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第九章 直线与圆的方程

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仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题九 直线与圆的方程 1 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2. 3．直线方程 名称 几何条件 方 程 局限性

点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线

斜截式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不包括垂直于坐标轴的直线

截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0) xa＋yb＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)

 易误点

1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．

2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0

时，k＝－AB. [试一试] 1．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( ) A．1 B．2

C．－12 D．2或－12 2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________． 3．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．  方法总结

1．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论． (2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练] 1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )

A．[0，π) B.0，π4∪3π4，π C.0，π4 D.0，π4∪π2，π 仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题九 直线与圆的方程 2 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 二、考点分析 考点一 直线的倾斜角与斜率 例1. (2013·秦皇岛模拟)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 变式1．(2014·常州模拟)若ab＜0，则过点P0，－1b与Q1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是________． [类题通法] 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在. 考点二 直线方程 例2.根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [类题通法] 1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． 变式2.经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0 B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0 C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0 D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0

考点三 直线方程的综合应用

角度一 与基本不等式相结合求最值问题 1．已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．

直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结合，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有： 与基本不等式相结合求最值问题； 直线方程与平面向量的综合. 仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题九 直线与圆的方程

3 角度二 直线方程与平面向量的综合 2．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当MA·MB取得最小值时，直线l的方程． [类题通法] 1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”． 2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. [课堂练通考点] 1．(2014·云南检测)直线x＝π3的倾斜角等于 ( ) A．0 B.π3 C.π2 D．π 2．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B.3 C．－3 D．－33 3．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( ) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) 4．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 5．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3,4)；

(2)斜率为16.

[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )

A.13 B．－13

C．－32 D.23 2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( ) A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 3．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点( ) A．(－2,8) B．(2,8) C．(－2，－8) D．(2，－8) 仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题九 直线与圆的方程 4 4．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A．y＝－13x＋13 B．y＝－13x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝13x＋1 5．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( ) A．k≥34或k≤－4 B．－4≤k≤34 C.34≤k≤4 D．－34≤k≤4 6．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________. 7．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________． 8．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 9．已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

第Ⅱ组：重点选做题 1．(2014·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝π4，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( ) A．45° B．60° C．120° D．135° 2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a＝________. 仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题九 直线与圆的方程

5 第二节 两直线的位置关系 一、知识梳理 1．两直线的位置关系 斜截式 一般式 方 程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)

相 交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 当A2B2≠0时，记为A1A2≠B1

B2

垂 直 k1＝－1k2或 k1k2＝－1

A1A2＋B1B2＝0

当B1B2≠0时，记为A1B1·A2B2＝－1

平 行 k1＝k2 且b1≠b2  A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0或

 A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0

当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2≠

C

1

C2

2．两直线的交点

设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方

程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立． 3．几种距离 (1)两点间的距离： 平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 d(A，B)＝|AB|＝x1－x22＋y1－y22. (2)点到直线的距离：

点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2. (3)两条平行线间的距离：

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.  易误点

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直线与圆的方程

直线与圆的方程


acr (c bk ) . cr acrk bcrk ack
2
同理考虑过点 B 的直线系方程，可得 xM 所以 | DM || DN | .
acr (c bk ) . cr acrk bcrk ack
2
类似的直线型几何问题， 有时用直线系方程处理比较简捷。 这里有一点需要向大家说明， 在竞赛数学中，用解析法处理平面几何问题，在计算过程中只要有一步计算错误，则整个解 答过程就算是错误的，这一点应该引起重视！
y c ( x a). ba
M P
C
A
所以过点 C 的直线系方程为
cx (a b) y ca (kx y ) 0,
E
D
F
N
1 ○
B
因为 PC 过点 P ，而 P(br , cr ) ，则 代入○ 1 式，并令 y 0, 解得 xN
bcr (a b)cr ac cr kbr
A y1 y2 ( ) 1, B x1 x2 A x1 x2 B y1 y2 C 0. 2 2
28
奥林匹克与自主招生
《第三讲 直线与圆的方程》
主编：贾广素
解关于 x1 , x2 的方程组，即可得 Q 点的坐标. 例 3．在直线 l : x y 5 0 上找一点 P ( x, y ) ，使得点 P ( x, y ) 对 A(1, 0), B(3, 0) 的视角 APB 最 大。 要使 APB 分析： 求点 P 的坐标， 一般来说通过三角函数值来刻画， 显然，APB 是锐角， 最大，只需求出夹角 APB 的正切的表达式，再去寻找最大值。凡是处理斜率问题都需要注 意斜率不存在的情况，故 AE，BF 垂直 AB 交 l 于 E、F，只需求当 P 不与 E、F 重合时夹角
直线与圆的方程

直线与圆的方程

直线与圆的方程方程是数学中重要的概念，是由变量、符号和数字组成的式子，它表示一种规律，可用来描述空间图形的形状和位置关系，其中最基本表示形状的方程是直线和圆的方程。

直线的方程是最基本的平面几何图形，它是两点之间最短的路径，用一元一次方程来表示，例如y=ax+b，其中a和b是实数。

值得注意的是，a是斜率，而b是截距，只有当两个参数都确定，才能确定一条直线，而不确定的参数只能确定一条平行于此直线的直线。

另一种形状的方程是圆的方程。

圆是有界的平面图形，由一个内切圆环和它的内切圆环组成，它的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径，只有当圆心和半径都确定，才能确定一个圆，而不确定的参数只能确定一个相似的圆。

圆的表示方式又有两种，一种是非积分的极坐标形式，如r=a cos （θ）+b sin（θ），其中a和b是实数，θ代表角度。

另一种是标准形式，其方程为（x-x0）2+(y-y0)2=a2，其中（x0，y0）是圆心坐标，a是半径。

圆和直线这两种方程本质上是不同的，此外，它们在坐标系中表示出来的形状也是不同的，直线是一种平行于坐标轴的线，而圆则是一个有界的圆环，它的中心在坐标原点，其半径为a。

圆和直线的方程极大地丰富了几何图形的表达能力，通过对它们的方程的推导和求解，可以更好地理解图形的性质，从而推动几何学的发展，推动数学的发展。

从定义上讲，直线和圆的方程是可以相互转换的。

比如，可以将一元一次方程y=ax+b换成(x-a)2+(y-b)2=r2，这样，直线就可以转换成圆，圆也可以转换成直线。

另一方面，通过对直线和圆的方程求解，可以用它们来解决复杂的数学问题，比如求两个圆的位置关系，求一条直线与一个圆的位置关系，求一条直线与另一条直线的位置关系等等，这些复杂的数学应用可以用直线和圆的方程来解决。

由此可见，直线和圆的方程是数学中至关重要的概念，它丰富了图形的表达能力，并可用来解决复杂的数学问题，是数学发展的基础。

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

直线和圆的方程公式总结

直线和圆的方程公式总结

直线和圆的方程公式总结1. 直线方程直线是平面上无限延伸的一条线，我们可以用方程来描述直线所在的位置。

1.1. 一般式方程一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，A 和 B 不同时为零。

A 和B 的比值决定了直线的斜率。

1.2. 截距式方程截距式方程表示为 x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为 x 轴和 y 轴上的截距。

1.3. 斜截式方程斜截式方程表示为 y = mx + c，其中 m 为直线的斜率，c 为 y 轴上的截距。

1.4. 点斜式方程点斜式方程表示为 y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁) 为直线上的已知点，m 为直线的斜率。

2. 圆的方程圆是平面上由一定距离相等的点组成的闭合曲线，我们可以用方程来描述圆的位置。

2.1. 标准方程标准方程表示为 (x - h)² + (y - k)² = r²，其中 (h, k) 为圆心的坐标，r 为圆的半径。

2.2. 一般方程一般方程表示为 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数，(D/2, E/2) 为圆心的坐标，圆心的坐标可通过完成平方来确定。

2.3. 截距方程截距方程表示为 (x - a)² + (y - b)² = c，其中 (a, b) 为圆心的坐标，c 为圆的半径的平方。

3. 方程的应用3.1. 直线方程的应用直线方程可用于解决以下问题： - 判断两条直线是否相交，相交于何处 - 判断直线与坐标轴的交点 - 计算两点之间的距离 - 判断点是否在直线上 - 求解平行或垂直的直线3.2. 圆的方程的应用圆的方程可应用于以下问题： - 判断点是否在圆内、圆上或圆外 - 计算两个圆之间的位置关系 - 判断圆是否相交、相切或相离 - 求解与圆的切线 - 圆的投影和几何变换结论直线和圆是几何学中常见的基本图形，我们可以通过方程来描述它们的位置和性质。