2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换夯基提能作业本文

第03节简单的三角恒等变换班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C2.【2018届浙江省台州市高三上期末】已知为锐角，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.3.【2017山东，文4】已知,则A. B. C. D.【答案】D【解析】由得,故选D.4.已知，则（）A． B． C． D．【答案】B5.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知，则=（ )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据差角公式将题中所给的式子拆开，化简得到，之后将其平方，求得，利用正弦的倍角公式求得结果.详解：因为，所以，将式子两边平方得，所以，故选B.6. 已知，且满足，则值（）A． B．－ C． D．【答案】C【解析】,整理可得,解得或．因为,所以．．故C正确．7．【2018河北内丘中学8月】若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，据此整理可得：，则：.本题选择C选项.8.【2018届四川省成都市第七中学高考模拟一】已知，则=（）A. B. C. D.【答案】B9.【2018届河北省石家庄二中三模】设，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即和化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确答案。

（2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过的变换化简，确定正确答案。

详解：方法一：即整理得，∴整理得方法二：，∴整理得故选B10.【2018届安徽省江南十校二模】为第三象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以，则．二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】12. 【2017课标II，文13】函数的最大值为 . 【答案】【解析】13.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知，，则__________．【答案】【解析】分析：由，，可得，利用二倍角公式化简，代入即可的结果.详解：因为，，所以，，故答案为.14．【2018届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）高三上学期9+1联考】设，，则__________；__________.【答案】【解析】∵，∴∵∴∴∴故答案为：，15．【2018届四省名校第三次大联考】已知，且满足，则_______．【答案】【解析】分析：由已知条件求得的值，再将所求的式子化简，将的值代入化简后的式子，求出值。

第四章 三角函数、解三角形
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 . sin α π ＝ tan α ( α ≠ ＋ k π ， k ∈ Z ) 2 (2)商数关系： cos α
解析 答案
1 (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝ － . 5 ①求sin x－cos x的值；
解答
sin 2x＋2sin2x ②求 的值. 1－tan x
解
sin 2x＋2sin2x 2sin xcos x＋sin x ＝ sin x 1－tan x 1－cos x
2sin xcos xcos x＋sin x ＝ cos x－sin x
√
2 D.3
解析
答案
(2)(2017· 西安模拟 ) 已知函数 f(x) ＝ asin(πx ＋ α) ＋ bcos(πx ＋ β) ，且 f(4) ＝ 3 ， 则f(2 017)的值为 A.－1 B.1 C.3
√
D.－3
解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3， ∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asin α－bcos β ＝－3.
解答
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条
件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.

2019-2020年高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换讲【考纲解读】【知识清单】1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 对点练习：【xx 广西南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于( ) A. 7 B. C. 1 D. 0 【答案】A本题选择A 选项.2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2对点练习：【xx 浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x – sin x cos x （x R ）． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为． 【解析】（Ⅱ）由与得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f所以的最小正周期是 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ所以的单调递增区间是．【考点深度剖析】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【xx 江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D.【1-2】【xx 河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________． 【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以 ，且，C 点坐标为 .【1-3】已知：，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则=_______. 【答案】 【解析】334,,cos sin 444545ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=∴-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,()3541233cos cos 4451351365ππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+--=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．【触类旁通】【变式一】已知均为锐角，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值．∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- ==． 【变式二】已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间； （Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1， 由周期,22163221ωπππππ==∴=-=T ，T . 当时，，可得 ， 因为，所以．. 由图象可得的单调减区间为.考点2 二倍角公式的运用公式的应用【 2-1】【xx 浙江ZDB 联盟一模】已知， ，则__________， __________． 【答案】【解析】因为， ，所以cos tanαα===因为，所以，因此3== . 【2-2】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为 ． 【答案】【2-3】已知，且，则的值为__________. 【答案】【解析】因为，所以，，sin cos 0422x x x π⎛⎫-=-<⎪⎝⎭，又因为22116sin (1sin 2)4225x x x x π⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以.【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【触类旁通】 【变式一】已知， （1）求的值； （2）求的值．【变式二】已知2cos 2sin (2sin 1)5ααα+-=，，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】由二倍角公式得52s i n s i n 22c o s 2=-+ααα，整理得52s i n s i n 2s i n 2122=-+-ααα，因此，由于，，，4tan tan 14tantan 4tan παπαπα-+=⎪⎭⎫⎝⎛+，故答案为A ．考点3 三角恒等式的证明 【3-1】求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.【解析】∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．∴原式成立．【3-2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos (α＋β).【3-3】已知，，且，. 证明：.【解析】，即)2sin()sin(3βααβα+=-+，αβααβααβααβαsin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(3+++=+++， αβααβαsin )cos(4cos )sin(2+=+，， 又，212tan 1tan 2tan 2=-=ααα， ，，， .【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】【变式一】求证：ααπαcos 1)24tan(1tan =++. 【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++故原式得证．【变式二】已知，证明：)2sin 1lg()]4cos(2lg()2sin 21tan lg(cos 2x x x x x +=-+-+π. 【解析】左边)]4cos(2lg[)2sin 21cos sin lg(cos 2π-+-=⋅=x x x x x )4sin sin 24cos cos 2lg()cos lg(sin ππx x x x +++=右边. 故原命题成立.考点4三角函数的综合应用【4-1】【xx 湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是________． 【答案】[，2]【4-2】【xx浙江温州二模】已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）∴函数的最小正周期是（2）∴，，∴，又.∴ ∴，∴.【4-3】【xx江苏海安上学期第一次测试】已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【答案】(1) ;(2) 当时，取到最大值3；当时，取到最小值..【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：解：（1）因为，，，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.【领悟技法】 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【触类旁通】【变式一】【xx 浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数()2sin(0,0)2f x πωϕ=><<的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y 轴交于点,与x 轴交于点B,C, 且的面积为．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若,求的值.【答案】( Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：试题解析：( Ⅰ)因为, 所以周期，，由,得,因为,所以,所以； (Ⅱ)由,得,所以.【易错试题常警惕】 易错典例：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4