高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课苏教版PPT课件

n个M
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在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变 换的一次或多次复合，而伸压、反射、旋 转、切变等变换通常叫做初等变换，对应 的矩阵叫做初等变换矩阵。
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2.4 逆变换与逆矩阵
2.4.1 逆矩阵的概念 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
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建构数学
对于二矩阵 A,B 若有 AB=BA=E
矩阵与变换
淮安 1
2.1 二阶矩阵与平面向量
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵;
2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
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旋转变换
cos sin
矩阵 sin
cos
通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换.
其中的角做旋转角.
点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状.
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
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投影变换
像
1 0
0 1
0
1
0 0
这类将平面内图形投影到某条直线
2
形
如
1 3
பைடு நூலகம்
,
80
6
0
9 0 2
8
5
,
3
3 2
m
4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑 体的拉丁字母A、B、C…表示，或者用(aij)表示，其 中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列.
同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫 做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数 （或字母）叫做矩阵的列.
4
规定：
行矩阵a11 a12与列矩阵bb1211的乘法法则为
a11 a12 bb1211＝a11b11 a12b21 ,
二阶矩阵ba2111 ab1222与列向量xy00的乘法规则为
a11 b21
ab1222xy00＝ba2111 xx00 ba2122yy00.
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一般地，对于平面上的任意一点（向量）
把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位:
当ky>0时，沿x轴正方向移动；
当ky<0时，沿x轴负方向移动；
当ky=0时，原地不动.
在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 0
k 1
确定的变换通常叫做切变变换,
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
(x, y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个
平 面 点(向 量 ）（ x, y), 则 称 T 为 一 个 变 换 ， 简 记
为
T：( x, y) （ x, y)，
或
T：
x y
x y
.
6
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为
T： xy
x
y
ax cx
by
dy
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
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建构数学 规定：矩阵乘法的法则是:
a be f aebg afbh c dg hcedg cfdh
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建构数学 矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时， 记作：Mn=M·M·····M
,
坐 标 变 换 的 形 式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩 阵 乘 法 的 形 式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两 种 形 式 形 异 而 质 同
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由 矩 阵 M确 定 的 变 换 T， 通 常 记 为 TM. 根 据 变 换 的 定 义 ， 它 是 平 面 内 的 点 集 到 其 自 身 的 一 个 映 射 .
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
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切变变换
矩阵
1 0
k 1
作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称
做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵.
伸压变换： 伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压
变换,简称伸压变换.
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一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换 叫做反射变换，其中（2）叫做中心反 射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射 轴，定点称为反射点.
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M(l1l2b) l1Ml2Mb
上式表明，在矩阵M的作用下，直线
l1l2b 变成直线 l1Ml2Mb.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做 线性变换。
(即形如
x' y'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来
表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的 性变换。
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？ 逆矩阵的唯一性：
若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B, 则逆矩阵是唯一的.
对平面上任何一点(向量)或图形施以
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变成自己。
这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩
阵).
恒等变换:
恒等变换矩阵实施的对应变换称为
恒等变换。
二阶单位矩阵一般记为E
10
1 0
2 0
垂直伸压变换矩阵：M
0
1
2
N
0
1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或
当xy表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到 一个新的图形F——原象集F的象集.
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2.2 几种常见的平面变换
2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换 2.2.4 旋转变换 2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换
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恒等变换矩阵(单位矩阵):
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
3
1 80 90
3
6
0
8
5
21矩阵 22矩阵
2 3 m
3 2
4
23矩阵
所 有 元 素 均 为 0 的 矩 阵 叫 做 0 矩 阵 .
对 于 两 个 矩 阵 A 、 B 的 行 数 与 列 数 分 别 相 等 ， 且 对 应 位 置 上 的 元 素 也 分 别 相 等 时 ， A和 B才 相 等 , 记 作 AB.