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有限元知识点汇总有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。
》基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。
3、单元、节点的概念？》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。
》节点：网格间相互连接的点称为节点。
4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。
5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。
》本课程讲授的：位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系}》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程}》弹性矩阵特点——{ }7、何为平面应力问题和平面应变问题？》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}第二章7、形函数的特点？》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。
有限元方法是一种用于计算复杂物理问题的数值分析方法。
它可以用来解决各种工程、物理和化学问题，如流体力学、固体力学、传热学和电场分析。
本文将介绍有限元方法的基本原理，并且通过几个例子来说明如何使用它来解决实际问题。
1. 什么是有限元方法？
有限元方法是一种数值分析技术，可以帮助我们快速准确地解决复杂的物理问题。
它将复杂的物理场中的所有量都表述为一些小而独立的“单元”（finite elements) ，然后对这些单元应用相应的数学表达式得到想要得到的信息。
例如：当我们想要解决一个固体力学问题时，我们可能会需要考虑不同部位上不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态。
有限元培训一、基础知识1、变形体材料力学对象：简单变形体特征：变形（小），简单形状的体变量：（1）材料物性描述（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（1）物理本构方程（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：简化求解方法结构力学对象：数量众多的简单变形体特征：变形（小），简单形状的体（数量多）变量：（1）材料物性描述（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（1）物理本构方程（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：简化求解方法弹性力学对象：任意变形体特征：变形（小），任意形状的体变量：（1）材料物性描述（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（针对微体dx dy dz）（1）物理本构方程（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：解析法，半解析法弹塑性力学对象：任意变形体特征：变形（屈服，非线性），任意形状的体变量：（1）材料物性描述（弹塑性）（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（针对微体dx dy dz）（1）物理本构方程（屈服，非线性）（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：解析法，半解析法2、弹性力学基础（1）变形体物体内任意两点之间可发生相对移动有限元处理对象：任意变形体变形体描述及所需变量在材料确定的情况下，基本的力学变量有：位移，应变，应力指标记法的约定自由指标：在每项中只有一个下标出现，如：ζij , i, j 为自由指标他们可以自由变化；在三维问题中，分别取为1,2,3；在直角坐标系中，可表示三个坐标轴。
哑指标：每项中有重复下标出现 如：a ij , x j ,=b i , j 为哑指标。
在三维问题中其变化为1,2,3。
Einstein 求和约定：哑指标意味着求和 对于方程组a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1 a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2 a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3按一般的写法可写为∑==31j ijij b xa i=1,2,3若用指标记法： i j ij b x a = j 为哑指标，意味着求和2、杆梁的有限元分析原理（1）一个杆的FEA 求解过程 梁的弹性模量和结构尺寸如下：E (1)=E (2)=2×107Pa A (1)=2A (2)=2cm 2 l (1)=l (2)=10cm具有两个节点的杆单元下面考察该问题的FEA 求解过程。
有限元方法讲义第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1）问题（1）的变分形式：求使满足（2）的性质，广义解的正则性结果。
区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。
剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。
的逼近性质，逆性质：这里，为的插值逼近。
问题（2）的有限元近似：求使满足（3）（3）的解唯一存在，且满足。
（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：（4）刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。
模误差分析：由（2）－（3）可得（5）由（5）可首先得到则得到（6）－模误差分析设满足用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到再利用模误差估计结果，得到（7）最优阶误差估计和超收敛估计概念。
当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得（8）利用（7），类似分析可得（9）2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题：（10）（10）的变分形式：求使满足（11）（11）的半离散有限元近似：求使满足（12）令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：（13）其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。
求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。
定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：（14）证明：在（12）中取得到整理为（注意是正定的）对此式积分，证毕。
误差分析。
引进解的椭圆投影逼近：满足（15）根据椭圆问题的有限元结果可知（16）分解误差：的估计由（16）式给出，只须估计。
由（11），（12）和（15）知，满足取，类似稳定性论证可得可取为的投影，插值逼近等。
由（17）式，三角不等式和（16），得到（18）3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间：。
引进差分算子：规定，当为连续函数时，，则有由此得到（19）（20）定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足（21）将代入（21）可导出全离散方程组（22）其中。
有限元复习要点有限元分析重点1.诉述有限元法的定义P1答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的基本思想是什么P3答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3.有限元法的分类和基本步骤有哪些P3答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
4.有限元法有哪些优缺点P4答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD 软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义P9答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml 的物理意义为单元第L 个节点位移分量等于1 ，其他节点位移分量等于0 时，对应的第m 个节点力分量。
7.有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），：整个结构的节点位移列阵，：结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。
8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。
9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。
有限元分析及其应用-2010；思考题：1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？答：基本思想：几何离散和分片插值。
基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。
离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。
当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。
2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。
3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件；2）构造其泛函形式；3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。
4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。
5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用节点载荷：作用于节点上的外载6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。
Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。
7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。
形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；单元内任一点的形函数之和恒等于1；形函数的值在0~1间变化。
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
CAE 入门资料目录目录 (i)第1 部CAE总体概貌 (1)1．应力分析和应力 (2)●应力是什么？ (2)●这些地方可用到应力分析！ (3)●变形不能忽视！ (3)●在此时要用应力分析！ (4)●灵活应用应力分析的例子！ (6)2 屈曲分析和屈曲载荷.屈曲模态 (8)●什么是屈曲？ (8)●柱的屈曲 (9)●压力和屈曲载荷的关系 (9)●屈曲模态 (10)●欧拉屈曲 (11)●平板的屈曲 (11)●这时要用到屈曲分析 (13)第2 部CAE基础 (15)1．CAE分析的目的及各种各样的结构模型 (16)1.1铁塔（组合框架结构的例子） (16)●观察位置和模型化 (17)●从远处眺望铁塔 (18)●稍微靠近点眺望铁塔 (19)●再走近一点眺望铁塔 (20)●再更近一点眺望铁塔 (21)1.2电车（板架结构的例子） (22)●考虑电车（板架结构）的模型化 (22)●遥远处眺望电车 (23)●从近处眺望电车 (24)●考虑载荷的模型化 (24)●再更近一点来观察电车 (26)1.3火箭（壳结构例子） (27)●火箭的模型化 (27)●从远处来眺望火箭 (27)●在近处眺望火箭 (29)●再近一点眺望火箭 (29)1.4活塞（实体形状的例子） (30)2．「弹簧模型」和有限元法 (33)●弹簧的行为和[弹簧模型] (33)●弹簧的自由度 (36)●约束决定问题 (40)●约束，就是消灭自由度 (41)●多个弹簧和[弹簧模型]的合成 (41)●弹簧和模型化的具体步骤 (42)●圆棒和[弹簧模型] (48)●变截面圆棒和[弹簧模型] (50)●变截面圆棒和有限元模型 (51)3．有限元法分析的实例 (56)●从身边的例子开始 (56)●分析目的要明确 (56)●结构A，根据约束条件来作模型化 (57)3.1［梁单元］和有限元模型 (58)●目的之1：［想知道构件的弯曲变形......］ (58)●由几何模型生成单元节点 (59)●单元类型和单元特性 (60)●梁单元的特点 (60)●单元特性和材料的特性为什么是必须的？ (61)●具体来算算梁单元的剖面特性 (62)●弹性材料的重要“E、V、G”三角关系！ (63)●约束条件和结构A的模型化 (64)●自由端的载荷模型化 (65)●执行分析 (66)●显示构件的变形 (66)●反力的应用 (68)3.2［2 维单元］和有限元模型 (69)●目的之2：［想知道构件的强度......］.. (69)●由3 维形状出发进行无板厚的模型化处理！ (70)●分析的目的就是求2 维应力状态！ (71)●设置板厚 (74)●结构A作为边界条件进行模型化处理 (75)●约束掉不起作用的自由度 (76)●把载荷分到多个节点上去 (77)●执行分析 (79)●用应力来评价强度 (80)●显示应力的功能 (82)3.3［3 维单元］和有限元模型 (83)●制作步骤 (84)●将构件照原样进行划分 (85)●［3 维单元］求3 维应力状态 (86)●没有必要设置单元特性 (86)●把结构A作为边界条件进行模型化处理 (87)●无用的自由度约束掉 (88)●载荷的模型化很简单 (89)●执行分析 (90)●那么，结果呢？ (91)4．屈曲分析和特征值分析 (93)●屈曲分析载荷设置是关键 (94)●特征值分析一定要有质量 (94)5．试试看分析一下 (96)5.1应力分析 (96)5.2屈曲分析 (97)5.3特征值分析 (98)第3 部应用篇CAE的应用 (100)1．结构模型和单元选择 (101)1．单元选择的方针 (101)2．梁单元和框架结构 (102)2.1 杆单元 (103)2.2 梁单元（框架） (103)2.3 杆单元.梁单元的剖面特性和单元坐标 (104)3．板单元 (105)3.1 板单元和单元坐标 (107)4．实体单元和三维结构 (108)4.1实体单元 (109)4.2板单元和实体单元的种类 (110)5．板单元、实体单元和轴对称结构 (111)6．1 阶单元和2 阶单元 (112)7．刚体（Rigid）单元 (113)8．质量单元 (114)9．良好的单元划分 (114)(1)单元划分的大小 (114)(2)二维单元 (115)(3)单元的分割类型 (116)(4)单元的长宽比（形状比） (116)(5)实体单元 (117)(6)其它单元划分形状上的注意事项 (117)10．材料物理特性的输入 (119)11．单元自动生成后的检查 (120)(1)重节点的合并 (120)(2)重新编号 (121)(3)单元的重复定义 (121)(4)扭曲单元的修改 (121)(5)单元正反面的调整 (122)12．单元和自由度 (122)13.约束条件 (124)13.1 约束给定的方法和分类 (124)14.输入载荷 (125)15.复合结构的例子（实体单元和梁单元、板单元的结合） (126)16.单元输出 (128)17.分析时必要的输入项目 (128)2．材料力学和有限元法 (129)2.1载荷与位移 (129)2.2载荷（load） (130)2.3应力(stress) (132)(1)应力的定义 (132)(2)应力的种类 (133)2.4应变(strain)和位移(displacement) (135)2.5应力和应变的关系 (136)2.6弹性模量 (138)2.7构件的种类 (140)2.8容许应力和安全系数 (140)(1)设计时应考虑的因素 (141)(2)为了产品不会损坏 (141)(3)基于容许应力和安全系数的设计方法 (142)(4)为使产品不会屈曲 (143)(5)为使产品不会疲劳破坏 (143)(6)为使产品不产生共振 (143)(7)为使产品变形而不造成坏影响 (143)2.9有限元法的理论 (144)(1)有限元法的理论 (144)(2)看不见的有限元的内容 (144)3．较专门的分析 (146)3.1局部分析和应力集中 (146)3.1.1分析的特征 (146)3.1.2局部分析的实行 (147)3.1.3 模型化 (149)3.1.4 输出和评价 (150)3.2具有对称性结构的分析 (150)3.2.1分析特征 (151)3.2.2 模型化 (151)3.2.3其它对称模型 (156)3.2.4输出和评价 (158)3.3大规模结构的分析 (158)3.4热应力分析 (159)3.4.1分析特征 (159)3.4.2分析的实行 (160)3.4.3 模型化 (161)3.4.4 输出和评价 (162)3.5振动响应分析 (163)3.5.1分析的特征 (163)3.5.2分析执行 (164)3.5.3 模型化 (165)3.5.4 输出和评价 (167)3.6大变形分析和屈曲 (167)(1)概要 (167)(2)执行 (168)(3)必须进行大变形分析的例子 (169)3.7接触和磨擦 (169)(1)概要 (169)(2)接触单元 (170)3.8弹塑性分析 (171)(2)执行 (172)3.9蠕变分析 (172)(1)概要 (172)(2)执行 (173)3.10超弹性分析 (173)(1)概要 (173)(2)执行 (174)3.11非线性分析的一般注意事项 (174)第一部CAE 总体概貌第1 部CAE 总体概貌第一部分是作为进入有限元法内容前的准备，讲述了在设计时 CAE 所处的地位，考虑的方法，在设计时怎样来利用 CAE，以及讲述了它的历史背景和有关的预备知识。
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