第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计

第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计工程力学学习指导第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1 学习要求与学习目标1. 知道并且能够记住杆件拉伸或压缩时：1) 横截面上的轴力与轴力图；2) 横截面上的正应力；3) 斜截面上的应力；4) 伸长与缩短变形。

2. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件横截面上正应力的计算公式。

3. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件的变形计算公式。

4. 正确理解并掌握拉伸和压缩时，杆件的强度设计准则，正确应用强度设计准则解决三类强度设计问题。

5. 正确理解拉伸与压缩超静定问题的概念，会应用平衡、变形协调和物性关系求解简单的超静定问题。

6.2理 论 要 点6.2.1拉伸与压缩杆件的应力与变形1. 应力计算当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量——轴力F N。

与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。

在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力为均匀分布，如图6-3所示。

这时横截面上的正应力为AF N =σ 式中，F N 为横截面上的轴力，由截面法求得；A 为横截面面积。

2. 变形计算(1) 绝对变形 弹性模量设一长度为l 、横截面面积为A 的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为l 十Δl ，其中Δl 为杆的伸长量(图6-1a)。

试验结果表明：如果所施加的载荷使杆件的变形处于弹性范围内，杆的伸长量Δl 与杆所承受的轴向载荷成正比，如图6-1b 所示。

写成关系式为EAl F l N Δ±= 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。

其中，F N 为杆横截面上的轴力，当杆件只在两端承受轴向载荷F P 作用时，F N ＝F P ；E 为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA 称为杆件的拉伸（或压缩）刚度;式中“＋”号表示伸长变形；“-”号表示缩短变形。

当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)，即()∑=i ii i EA l F l N Δ (2) 相对变形 正应变对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 Δl/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，即El EA lF l l x x σε==N Δ＝ 需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。

对于各处变形不均匀的情形，则必须考察杆件上沿轴向的微段d x 的变形，并以微段d x 的相对变形作为杆件局部的变形程度。

这时图6-1 轴向载荷作用下杆件的变形()E x EA F x x σε==xd xd x d x d ΔN ＝6.2.2拉伸与压缩杆件的强度设计1. 强度设计准则、安全因数与许用应力所谓强度设计(strength design)是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。

对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足[]σσ≤max这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度设计准则，又称为强度条件。

其中[]σ称为许用应力，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定[]n 0σσ＝式中，0σ为材料的极限应力或危险应力，由材料的拉伸试验确定；n 为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。

2. 三类强度计算问题应用强度设计准则，可以解决三类强度问题：1) 强度校核：已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力，校核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证设计准则是否满足。

如果满足，则杆件或结构的强度是安全的；否则，是不安全的。

2) 尺寸设计：已知杆件的受力大小以及许用应力，根据设计准则，计算所需要的杆件横截面面积，进而设计处出合理的横截面尺寸。

根据强度设计准则[][][]σσσσN N max F A AF ≥⇒≤⇒≤ 式中F N 和A 分别为产生最大正应力的横截面上的轴力和面积。

3) 确定杆件或结构所能承受的许用载荷(allowable load)：根据设计准则，确定杆件或结构所能承受的最大轴力，进而求得所能承受的外加载荷。

[][][][]P N N max F A F AF ⇒≤⇒≤⇒≤σσσσ 式中，[]P F 为许用载荷。

图6－2 拉伸与压缩正应力公式的适用性6.2.3拉伸和压缩超静定问题简述前面几节讨论的问题中，作用在杆件上的外力或杆件横截面上的内力，都能够由静力平衡方程直接确定，这类问题称为静定问题。

工程实际中，为了提高结构的强度、刚度，或者为了满足构造及其他工程技术要求，常常在静定结构中再附加某些约束（包括添加杆件）。

这时，由于未知力的个数多于所能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡方程式无法确定全部未知力。

这类问题称为超静定问题。

未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为超静定次数。

在静定结构上附加的约束称为多余约束，这种“多余”只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构的强度、刚度则是需要的。

关于静定与超静定问题的概念，本书在第3章中曾经作过简单介绍。

但是，由于那时所涉及是刚体模型，所以无法求解超静定问题。

现在，研究了拉伸和压缩杆件的受力与变形后，通过变形体模型，就可以求解超静定问题。

多余约束使结构由静定变为超静定，问题由静力平衡可解变为静力平衡不可解，这只是问题的一方面。

问题的另一方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求解超静定问题提供了补充条件。

因此，求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的关系称为变形协调关系或变形协调条件，进而根据弹性范围内的力和变形之间关系（胡克定律），即物理条件，建立补充方程。

总之，求解超静定问题需要综合考察平衡、变形和物理三方面，这是分析超静定问题的基本方法。

现举例说明求解超静定问题的一般过程以及超静定结构的特性。

6.3 学 习 建 议1. 关于应力和变形公式的应用条件本章得到了承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力公式与变形公式，即EA l F l A F xxx N N Δ＝＝σ 其中，正应力公式只有杆件沿轴向方向均匀变形时，才是适用的。

怎样从受力或内力判断杆件沿轴向方向的变形是均匀的呢？这一问题请读者对图6-2中所示之两杆加以比较、分析和总结。

图6-2a 中所示之直杆，载荷作用线沿着杆件的轴线方向，所有横截面上的轴力作用线都通过横截面的中心。

因此，这一杆件的所有横截面上的应力都是均匀分布的，这表明：正应力公式A F x N ＝σ对所有横截面都是适用的。

图6-2b 中所示之直杆则不然。

这种情形下，对于某些横截面上轴力的作用线通过横截面中心；而另外的一些横截面，当将外力向截面中心简化时，不仅得到一个轴力，而且还要一个弯矩。

请读者想一想，这些横截面将会发生什么变形？哪些横截面上的正应力可以应用AF x N ＝σ计算？哪些横截面则不能应用上述公式。

对于变形公式EAl F l x N Δ＝，应用时有两点必须注意：一是因为导出这一公式时应用了胡克定律，因此，只有杆件在弹性范围内加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形；二是公式中的F N x 为一段杆件内的轴力，只有当杆件仅在两端受力时F N x 才等于外力F P 。

当杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，再分段计算变形然后按代数值相加。

读者还可以思考：为什么变形公式只适用于弹性范围，而正应力公式就没有弹性范围的限制呢？2. 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力考察一橡胶拉杆模型，其表面画有一正置小方格和一斜置小方格，分别如图6-3a 和b 所示。

受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置小方格变成了菱形，直角发生变化。

这种现象表明，在拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的切应力有关。

为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿斜截面方向将杆截开(图6-4a)，斜截面法线与杆轴线的夹角设为θ。

考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总内力为F R ＝F P ，如图6-4b 所示。

力F R 对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： F N 和F Q (图6-4c)：图6－3 拉杆中的剪切变形图6－4 拉杆斜截面上的应力θθsin cos P Q P N F F F F ==F N 和F Q 分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成(图6-4d)。

在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面上的正应力和切应力都是均匀分布的。

于是斜截面上正应力和切应力分别为()θσθτθσθσθθ2sin 21sin cos cos θP θQ 2θP θN x x A F A F A F A F ==＝＝＝＝其中， x σ为杆横截面上的正应力；A θ 为斜截面面积θθcos AA ＝上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有切应力。

而且，对于不同倾角的斜截面，其上的正应力和切应力各不相同。

在θ＝0的截面（即横截面）上，θσ取最大值，即AF x P max ==σσθ 在θ＝45°的斜截面上，θτ取最大值，即AF x 22P 45max ===σττθD 在这一斜截面上，除切应力外，还存在正应力，其值为AF x 22P 45==σσD 应用上述结果，可以对两种强度失效的原因作简单的解释：1) 低碳钢试样拉伸至屈服时，如果试样表面具有足够的光洁度，将会在试样表面出现与轴线夹角为45º的花纹，称为滑移线。

通过拉、压杆件斜截面上的应力分析，在与轴线夹角为45º的斜截面上切应力取最大值。

因此，可以认为，这种材料的屈服是由于切应力最大的斜截面相互错动产生滑移，导致应力虽然不增加、但应变继续增加。

2) 灰铸铁拉伸时，最后将沿横截面断开，显然由于拉应力拉断的。

但是，灰铸铁压缩至破坏时，却是沿着约55º的斜截面错动破坏的，而且断口处有明显的由于相互错动引起的痕迹。

这显然不是由于正应力所致，而是与切应力有关。

6.4 例 题 示 范1.应力和变形计算【例题6-1】—桁架的受力及各部分尺寸如图6-5a 所示，若F P ＝25 kN ，各杆的横截面积均为A =250 mm 2 。

求：AB 杆横截面上的应力． 解：为求AB 杆的应力，必须先根据约束的性质分析约束力，然后考察整体桁架平衡，求得A 处的约束力，然后再用节点法或截面法求得AB 杆的轴向力。