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定解条件和定解问题

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什么是定解问题

什么是定解问题

§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。

2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。

方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。

方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。

例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。

质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。

§1.3 定解条件。

一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。

例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。

偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性

偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性

偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）是数学领域中的重要研究对象，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。

在求解偏微分方程时，我们需要考虑定解条件，以确保解的存在和唯一性。

本文将探讨偏微分方程的定解条件，并讨论解的存在唯一性。

一、偏微分方程的定解条件在求解偏微分方程之前，我们需要明确的是问题的定解条件。

定解条件是指在区域Ω上关于未知函数u及其偏导数的附加条件。

常见的定解条件包括初始条件和边界条件。

1. 初始条件（Initial Condition）初始条件是在区域Ω的某个子集Ω₀上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t₀) = g(x, t₀)，其中g(x, t₀)为已知函数，t₀为给定的初始时间。

2. 边界条件（Boundary Condition）边界条件是在区域Ω的边界上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t) = f(x, t)，其中f(x, t)为已知函数。

在一些情况下，还需要考虑特殊的边界条件，如周期性边界（Periodic Boundary Conditions）和运动边界（Moving Boundary Conditions）等。

二、解的存在唯一性偏微分方程的解的存在唯一性是指在给定的定解条件下，方程是否有解以及解是否唯一。

1. 解的存在性对于某些偏微分方程，我们可以通过适当的数学工具（如变分法、分离变量法、线性化等）证明其存在解。

然而，并非所有的偏微分方程都具备解的存在性，存在着某些无解的情况。

因此，对于求解偏微分方程问题，我们需要首先考虑其解的存在性。

2. 解的唯一性在一些情况下，即使偏微分方程存在解，其解也不一定是唯一的。

对于线性偏微分方程，我们可以通过使用变分法或利用极大模原理来证明解的唯一性。

而非线性偏微分方程的唯一性则比较复杂，通常需要借助于更加深入的分析和数学工具。

数学物理方程_定解问题

数学物理方程_定解问题

根据边界条件确定任意函数 f：
令 故
规定，当
时
4、定解问题是一个整体
达朗贝尔公式的求解过程，与大家熟知的常 微分方程的求结果成完全类似。
但遗憾的是，绝大多数偏微分方程很难求出 通解；即是求出通解，用定解条件确定其中待 定函数往往更为困难。这说明，达朗贝尔公式 不适用于普遍的数学物理定解问题的求解？
（7.1.8）
称式（7.1.8）为弦的自由振动方程。
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 作用，则式(7.1.8)应该改写为
(7.1.9)
式中
称为力密度，为 时刻作用于
处单位质量上的横向外力
式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程.
2、 均匀杆的纵振动
一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使 它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使 它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵 振动必然传播到整个杆,这种振动的传播是纵波.
泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件, 而只有边界条件. 边界条件分为三类:
1、在边界上直接给定未知函数 , 即为第一类边界条件．
2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数 的数值
u n
x0 , y0 ,z0

f (x0, y0, z0,t)
（7.2.3）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在 边界上的数值
（7.2.4）
其中 是时间 的已知函数， 为常系数．
7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件

第三章___调和方程

第三章___调和方程

问题的解：
u( x , t ) Ak (e
k 1

ka y
e
k a
y
k )sin x, a
其中 Ak
2 a(e
ka y
e
k a
y
)

a
0
k f ( x )sin x dx . a
第二节
格林公式及其应用
一、格林（Green）公式
P Q R d x y z [ P cos( n, x ) Q cos( n, y ) R cos( n, z )]dS . (2.1)
的解如果存在，则它必是唯一的，且连续依赖于所给 的边界条件 f 定理2.4 调和方程的 狄立克雷外问题
u 0, ( x, y, z ) , ( x, y, z ) u f ( x , y , z ), 2 2 2 limu( x , y , z ) 0, r x y z . r
性质 2、 G( M , M0 )

0.
1 性质 3、 0 G( M , M 0 ) . 4 rM0 M
性质 4、 G( M1 , M2 ) G( M2 , M1 ).
G( M 0 , M ) dS M 1. 性质 5、 n
2 1 J (u) ux uy 2 2 z
0}.
2
u
fu dxdydz .
J ( u) min J (v ),
vV0
(1.9)
定理 1.1：如果满足(1.9)的函数 u V0存在，则它 满足定解问题 (1.7)；反之，若 u 是(1.7)的属于V0 的

1.2定解条件

1.2定解条件
•所谓解的存在性，即定解问题有解。 所谓解的存在性，即定解问题有解。 所谓解的存在性 •所谓解的唯一性，即定解问题的解是唯一的。 所谓解的唯一性， 所谓解的唯一性 即定解问题的解是唯一的。 •所谓解的稳定性，即如果定解问题中的已知条件 所谓解的稳定性， 所谓解的稳定性 例如方程或定解条件中的已知函数）有微小变化时， （例如方程或定解条件中的已知函数）有微小变化时， 相应地，解也只有微小的改变。 相应地，解也只有微小的改变。
不适定问题举例
•一般来说，方程的阶数对应于定解 一般来说， 一般来说 条件的个数； 条件的个数； •条件多了，将会破坏解的存在性； 条件多了， 条件多了 将会破坏解的存在性； •条件少了，将会破坏解的唯一性。 条件少了， 条件少了 将会破坏解的唯一性。
二阶线性偏微分方程的分类
F ( x, y , u x , u y , u xx , u yy ) = 0
•第一类边界条件：给出未知函数u 在边界上的值 第一类边界条件：给出未知函数 第一类边界条件 •第二类边界条件：给定未知函数u 在边界上的 第二类边界条件：给定未知函数 第二类边界条件 法向导数值
•第三类边界条件：给出边界上未知数u 及其法向 第三类边界条件：给出边界上未知数 第三类边界条件 导数之间的线性关系
•波动方程：含有对时间的二阶偏导数 ，两个初始条件 波动方程： 波动方程 •传输方程：含有对时间的一阶偏导数 ，一个初始条件 传输方程： 传输方程 •稳定场方程：不随时间变化，没有初始条件 稳定场方程：不随时间变化， 稳定场方程
•边界条件 边界条件——描述系统在边界上的状况 边界条件 描述系统在边界上的状况
•衔接条件 衔接条件
在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在不同介质（或跃点处） 在不同介质（或跃点处）的界面处有衔接条件

数学物理方法课件：7-数学物理定解问题

数学物理方法课件：7-数学物理定解问题

x
T (ux |xdx ux |x ) (dx)utt 因 dx很小
T
ux
xdx ux dx
x
utt
utt Tu xx (7.1.5)
5
utt Tu xx (7.1.5)
因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处， 是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
记
T a2
(a 0)
响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化
整理数学物理方程
2
（一）均匀弦的微小横振动
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某 种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的 横振动方程。
假定：
➢弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线
➢弦的质量线密度为；
➢静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); ➢弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； ➢张力 T>>重力 mg。
x x+dx x A u Bu+du C
t 时刻杆伸长 u(x dx,t) u(x,t)
相对伸长量 u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 随x而异
dx
x
由胡克（Hooke）定律 P(x,t) E u(x,t) x
由牛顿运动定律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
第七章 数学物理定解问题(5)
1.数学物理方程（又称为泛定方程）
物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏 微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题 的共性。
2.定解条件（包括初始条件与边界条件）
对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和 初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物 理问题的个性。

数理方程 - 01 - 数理方程绪论

数理方程 - 01 - 数理方程绪论
201653041总结泛定方程初始条件边界条件dirichletneumannrobin201653042kuhuback第四节定解问题的叠加原理我们考虑一般二阶线性偏微分方程其中abc为常数f为已知函数且则上述方程可以简写为201653043ijijbucu的解则对任意的常数c在求解区域上是一致收敛的并对自变皆可逐项微分两次则u也是该齐次方程的解即lu0其中c是非齐次方程lu根据叠加原理我们可以将复杂的问题分解为一些简单的定解问题进行求解
2015/10/13
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1

M2 d

O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3

1方程的导出、定解条件

1方程的导出、定解条件

二、定解条件
1.初始条件： （） 1 .已知初始条件： u t =0 = ϕ ( x ),0 ≤ x ≤ l , (2).已知初始速度： ut
2 .边界条件： 已知边界位移 （1） .第一类边界条件： ( u
x =0
t =0
= ψ (x ),0 ≤ x ≤ l ,
)
)
= g1 (t ), t ≥ 0, u
= g 2 (t ).
x=l
4、Cauchy问题（或初值问题） Cauchy问题（或初值问题） 问题 对于弦中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响可忽略不计 时，可以认为弦长为无穷，此时问题化为
2 ∂ 2u 2 ∂ u = f ( x , t ), − ∞ < x < ∞ , t > 0, 2 −a ∂t ∂x 2 ∂u t = 0 : u = ϕ ( x ), = ψ ( x ), − ∞ < x < ∞ . ∂t
x + ∆x
ρ
∂u ( x, t ) dx. ∂t ∂ u (x , t + ∆ t ) dx . ∂t
∫
Байду номын сангаасx + ∆x
x
ρ
所以从时刻 t 到时刻 t + ∆ t ， 弦段 ( x , x + ∆ x )的动量增加量为
∫
∫
t + ∆t
x + ∆x
x
ρ
∂ u (x , t + ∆ t ) ∂ u (x , t ) − dx . ∂t ∂t
这一段的惯性离心力F=mω^2R 为
ρ dx ω 2 u ( x。t ) ,
ρ (l − x − dx) gux

第三章 调和方程

第三章 调和方程
其次，假设在边界上给定了两个函数f和f*，而且在Г上处处成立
f f * 设u和u*，分别是调和方程在区域Ω上的以f和f*为边界条件的
数学物理方程
§1-2 定解条件和定解问题
第三章 调和方程
因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远 处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在 无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即
lim u(x, y, z) 0 r x2 y2 z2
r
泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解： 首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换u=v+u1把原方程转 化为关于v的调和方程。
§2.1 格林（Green）公式 §2.2 平均值定理 §2.3 极值原理 §2.4 第一边值问题解的
唯一性和稳定性
数学物理方程
§2-1 格林（Green）公式
第三章 调和方程
高等数学中的高斯公式如下
(
P x
Q y
R )d
z
(P cos(n,
x)
Q cos(n,
y)
R cos(n,
z))ds
调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为
u 2u 2u 2u 0 3.1 x2 y2 z 2
这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x, y, z)
3.2
这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热 传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和 方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势 满足泊松方程。

偏微分方程

偏微分方程

第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。

初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。

则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。

§2.1 定解条件

§2.1 定解条件

2、定解问题的适定性
在求解的偏微分方程的定解问题时，必须首先确定三 个关键问题： 1、定解问题存在性————有解； 如果定解条件过多，互相矛盾，则定解问题无解。定解 问题有解，要求所给定解条件数合适，且互相自洽，保 证定解的存在。 2、定解问题的唯一性————解是唯一的； 如果定解条件不足，则定解问题的解就不是唯一的。定 解问题如果要求有唯一解，则所给定解条件数就要合适、 充分，使得定解问题是唯一的。
K c
u ( x, t ) 0
2
①，系统被置于固定热源当中，即边界上的温度已知：
u(x,t)
S
(S , t)
②，通过边界单位时间流入系统内的热量已知，即：
q(x,t) n
xS
(S , t)
x S
根据Fourier定律： K u ( x , t ) n
u ( x , t ) t0 ( x ) , x V
2 2 例2、对于弦振动方程: u ( x , t ) tt u ( x , t ) 0
方程中存在时间的二次偏微分项，所以初始条件不但 要给出t=0时刻的温度分布即可，还要给出t=0时刻的 弦振动的运动速度，即：
第二章 偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件
§2.2、定解问题的适定性
§2.3、偏微分方程的分类
1、定解条件
由受力分析得到的偏微分方程并不能唯一地确定系统 的运动，要完全确定系统的运动还必须给定系统的边界条 件和初始条件，一般来说，偏微分方程的通解含有多个待 定常数，只有给定合适的边界条件和初始条件，才能唯一 地确定这些待定常数。 (1)、在力学分析时，只考虑了介质内部的力学性质，并 没有考虑介质通过表面和外界进行的相互作用，因此， 微分方程只适合描述内部内部。 (2)、如果问题与时间有关，我们在进行力学分析时并没 有考虑介质的历史状况，所以严格来说，系统的解是系统 历史状态的函数。

2定解条件

2定解条件

而常说恒定表面浓度扩 散，是指硅片表面杂质 浓度维持一定，向内部 扩散。
ut u
t 0
0
0 x l / 2 2lh x 2 h (l x ) l / 2 x l l
t 0
稳定场问题与时间无关，不存在初始条件的问题． 二、边界条件： 研究具体的物理系统，还必须考虑系统
的边界上的物理状况，即边界条件． 常见的线性边界条件有三种。 1、第一类边界条件：直接可写出边界上物理量的表达式。
u s f ( x0 , y0 , z0 , t )
2、第二类边界条件：可写出边界上物理量沿边界法向方向 导数的表达式
u n
f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
s
3、第三类边界条件： 可写出边界上物理量沿边界法向方向导数与边界上物理 量的线性组合的表达式
u （ hu) f 2 ( x0 , y0 , z0 , t ) n s
ut ( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z )
从数学角度看，输运过程方程含时间一阶导数，须有一个初始条件， 振动过程含时间二阶导数，须有两个初始条件。 注意：初始状态指的是整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初
始态．例如：长为L两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h， 然后放手任其振动.
就时间t这个目变数而论，振动方程是 t的二阶微分程，输运 方程是t的一阶微分方程，所以初始条件的提法有所不 同．对了输运过程(热传导、扩散)，初始状态指的是所研 究物理量 u(温度、浓度)初始分布.
u( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z), 为已知函数。
对于振动过程(弦、杆、膜的振动，传输线上电振动，声振动、 电磁振动)，初始状态包括初始“位移” 和初始“速度” u ( x, y, z , t ) t 0 ( x, y, z )

第二章定解问题

第二章定解问题

（k为热导率，与介质材料有关 ）
（3）热源强度（ 单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程： （1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给 出具体问题的定解。
例 长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记 为u0 ，试写出该过程的初始条件。 解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
1在?t时间内引起小段?x的温度升高时所需热量为qcaxuxttuxt??????取0t??tqcauxt????tq?2在?t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为1xqxkuxtat???3在?t时间内沿x轴由x?x处正向流出截面的热量为2xqxxkuxxtat???????4在?t内杆内热源在?x段产生的热量为qftaat??3qfxtaxat???根据能量守恒定律123qqqq???txxcauxtkuxtatkuxxtatfaxt?????????????xxtkuxxxuxtcufx???????令0x??取极限kf令0x??取极限txxuucc????txxudufxt??一维的热传导方程类似可得三维扩散热传导方程
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。

第三章定解条件与定解问题的提法

第三章定解条件与定解问题的提法
源自u xx 0u x
0
x l
u 或： x
f (t ),
x 0
u x
g (t )
x l
第三类边界条件： 在x=l 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承
u T x
x l
k u x l
或
u u 0 x x l
第三章
定解条件与定解问题的提法
例 ： 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ，
在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离 h ， 如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u h o l b x
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
ut ( x, t ) |t 0 ut ( x,0) 0
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场
和产生这种场的源之间的关系。 声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系 泊松方程表示的是电势 （或电场）和电荷分布之 间的关系
第三章
定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解条件
一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应
特解 定解条件=初始条件+边界条件
第三章
定解条件与定解问题的提法
例： 长为 l 的弦在 x 0 端固定，另一端 x l 自由，且在初始时刻 t 0 时处于水平状态，初始速度为
x(l x) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.
【解】 ① 确定泛定方程：
x 0 为原点， 取弦的水平位置为 x 轴，
满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 条件所处的状况有关。 ① 初始条件——描述系统的初始状态

定解条件和定解问题

定解条件和定解问题

定解条件和定解问题含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程;常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程..方程的分数是1的称为方程式;个数多于1的叫做方程组..方程组中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程组的阶数..如果方程组中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的;就称方程组为线性的;否则就称为非线性的..非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性..一、定解条件给定一个常微分方程;有通解和特解的概念..通解只要求满足方程;即满足某种物理定律;而不能完全确定一个物理状态..特解除了要求满足方程还要满足给定的外加特殊条件..对偏微分方程也是如此;换句话说;只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律;因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关..描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况;在数学上分别称为初始条件或初值条件和边界条件或边值条件;他们统称为定解条件..初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件;即描述物理过程初始状态的数学条件..边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件;即描述物理过程边界状态的数学条件..定解条件：初始条件和边界条件的统称..非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件..稳态问题：定解条件为边界条件..1、弦振动方程 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>初始条件是指初始时刻0t =弦的位移和速度..若以()x ϕ;()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度;则初始条件为：边界条件是指弦在两端点的约束情况;一般有三种类型.. 1第一类边界条件狄利克雷Dirichlet 边界条件:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ;则边界条件为：(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =当0()0()0l g t g t ≡≡或时;表示在该点处弦是固定的..2第二类边界条件诺伊曼Neumann 边界条件：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ;则边界条件为：0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =当00()0l g g t ≡≡或时;表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动..3第三类边界条件混合边界条件或罗宾Robin 边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>或(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>;(,0)(),0(,0)(),t u x x x l u x x ϕψ=⎧<<⎨=⎩其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数;当0()0()0l g t g t ≡≡或时;表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上..2、热传导方程2(x,t),x ,)nt u a u f t o -=∈Ω⊂>初始条件是指初始时刻物体内的温度分布情况..式中φ x ; y ; z 为已知函数;表示温度在初始时刻的分布..边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况;可分为三种..（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知式中;p 为边界面上的点.. 2第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知..3第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知 由热量守恒定律可知;这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量..3、位势方程泊松方程或拉普拉斯方程对于稳态问题;变量不随时间发生变化..定解条件不含初始条件;只有边界条件..(,,,0)(,,)T x y z x y z ϕ=0(,)S Tp t ϕ==, (,)n ST Tq K const f p t n n ∂∂=-==∂∂0() ()n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)ST T K T T hT f p t n n α∂∂⎛⎫-=-+= ⎪∂∂⎝⎭第一边值问题;狄利克莱问题狄氏问题第二边值问题;牛曼问题第三边值问题混合问题鲁宾问题二、 定解问题一个方程匹配上定解条件就构成定解问题..对于定解问题;通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：①偏微分方程泛定方程+初始条件+边界条件;称为初边值()S f p ϕ=()Sf p nϕ∂=∂()Sh f p n ϕϕ∂+=∂问题或混合问题；②偏微分方程泛定方程+初始条件;称为初值问题或柯西问题；③偏微分方程泛定方程边界条件;称为边值问题.. 在一个偏微分方程的定解问题中;把不含未知函数及其偏导数的项;称为自由项..如果方程中的自由项为零;则称方程为齐次方程;否则就称为非齐次方程..如果边界条件中的自由项为零;则称边界条件为齐次边界条件;否则就称为非齐次边界条件..例如;对于弦振动方程;当外力等于零时;方程就变为齐次方程;此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时;边界条件就是齐次边界条件..三、 例题1、长为l 的弦;两端固定于0和l ..在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ;如图所示;然后放手任其振动;试写出初始条件..解：初始时刻就是放手的那一瞬间;按题意初始速度为零;即有lxl/2 0==(,)t t u x t 02 0222=⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩[,(,)()[,]t hl x x l u x t h l l x x l l初始位移2、长为l 的杆;上端固定在电梯的顶杆上;杆身竖直;下端自由 ..电梯在下降过程中;当速度为v0 时突然停止..试写出杆振动的定解问题..四、 总结222220,(0,),0(,0)0,(,0),(0,)(0,)(,)0,0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎨==∈⎪⎪==≥⎩王晶1307021066 物理学术班。

数理方法-第一讲-定解问题

数理方法-第一讲-定解问题

（3）描绘稳定过程或状态的Poisson方程：
u h
(f和h—与源有关的已知函数) 1-3
其中


2 x2

2 y2

2 z2
, utt

2u t 2
,ut

u t
,u

u(x, y,z, t)
2、用数理方程研究物理问题的步骤
1. 导出或写出定解问题，包括数理方 程和定解条件两部分。
du dx
u t x ux
x
对微元应用物理定律：
设杆材料的杨氏模量Y x x dx
两端应力分别为：
x
u
F1 YS x
YSux
x
u
F1 udx
x
F1
u F2du
F2
F2 YS x
YSux
xdx
xdx
应用牛顿定律：YSux xdx YSux
x

(1) 牛顿第二定律: F=ma
(2)傅立叶实验定律（热传导定律）
当物体内存在温差时，会产生热量的流动。热流 强度q,与温度的下降率成正比：q ku
k为热传导系数，负号表示温度下降的方向。
分量形式为： qx

k
u x
,qy

k
u y
,qz

k
u z
(3)牛顿冷却定律 物体冷却时放出的热量-k u与物体与外界的温
2. 求解已导出或写出的定解问题。
3. 对求得的解答讨论其适用性（即是否 存在唯一且稳定的解）并作适当的物 理解释。
3、求解数理方程的方法
行分 波离 法变
量 法
积 Green 保 复 变

数学物理方法第七章

数学物理方法第七章

x dx
相对伸长
u x
x
u x
x
x dx
F
x dx
x
由虎克定律，B两端的 张应力（单位横截面 的力）分别为
u ( x)
u ( x dx)
A
B
C
u u u B段运动方程为 YS ) 2 x dx YS x ( Sdx x x t Y u x x dx u x x utt dx
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 受力分析和牛顿运动定律： 2
沿x-方向，不出现平移
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T1 x
x+x
（ 1）
沿垂直于x-轴方向
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx ( dx )utt
在微小振动近似下：
如立方体内无源和汇 dt时间内粒子增加数为
u dxdydzdt (u t dt u t )dxdydz du x , y , z dxdydz t u dxdydz t
u u u ( D )dxdydz ( D )dxdydz ( D )dxdydz x x y y z z u u u u { [ ( D ) ( D ) ( D )]}dxdydz 0 t x x y y z z
7.1 数学物理方程的导出
步骤：
1、明确要研究的物理量是什么？
从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用。 2、研究物理量遵循哪些物理规律？ 3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
波动方程的导出
（一）均匀弦微小横振动方程 设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附

数理方法-第一讲-定解问题

数理方法-第一讲-定解问题
1.初始条件
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始 条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
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教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程 数理方程
定解问题
初始条件
定解条件 边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律： 边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时 ： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法 线方向流出时：
积分
解方程组

第三章 调和方程

第三章 调和方程
数学物理方程
第三章 调和方程
第三章
调和方程
建立方程、 §1 建立方程、定解条件 §2 格林公式及其应用
数学物理方程
第三章 调和方程
建立方程、 §1 建立方程、定解条件
§1.1 方程的导出 §1.2 定解条件和定解问题 §1.3 变分原理
数学物理方程
第三章 调和方程
物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。 物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。
∂u ∂n
( x , y , z )∈Γ
= g ( x, y , z )
3.4
3.3
( x , y , z )∈Γ
= g ( x, y , z )
数学物理方程
第三章 调和方程
§1-2 定解条件和定解问题
习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。 习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某 内部寻找满足边界条件的调和函数。 但在实际运用中， 光滑的闭曲面Г的内部寻找满足边界条件的调和函数。 但在实际运用中， 常常会遇到一些无界区域的问题。例如： 常常会遇到一些无界区域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳 定温度场。这种情况下， 定温度场。这种情况下，需要在闭曲面Г的外部寻找满足边界条件的调 和函数。为了显示区别， 和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和 诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。 诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。 流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压 流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。 无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程， 无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界Г 上有 ∂φ 法向无穿透条件 Γ = 0
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定解条件和定解问题
含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。

方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。

方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。

如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。

非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。

一、定解条件
给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。

通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。

特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。

对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。

描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。

初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。

边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。

定解条件：初始条件和边界条件的统称。

非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。

稳态问题：定解条件为边界条件。

1、弦振动方程 ( 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。

若以()x ϕ， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：
边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。

（1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为：
(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =
当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。

（2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为：
0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =
当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。

（3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：
000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>
或
(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>，
(,0)(),0(,0)(),
t u x x x l u x x ϕψ=⎧<<⎨=⎩
其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数，当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。

2、热传导方程（2(x,t),x ,)n t u a u f t o -=∈Ω⊂>V R
初始条件是指初始时刻物体内的温度分布情况。

式中φ( x , y , z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。

边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种。

（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知
式中，p 为边界面上的点。

（2）第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知。

（3）第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量。

(,,,0)(,,)
T x y z x y z ϕ=0(,)S T
p t ϕ==, (,)n S
T T q K const f p t n n ∂∂=-==∂∂0() ()
n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)S
T T K T T hT f p t n n α∂∂⎛⎫-=-+= ⎪∂∂⎝⎭
3、位势方程（泊松方程或拉普拉斯方程）
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。

定解条件不含初始条件，只有边界条件。

第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
第二边值问题，牛曼问题
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
二、 定解问题
()
S f p ϕ=()
S f p n ϕ
∂=∂()S
h f p n ϕϕ∂+=∂
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。

对于定解问题，通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：
①偏微分方程（泛定方程）+初始条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；
②偏微分方程（泛定方程）+初始条件，称为初值问题或柯西问题；
③偏微分方程（泛定方程）边界条件，称为边值问题。

在一个偏微分方程的定解问题中，把不含未知函数及其偏导数的项，称为自由项。

如果方程中的自由项为零，则称方程为齐次方程，否则就称为非齐次方程。

如果边界条件中的自由项为零，则称边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。

例如，对于弦振动方程，当外力等于零时，方程就变为齐次方程，此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时，边界条件就是齐次边界条件。

三、 例题
1、长为l 的弦，两端固定于0和l 。

在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

l
x
l/
解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
初始位移
2、长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由 。

电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。

试写出杆振动的定解问题。

四、 总结
00==(,)
t t u x t 02 0222=⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩[,](,)()[,]t h l x x l u x t h l l x x l l 222220,(0,),0(,0)0,(,0),(0,)(0,)(,)0,
0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎨==∈⎪⎪==≥
⎩。