定解条件和定解问题
含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。
一、定解条件
给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
定解条件：初始条件和边界条件的统称。
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 ( 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>)
初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。若以()x ?， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：
边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。
（1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为：
(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =
当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。
（2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为：
0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =
当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。
（3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：
000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>
或
(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>，
(,0)(),0(,0)(),
t u x x x l u x x ?ψ=?<
其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数，当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。
2、热传导方程（2(x,t),x ,)n t u a u f t o -=∈Ω?>V R
初始条件是指初始时刻物体的温度分布情况。
式中φ( x , y , z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种。
（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知
式中，p 为边界面上的点。 （2）第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知。 （3）第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间流过单位面积上的热量。
(,,,0)(,,)
T x y z x y z ?=0(,)S T
p t ?==, (,)n S
T T q K const f p t n n ??=-==??0() ()
n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)S
T T K T T hT f p t n n α????-=-+= ?????
3、位势方程（泊松方程或拉普拉斯方程）
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条件不含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
第二边值问题，牛曼问题
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
二、 定解问题
()
S f p ?=()
S f p n ?
?=?()S
h f p n ???+=?
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。对于定解问题，通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：
①偏微分方程（泛定方程）+初始条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；
②偏微分方程（泛定方程）+初始条件，称为初值问题或柯西问题；
③偏微分方程（泛定方程）边界条件，称为边值问题。
在一个偏微分方程的定解问题中，把不含未知函数及其偏导数的项，称为自由项。如果方程中的自由项为零，则称方程为齐次方程，否则就称为非齐次方程。如果边界条件中的自由项为零，则称边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。例如，对于弦振动方程，当外力等于零时，方程就变为齐次方程，此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时，边界条件就是齐次边界条件。
三、 例题
1、长为l 的弦，两端固定于0和l 。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
l
x
l/2
解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
初始位移
2、长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。试写出杆振动的定解问题。
四、 总结
00==(,)
t t u x t 02 0222=?∈??=??-∈??[,](,)()[,]t h l x x l u x t h l l x x l l 222220,(0,),0(,0)0,(,0),(0,)(0,)(,)0,
0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ???=∈>?????==∈??==≥?王晶（1307021066）
物理学术班
定解条件和定解问题 含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。 一、定解条件 给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。 定解条件：初始条件和边界条件的统称。 非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。 1、弦振动方程 ( 2 (,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) | 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。若以()x ?， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件 为： 边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。 （1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为： (0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t = 当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。 （2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为： 0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t = 当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。 ( （3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界 条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和： 000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=> 或 (,0)(), 0(,0)(), t u x x x l u x x ?ψ=?<
3.5 力的分解 1 教材及学情分析 力学是整个高中阶段物理教学的重点之一，学好力学知识不仅是解决有关力问题的根本，而且是进一步学习其它物理知识的基础，而在力学中，力的分解又是分析解决力问题的基本方法。如何学好力的分解知识，正确掌握力的分解方法，对于刚进入高一的绝大部分学生都是有一定困难的。困难的原因：一是不知一个力如何进行分解；二是不清楚分解后的分力与合力究竟是什么关系。因此，教师在教学中要处理好这两个问题，引导学生从一开始就正确掌握力的分解方法。 2 设计思想 (1)渗透物理学中的等效替代思想和研究方法的教育。学生通过力的合成的学习，已基本明确了力的特征和力矢量的平行四边形定则，知道合力与分力的概念、等效与替代的思想。比较容易接受力的分解的含义和遵循的规律，但对力按效果分解的方法较难理解。这节课在设计中增加了多处学生参与的活动，通过亲身感受力的作用效果，增进学生对力按效果分解方法的理解，激发学生的学习兴趣，培养学生动手操作和分析实际问题的能力、归纳问题的能力。 (2)体现“从生活走向物理，从物理走向社会”的理念。充分发挥多媒体的作用，通过展示、分析日常生活中应用力的分解的现象，让学生获得丰富的感性认识，激起学生的认知冲突，让学生感受物理与日常生活的密切联系，从而培养学生观察生活现象的习惯，用物理语言解释生活现象，提高学生提出问题、解决实际问题的能力。 3 教学目标 知识与技能 (1)理解力的分解概念和遵循的规律，知道力的分解是力的合成的逆运算。 (2)初步掌握由力的作用效果确定力的方法，运用力的分解知识解决实际问题。 过程与方法 (1)学习物理学的研究方法，领略等效替代的思想。 (2)参与探究实验，尝试用所学知识解决实际问题，培养学生的分析综合能力。 情感态度与价值观 (1)经历合作探究过程，领略科学探究中“等效替代”的思想，发展对科学的好奇心与求知欲。 (2)关注物理与生活相互联系，感受理论与实践的关系及物理世界的和谐联系。 4 教学重点 力的平行四边形定则的应用，按效果进行力的分解。 5 教学难点 力作用效果的确定，力的分解。 6 教学过程 1.创设情境，引入新课 这里有一个钩码，可用一根细线提起，可用两根细线提起，哪种情况细线容易被拉断。演示用一根细线提起来，再将此细线穿过钩码，两端上提分开，细线断了。以此激活课堂。 2.力的分解概念 学习力的分解，自然会感觉到分解和合成有什么联系？力的合成是几个力的效果用一个力代替，一个力也可以用几个力代替作用效果。
力的分解基本知识点与练习题 基本知识点 一、分力的概念 1、几个力，如果它们共同产生的效果跟作用在物体上的一个力产生的效果相同，则这几个力就叫做 那个力的分力(那个力就叫做这几个力的合力)。 2、分力与合力是等效替代关系，其相同之处是作用效果相同；不同之处是不能同时出现，在受力分 析或有关力的计算中不能重复考虑。 二、力的分解 1、力的分解的概念：求一个已知力的分力叫做力的分解。 2、力的分解是力的合成的逆运算。同样遵守力的平行四边形定则：如果把已知力F作为平行四边形的 对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2。 3、力的分解的特点是：同一个力，若没有其他限制，可以分解为无数对大小、方向不同的力(因为对于 同一条对角线．可以作出无数个不同的平行四边形)，通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。 4、按力的效果分解力F的一般方法步骤： (1)根据物体(或结点)所处的状态分析力的作用效果 (2)根据力的作用效果，确定两个实际分力的方向； (3)根据两个分力的方向画出平行四边形； (4)根据平行四边形定则，利用学过的几何知识求两个分力的大小。也可根据数学知识用计算法。 三、对一个已知力进行分解的几种常见的情况和力的分解的定解问题 将一个力F分解为两个分力，根据力的平行四边形法则，是以这个力F为平行四边形的一条对角线作一个平行四边形。在无附加条件限制时可作无数个不同的平行四边形。这说明两个力的合力可唯一确定，一个力的两个分力不是唯一的。要确定一个力的两个分力，一定有定解条件。 假设合力F一定 1、当俩个分力F1已知，求另一个分力F2，如图F2有唯一解。 2、当俩个分力F 1, F2的方向已知，求这俩个力，如图F1，F2 有唯一解 3、当俩个分力F1, F2的大小已知，求解这俩个力。
微分方程解的概念和定解条件
(), y x I n ?=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，() ()(,,,,)0n x F x y y y I ?'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ???， () (,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，
这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解. 6. y x ''=二阶微分方程例13 1y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？ 312y x C C =++那是不（2）是通解呢？ 312y x C C =++3123y x C x C =++（）312. x C C C C =+=+，其中是方程的通解.
微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解. 2. yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得 2 y x C =+同时不定积分得 ，是原方程的通解. 2y x '=， 0y =但显然 也是原方程的解.
确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件. 不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3(). s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知 2 02(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且
2121()2 s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入： 2(0)00 s C =?=1010()(0). s t at C s v C v ''=+=?= ，201().2 s t at v t =+故特解为
00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条
波动方程的边界条件:
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ
非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…
1、将力F 分解成F 1、F 2两个分力，如果已知F 1的大小和F 2与F 之间的夹角α，α为锐角，如图1所示，则( BCD ) A ．当F 1>F sin α时 ，一定有两解 B ．当F>F 1>F sin α时，有两解 C ．当F 1＝F sin α时，有惟一解 D ．当F 1
定解条件与定解问题 含有未知函数得偏导数得方程叫偏微分方程,常微分方程可以瞧成就是特殊得偏微分方程。方程得分数就是1得称为方程式,个数多于1得叫做方程组。方程（组)中出现得未知函数得最高阶偏导数得阶数称为方程(组)得阶数。如果方程(组)中得项关于未知函数及其各阶偏导数得整体来讲就是线性得，就称方程(组)为线性得,否则就称为非线性得。非线性又分为半线性、拟线性与完全非线性。 一、定解条件 给定一个常微分方程,有通解与特解得概念。通解只要求满足方程,即满足某种物理定律,而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定得外加(特殊)条件。对偏微分方程也就是如此,换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间与时间得变化规律,因为在特定情况下这个物理量还与它得初始状态与它在边界受到得约束有关。描述初始时刻得物理状态与边界得约束情况,在数学上分别称为初始条件(或初值条件)与边界条件(或边值条件)，她们统称为定解条件。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态得条件,即描述物理过程初始状态得数学条件。 边界条件:能够用来说明某一具体物理现象边界上得约束情况得条件,即描述物理过程边界状态得数学条件。 定解条件:初始条件与边界条件得统称。 非稳态问题:定解条件包括初始条件与边界条件。
稳态问题:定解条件为边界条件。 1、弦振动方程 ( ) 初始条件就是指初始时刻(）弦得位移与速度。若以, 分别表示弦上任意点得初始位移与初始速度，则初始条件为： 边界条件就是指弦在两端点得约束情况,一般有三种类型。(1)第一类边界条件(狄利克雷(Dirichlet)边界条件）:已知端点处弦得位移就是,则边界条件为: 或 当时,表示在该点处弦就是固定得。 (2)第二类边界条件(诺伊曼(Nｅuｍann)边界条件):已知端点弦所受得垂直于弦线得外力或,则边界条件为: 或 当,表示弦在端点处自由滑动。 (3）第三类边界条件(混合边界条件或罗宾（Ｒｏbiｎ)边界条件:已知端点处弦得位移与所受得垂直于弦线得外力得与: 或 , 其中表示两端支承得弹性系数,当时,表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。 2、热传导方程(
力的分解典型例题五种解法 力的分解的解题思路: 力的分解问题的关键是根据力的作用效果,画出力的平行四边形,接着就转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题,因此其解题基本可表示为思路 例题: 如图所示,物体的重力G=100N,试求绳AB,BC 所受力的大小. C G=100N （ 如图一 ） C G=100N （图二） 方法1: 力的分解 （ 如图一 ） F AB =F 2=G/tg53。=100N ×3/4 = 75N F BC =F 1=G/sin53。= 100N × 5/4 = 125N 方法二: 力的合成 （三个力作用下物体处于平衡状态如图二） F BC =F 1=G/ sin 53。= 100N × 5/4=125N F AB =F 合=G/tg53。 = 100N × 3/4=75N
方法三: 力的合成 （如图三） G=100N （图三） C G=100N （图四） C 轴 G=100N 演变：如果绳子AB,BC 承受的最大拉力一样，在不断增加重物的质量的情 况下，哪一根绳子先断。 F 合=G=100N F BC = F 合/ sin 53。= 100N × 5/4 = 125N F AB =F 合/tg53。= 100N × 3/4 = 75N 方法四: 力的合成（如图四） F 合 = F BC （平衡力） F AB = G/tg53。= 100N × 3/4 = 75N F BC = F 合=G/ sin 53。= 100N × 5/4 = 125N 方法5: 力的合成（如图五） 以B 点为坐标原点建立直角坐标系。 由于F BC 不在坐标轴把它分解到X 轴和Y 轴分别是 F BCX ， F BCY 在X 轴F BCX = F AB 在Y 轴 F BCY= G=100N F BC = F BCY / sin 53。= 100N × 5/4 = 125N F AB = F BCX /tg53。= 100N × 3/4 = 75N
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 1．已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中正确的是() A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的 B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的 C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的 D．此合力有可能分解成两个与合力等大的分力 解析：已知两个分力的方向，或一个分力的大小和方向．根据平行四边形定则，只能画一个平行四边形，分解是唯一的，故A、B正确；如果将合力分解时两个分力夹角120°且合力在其角平分线上，则两个分力与合力等大，故D正确；若已知一个分力F1的大小和另一个分力F2的方向，设F2与F夹角为θ，若F1 定解问题 例 .1 长为l 的弦在0x =端固定，另一端x l =自由，且在初始时刻0t =时处于水平状态，初始速度为()x l x -，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解】 （1）确定泛定方程：取弦的水平位置为x 轴，0x =为原点，因为弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程 20tt xx u a u -= (2)确定边界条件： 对于弦的固定端，显然有(0,)0u t =，而另一端自由，意味着其张 力为零．故由式（9.1.39），则0 x l u x =?=?. (3)确定初始条件：根据题意，当0t =时，弦处于水平状态，即初始位移为零亦即 (,0)0u x =，初始速度 0 |() t u x l x t =?=-? 综上讨论，故定解问题为 20 (0,0) (0,)0,|0 (0) (,0)0,(,0)() (0) tt xx x x l t u a u x l t u t u t u x u x x l x x l =?-=<<>? ==≥??==-≤≤? 解题说明：若题中只要求写出定解问题，可根据已经学习的数学物理模型直接写出定解问题. 但若题要求推导某定解问题，则必须详细写出泛定方程和定解条件的推导过程. 例.2 设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v ，然近端短路，试写出其定解问题. 【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型. 20xx a -=tt v v （2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==， 根据(9.1.13)公式得到 0i L Ri x t ??++=??v 且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L x t ??=-??v ，代入条件|0x l i ==有 (,) ||0 x x l x l i i l t L L t t ==??=-=-=??v 而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0 |(0,)0x t ===v v （3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件0(,0)x =v v ，且此时 的电流 0|0t i ==，根据(9.1.14)公式， 0i C G x t ??++=??v v 且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i t C x ??=-? ??v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==???=-?=-?=???v 综上所述，故其定解问题为 力的分解练习题及答案详解 1．已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中正确的是( ) A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的 B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的 C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的 D．此合力有可能分解成两个与合力等大的分力 2.如右图所示，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，若将它们平移并首尾相接，三个力矢量组成了一个封闭三角形，则物体所受这三个力的合力大小为( ) （ A．2F1B．F2 C．2F3D．0 3.如右图所示，光滑斜面上的物体的重力分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是( ) A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力 B．物体受到重力mg、F N、F1、F2四个力的作用 C．物体只受到重力mg和斜面支持力F N的作用 D．F N、F1、F2三个力的作用效果与mg、F N两个力的作用效果相同 } 4．已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为 3 3 F，方向 未知．则F1的大小可能是( ) F F F F 5．如下图所示，两个完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上，下列关于小球受力的说法，正确的是( ) A．小球的重力在乙种情况下不产生对斜面的作用效果 B．小球均受重力、压紧斜面的力、压紧挡板的力和斜面弹力、挡板弹力 C．小球受到挡板的作用力的大小、方向均相同 % D．撤去挡板，小球所受合力方向将沿斜面向下 6．如右图所示，挑水时，水桶上绳子的状况分别为a、b、c三种，则绳子在哪种情况下更容易断( ) A．a B．b C．c D．以上说法都不对 7．已知两个分力的大小为F1、F2，它们的合力大小为F，下列说法中不正确的是( ) 12.4 边界条件与初始条件初始条件研究质点的性质时嬬单由微分方程嬬并不能求出质点性质随时间的变化孼即任何时刻质点的性质嬮例如嬬根据孎孥孷孴孯孮定律并不能确定质点的运动孼它在任意时刻的位置和速度嬬我们还需要知道质点的初始位置和初始速度嬮对于描述介质运动的偏微分方程嬬同样需要给出介质的初始状态嬬才能决定介质以后任意时刻的物理状态嬮介质的初始状态即由初始条件给出嬮对于波动方程嬬它是关于时间的二阶偏微分方程嬬所以应该给出介质初始时刻各点的位移 u|t=0 嬽φ嬨x, y, z 嬩和初始时刻各点的速度嬬即对时间的一阶偏导数?u ?t 嬽ψ 嬨x, y, z 嬩 t=0 对于热传导方程嬬由于方程中只出现对 t 的一阶偏导数嬬所以初始条件只需给出初始时刻各点温度 u嬨x, y, z 嬩的值 u|t=0 嬽φ嬨x, y, z 嬩稳定问题与时间无关嬬则没有初始条件嬮边界条件对于介质嬬情况比质点还要复杂嬺除了初始条件嬬还需要有边界条件嬮这是因为介质有内部和表面嬮在推导介质满足的数理方程时嬬只考虑了介质内部的点嬮介质表面的点与介质内部的点不同嬺首先嬬它只在一侧与介质内其它点相互作用嬻其次嬬在另一侧与外界有相互作用嬮因此介质表面所满足的方程与介质内部所满足的方程不同嬬应另外推导嬮我们把介质表面各点满足的方程称为边界条 件嬮先以一维振动为例嬬其边界由两端点组成嬮 Example 12.4 Solution 弦的横振动如果弦的两端嬨由外界嬩固定嬬那么边界条件就是 u|x=0 嬽嬰 u|x=l 嬽嬰Example 12.5 Solution 杆的纵振动如果 x 嬽嬰端固定嬬而另一端 x 嬽 l 受嬨x 方向的嬩外力作用嬬设单位面积上的力是 F 嬨t嬩 P 嬨l ? 孤x嬩S O l ? 孤x u|x=0 嬽嬰 l F 嬨t嬩S x 嬽嬰端边界条件仍是嬨嬱嬳嬩 x 嬽 l 这一端的边界条件并不能直接看出嬮模仿推导方程的方法嬬在端点 x 嬽 l 处截取一小段杆嬬长度为孤x嬮根据孎孥孷孴孯孮定律?2u ?2u F 嬨t嬩S ? P 嬨l ? 孤x, t嬩S 嬽孤m 2 嬽ρS 孤x 2 ?t ?t 因为孤x → 嬰 F 嬨t嬩嬽 P 嬨l, t嬩嬶 根据孈孯孯孫孥定律 P 嬽E 所以?u ?x 如果 x 嬽 l 端是自由的嬬 F 嬨t嬩嬽嬰嬬则?u ?x 如果外力为弹簧提供的弹性力嬬 F 嬨t嬩嬽?k 孛u嬨l, t嬩? u0 孝u0 为端点的平衡位移嬬则?u k 嬫u ?x E 再举一个三维例子嬬其边界为一闭合曲面嬮 Example 12.6 Solution 热传导问题嬽x=l ?u ?x 嬱 F 嬨t嬩 E 嬨嬱嬴嬩嬽 x=l 嬽嬰 x=l 嬨嬱嬵嬩 k u0 E 嬨嬱嬶嬩第一种类型是边界上各点的温度已知嬨由外界给定嬩u|Σ 嬽φ嬨嬆, t嬩嬨嬱嬷嬩这里嬬我们用嬆表示边界上的各点嬬同时也表示相应点的坐标嬮第二种类型是介质与外界通过表面嬨边界嬩有热量的交换嬬单位时间内嬬通过单位面积的边界面流入的热量已知嬬为ψ 嬨嬆, t嬩嬬由外界给定?qn |Σ 嬽ψ 嬨嬆, t嬩 n 为表面的法向嬬负号表示方向与法向相反嬮qn Σ? n ?qn Σ 嬆?嬆这时嬬我们可在边界嬆的内侧截取一小薄层的介质嬬它的另一个底面在介质内部嬬其上的点用嬆?表示嬮当介质薄层的厚度d → 嬰时嬬则两底面的面积相等嬬而侧面面积可忽略嬮所以流入介质薄层的热量为两底面流入热量之和嬮根据能量守恒定律嬬应该等于这一块介质薄层温度升高所需要的热量嬮假设薄层的底面积为单位面积qn |Σ? ? qn |Σ 嬽热容量 ×温度升高但介质薄层的厚度→ 嬰时嬬显然其热容量→ 嬰嬬所以qn |Σ? ? qn |Σ 嬽嬰嬷 即通过介质表面流入的热量嬬应当全部通过薄层的另一底面流向介质内部嬮由孆孯孵孲孩孥孲定律嬬热流密度矢量 q 嬽?k ? u 而 qn 嬽 q · n 嬽?k n ·嬨?u 嬩嬽?k 其中法向导数定义为? ≡n·? ?n 所以?k ?k 嬆?→ 嬆嬬故?u ?n 如果边界 本讲教育信息】 一. 教学内容： 力的分解问题探究 二. 学习目标： 1、熟练掌握在力的分解问题中有确定解的几种情况的讨论。 2、掌握在不同的物理情景中求分力的常规方法和思路。 3、重点掌握力的分解问题的典型问题的处理方法。 高考地位： 力的分解问题是本部分内容的重点和难点，力的分解问题和力的合成一样，是高中力学内容的基础，是解决高中力学问题的重要工具，在出题形式上，力的分解问题常与日常生活实际紧密结合，突出了对于实际物理问题的模型抽象能力，如2002年上海春季高考第36题，把力的分解问题与桥梁的受力特点相结合，同时在高考的出题方向上也体现了运用数学知识分析物理问题的能力，主要是考查平行四边形及三角形定则在力的分解问题中的数学应用，如2005年辽宁高考卷第36题、2004年广东卷第7题，均以选择题的形式出现的。 三. 重难点解析： 1. 力的分解： （1）求一个已知力的分力叫做力的分解。 （2）分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平行四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力。 2. 力的分解的方法 根据力F产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力 和的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小。 应注意：已知一个力和它的另一个分力的方向，则另一个分力有无数个解，且有最小值（两分力方向垂直时）。 3. 分力方向的确定 分解的原则：根据力所产生的效果进行分解，一个力可以分解成无数对分力，但对于一个确定的物体所受到的力进行分解时，应考虑实际效果，即进行有意义分解。 4. 力的分解的解题思路 力分解问题的关键是根据力的实际作用效果，画出力的平行四边形，接着就转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题，因此其解题基本思路可表示为 5. 力的分解的几种情况 已知一个力的大小和方向，求它的两个分力。 据平行四边形定则知，这种情况下可以作出无数个符合条件的平行四边形，即对一已知力分解，含有无数个解，但如果再加以下条件，情况就不一样了，下面讨论： （1）已知两个分力的方向时，有唯一解，如图所示。 力的分解讲义 任务目标： 1．理解力的分解，知道力的分解与力的合成互为逆运算，明确力的分解也遵守平行四边形定则。 2．学会分析一个已知力的作用效果，并能依据力的作用效果分解已知力，会用作图法求分力，会用直角三角形的知识计算分力。 3．学会用正交分解法分解力，并在此基础上求合力。 4．知道矢量和标量，知道矢量和标量运算的一般法则。 5．培养理论联系实际的科学方法，培养观察、实验和运用数学工具解决物理问题的能力。自主学习： 一．力的分解 1．求一个已知力的叫做力的分解. 2．力的分解是力的合成的，同样遵守。把一个已知力F作为平行四边形的对角线，那么与力F共点的平行四边形的，就表示力F的两个分力F1、F2。 3．作用在物体上的同一个力F可以分解为对大小、方向不同的分力。一般情况下我们按照力的进行分解。 二．矢量相加的法则 1．平行四边形定则：一切矢量（如力、位移等）相加遵从平行四边形定则。 2．三角形定则：由两个矢量与它们的合矢量组成一个三角形，从而求出合矢量，这个方法叫做三角形定则. 三角形定则与平行四边形定则的实质是。三．矢量与标量 1．矢量：大小方向，相加时遵从或。 2．标量：大小方向，求和时按照。 活动探究： 一．力的分解 求一个已知力的分力叫做力的分解。力的分解是力的合成的逆运算。力的分解不唯一，在实际问题中按力的作用效果来分解。分力是对原来这个力在作用效果上的等效替换，受力物体不应随力的分解而转移。 探究1：下列说法中错误的是（） A．一个力只能分解成惟一确定的一对分力 B．同一个力可以分解为无数对分力 C．已知一个力和它的一个分力，则另一个分力有确定值 D．已知一个力和它的两个分力方向，则两分力有确定值 二．力的分解的解法 1．力的分解遵守平行四边形定则。 2．力的分解的一般方法： ⑴ 根据力的作用效果确定两个分力的方向 ⑵ 根据已知力和两个分力方向作平行四边形 ⑶ 根据平行四边形或三角形知识确定分力的大小和方向。 探究2：如图1所示一质量为m的物体静止于倾角为θ的斜面上，按力的作用效果将重力 1 θ 力的分解知识点与习题及答案 基本知识点 、分力的概念 1、几个力，如果它们共同产生的效果跟作用在物体上的一个力产生的效果相同，则这几个力就叫做那 个力的分力（那个力就叫做这几个力的合力）。 2、分力与合力是等效替代关系，其相同之处是作用效果相同；不同之处是不能同时出现，在受力分析或 有关力的计算中不能重复考虑。 二、力的分解 1、力的分解的概念：求一个已知力的分力叫做力的分解。 2、力的分解是力的合成的逆运算。同样遵守力的平行四边形定则：如果把已知力F作为平行四边形的 对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2。 3、力的分解的特点是：同一个力，若没有其他限制，可以分解为无数对大小、方向不同的力（因为对于同一 条对角线?可以作出无数个不同的平行四边形），通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。 4、按力的效果分解力F的一般方法步骤： （1）根据物体（或结点）所处的状态分析力的作用效果 （2）根据力的作用效果，确定两个实际分力的方向； （3）根据两个分力的方向画出平行四边形； （4）根据平行四边形定则，利用学过的几何知识求两个分力的大小。也可根据数学知识用计算法。 三、对一个已知力进行分解的几种常见的情况和力的分解的定解问题 将一个力F分解为两个分力，根据力的平行四边形法则，是以这个力F为平行四边形的一条对角线作一个平行四边形。在无附加条件限制时可作无数个不同的平行四边形。这说明两个力的合力可唯一确定一个力的两个分力不是唯一的。要确定一个力的两个分力，一定有定解条件。 假设合力F —定 1、当俩个分力F1已知，求另一个分力F2,如图F2有唯一解。 2、当俩个分力F 1, F2的方向已知，求这俩个力，如图F1, F2有唯 一解 3、当俩个分力F1, F2的大小已知，求解这俩个力。 第一章一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立 例 1弦的振动 1、问题的提法 给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，研究弦上各点的运动规律。 2、方程的推导 基本假设： （1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。 （2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。 由上述假定推导振动方程。先讨论不受外力作用时弦的振动。由Newton第二定律，知 作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度 于是，在每一个时间段内 作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化 由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。 图 1.1 弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分 之一。跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦。 把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴(图1.1)，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u必随时间t而变，即u又依赖于t。这样，横向位移u是x和t的函数。用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。当t 固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。 把弦细分为许多极小的小段。拿区间（x，x+dx）上的小段B为 数理方程定解问题： 1、数理方程的分类 反应热传导的方程类型为： u t=D?u+f 其中?=e2 ex2+e2 ey2 +e2 ez2 ，u t=eu et ，未知数u表示温度特征，D表示热传导系数，f是与 源有关的已知函数，当f=0的时候，相应的方程被称为齐次方程。 2、用数理方程研究物理问题的步骤 用数理方程研究物理问题一般需经历以下三个步骤 （1）导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件两部分 （2）求解已导出或写出的定解问题 （3）对求得的答案讨论其适定性（即解是否存在、唯一且稳定）并作适当的物理解释 3、求解数理方程的方法 求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种 （1）行波法（d’Alembert解法） （2）分离变量法 （3）积分变换法 （4）Green函数法 （5）保角变换法 （6）复变函数法 （7）变分法 定解条件 定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。它分为初始条件和边界条件两种。若所研究的系统是由几种不同介质组成的，则在两种介质的交面上定解条件还应当有衔接条件。 1、初始条件 （1）定义初始条件是物理过程初始状况的数学表达式 （2）初始条件的个数关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。热传导方程仅需给出一个初始条件 u x，y，z；t|t=0=φ(x，y，z) 2、边界条件 （1）定义物理过程边界状况的数学表达式称为边界条件。 （2）边界条件的种类和个数边界条件分为三类。设f(M，t)为任一已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为： 1 第一类边界条件u| 边 =f(M,t) 2 第二类边界条件eu en | 边 =f(M,t) 3 第三类边界条件[u+heu en ] 边 =f(M,t) Mathematical Methods for Physics 第二篇数学物理方程Mathematical Equations for Physics 要想探索自然界的奥秘就得解微分方程。 －牛顿 中心：将物理问题翻译成数学语言 目的:1、如何用数理方程研究物理问题 2、如何导出方程 3、能正确写出定解问题 § 6.1 引言 Introduction 第六章 定解问题 Mathematical Problem 1、数学物理方程概念： 数学物理方程是指从物理、工程问题中， 导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。 数学物理方程 ? 线性方程 ? ? 非线性方程 一、数理方程简介： § 6.1 引言 一、数理方程简介§ 6.1 引言 tt u =a2?u +f u t =D?u +f 2、数理方程的产生和发展： (1)十八世纪初期 (2)十九世纪中期三类数学物理方程： 波动方程 u -波动，a-波速，f-与源有关的函数 输运方程 u －浓度，D-系数，f -与源有关的已知量 泊松方程 h-与源有关的已知量，u-表示稳定物理量 +f xx 2 Taylor ：u tt =a u ?u =-h 一、数理方程简介：§ 6.1 引言 a u 2、数理方程的产生和发展： (3)十九世纪末到二十世纪初 高阶方程（梁的横振动）： u tt = 2 xxxx f ( x, t ) 非线性方程 KdV：u t +σuu x +u xxx = 0 ?ψh2 schro&-dinger：i h ?t =-Δψ 2μ +U(r)ψ + 本讲教育信息】 一. 教学容： 力的分解问题探究 二. 学习目标： 1、熟练掌握在力的分解问题中有确定解的几种情况的讨论。 2、掌握在不同的物理情景中求分力的常规方法和思路。 3、重点掌握力的分解问题的典型问题的处理方法。 高考地位： 力的分解问题是本部分容的重点和难点，力的分解问题和力的合成一样，是高中力学容的基础，是解决高中力学问题的重要工具，在出题形式上，力的分解问题常与日常生活实际紧密结合，突出了对于实际物理问题的模型抽象能力，如2002年春季高考第36题，把力的分解问题与桥梁的受力特点相结合，同时在高考的出题方向上也体现了运用数学知识分析物理问题的能力，主要是考查平行四边形及三角形定则在力的分解问题中的数学应用，如2005年高考卷第36题、2004年卷第7题，均以选择题的形式出现的。 三. 重难点解析： 1. 力的分解： （1）求一个已知力的分力叫做力的分解。 （2）分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平行四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力。 2. 力的分解的方法 根据力F产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力 和的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小。 应注意：已知一个力和它的另一个分力的方向，则另一个分力有无数个解，且有最小值（两分力方向垂直时）。 3. 分力方向的确定 分解的原则：根据力所产生的效果进行分解，一个力可以分解成无数对分力，但对于一个确定的物体所受到的力进行分解时，应考虑实际效果，即进行有意义分解。 4. 力的分解的解题思路 力分解问题的关键是根据力的实际作用效果，画出力的平行四边形，接着就转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题，因此其解题基本思路可表示为 5. 力的分解的几种情况 已知一个力的大小和方向，求它的两个分力。 据平行四边形定则知，这种情况下可以作出无数个符合条件的平行四边形，即对一已知力分解，含有无数个解，但如果再加以下条件，情况就不一样了，下面讨论：定解问题
力的分解练习题及答案详解
北京大学数学物理方法(下)课件_12数学物理方程和定解条件(精)
力的分解问题探究
力的分解讲义
力的分解知识点与习题及答案
些典型方程和定解条件的推导
数理方程定解问题
定解问题讲解
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