三垂线定理

（必做）教材 P 68 练习第2、3、 4、5题。（书上，下节评讲）
预习教材 P 68 例一
（选做）预习教材 P 68 第6题
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三 垂 线 定 理
P
a
A α O
2017年5月22日11时2分
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？ 定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直
性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线 直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
α
O
P
A
a
2、直线a可以移动，但只能在平面内移 动。因此，直线a和斜线PA可以相交也 可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
α
P
O
A
a
新知探究
• 逆定理
思考： 如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到 怎样的结果？命题一定成立吗?
结论：a⊥OA
P 定 理
即:线射垂直
线斜垂直
A α O
a
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直
P O
②线射垂直
P O
③ 线斜垂直
P O
PO
A
a OA
A
a PA
A
a
a
a
α
直 线 和
α
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
α
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
平面垂直
对定理的几点说明
1、三垂线定理描述的是斜线PA、 射影OA和a直线之间的垂直关系
P 定 理
线射垂直
逆定理
线斜垂直
A α O
a
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
如图：已知点P是Δ ABC所在平面外一点，若点P在平面内的 射影O恰好是Δ ABC的垂心，求证：PA⊥BC(教材练习题) P 垂心：三边高的交点 A B O
“问百度”
三角形的外心、内心、重心、垂心，并摘抄！ C
• 三垂线定理及逆定理的条件是什么？ • 用三垂线定理及逆定理解题的关键是什 么？ • 能在不同的组合图中观察或者创造出符 合三垂线定理和逆定理的条件吗？
a
A
证明： PO⊥α ① a α
①
PO⊥a ② AO⊥a a⊥平面POA ③ PO AO O a⊥PA
PA 平面POA
③ ②
线线垂直 线线垂直 线面垂直 线面垂直 性质定理 判定定理 性质定理
新知探究
• 定理内容
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
线斜垂直
逆定理 α 定 理
P
线射垂直
O
a
A
线射垂直
逆定理
线斜垂直
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
DBaidu Nhomakorabea C1

D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
A1
B1
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直
O
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线
直线PA是斜线
A α O
a
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
若 a OA ，直线a和直线PA是什么关系？
新知探究
• 定理证明
α
O
P
已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线， OA是PA在内的射影，a , 且a OA
求证：a PA
A B
应用举例
例2、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角
器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C， 使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D， 使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m A
B
90°
C
45°
D
应用举例
∵BC是AC的射影
且CD⊥BC
∴CD⊥AC(三垂线定理)
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 ∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
B
∴BC=20m，
在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m)
“一垂二射三证”
90°
C
45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理