有限元入门教程(普及篇)

普通人有限元分析入门方法--理论学习篇展开全文（这文章写的时候估计会被喷，我已经做好心理准备的！）文章开始前，我要先说明：就像文章题目说的一样，本文只是从一个很普通的有限元分析工程人员的角度出发，既没有华丽的学历背景，也没有超一流的企业研发经验，更没有超高的智商，只是从一个普普通通的分析工程师角度和大家说说作为一个普通凡人如何去看待有限元分析学习的问题。

本人在网络上浸淫多年，有限元分析的学习也经历了整整10个年头，从一个无知小白到现在能够解决一些问题的工程人员，一路走来的心酸也是只有自己才知道。

回忆最初的起步，以及网络上看到很多新手学习的艰辛，想到写这样一篇文章，说说咱们这种普通人该如何去玩有限元分析。

我打算把文章分为理论学习篇、软件操作学习篇、实际应用学习篇和有限元分析行业市场分析篇四个部分，主要针对学习有限元分析5年以内的群体。

理论学习篇一说到有限元分析理论学习，我就觉得我上的那个是假大学，为啥随便来几个不是新手的人都是学过这么多课的，看过这么多书的，我上的大学不都是浪出来的么？我相信很多新手和我的感觉是一样一样的。

首先我以我目前的认知以及在网上很多人解答新手的问题来大致罗列下出镜率比较高的理论科目，并大致评估下学习需要的时间（假设我们从20岁开始为有限元分析打基础）。

大学本科四年掌握：高等数学、线性代数、材料力学、理论力学、概率统计，到这里24岁，这一阶段大多数的步调基本一致，接下来开始：1.弹性力学（1年）；2.数值方法（0.5年）；3.有限单元法（1年）；4.振动力学（1年）；5.损伤力学（1年）；6.张量分析（1年）；7.线性空间（1年）；8.软件应用（0.5年）。

把以上的内容相加，大概7年时间，WTF！这些学完已经30+了，这玩意我还是按照及其保守的时间，实际操作起来只会长不会短，有人说我可以一起学，有这种想法的人可以试试，或者去问问身边群里那些正在学习的人（这类人肯定不少，而且多数都是新手），听听他们学习之后的感受。

有限元方法讲义第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1）问题（1）的变分形式：求使满足（2）的性质，广义解的正则性结果。

区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。

剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。

的逼近性质，逆性质：这里，为的插值逼近。

问题（2）的有限元近似：求使满足（3）（3）的解唯一存在，且满足。

（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：（4）刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。

模误差分析：由（2）－（3）可得（5）由（5）可首先得到则得到（6）－模误差分析设满足用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到再利用模误差估计结果，得到（7）最优阶误差估计和超收敛估计概念。

当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得（8）利用（7），类似分析可得（9）2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题：（10）（10）的变分形式：求使满足（11）（11）的半离散有限元近似：求使满足（12）令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：（13）其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。

求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。

定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：（14）证明：在（12）中取得到整理为（注意是正定的）对此式积分，证毕。

误差分析。

引进解的椭圆投影逼近：满足（15）根据椭圆问题的有限元结果可知（16）分解误差：的估计由（16）式给出，只须估计。

由（11），（12）和（15）知，满足取，类似稳定性论证可得可取为的投影，插值逼近等。

由（17）式，三角不等式和（16），得到（18）3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间：。

引进差分算子：规定，当为连续函数时，，则有由此得到（19）（20）定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足（21）将代入（21）可导出全离散方程组（22）其中。

青岛大学讲稿讲 授 内 容备 注 第8讲(第11周)2. 应变矩阵确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。

作为平面问题，单元内具有3个应变分量εx 、εy 、γxy （各符号的意义见附录1），用矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x v y u y v x u xy y x γεεε将（2.1.4）式代入上式中，得到e m mjjiim j i m j ib c b c b c c c c b b b A δε⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=00000021 或eδB ε = (2-1-7)式中B 称为应变矩阵，写为分块形式，即B =[B i B j B m ] (2-1-8)而其子阵为),,( 0021m j i b c c b A i ii ii ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B (2-1-9)3节点三角形单元的B 是常量阵，所以称为常应变单元。

在应变梯度较大(也即应力梯度较大)的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。

上述应变中包括与应力有关的应变和与应力无关的应变两部分，无关的应变ε0又称为初应变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000xy y x γεεεε0由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起，对工程结构一般只考虑温度应变，无论线性和非线性温度，计算时可近似地采用平均温度33refT T T T T m j i -++=式中，T i 、T j 、T m 分别为节点i 、j 、m 的温度，T ref 为参考温度。

对于平面应力问题，温度T 引起的初始应变为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00TT ααε其中，α为线膨胀系数。

由于温度变化在各向同性介质中不引起剪切变形，所以γxy 0=0。

以后所述问题，除非特别说明，都指各向同性介质。

对平面应力问题，温度T 引起的初始应变为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=0)1(0TT ααμε 当不考虑温度的影响时，当前温度即为参考温度。

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