选修42矩阵与变换习题

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换一、二阶矩阵 1.矩阵的概念（2, 3），将5P 的坐标排成一列，并简记为P2, 3）②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下:概念一:横排叫做矩阵的行，竖排叫做矩阵的列•名称介绍：① 上述三个矩阵分别是 2X 1矩阵，2 X 2矩阵（二阶矩阵），2 X 3矩阵，注意 行的个数在前 ② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为 A = Bo③ 行矩阵：［a ii ,a i2］（仅有一行） xP （x,y ）都可以看成行矩阵［x, y ］或列矩阵 ，在本书中规定所有的平面向量yx的形式。

y练习1:2 x m n x y2.设A,B，若 A=B,求 x,y,m,n 的值。

y 32x y m n概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b称为二阶矩阵。

a,b,c,d 称为矩阵的元素。

c d 0 0① 零矩阵：所有元素均为 0,即，记为0o0 01 0② 二阶单位矩阵：，记为E 2.0 1二、二阶矩阵与平面向量的乘法④列矩阵：an（仅有一①"O P初赛 复赛 甲80 90 乙868880 90 86 882x 3y mz 1, 3x 2y 4z 223 m 3:-2480 9086 88的矩形数字（或字母） 阵列称为 矩阵.通常用大写的拉丁字母 A 、B C …表示，均写成列向量 1•已知A,B，若 A=B ，试求 x, y,z3O—简记为⑤向量a =（ x,y ）,平面上的点定义: 规定二a b x , ax by a b x ax by 二阶矩阵A= ，与向量的乘积为A,即Ac dycx dyc dycx dy练习 2:12 31.( 1 )0 1 11 2 1(2)=0 1 31 0 x 1+ x2.=: ，求1 2 y1 y三、二阶矩阵与线性变换1•旋转变换问题3.把问题2中的旋转30°改为旋转 角，其结果又如何?2. 反射变换定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线I 的对称点P 的线性变换叫做关于直线I 的反射。

2已知矩阵A =-4题2设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换.(1) 求直线4x 10y 1在M 作用下的方程； (2) 求M 的特征值与特征向量.题3.1 2已知a € R 矩阵A =，对应的线性变换把点 P (1,1)变成点P (3,3)，求矩阵 A 的特征a 1值以及每个特征值的一个特征向量.题4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A (0,0) , B ( — 2,0) , C ( — 2,1).设k 为非零实数，矩阵 Mk 0 0 1=o 1，N = 1 o ，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为 A 、B 、C , △ ABC 的面积是厶ABC 的面积的2倍，求k 的值.题51 01 1已知矩阵AB2 ,若矩阵AB 对应的变换把直线1 : x y 2 0变为直线0 20 1I'，求直线I'的方程.专题：矩阵与变换(二)，求满足AX B 的二阶矩阵X .所以所求曲线的方程为 4x 2y 1.(2)矩阵M 的特征多项式f( )1( 1)( 5) 0,5所以M 的特征值为1 1, 2 5 .当 二 11时，由M 11 1 1，得特征向量1当25时，由M 22 2，得特征向量21题3.1 1 答案：特征值为入 1 = — 1,入2= 3;特征向量为和 —1 11 21 33 详解：由题意= =, a 1 1a +13课后练习详解91 答案： 25—3 1详解：由题意得A 1=2 2,2 11 9— 4—1 - — 1 2 =2—3 115 — 1答案: (1) 4x 2y详解：(1) M设(x, y)是所求曲线上的任一点,所以x x, y 5y,x x ,所以 1 代入4x 10y 1得，4x y -y,52y题13 •/ AX B ,「. X = A 1B = 2得a+ 1 = 3,即a= 2,矩阵A的特征多项式为•••直线I 的方程为4x y 8 0入一1 — 2f （入）==（入一1）2 — 4=（入 + 1）（入一3）,—2 入一 1 令f （入）=0，所以矩阵 A 的特征值为 入1=— 1,入2= 3.2x + 2y = 0 ①对于特征值 入1 = 一1,解相应的线性方程组2x + 2y = 0x = 1得一个非零解，y =— 11因此，a = 是矩阵A 的属于特征值 入1=— 1的一个特征 —1 向量；2x — 2y = 0x = 1②对于特征值⑴3,解相应的线性方程组—2x + 2y = 0 ，得一个非零解y = 1，1因此，（3 = 是矩阵A 的属于特征值入2= 3的一个特征向量.1 题4.答案：—2或2.详解: 由题设得 MN= k 00 1 0 1 0 1 0 = 1 k 0 .由0 k 0 0 0 k —2 0 0 k — 2 k 由1 0 0 = 0， 1 0 0 = — 2， 1 0 1 = — 2， 可知」 A(0,0), B(0，- -2), C (k ,— 2).计算得△ ABC 的面积是1, △ ABC 的面积是| k | , 由题设知| k | = 2X 1= 2,所以k 的值为一2或2. 题5 答案：4x y 8 0.1 0 AB0 2y 20 中得 x — y — 2 0,4 2在直线I 上任取一点P （x, y ），经矩阵 AB 变换为点Q （x,y ）,11 x2 0 2 y11x y .x x y 2 , •22y y 2y详解：易得 1x y 4代入xy 2。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作矩阵变换的性质 同步练习一,选择题1, 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点2,以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10j 的 变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( ) A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛228 二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(βαM .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 . 6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 . 三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换 （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5） （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7） （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7） （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换O xyB(1,1) C(0,1)A(1,0)参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换.8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。

高考数学 试题汇编 第二节 矩阵与变换(选修42)理（含解析）第二节 矩阵与变换(选修42)矩阵的线性变换与矩阵的乘法 考向 聚焦二阶矩阵的乘法以及点或曲线在某种变换下得到的点或曲线的方法是高考命题的一个热点,一般以解答题的形式出现,难度中档,分值占10分左右 备考 指津 (1)通过平面图形的变换,明确线性变换的几何背景,理解和掌握线性变换的基础知识和基本思想;(2)加强与相关知识的联系,重视数学思想方法的提炼,数形结合、类比、归纳,从具体到抽象数学思想方法要加以体会和利用1.(2011年江苏卷,21B)已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,向量β=.求向量α,使得A 2α=β. 解:A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423, 设α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y a ,由A 2α=β,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 3423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21, 从而解得,所以α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-. 2.(2010年福建卷,理21)已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02,且MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202. (1)求实数a,b,c,d 的值;(2)求直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程.解:法一:(1)由MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d b bc ad c 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202从而解得(2)因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x 上的两点(0,0),(1,3).由(1)M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111, 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,⎥⎦⎤⎢⎣⎡00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22得 点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2). 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.法二:(1)同法一.(2)设直线y=3x 上的任意点(x,y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'), 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x 22 得x'=-2x,y'=2x,所以y'=-x',即点(x',y')必在直线y=-x 上.由(x,y)的任意性可知,直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,以防因颠倒而出错.(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解.逆变换与逆矩阵 考向聚焦 高考中主要考查点,直线在线性变换作用下参数的取值以及逆矩阵的求法,主要以解答题的形式出现,分值占10分左右备考指津(1)线性变换复合时要注意复合的顺序:先进行变换g,再进行变换f,复合后的变换为f ·g,而不是g ·f.(2)逆矩阵的求法有两种:一是利用待定系数法;二是利用公式,即当A=,detA ≠0时,A -1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A a A c A b A d det det det det3.(2012年上海数学,理3,4分)函数f(x)=的值域是 .解析:f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-sin 2x,由于-1≤sin 2x ≤1,所以-≤-2-sin 2x ≤-,即-≤f(x)≤-.答案:[-,-]4.(2012年江苏数学,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341求矩阵A 的特征值. 解:因为A -1A=E,所以A=(A -1)-1. 因为A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341,所以A=(A -1)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232, 于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4. 令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.5.(2012年福建卷,理21(1),7分)设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1.①求实数a,b 的值;②求A 2的逆矩阵.解:①设曲线2x 2+2xy+y 2=1上任意点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是P'(x',y').由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y bx ax , 得.又点P'(x',y')在x 2+y 2=1上,所以x'2+y'2=1,即a 2x 2+(bx+y)2=1,整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy+y 2=1,依题意得解得或因为a>0,所以 ②由①知,A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201,所以|A 2|=1,(A 2)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201.。

矩阵变换的性质 同步练习一,选择题 1, 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点 2,以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10j 的 变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛228二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(βαM .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 .6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 . 三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5） （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7） （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7） （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换O xyB(1,1) C(0,1)A(1,0)参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换.8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。

选修4系列专项强化练(一) 选修4－2：矩阵与变换(理科)题型一 常见平面变换1．已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由题意得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －132025 1120. 2．平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋2y ＋1＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23b 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －2＝0，求实数a ，b 的值．解：设坐标(x ，y )在矩阵M 的变换后的坐标为(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax －2y ，y ′＝3x ＋by ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bx ′＋2y ′ab ＋6，y ＝－3x ′＋ay ′ab ＋6，将上述结果代入直线l 的方程得 bx ′＋2y ′ab ＋6＋2(－3x ′＋ay ′)ab ＋6＋1＝0.化简得(b －6)x ′＋(2a ＋2)y ′＋ab ＋6＝0.(*) 于是有b －61＝2a ＋2－1＝ab ＋6－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.当a ＝－1，b ＝6时，代入(*)式得0·x ′＋0·y ′＋0＝0，不符合题意，舍去． 综上所述a ＝1，b ＝2. 3．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．解：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1. 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C ′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1，则(ax )24＋(by )2＝1为曲线C的方程．又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1， 因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3. [临门一脚]1．把点A (x ，y )绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α，这个矩阵不能遗忘．2．求点被矩阵变换后的点的坐标或求曲线被矩阵变换后的曲线所用方法是求轨迹中的相关点法．3．求直线在矩阵作用下所得直线方程，可以取两个特殊点求解比较简便． 题型二 矩阵的复合、矩阵的乘法及逆矩阵1．已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：(1)由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋3a ＝3，2b －6＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. (2)由(1)，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1 1－1－5－1 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.2．设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，求B －1.解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，因为(BA )－1＝A －1B －1， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. [临门一脚] 1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，如果ad －bc ≠0，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 存在逆矩阵．2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . 3．逆矩阵求解可以用定义法求解也可以用公式求解，用公式求解时要写出原始公式． 4．若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1，乘法顺序不能颠倒．题型三 特征值和特征向量1．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值． 解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由题意，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2.矩阵M 的另一个特征值为2. 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b －14，A 的两个特征值为λ1＝2，λ2＝3.(1)求a ，b 的值；(2)求属于λ2的一个特征向量α.解：(1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b 1 λ－4＝(λ－a )(λ－4)＋b ＝λ2－(a ＋4)λ＋4a ＋b ＝0，于是λ1＋λ2＝a ＋4，λ1·λ2＝4a ＋b .解得a ＝1，b ＝2. (2)设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y －x ＋4y ＝ 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x 3y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x ，－x ＋4y ＝3y ，解得x ＝y .所以属于λ2的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3. 所以M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. [临门一脚] 1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A的特征多项式．2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .3．特征值和特征向量，可以用定义求解也可以用公式求解． 4．M n β的计算流程要熟悉，这也是求特征值和特征向量的应用．。

选修42第四章逆变换与逆矩阵3二阶行列式与逆矩阵测试题 2019.91,设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A2,取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证 DC BA D CB A ≠.3,设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B .4,利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x5,二阶行列式的运算结果为6,已知二项分布满足X ～B （6，32），则P(X=2)= ，EX= 。

7,设随机试验的结果只有A 与，,令随机变量 ，则的期望为 8,在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为 ．3546A ()P A P =10ξ⎧=⎨⎩AA ξa 1111ABCD A B C D -1BA AC9,已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则10,已知，则的最小值是测试题答案1, 解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ， 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A . 则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A .故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A . 1682818281810===A A A A A .⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A2, 检验:=DC B A =--1010010110100101101001010200002--410012002==而01111==D C B A , 故DC B AD C B A ≠3, 解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E AB 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330 (121)A -，，xOy B B x C BC =(11)(2)t t t t t =--=，，，，，a b -b a4, 解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x 故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x5, -26, 47, 1-p 8,9,20,243120°(042)--，，。