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有限元知识点汇总有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。
》基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。
3、单元、节点的概念？》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。
》节点：网格间相互连接的点称为节点。
4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。
5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。
》本课程讲授的：位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系}》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程}》弹性矩阵特点——{ }7、何为平面应力问题和平面应变问题？》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}第二章7、形函数的特点？》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。
有限元方法是一种用于计算复杂物理问题的数值分析方法。
它可以用来解决各种工程、物理和化学问题，如流体力学、固体力学、传热学和电场分析。
本文将介绍有限元方法的基本原理，并且通过几个例子来说明如何使用它来解决实际问题。
1. 什么是有限元方法？
有限元方法是一种数值分析技术，可以帮助我们快速准确地解决复杂的物理问题。
它将复杂的物理场中的所有量都表述为一些小而独立的“单元”（finite elements) ，然后对这些单元应用相应的数学表达式得到想要得到的信息。
例如：当我们想要解决一个固体力学问题时，我们可能会需要考虑不同部位上不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态。
有限元培训一、基础知识1、变形体材料力学对象：简单变形体特征：变形（小），简单形状的体变量：（1）材料物性描述（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（1）物理本构方程（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：简化求解方法结构力学对象：数量众多的简单变形体特征：变形（小），简单形状的体（数量多）变量：（1）材料物性描述（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（1）物理本构方程（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：简化求解方法弹性力学对象：任意变形体特征：变形（小），任意形状的体变量：（1）材料物性描述（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（针对微体dx dy dz）（1）物理本构方程（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：解析法，半解析法弹塑性力学对象：任意变形体特征：变形（屈服，非线性），任意形状的体变量：（1）材料物性描述（弹塑性）（2）变形方面描述（3）力的平衡描述方程：（针对微体dx dy dz）（1）物理本构方程（屈服，非线性）（2）几何变形方程（3）力的平衡方程三大变量﹤——﹥三大方程求解：解析法，半解析法2、弹性力学基础（1）变形体物体内任意两点之间可发生相对移动有限元处理对象：任意变形体变形体描述及所需变量在材料确定的情况下，基本的力学变量有：位移，应变，应力指标记法的约定自由指标：在每项中只有一个下标出现，如：ζij , i, j 为自由指标他们可以自由变化；在三维问题中，分别取为1,2,3；在直角坐标系中，可表示三个坐标轴。
哑指标：每项中有重复下标出现 如：a ij , x j ,=b i , j 为哑指标。
在三维问题中其变化为1,2,3。
Einstein 求和约定：哑指标意味着求和 对于方程组a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1 a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2 a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3按一般的写法可写为∑==31j ijij b xa i=1,2,3若用指标记法： i j ij b x a = j 为哑指标，意味着求和2、杆梁的有限元分析原理（1）一个杆的FEA 求解过程 梁的弹性模量和结构尺寸如下：E (1)=E (2)=2×107Pa A (1)=2A (2)=2cm 2 l (1)=l (2)=10cm具有两个节点的杆单元下面考察该问题的FEA 求解过程。
有限元方法讲义第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1）问题（1）的变分形式：求使满足（2）的性质，广义解的正则性结果。
区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。
剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。
的逼近性质，逆性质：这里，为的插值逼近。
问题（2）的有限元近似：求使满足（3）（3）的解唯一存在，且满足。
（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：（4）刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。
模误差分析：由（2）－（3）可得（5）由（5）可首先得到则得到（6）－模误差分析设满足用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到再利用模误差估计结果，得到（7）最优阶误差估计和超收敛估计概念。
当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得（8）利用（7），类似分析可得（9）2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题：（10）（10）的变分形式：求使满足（11）（11）的半离散有限元近似：求使满足（12）令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：（13）其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。
求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。
定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：（14）证明：在（12）中取得到整理为（注意是正定的）对此式积分，证毕。
误差分析。
引进解的椭圆投影逼近：满足（15）根据椭圆问题的有限元结果可知（16）分解误差：的估计由（16）式给出，只须估计。
由（11），（12）和（15）知，满足取，类似稳定性论证可得可取为的投影，插值逼近等。
由（17）式，三角不等式和（16），得到（18）3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间：。
引进差分算子：规定，当为连续函数时，，则有由此得到（19）（20）定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足（21）将代入（21）可导出全离散方程组（22）其中。
有限元复习要点有限元分析重点1.诉述有限元法的定义P1答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的基本思想是什么P3答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3.有限元法的分类和基本步骤有哪些P3答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
4.有限元法有哪些优缺点P4答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD 软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义P9答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml 的物理意义为单元第L 个节点位移分量等于1 ，其他节点位移分量等于0 时，对应的第m 个节点力分量。
7.有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），：整个结构的节点位移列阵，：结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。
8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。
9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。
有限元分析及其应用-2010；思考题：1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？答：基本思想：几何离散和分片插值。
基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。
离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。
当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。
2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。
3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件；2）构造其泛函形式；3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。
4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。
5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用节点载荷：作用于节点上的外载6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。
Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。
7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。
形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；单元内任一点的形函数之和恒等于1；形函数的值在0~1间变化。
