直线与圆的方程综合题、典型题

直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是，则斜率是（ ）32πA. B. C. D.3-3333-34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,)D. 直线倾斜角的范围是(0,)2ππ5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（）A.x+2=0B.x-2=0C.y+2=0D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）21A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=x-1垂直，则a=（ ）21A.2B.-2C.D. 2121-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（）A.1 B. C. D.35115315. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（）A.(x+1)2+y 2= B. (x+1)2+y 2=255C. (x-1)2+y 2= D. (x-1)2+y 2=25516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

直线和圆的方程精选练习题1.直线x+3y-3=的倾斜角是多少？答：倾斜角为π/6.2.若圆C与圆(x+2)+(y-1)=1关于原点对称，则圆C的方程是什么？答：圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=1.3.直线ax+by+c同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足什么条件？答：ab0.4.直线3x-4y-9=与圆x+y=4的位置关系是什么？答：相交但不过圆心。

5.已知直线ax+by+c=(abc≠0)与圆x+y=1相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形是什么类型的？答：是锐角三角形。

6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是多少？答：截距为2/5.7.点(2,5)到直线y=2x的距离是多少？答：距离为1/√5.8.由点P(1,3)引圆x+y=9的切线的长度是多少？答：长度为2.9.如果直线ax+2y+1=与直线x+y-2=互相垂直，那么a的值等于多少？答：a的值等于-1/3.10.若直线ax+2y+2=与直线3x-y-2=平行，那么系数a等于多少？答：a的值等于-3/2.11.直线y=3x绕原点按逆时针方向旋转30度后所得直线与圆(x-2)^2+y^2=33的位置关系是什么？答：直线与圆相交，但不过圆心。

12.若直线ax+y+1=与圆x^2+y^2-2x=相切，则a的值为多少？答：a的值为-1.13.圆O1：x^2+y^2-4x+6y=0和圆O2：x^2+y^2-6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是什么？答：垂直平分线的方程为2x-y-5=0.14.以点(1,3)和(5,-1)为端点的线段的中垂线的方程是什么？答：中垂线的方程为2x+y=7.15.过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的方程是什么？答：由于两条直线平行，所以它们的斜率相同。

直线3x-y+2的斜率为3，所以过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的斜率也是3.带入点(3,4)和斜率3，可以得到直线的方程为y-4=3(x-3)，即y=3x-5.16.直线3x-2y+6在x、y轴上的截距分别是多少？答：当x=0时，直线3x-2y+6的方程化为-2y+6=0，解得y=3，所以直线在y轴上的截距是3.当y=0时，直线3x-2y+6的方程化为3x+6=0，解得x=-2，所以直线在x轴上的截距是-2.17.三点(2,-3)、(4,3)和(5,k)在同一条直线上，求k的值。

直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限的部分有交点，则k 的取值围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a由于CM ⊥l ，∴k CM ⋅k l = －1 ∴k CM =112-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2= m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2= m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2= m 2与线段AB 无交点.4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。

直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2)，斜率为-2，则直线方程是（）– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案：B2.设点A(-1,3)和B(2,-4)，则直线AB的斜率为（）– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案：D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。

答案：2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。

答案：-0.5x - 13.过点A(-3,4)，斜率为2的直线方程是 y = ___________。

答案：2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。

解：直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c，其中c为常数。

将坐标A(2,3)代入直线方程，得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。

解得c = 3 + 4/3 = 13/3，所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。

2.已知直线的斜率为-1/2，过点A(3,4)，求直线的方程。

解：直线方程的斜率为-1/2，过点A(3,4)，所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。

将点A(3,4)代入直线方程，得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。

解得c = 4 +3/2 = 11/2，所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。

四、应用题1.在直角坐标系中，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，求点C的坐标。

解：由题意可知，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，所以C的横坐标为0。

直线与圆的方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线ll:yy=xx−8.则下列结论正确的是（）A．点(2,6)在直线ll上B．直线ll的倾斜角为ππ4C．直线ll在yy轴上的截距为8 D．直线ll的一个方向向量为vv⃗=(1,−1) 2．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为√10，则c的值为（）A．－1 B．19C．－1或19 D．1或－193．直线3xx+4yy+2=0与2xx+yy−2=0的交点坐标是A．(−2,1)B．(−2,6)C．(2,−2)D．(6,−5) 4．方程xx2+yy2−aaxx+bbyy+cc=0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a、b、c的值依次为()A．−2，−4，4B．2，−4，4C．2，−4，−4D．−2，4，−4 5．已知点(1,aa)(aa>0)到直线ll:xx+yy−2=0的距离为1，则aa的值为（）A．√2B．2−√2C．√2−1D．√2+16．经过点PP(0,−1)作直线ll，若直线ll与连接AA(1,−2),BB(2,1)的线段总有公共点，则ll的倾斜角的取值范围是（）A．�0,ππ4�B．�ππ4,3ππ4�C．�3ππ4,ππ�D．�0,ππ4�∪�3ππ4,ππ�7．点PP在直线3xx+yy−5=0上，且点PP到直线xx−yy−1=0的距离为√2，则PP点坐标为（）A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2,−1)D．(2,1)或(−2,1)8．若直线yy=xx+bb与曲线xx=�1−yy2恰有一个公共点，则bb的取值范围是（）A．�−√2,√2�B．�−1,√2�C．�−1,√2�∪�√2�D．(−1,1]∪�−√2�9．已知圆CC与倾斜角为5ππ6的直线相切于点NN�3,−√3�，且与曲线(xx−1)2+yy2=1相外切，则圆CC的方程为（）A．(xx−4)2+yy2=4，xx2+(yy+2√3)2=12C．(xx+4)2+yy2=4，xx2+(yy−4√3)2=36D．(xx−4)2+yy2=4，xx2+(yy+4√3)2=3610．l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°<α<180°11．在平面直角坐标系中，坐标原点OO到过点AA(cos130∘,sin130∘)，BB(cos70∘,sin70∘)的直线距离为（）A．12B．√22C．√32D．112．已知直线ll过AA(-2,1)，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线ll的方程是（）．A．xx+2yy=0或xx-yy+3=0B．xx-yy-1=0或xx-yy+3=0C．xx-yy-1=0或xx+yy-3=0D．xx+2yy=0或xx+yy-3=013．在平面直角坐标系中，AA(0,1),BB(0,2)，若动点CC在直线yy=xx上，圆MM过AA､BB､CC三点，则圆MM的面积最小值为（）A．πB．2π3C．π2D．π414．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点PP�aa,−12�的所有直线中，下列说法正确的（）A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B．恰有nn(nn≥2)条直线，每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少过两个有理点D．每条直线至多过一个有理点15．若直线ll过点(−1,−1)和(2,5)，且点(1009,bb)在直线ll上，则bb的值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 16．坐标原点到直线ll:kk2xx+xx+yy−kk2−2=0的距离的取值范围是（）A．(1,√2]B．[0,√2]C．(0,1)D．[0,+∞)17．已知直线ll1:aaxx+yy+1=0，ll2:2xx+(aa−1)yy+1=0，则“aa=−1”是“ll1∥ll2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件18．已知曲线CC:�xx=2cosααyy=2sinαα（αα为参数），点PP为在xx轴、yy轴上截距分别为8，-4的直线上的一个动点，过点PP向曲线引两条切线PPAA，PPBB，其中AA,BB为切点，则直线AABB恒过点A．(2,0)B．�√55,−25√5�C．(1,−1)D．�12,−1�19．设双曲线xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的右焦点为FF，右顶点为AA，过FF作AAFF的垂线与双曲线交于BB，CC两点，过BB，CC分别作AACC，AABB的垂线，两垂线交于点DD.若DD到直线BBCC的距离等于aa+√aa2+bb2，则该双曲线的离心率是（）A．√2B．√3C．2 D．√520．关于下列命题，正确的个数是（）（1）若点(2,1)在圆xx2+yy2+kkxx+2yy+kk2−15=0外，则kk>2或kk<−4；（2）已知圆MM:(xx+cosθθ)2+(yy−sinθθ)2=1，直线yy=kkxx，则直线与圆恒相切；（3）已知点PP是直线2xx+yy+4=0上一动点，PPAA、PPBB是圆CC:xx2+yy2−2yy=0的两条切线，AA、BB是切点，则四边形PPAACCBB的最小面积是2；（4）设直线系MM:xx cosθθ+yy sinθθ=2+2cosθθ，MM中的直线所能围成的正三角形面积都等于12√3．A．1B．2C．3D．4二、填空题21．已知直线ll1：xx−mmyy+1=0，ll2：2xx−6yy+5=0，且ll1//ll2，则mm的值为________．22．设若圆与圆的公共弦长为，则=______.23．已知直线ll1:xx+aayy+6=0与ll2:(aa−2)xx+yy+1=0互相垂直，则aa=_________. 24．过直线ll1:xx−2yy+3=0与直线ll2:2xx+3yy−8=0的交点，且到点PP(0,4)距离为2的直线方程为__________________.25．已知直线3xx-4yy-11=0和圆xx2+(yy-1)2=rr2(rr>0)相交于AA，BB两点.若|AABB|=2，则rr的值为___________.三、解答题26．已知三角形的三个顶点AA(−5,0),BB(3,−3),CC(0,2).（1）求BC边所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线方程.27．求以CC(3,−4)为圆心，且与圆xx2+yy2=1相外切的圆C的方程．于M、N两点.(1)若∠CCMMNN=30°，求圆的半径；(2)若OOMM⊥OONN（OO为坐标原点），求圆CC的方程.29．已知MM(1,−1),NN(2,2),PP(3,1)，圆CC经过MM,NN,PP三点.（1）求圆CC的方程，并写出圆心坐标和半径的值；（2）若过点QQ(1,1)的直线ll与圆CC交于AA、BB两点，求弦AABB的长度|AABB|的取值范围. 30．已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程．参考答案：1．B【分析】逐个分析各个选项.【详解】对于A 项，当xx =2，yy =6时， 代入直线方程后得6≠2−8，∴点(2,6)不在直线l 上，故A 项错误；对于B 项，设直线l 的倾斜角为θθ，∵kk =1，∴tan θθ=1，又∵θθ∈[0,ππ)，∴θθ=π4，故B 项正确；对于C 项，令xx =0得：yy =−8，∴直线l 在y 轴上的截距为−8，故选项C 错误； 对于D 项，∵直线l 的一个方向向量为vv ⃗=(1,−1)，∴kk =−11=−1，这与已知kk =1相矛盾，故选项D 错误. 故选：B. 2．C【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c 的值． 【详解】由两平行线间的距离公式得， d ＝|−cc−(−9)|√12+32＝√10，所以| c －9|＝10，得c ＝－1或c ＝19． 故选：C. 3．C【分析】直接联立方程组求解交点坐标即可． 【详解】解：由�3xx +4yy +2=02xx +yy −2=0 解得�xx =2yy =−2， ∴直线3xx +4yy +2=0与2xx +yy −2=0的交点坐标是(2,−2)， 故选C ．【点睛】本题考查两条直线交点坐标的求法，考查计算能力． 4．B【分析】根据题意，由圆的一般方程分析可得答案．【详解】解：根据题意，方程xx 2+yy 2−aaxx +bbyy +cc =0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧aa2=1−bb2=214(aa 2+bb 2−4cc )=1 ，解可得：aa=2，bb=−4，cc=4，故选B．【点睛】本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题．5．D【分析】根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.【详解】由题,|1+aa−2|√12+12=1⇒aa=1±√2,因为aa>0,故aa=√2+1.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题.6．D【解析】结合图形利用PPAA,PPBB的斜率得到直线ll的斜率的取值范围，从而可得直线ll的倾斜角的取值范围.【详解】设直线ll的斜率为kk，倾斜角为αα，kk PPPP=−1−(−2)0−1=−1，kk PPPP=−1−10−2=1，由图可知，−1≤kk≤1，所以0≤αα≤ππ4或3ππ4≤αα<ππ.故选：D【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用PPAA,PPBB的斜率可得所要求的斜率的取值范围.7．C【分析】设点PP的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可得答案.【详解】∵点PP在直线3xx+yy−5=0上，∴设PP(xx,−3xx+5)，利用点到直线的距离公式得：√2=|xx+3xx−5−1|√2，解得：xx=1或xx=2，∴点PP的坐标为(1,2)或(2,−1).故选：C.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.8．D【分析】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【详解】由曲线xx=�1−yy2，可得xx2+yy2=1（xx≥0），表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，yy=xx+bb是倾斜角为ππ4的直线与曲线xx=�1−yy2有且只有一个公共点有两种情况：①直线与半圆相切，根据dd=rr，所以dd=|bb|√2=1，结合图象可得bb=−√2；②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知−1<bb≤1.综上可知：−1<bb≤1或bb=−√2.故选：D.9．D【分析】求出直线方程为xx+√3yy=0，设出圆CC的方程，构建方程组即可得到结果. 【详解】过点NN�3,−√3�且倾斜角为5ππ6的直线方程为yy=−√33(xx−3)−√3，即xx+√3yy=0，设圆CC的圆心为�mm，nn�，半径为RR，由题意直线NNCC垂直于直线xx+√3yy=0，故kk NNNN=nn+√3mm−3=√3，可得nn=√3mm−4√3，RR=|NNCC|=�(mm−3)2+�nn+√3�2=2|mm−3|，两圆相切，有�(mm−3)2+�nn+√3�2=1+RR=2|mm−3|，（1）mm≥3时，解得mm=4,nn=0,RR=2，圆CC的方程为(xx−4)2+yy2=4；（2）mm<3时，解得mm=0,nn=−4√3,RR=6，圆CC的方程为xx2+�yy+4√3�2=36；故选：D10．C【分析】由题意，直线l经过第二、四象限，根据直线的倾斜角的定义，即可得到答案．【详解】由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角αα的范围是90°<αα<180°，故选C.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的定义，其中解答中熟记直线的倾斜角的概念，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．C【解析】求出直线AABB的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出原点到直线AABB的距离. 【详解】kk PPPP=sin70∘−sin130∘sin20∘+sin40∘=cos20∘−2cos220∘+1cos70∘−cos130∘=cos20∘−cos40∘sin20∘+2sin20∘⋅cos20∘=1−cos20∘sin20∘=sin10∘cos10∘，根据诱导公式可知：BB(sin20∘,cos20∘)，所以经过AA、BB两点的直线方程为：yy−cos20∘=sin10∘cos10∘(xx−sin20∘)，即xx sin10∘−yy cos10∘+cos10∘cos20∘−sin10∘sin20∘=0，即xx sin10∘−yy cos10∘+cos(10∘+20∘)=0，即xx sin10∘−yy cos10∘+√32=0，所以原点OO到直线的距离为dd=√32√sin210∘+cos210∘=√32，故选：C．【点睛】本题考查点到直线距离的计算，涉及二倍角公式和两角和的余弦公式的应用，解题的关键就是求出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.12．A【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为yy=kkxx把点(-2,1)代入求出kk=-12，即直线方程为xx+2yy=0（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为xx aa+yy-aa=1，把点(-2,1)代入求出aa=-3，即直线方程为xx-yy+3=0综上，直线方程为xx+2yy=0或xx-yy+3=0故选：A13．C【分析】设CC(aa,aa)，讨论aa=1时和aa≠1时两种情况，分别求出或表示出半径的平方值，结合二次函数性质求得答案.【详解】因为AA(0,1),BB(0,2),若动点CC在直线yy=xx上，圆MM过AA､BB､CC三点，设CC(aa,aa)，显然aa≠0，圆心为线段AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点，当aa=1时，CC(1,1)，则圆心为(12,32)，设圆的半径为r,则rr2=(12)2+(32−1)2=12，此时圆的面积为πrr2=π2；当aa≠1时，AC的垂直平分线方程为yy−aa+12=aa1−aa(xx−aa2)，令yy=32，则xx=aa+1aa−32，故圆心为(aa+1aa−32,32)，则rr2=(aa+1aa−32)2+(32−1)2=(aa+1aa−32)2+14，令tt=aa+1aa，由于aa≠1，aa>0时，aa+1aa>2；aa<0时，aa+1aa≤−2，故tt>2或tt≤−2，因此对于函数yy=(tt−32)2，yy>(2−32)2=14，即rr2>12，此时圆MM的面积πrr2>π2，综合上述，圆MM的面积最小值为π2，故选：C14．C【分析】分析斜率不存在的直线和斜率为0的直线上的有理点的个数，再在斜率存在且不为0的直线上假设有两个有理点MM(xx1,yy1),NN(xx2,yy2)，利用直线的斜率公式推导出矛盾，从而判断各选项．【详解】显然直线yy=−12过PP点且此直线上有无数个有理点，选项D错误；直线xx=aa上的所有点都不是有理点，其它过PP点斜率存在且不为0的直线上假如有两个有理点MM(xx1,yy1),NN(xx2,yy2)，xx1,yy1,xx2,yy2都是有理数，则此直线的斜率为kk MMNN=yy1−yy2xx1−xx2为有理数，又kk MMPP=yy1+12xx1−aa为无理数，显然kk MMNN≠kk MMPP，矛盾，因此此类直线上不可能有两个或以上的有理点．所以AB均错，C正确．故选：C．15．A【分析】根据直线ll过点(−1,−1)和(2,5)，由直线的两点式方程化简得yy=2xx+1，然后将点(1009,bb)代入方程yy=2xx+1，求解得出bb的值.【详解】解：因为直线ll过点(−1,−1)和(2,5)，由直线的两点式方程，得直线ll的方程为yy−(−1)5−(−1)=xx−(−1)2−(−1)，化简得：yy=2xx+1，由于点(1009,bb)在直线ll上，将点(1009,bb)代入方程yy=2xx+1，得bb=2×1009+1，解得：bb=2019.故选：A.【点睛】本题考查直线的两点式方程的求法和应用，属于基础题.16．A【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式，再求出函数的值域作答. 【详解】坐标原点到直线ll:(kk2+1)xx+yy−kk2−2=0的距离dd=kk2+2�(kk2+1)2+1，令tt=kk2+2≥2，则dd=tt�(tt−1)2+1=1�2tt2−2tt+1=1�2(1tt−12)2+12，因0<1tt≤12，则12≤2(1tt−12)2+12<1，当且仅当tt=12，即kk=0时取等号，即1<dd≤√2，所以原点到直线l的距离的取值范围为(1,√2].故选：A17．C【分析】先根据两直线平行，解得aa的值，再利用充分条件、必要条件的定义求解. 【详解】直线ll:aaxx+yy+1=0，ll:2xx+(aa−1)yy+1=0，ll1∥ll2的充要条件是�aa(aa−1)=2aa≠2，解得aa=−1因此得到“aa=−1”是“ll1∥ll2”的充分必要条件.故答案为：C.18．D【解析】根据条件转化得出曲线C和直线的直角坐标方程，根据题意设PP的坐标，由切线的性质得点AA、BB在以OOPP为直径的圆CC上，求出圆CC的方程，将两个圆的方程相减表示出公共弦AABB所在的直线方程，再求出直线AABB过的定点坐标．【详解】解：∵PP是直线xx−2yy−8=0的任一点，∴设PP(8+2mm,mm)，曲线CC:�xx=2cosααyy=2sinαα（αα为参数），即圆xx2+yy2=4，由题意知，∴OOAA⊥PPAA，OOBB⊥PPBB，则点AA,BB在以OOPP为直径的圆上，即AABB是圆OO和圆CC的公共弦，则圆心MM的坐标是MM�4+mm,mm2�，且rr2=OOMM2= (4+mm)2+mm24，∴圆MM的方程：(xx−4−mm)2+�yy−mm2�2=(4+mm)2+mm24①，又xx2+yy2=4②，②-①得，(8+2mm)xx+mmyy−4=0，即公共弦AABB所在的直线方程：(8+2mm)xx+mmyy−4=0即mm(2xx+yy)+(8xx−4)=0，由�2xx+yy=08xx−4=0解得�xx=12yy=−1：∴直线AABB恒过定点�12,−1�，故选DD.【点睛】本题考查了参数方程，圆的切线性质，圆和圆的位置关系，公共弦所在直线求法以及直线过定点问题，属于中档题．19．A【分析】依题意求得AA,BB,CC的坐标，求得直线BBDD,CCDD的方程，联立BBDD,CCDD的方程求得DD点坐标，根据DD到直线BBCC的距离等于aa+√aa2+bb2列方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】依题意可知AA(aa,0),BB�cc,bb2aa�,CC�cc,−bb2aa�，所以kk PPPP=bb2aa(cc−aa),kk NNCC=−aa(cc−aa)bb2，kk PPNN=−bb2aa(cc−aa),kk PPCC=aa(cc−aa)bb2，所以直线BBDD：yy−bb2aa=aa(cc−aa)bb2(xx−cc)①，直线CCDD：yy+bb2aa=−aa(cc−aa)bb2(xx−cc)②，①-②并化简得xx CC=bb4aa2(cc−aa)+cc.由于DD到直线BBCC的距离等于aa+√aa2+bb2=aa+cc，直线BBCC方程为xx=cc，所以xx CC=bb4aa2(cc−aa)+cc=−aa，化简得aa2=bb2,aa=bb，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为√2.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20．A【分析】（1）根据一般方程表示圆和点(2,1)列不等式组可解出实数kk的取值范围，可判断出命题（1）的真假；（2）计算圆心到直线yy=kkxx的距离dd的取值范围，可判断出命题（2）的真假；（3）找出当切线PPAA、PPBB的长取得最小值时点PP的位置，计算出PPAA的长，并计算出此时四边形PPAACCBB的面积，可判断出命题（3）的真假；（4）由直线系方程可知，MM中所有直线都是定圆(xx−2)2+yy2=4的切线，易知MM中的直线所能围成的正三角形的面积不一定都相等，即可判断出命题（4）的真假.【详解】对于命题（1），由于方程xx2+yy2+kkxx+2yy+kk2−15=0表示圆，则kk2+4−4(kk2−15)>0，整理得3kk2−64<0，由于点(2,1)在该圆外，则kk2+2kk−8<0，所以{3kk2−64<0kk2+2kk−8>0，解得−8√33<kk<−4或2<kk<8√33，命题（1）为假命题；对于命题（2），直线yy=kkxx过原点OO，圆MM:(xx+cosθθ)2+(yy−sinθθ)2=1的圆心MM的坐标为(−cosθθ,sinθθ)，且|OOMM|=1，所以，圆心MM到直线yy=kkxx的距离dd≤1，则直线与圆相交或相切，命题（2）为假命题；对于命题（3），圆CC的标准方程为xx2+(yy−1)2=1，圆心CC的坐标为(0,1)，半径长为1，圆心CC到直线2xx+yy+4=0的距离为dd=5√22+12=√5，∴|PPCC|min=√5，则|PPAA|min=�(√5)2−12=2，∴四边形PPAACCBB的面积的最小值为2×12|PPAA|min⋅rr=2×1=2，命题（3）为真命题；对于命题（4），直线系MM的方程为(xx−2)cosθθ+yy sinθθ−2=0，由于点(2,0)到直线MM的距离为dd=2√cos2θθ+sin2θθ=2，直线系MM中所有的直线都是圆DD:(xx−2)2+yy2=4的切线，如下图，MM中的直线所能围成的正三角形AABBCC和AADDAA面积不相等，故（4）错误.如下图所示：因此，真命题的个数为1.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查了转化和数形结合思想等数学思想方法，属于难题. 21．3【分析】由两直线平行有2mm−6=0，即可求参数m.【详解】由ll1//ll2，则有2mm−6=0，解得mm=3.故答案为：322．a=1由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为yy=1aa,【详解】利用圆心（0，0）到直线的距离d=|1aa|√1为�22-√32=1,解得aa=1.23．1【解析】根据两直线垂直的条件AA1AA2+BB1BB2=0，即可求解.【详解】因为线ll1:xx+aayy+6=0与ll2:(aa−2)xx+yy+1=0互相垂直，所以aa−2+aa=0，即aa=1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件AA1AA2+BB1BB2=0，属于容易题.24．yy=2或4xx−3yy+2=0【分析】求得直线ll1与ll2的交点坐标，对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点PP到所求直线的距离为2可求得所求直线的方程.【详解】由�xx−2yy+3=02xx+3yy−8=0，得�xx=1yy=2，所以，直线ll1与ll2的交点为(1,2).当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为xx=1，点PP到该直线的距离为1，不合乎题意；当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为yy−2=kk(xx−1)，即kkxx−yy−kk+2=0，由于点PP(0,4)到所求直线的距离为2，可得2=|−2−kk|√1+kk2，整理得3kk2−4kk=0，解得kk=0或kk=43.综上所述，所求直线的方程为yy=2或4xx−3yy+2=0.故答案为：yy=2或4xx−3yy+2=0.【点睛】本题考查利用点到直线的距离公式求直线的方程，同时也考查了直线交点坐标的求解，考查计算能力，属于中等题.25．√10【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离dd，进而利用弦长公式|AABB|=2√rr2-dd2，即可求得rr．【详解】因为圆心(0,1)到直线3xx-4yy-11=0的距离dd=|-4-11|√9+16=3，由|AABB|=2√rr2-dd2可得2=2√rr2-32，解得rr=√10．故答案为：√10．26．（1）5xx+3yy−6=0（2）3xx−5yy+15=0【分析】（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.【详解】解：（1）∵BB(3,−3)，CC(0,2)，∴直线BC的方程为yy+32+3=xx−30−3，即5xx+3yy−6=0. （2）∵kk PPNN=−53，∴直线BC边上的高所在的直线的斜率为35，又AA(−5,0)，∴直线BC边上的高的方程为: yy−0=35(xx+5)，即BC边上的高所在直线方程为3xx−5yy+15=0.【点睛】本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.27．(xx−3)2+(yy+4)2=16【分析】根据圆心距等于半径和求解得圆C的半径RR=4，再求解方程即可.【详解】解：由题知xx2+yy2=1的圆心为OO(0,0)，rr=1，因为以CC(3,−4)为圆心，且与圆xx2+yy2=1相外切，设圆C的半径为RR，所以|CCOO|=rr+RR，即5=1+RR，所以RR=4，所以圆C的方程为(xx−3)2+(yy+4)2=1628．(1)65√10；(2)(xx−1)2+(yy−2)2=195.【分析】（1）根据已知，可在直角三角形中求解出圆的半径；������⃗⋅OONN������⃗=0，（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理，用mm表示出坐标关系.由已知可得，OOMM代入坐标，即可求得mm的值，从而得到圆的方程.【详解】（1）如图，DD是MMNN的中点，则∠CCMMDD=30∘，CCDD⊥MMNN.由xx2+yy2−2xx−4yy+mm=0得(xx−1)2+(yy−2)2=5−mm，圆心为CC(1,2).圆心CC(1,2)到直线xx+3yy−1=0的距离为dd=|CCDD|=|1+6−1|√10=3√105.在Rt△CCDDMM中，有∠CCMMDD=30∘，|CCDD|=3√105，sin∠CCMMDD=|NNCC||NNMM|=3√105rr=sin30∘=12，所以rr=65√10，故圆的半径为rr=65√10.（2）由xx2+yy2−2xx−4yy+mm=0得(xx−1)2+(yy−2)2=5−mm，∴5−mm>0，即mm<5，由题意联立�xx2+yy2−2xx−4yy+mm=0xx+3yy−1=0，可得10yy2−4yy+mm−1=0.则Δ=(−4)2−4×10(mm−1)=−40�mm−7�>0，所以mm<7.设MM(xx1,yy1)、NN(xx2,yy2)，由韦达定理可得yy1+yy2=25，yy1yy2=mm−110，������⃗⋅OONN������⃗=0，则xx1xx2+yy1yy2=0，因为OOMM⊥OONN，所以OOMM又xx1=1−3yy1，xx2=1−3yy2，即有(1−3yy1)(1−3yy2)+yy1yy2=0，整理可得10yy1yy2−3(yy1+yy2)+1=0，即有10×mm−110−3×25+1=0，解得mm=65，满足mm<5，且mm<75.则圆CC的方程为(xx−1)2+(yy−2)2=195.29．（1）圆CC：xx2+yy2−3xx−yy=0，圆心CC�32,12�，半径rr=√102；（2）2√2≤|AABB|≤√10. 【解析】（1）由题意设圆CC方程为xx2+yy2+DDxx+AAyy+FF=0，待定系数法求DD,AA,FF的值，再把圆的方程化为标准式，即得圆心坐标和半径；（2）设圆心到直线ll的距离为dd，判断点QQ在圆内，数形结合可知，当直线ll过圆心时，dd min=0；当ll⊥CCQQ时，dd max=√22.由弦长|AABB|=2√rr2−dd2可得|AABB|的取值范围.【详解】（1）设圆CC：xx2+yy2+DDxx+AAyy+FF=0.∵圆CC过MM，NN，PP三点，∴�1+1+DD−AA+FF=04+4+2DD+2AA+FF=09+1+3DD+AA+FF=0解得�DD=−3AA=−1FF=0∴圆CC：xx2+yy2−3xx−yy=0，化为标准式得�xx−32�2+�yy−12�2=52，∴圆心CC�32,12�，半径rr=√102.（2）设圆心到直线ll的距离为dd，点QQ(1,1)到圆心的距离为|CCQQ|=��1−32�2+�1−12�2=√22<√102=rr.∴点QQ在圆内，∴|AABB|=2�52−dd2.结合图形，可知0≤dd≤|CCQQ|=√22（ll过圆心时，dd=0；ll⊥CCQQ时，dd=√22）.∴2√2≤|AABB|≤√10.【点睛】本题考查待定系数法求圆的一般方程，考查直线和圆的位置关系，用到数形结合的数学思想，属于中档题.30．(1)(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)2x﹣y+5＝0．【分析】(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；(2)根据题意，A(﹣1，3)在圆C上，求出AC的斜率，由垂直可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．【详解】解：(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，则有�aa−bb+1=0aa=1，解可得b＝2；则圆心的坐标为(1，2)，半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，则圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)根据题意，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5，有A(﹣1，3)在圆C上，有KAC=3−2−1−1=−12，则切线的斜率k＝2，则切线的方程为y﹣3＝2(x+1)，变形可得2x﹣y+5＝0．【点睛】本题考查求圆的标准方程和圆的切线方程，求圆的标准方程，一般是确定圆心坐标和半径，由圆的性质知圆心一定在弦的中垂线上．圆的切线与过切点的半径垂直，由此可求出切线斜率得切线方程．。

第二章 直线与圆方程本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（ ） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+= D ．2310x y --=【答案】D【解析】因为直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，所以设直线2l 的方程为230x y m -+=， 因为直线2l 过点(2,1)， 所以430m -+=，得1m =-， 所以直线2l 的方程为2310x y --=， 故选：D2．已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（ ） A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【解析】由直线l 的方程为sin 10x α+-=， 所以y = 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：B3．已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-【答案】B【解析】若表示圆，则22(40+->m ， 解得1m <.“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件， 所以实数t 的取值范围是[1,)+∞. 故选：B4．已知直线3410x y --=与圆22:(1)(2)16C x y -++=相交于A ，B 两点，P 为圆C 上的动点，则PAB △面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由22:(1)(2)16C x y -++=可知：圆心(1,2)C -，半径为4， 圆心C 到直线AB 距离|381|25d +-==，∴||AB ==∴()max11||()622PAB SAB r d =⋅+=⨯= 故选：C5．已知直线2y kx k =-+与圆()()22214x y -+-=相交于P 、Q 两点，则弦PQ 最短时所在的直线方程是（ ） A ．10x y ++= B ．10x y +-= C ．10x y --= D ．10x y -+=【答案】D【解析】直线y =kx -k +2=k （x -1）+2，所以直线恒过A （1，2）， 因为22(21)(12)4-+-< ，故该点在圆内，设圆心为B （2，1），由圆的几何性质知，当直线y =kx -k +2与直线AB 垂直时，弦PQ 最短， 此时，直线AB 的斜率为21112AB k -==--， ∴kPQ =1，∴弦PQ 最短时所在的直线方程是y -2=x -1，即x -y +1=0， 故选：D6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()2,4B ，若将军从点()2,0A -处出发，河岸线所在直线方程为-2+80x y =，则“将军饮马”的最短总路程为( ) AB ．10 C．D．【答案】A【解析】如图，点A 关于直线的对称点为A '，则A B '即为“将军饮马 ”的最短总路程，设(),A a b '，则22+8=0221122a b b a -⎧-⨯⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪+⎩，解得2224,55a b =-=，则A B '＝ 故“将军饮马”故选：A7．已知圆C ：22(2)2x y -+=，点P 是直线l ：420x y --=上的动点，过点P 引圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（ ） A ．21(,)33-B ．21(,)33-C ．21(,)33--D ．21(,)33【答案】D【解析】因为PA 、PB 是圆C 的两条切线，所以,PA AC PB BC ⊥⊥，因此点A 、B 在以PC 为直径的圆上，因为点P 是直线l ：420x y --=上的动点，所以设(,42)P m m -，点(2,0)C ， 因此PC 的中点的横坐标为：22m +，纵坐标为：42212m m -=-，12PC PC 为直径的圆的标准方程为：22221()(21)(17208)(1)24m x y m m m +-+-+=-+，而圆C ：22(2)2(2)x y -+=， (1)(2)-得：(2)(42)220m x m y m ---+-=，即为直线AB 的方程，由(2)(42)220222(42)m x m y m x y m x y ---+-=⇒+-=+-22220342013x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩，所以直线AB 经过定点21(,)33，故选：D8．已知点Q 在圆()()22:334M x y ++-=上，直线:2360l x y -+=与x 轴、y 轴分别交于点P 、R ，则下列结论中正确的有（ ）∴点Q 到直线l 的距离小于4.5 ∴点Q 到直线l 的距离大于1∴当QRP ∠最小时，RQ =∴当QRP ∠最大时，RQ =A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】圆M 的圆心为()3,3M -，半径为2r =，圆心M 到直线l 的距离为2=>， 所以，直线l 与圆M 相离，点Q 到直线l 22，21-<2 4.5<，故∴对，∴错；直线:2360l x y -+=交x 轴于点()3,0P -，交y 轴于点()0,2R ，MR = 过点R 作圆M 的两条切线，切点分别为E 、N ，如下图所示：当QRP ∠最小时，点Q 与点E 重合，此时226QR RM r =-=，当QRP ∠最大时，点Q 与点N 重合，此时QR ==∴∴都对.故选：C.一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．在下列四个命题中，错误的有（ ） A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C ．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 【答案】ABD 【解析】对于A ，倾斜角为90的直线斜率不存在 所以A 错误对于B直线的倾斜角的取值范围为0,所以B 错误对于C因为tan 1α=且[)0,απ∈，所以4πα=所以C 正确对于D 倾斜角为90的直线斜率不存在所以D 错误故选：ABD10．已知直线l ：()()221310m x m y m ++---=与圆C ：()()222116x y -++=交于A ，B 两点，则弦长|AB |的可能取值是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．5【答案】BC【解析】：由()()221310m x m y m ++---=，得()23210x y m x y +-+--=，令230210x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过点(1,1)M .圆心(2,1)C ，半径4r =，CM =2AB r ≤，即8AB ≤. 故选：BC.11．已知直线:10l mx y m +-+=，圆22:2410E x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 与圆E 一定有公共点B ．当12m =-时直线l 被圆E 截得的弦最长C ．当直线l 与圆E 相切时，34m =D ．圆心E 到直线l 【答案】BCD【解析】由题意知直线l 过定点()1,1M -，且点M 在圆E 外部，所以A 错误；当12m =-时，l 的方程为230x y -+=，直线l 过圆心()1,2E ，截得的弦恰为直径，故B 正确；当l 与圆E2=，解得34m =，故C 正确；当l 与ME 垂直时，圆心E 到l 的距离取得最大值，其最大值为ME =D 正确. 故选：BCD.12．已知圆O ：224x y +=和圆C ：22231x y .现给出如下结论，其中正确的是（ ）A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为9x -16y +30=0D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3 【答案】AD【解析】圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ，半径为2；圆22:(2)(3)1C x y -+-=，圆心(2,3)C ，半径为1，A 中，圆心距||21OC >+，所以两个圆相离，所以两个圆有4条公切线，所以A 正确；B 中，过点(2,3)C 又过原点的直线在两坐标轴的截距相等，即32y x =在坐标轴上的截距相等，当直线不过O 时，设x y a +=，将C 的坐标代入可得5a =， 所以过点C 点在坐标轴的截距相等的直线为5x y +=， 过C 在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，所以B 不正确；C 中，过点(2,3)C 的直线斜率不存在时，即直线2x =显然与圆O 相切，当切线的斜率存在时，设为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=， 圆心O 到直线的距离2d ==，解得512k =，则这时切线方程为：512260x y -+=，所以过C 且与圆O 相切的直线为2x =或512200x y -+=，故C 不正确；D 中，圆心距||OC =，由题意可得||PQ 的最大值为||(21)OC ++3，所以D 正确； 故选：AD ．一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =， 依题意圆心到直线l 的距离1d ≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．若直线()100,0ax by a b +-=>>始终平分圆2224160x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为_______． 【答案】9【解析】由题知直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)，得21a b +=，所以121222()(2)5549b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当22b a a b =，即13a b ==时，取等号. 故答案为：915．已知圆C ：224210x y x y +--+=及直线l ：()2y kx k k =-+∈R ，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为______．【答案】：将圆C 方程整理为22214x y -+-=，得圆心()21C ，，半径2r =， 将直线l 方程整理为()12y k x =-+，得直线l 恒过定点()12，，且()12，在圆C 内， ∴最长弦MN 为过()12，的圆的直径，即4MN =，最短弦PQ 为过()12，，且与最长弦MN 垂直的弦， 21112MN k -==--，1PQ k ∴=， ∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ的距离为d==PQ ∴= ∴四边形PMQN的面积11422S MN PQ =⋅=⨯⨯， 故答案为：16．过圆224x y +=内点M 作圆的两条互相垂直的弦AB 和CD ，则AB CD +的最大值为__．【答案】【解析】取AB 中点E ，CD 中点F ，如图，则OEMF 是矩形，2223OE OF OM +==，2AB AE ==CD =注意到0,0a b >>时，由222a b ab +≥得222()()2a b a b +≥+，从而a b +≤仅当a b =时取等号．所以AB CD +=≤=当且仅当2244OE OF -=-，即OE OF ==所以AB CD +的最大值是四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系中，光线l 过点()2,1A -，经x 轴反射后与圆D ：()()22234x y -+-=有交点(1)当反射后光线经过圆心D ，求光线l 的方程； (2)当反射后光线与圆D 相切，求光线l 的方程．【答案】(1)10x y ++= (2))12y x -=+或)12y x -=+ 【解析】 (1)点()2,1A -关于x 轴对称的点为()2,1A '--，由光线的折射性质，反射光线经过圆心2,3O ，所以OA OA K K '=， 易知()()31122OA K '--==--，所以1OA K =-，所以光线l 的方程为10x y ++=.(2)设经过()2,1A '--的直线方程为()12y k x +=+由于折射光线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即2d ==,化简得：33830k k -+=,解得k =所光线l 的方程为)12y x -=+或)12y x -=+. 18（12分）．已知圆22:6440C x y x y +--+=．(1)若一直线被圆C 所截得的弦的中点为(2,3)M ，求该直线的方程；(2)设直线:l y x m =+与圆C 交于A ，B 两点，把CAB △的面积S 表示为m 的函数，并求S 的最大值． 【答案】(1)1y x =+(2)()11,1S m m -<=<≠-，最大值为92.【解析】(1)圆22:6440C x y x y +--+=化为标准方程为：()()22329x y -+-=. 则32123CM k -==--. 设所求的直线为m .由圆的几何性质可知：1C m M k k ⋅=-，所以1m k =，所以所求的直线为：()312y x -=⋅-，即1y x =+.(2)2AB因为直线:l y x m =+与圆C 交于A ，B 两点，所以03d <<,解得：11m -<<且1m ≠-.而CAB △的面积：()1121,1S m B m A d =⨯=-<<≠-因为2292AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以221192222S AB d AB d ⎛⎫⎡⎤⎢⎥=⨯≤+ ⎪⎝⎭=⎢⎥⎣⎦（其中2AB d ==. 所以S 的最大值为92.19．在直角坐标系xOy 中，若圆C 与y 轴相切，且过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆心C 在直线20x y -=上．(1)求圆C 的标准方程； (2)若直线13y x =与圆C 交于A ，B 两点，求ABC 的面积． 【答案】(1)()()22214x y -+-=【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得圆的方程；（2）根据点到直线距离求得弦长，即可得三角形面积. (1)由圆心C 在直线20x y -=上，且圆C 与y 轴相切， 故设圆心()2,C a a ，圆的方程为()()22224x a y a a -+-=，又圆C 过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222432455a a a ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2210a a -+=， 解得1a =，即圆心()2,1C ，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=；(2)因为圆心()2,1C 到直线13y x =的距离d =，所以弦长AB ==，所以1122ABCSAB d =⋅⋅==. 20．（12分）已知圆M 与x 轴相切于点（a ，0），与y 轴相切于点（0，a ），且圆心M 在直线360x y --=上.过点P （2，1）的直线与圆M 交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，点C 是圆M 上的动点.(1)求圆M 的方程；(2)若直线AB 的斜率不存在，求∴ABC 面积的最大值；(3)是否存在弦AB 被点P 平分？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)()()22339x y -+-= (2)(3)存在，方程为240x y +-=【解析】(1)∴圆M 与x 轴相切于点（a ，0），与y 轴相切于点（0，a ），∴圆M 的圆心为M （a ，a ），半径r a =.又圆心M 在直线360x y --=上，∴360a a --=，解得3a =.∴圆M 的方程为：()()22339x y -+-=.(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =，∴由()()222339y -+-=，解得3y =±∴12AB y y =-=易知圆心M 到直线AB 的距离1d =，∴点C 到直线AB 的最大距离为134+=.∴∴ABC面积的最大值为142⨯= (3)方法一：假设存在弦AB 被点P 平分，即P 为AB 的中点.又∴MA MB =，∴MP AB ⊥.又∴直线MP 的斜率为13223-=-， ∴直线AB 的斜率为-12. ∴()1122y x -=--. ∴存在直线AB 的方程为240x y +-=时，弦AB 被点P 平分.方法二：由（2）易知当直线AB 的斜率不存在时，126y y +=，∴此时点P 不平分AB .当直线AB 的斜率存在时，120x x -≠，假设点P 平分弦AB .∴点A ､B 是圆M 上的点，设()11,A x y ，()22,B x y .∴()()()()22112222339339x y x y ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 由点差法得()()()()12121212660x x x x y y y y -+-+-+-=.由点P 是弦AB 的中点，可得12124,2x x y y +=+=， ∴121212y y x x -=--. ∴()1122y x -=-- ∴存在直线AB 的方程为240x y +-=时，弦AB 被点P 平分.21．（12分）已知圆C与直线30x -=相切于点(P，且与直线50x +=也相切.(1)求圆C 的方程；(2)若直线:30l mx y ++=与圆C 交于A ，B 两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围.【答案】(1)()2214x y ++=(2)1m 或7m <-【解析】(1)：设圆C 的方程为()222()x a y b r -+-=，由题意得(2221r a b r ⎛=- ⎝⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，即(22222(1))54a r b b a a r ⎧⎪⎪++=⎨⎪+==⎩+⎪，解得1a =-，0b =，2r =，即圆C 的方程为()2214x y ++=.(2)解：由题意，得ACB ∠为钝角或平角，当A ，B ，C 共线时，3m =，此时ACB ∠为平角；当A ，B ，C 不共线时，3m ≠，ACB ∠为钝角，设圆心C 到直线l的距离为d ，则02d <<，于是，有0<，解之得1m 或7m <-，且3m ≠；综上，实数m 的取值范围是1m 或7m <-.22．（12分）莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知QMN 的顶点()1,0M ，()3,2N -，()1,4Q -．(1)求QMN 的欧拉线方程；(2)记QMN 的外接圆的圆心为C ，直线l ：()10kx y k k ---=∈R 与圆C 交于A ，B 两点，且C l ∉，求ABC 的面积最大值．【答案】(1)2y =-【解析】(1) QMN 的顶点()1,0M ，()3,2N -，()1,4Q -利用两点之间距离公式知MN QN ==4MQ = 又222MN QN MQ +=，所以QMN 为等腰直角三角形， MQ 的中垂线方程是2y =-，也是MNQ ∠的平分线，三线合一， ∴欧拉线方程是2y =-．(2)由（1）知QMN 为等腰直角三角形，故外心为斜边MQ 中点， 即外心是()1,2C -，2r =圆心C 到直线l 的距离1d =≤，AB =所以12ABC S AB d =⋅=△利用二次函数性质知，当21d =时，即0k =时，max S。