB.M∩N=NC.M∪N=ND.M∩N=⌀答案 B方法3解决与集合有关的新定义问题的方法4.S(A)表示集合A中所有元素的和,且A⊆{1,2,3,4,5},若S(A)能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是()A.10B.11C.12D.13答案 B过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2018北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案 A2.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A3.(2017北京文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案 C4.(2014北京,1,5分)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}答案 C5.(2013北京,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=()A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案 B6.(2011北京,1,5分)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)答案 C7.(2016北京文,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.答案①16②29B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一集合的含义与表示(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案 C考点二集合间的基本关系(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案 D考点三集合的基本运算1.(2017课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案 A2.(2017课标Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x 2+y 2=1},B={(x,y)|y=x},则A ∩B 中元素的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B3.(2017课标Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x 2-4x+m=0}.若A ∩B={1},则B=( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 答案 C4.(2016课标Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ) A.(-3,-32) B.(-3,32) C.(1,32) D.(32,3) 答案 D5.(2016课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z },则A ∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案 C6.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A ∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 答案 A7.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x 2-3x+2≤0},则M ∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 答案 D8.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x 2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A ∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) 答案 A9.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A ∩B= . 答案 {1,8}C 组 教师专用题组1.(2018天津,1,5分)设全集为R ,集合A={x|0<x<2},B={x|x ≥1},则A ∩(∁R B)=( ) A.{x|0<x ≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} 答案 B2.(2017山东,1,5分)设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 答案 D3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R |-1≤x ≤5},则(A ∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x ∈R |-1≤x ≤5} 答案 B4.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P ∪Q=( ) A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) 答案 A5.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x ∈A},则A ∩B=( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D6.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案 C7.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 B8.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于()A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案 C9.(2015浙江,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]答案 C10.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.⌀B.{2}C.{5}D.{2,5}答案 B11.(2014陕西,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)答案 B12.(2014四川,1,5分)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}答案 A13.(2014山东,2,5分)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=()A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)答案 C14.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D15.(2018北京,20,14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A 中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].M(α,β)=12(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解析(1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以M(α,α)=1[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,2[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.M(α,β)=12(2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设S k={(x1,x2,…,x n)|(x1,x2,…,x n)∈A,x k=1,x1=x2=…=x k-1=0}(k=1,2,…,n),S n+1={(x1,x2,…,x n)|x1=x2=…=x n=0},所以A=S1∪S2∪…∪S n+1.对于S k(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.所以S k(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=(x1,x2,…,x n)∈S k且x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n-1).令B={e1,e2,…,e n-1}∪S n∪S n+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.16.(2014北京,20,13分,0.23)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.思路分析(1)根据题目中所给定义和已知的数对序列,直接求值;(2)利用最小值m的不同取值,对求出的结果比较大小;(3)依据数对序列的顺序对结果的影响,写出结论.评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键.17.(2016北京,20,13分)设数列A:a1,a2,…,a N(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有a k<a n,则称n是数列A的一个“G时刻”.记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;(2)证明:若数列A中存在a n使得a n>a1,则G(A)≠⌀;(3)证明:若数列A满足a n-a n-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于a N-a1.解析(1)G(A)的元素为2和5.(2)证明:因为存在a n使得a n>a1,所以{i∈N*|2≤i≤N,a i>a1}≠⌀.记m=min{i∈N*|2≤i≤N,a i>a1},则m≥2,且对任意正整数k<m,a k≤a1<a m.因此m∈G(A).从而G(A)≠⌀.(3)证明:当a N≤a1时,结论成立.以下设a N>a1.由(2)知G(A)≠⌀.设G(A)={n1,n2,…,n p},n1<n2<…<n p.记n0=1,则a n0<a n1<a n2<…<a np.对i=0,1,…,p,记G i={k∈N*|n i<k≤N,a k>a ni}.如果G i≠⌀,取m i=min G i,则对任何1≤k<m i,a k≤a ni <a mi.从而m i∈G(A)且m i=n i+1.又因为n p是G(A)中的最大元素,所以G p=⌀.从而对任意n p≤k≤N,a k≤a np ,特别地,a N≤a np.对i=0,1,…,p-1,a ni+1-1≤a ni.因此a ni+1=a ni+1-1+(a ni+1-a ni+1-1)≤a ni+1.所以a N-a1≤a np -a1=∑i=1p(a ni-a ni-1)≤p.因此G(A)的元素个数p不小于a N-a1.思路分析(1)先理解G时刻的新定义,然后对(1)中具体的有穷数列直接套用定义解题,并感受解题规律;(2)根据a n>a1,研究两者之间数列的变化趋势;(3)抓住数列中相邻两项之差不超过1的特征,完成证明.18.(2015北京,20,13分)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数. 由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数. 如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36, 所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数. 类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n ={2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数,从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}, 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.思路分析 (1)利用已知的递推关系写出数列的前几项,根据周期性写出集合M 的所有元素;(2)利用已知条件以及递推公式的特征进行证明;(3)根据a n 的范围,分a 1是3的倍数和a 1不是3的倍数两种情况讨论,继而得集合M 的元素个数的最大值.19.(2014天津,20,14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t. 解析 (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得 s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0. 所以,s<t.评析本题主要考查集合的含义与表示,等比数列的前n 项和公式,不等式的证明等基础知识.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.20.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T,若T=⌀,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =a t 1+a t 2+…+a t k .例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k ≤100),若T ⊆{1,2,…,k},求证:S T <a k+1; (3)设C ⊆U,D ⊆U,S C ≥S D ,求证:S C +S C ∩D ≥2S D . 解析 (1)由已知得a n =a 1·3n-1,n ∈N *.于是当T={2,4}时,S T =a 2+a 4=3a 1+27a 1=30a 1. 又S T =30,故30a 1=30,即a 1=1.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *.(2)因为T ⊆{1,2,…,k},a n =3n-1>0,n ∈N *, 所以S T ≤a 1+a 2+…+a k =1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.因此,S T <a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S D ≥S D +S D =2S D . ②若C 是D 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S C =2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集. 令E=C ∩∁U D,F=D ∩∁U C,则E ≠⌀,F ≠⌀,E ∩F=⌀. 于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D 得S E ≥S F .设k 为E 中的最大数,l 为F 中的最大数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l.由(2)知,S E <a k+1.于是3l-1=a l ≤S F ≤S E <a k+1=3k,所以l-1<k,即l ≤k.又k ≠l,故l ≤k-1.从而S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l-1=3l -12≤3k -1-12=a k -12≤S E -12, 故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1, 即S C +S C ∩D ≥2S D +1.综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D .【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共75分)1.(2019届北京顺义一中10月月考文,1)设全集U=R ,A={x ∈N *|1≤x ≤10},B={x ∈R |x 2+x-6=0},则下图中阴影部分表示的集合是( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}答案 A2.(2018北京门头沟一模,1)设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)=()A.{0,4}B.{1,5}C.{0,2,4}D.{2,0,5}答案 C3.(2019届北京潞河中学10月月考文,1)已知集合A={1,2,m2},B={1,m}.若B⊆A,则m=()A.0B.2C.0或2D.1或2答案 C4.(2019届北京潞河中学10月月考,1)已知集合A={-1,0,1},B={x|x2<1},则A∩B=()A.{-1,1}B.{0}C.{-1,0,1}D.{x|-1≤x≤1}答案 B5.(2018北京顺义二模,1)设集合A={x|x2+3x+2=0},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{-2,-1}B.{-2,1}C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2}答案 A6.(2018北京房山一模,1)若集合M={-1,0,1,2},N={y|y=2x+1,x∈M},则集合M∩N等于()A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,1,3,5}D.{-1,0,1,2}答案 A7.(2019届中央民大附中10月月考,1)已知全集U=R,M={x|x≤1},P={x|x≥2},则∁U(M∪P)=()A.{x|1<x<2}B.{x|x≥1}C.{x|x≤2}D.{x|x≤1或x≥2}答案 A8.(2019届北京牛栏山一中期中,1)已知全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|x2-1>0},那么A∩∁U B=()A.{x|0<x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x<2}D.{x|1≤x<2}答案 B9.(2019届北京十四中10月月考,1)设集合M={x|0≤x<3},N={x|x2-3x-4<0},则集合M∩N等于()A.{x|0≤x<3}B.{x|0≤x≤3}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x<1}答案 A10.(2019届北京一零一中学10月月考,1)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|x2-x-2<0},则(∁R A)∩B=()A.(-1,0]B.[-1,2)C.[1,2)D.(1,2]答案 C11.(2018北京东城二模,1)若集合A={x|-1<x<2},B={x|x<-2或x>1},则A∪B=()A.{x|x<-2或x>1}B.{x|x<-2或x>-1}C.{x|-2<x<2}D.{x|1<x<2}答案 B12.(2018北京石景山一模,1)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案 A13.(2018北京朝阳二模,1)已知集合A={x|log 2x>1},B={x|x ≥1},则A ∪B=( )A.(1,2]B.(1,+∞)C.(1,2)D.[1,+∞)答案 D14.(2018北京一六一中学期中,1)已知全集U=R ,集合A={x|y=√x -1},B={x|x 2-2x<0},则A ∪B=( )A.{x|x>0}B.{x|x ≥0}C.{x|0<x<1}D.{x|1≤x<2}答案 A15.(2019届北京海淀期中,1)已知集合A={x|x-a ≤0},B={1,2,3},若A ∩B ≠⌀,则a 的取值范围为( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)答案 B 二、填空题(每小题5分,共5分)16.(2019届北京潞河中学10月月考,16)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个说法:①a=2,②b≠2,③c=3,④d≠4中有且只有一个是正确的,则满足上述条件的一个有序数组(a,b,c,d)可以是 ,符合条件的全部有序数组(a,b,c,d)的个数是 .答案 (1,2,3,4)(答案不唯一,例如(1,2,4,3),(1,3,2,4),(3,1,2,4),(3,2,4,1),(4,2,1,3));6三、解答题(共20分)17.(2019届北京四中期中,15)已知集合A={x ∈R|6x+1≥1},B={x ∈R |x 2-2x-m<0}. (1)当m=3时,求A ∩(∁R B);(2)若A ∩B={x|-1<x<4},求实数m 的值.解析 由6x+1≥1,得x -5x+1≤0,∴-1<x ≤5,∴集合A={x|-1<x ≤5}.(1)当m=3时,B={x|-1<x<3},则∁R B={x|x ≤-1或x ≥3},∴A∩(∁R B)={x|3≤x ≤5}.(2)∵A={x|-1<x ≤5},A ∩B={x|-1<x<4},∴4为方程x 2-2x-m=0的一个根,即42-2×4-m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,故实数m 的值为8.18.(2019届北京牛栏山一中期中,20)已知集合S n ={X|X=(x 1,x 2,…,x n ),x i ∈{0,1},i=1,2,…,n(n ≥2)}.若A=(a 1,a 2,…,a n )∈S n ,B=(b 1,b 2,…,b n )∈S n ,定义A 与B 的差为A-B=(|a 1-b 1|,|a 2-b 2|,…,|a n -b n |),A 与B 之间的距离为d(A,B)=∑i=1n |a i -b i |. (1)当n=5时,试写出满足d(A,B)=3的一组A 和B;(2)∀A,B,C ∈S n ,证明:A-B ∈S n ,d(A-C,B-C)=d(A,B);(3)∀A,B,C ∈S n ,证明:d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.解析 (1)A=(1,1,1,0,0),B=(0,0,0,0,0).(2)证明:设A=(a 1,a 2,...,a n ),B=(b 1,b 2,...,b n ),C=(c 1,c 2,...,c n )∈S n ,因为a i ,b i ∈{0,1},所以|a i -b i |∈{0,1}(i=1,2,...,n),故A-B=(|a 1-b 1|,|a 2-b 2|,...,|a n -b n |)∈S n .又d(A-C,B-C)=∑i=1n||a i -c i |-|b i -c i ||, 由题意知a i ,b i ,c i ∈{0,1}(i=1,2,...,n).当c i =0时,||a i -c i |-|b i -c i ||=|a i -b i |;当c i =1时,||a i -c i |-|b i -c i ||=|(1-a i )-(1-b i )|=|a i -b i |,所以d(A-C,B-C)=∑i=1n|a i -b i |=d(A,B). (3)证明:设A=(a 1,a 2,...,a n ),B=(b 1,b 2,...,b n ),C=(c 1,c 2,...,c n )∈S n ,d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h. 记O=(0,0,...,0)∈S n ,由(2)可知,d(A,B)=d(A-A,B-A)=d(O,B-A)=k,d(A,C)=d(A-A,C-A)=d(O,C-A)=l,d(B,C)=d(B-A,C-A)=h,所以|b i -a i |(i=1,2,...,n)中1的个数为k,|c i -a i |(i=1,2,...,n)中1的个数为l.设t 是当|b i -a i |=|c i -a i |=1成立时i 的个数,则h=l+k-2t,由此可知,k,l,h 三个数不可能都是奇数,即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.评析对于集合中的新定义问题,应该首先把新的概念分析透彻,然后静下心来,慢慢地从第(1)问开始,由浅入深的分析.。

数学中的集合认识集合和集合运算的基本概念在数学中，集合是一个基本概念，它是由一组特定元素组成的整体。

集合的概念及其运算在数学领域中具有广泛的应用和意义。

本文将对集合的认识以及集合运算的基本概念进行介绍和探讨。

一、集合的认识集合是数学中一个基本的概念，通常用大写字母表示。

一个集合可以包含多个元素，而这些元素可以是任何事物或对象。

在集合的定义中，我们需要明确以下几个要素：1. 元素：集合中的每个对象或事物称为元素，用小写字母表示。

2. 集合符号：通常用大写字母表示一个集合，例如集合A、B、C 等。

3. 归属关系：元素是否属于某个集合，我们用符号"∈"表示。

例如，若a∈A表示元素a属于集合A，反之若a∉A表示元素a不属于集合A。

4. 互异性：集合中的元素互不相同，即不存在重复元素。

通过以上要素的定义，我们可以给出一个集合的示例：设集合A={1,2,3,4}，则1、2、3和4是A的元素，可以表示为1∈A，2∈A，3∈A，4∈A。

二、集合运算的基本概念在数学中，集合运算是对集合进行操作和处理的过程，常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。

1. 并集：两个集合的并集是指包含了这两个集合中所有元素的集合。

我们用符号"∪"表示。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集：两个集合的交集是指只包含了这两个集合中共有元素的集合。

我们用符号"∩"表示。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集：两个集合的差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的集合。

我们用符号"\"或"-"表示。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集：对于某个集合A，在全集U中除去A中的元素所得到的集合称为A的补集。

我们用符号"'"表示。

1.1集合的基本运算和概念一、集合的概念1．集合的相关定义⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示．⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合间关系：属于∈；不属于∉．3.常用数集及其记法:N — ；N *— ；Z — ；Q — ；R — 。

4.集合相等：5.集合元素的性质：1）确定性 2）互异性 3）无序性6．集合表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}同步练习1.用“∈”或“∉”填空：⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ；⑵ 0___∅；⑶ 0___{0}．2.用符号“∈”或“∉”填空⑴0______N ， 5______N ，16______N ⑵1______,π_______,e ______2-R Q Q Q ðQ C R （e 是个无理数） 3.下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合；⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素； ⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.下面有四个命题：⑴集合N 中最小的数是1；⑵若a -不属于N ，则a 属于N ；⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2；⑷212x x +=的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠B ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠⎪⎩⎭ C ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠-⎪⎩⎭ D ．{}2222(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠ 6.方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()5,4- C ．(){}5,4- D ．(){}5,4-．7.用列举法表示下列集合⑴ 方程2260x x +-=的根；⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合． 8.已知集合8|6A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎭⎩N N ，试用列举法表示集合A ． 9.用列举法表示集合：10,1M m m m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z 10.已知集合A=(){}33,1,222++++a a a a ，若1∈A ，求实数a 的值。

第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1 集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a 当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅ , 则 a 的取值范围是．【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <= 时, M N =∅ ． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =3a >时, M N =∅ ． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤，即[13a ∈ 时, M N ≠∅ ．故填[1.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ= ，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是 A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证2 P个.该校的班级数不多于1。