第二章行列式

1 章节 第一章 行列式

教学内容 行列式的概念；全排列及其逆序数；对换

n阶行列式的定义,行列式的性质，行列式的计算，克拉默法则

教学目标 1：使学生理解和掌握行列式的定义

2：掌握行列式的性质和行列式的计算

3：理解和掌握克拉默法则

教学重点 利用行列式的性质计算行列式和行列式的几种计算方法，克拉默法则

教学难点 行列式的性质，行列式的计算，克拉默法则

讲 授 内 容 备 注

一， 二阶行列式的引入

用消元法解二元线性方程组

11112212112222 1. 2axaxbaxaxb（）（）

2211221122221221212211122222121:,2:,aaaxaaxbaaaaxaaxba

当112212210aaaa时，从上面两式解得

122122111221221baabxaaaa 112121211221221abbaxaaaa

其中分母11221221aaaa有方程组的四个系数确定，因此我们定义如下

定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表

11122122

aaaa

表达式21122211aaaa称为表所确定的二阶行列式，并记作

22211211aaaa

即2112221122211211aaaaaaaaD

二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，如图所示，把11a到12a的实连线称为主对角线，12a到21a带箭头的联系称为副对角线，于是二阶行列式是

2 主对角线上的两个元素之积减去副对角线上两元素之积的差

因此利用 二阶行列式的概念，我们可以把1x，2x的系数二阶行列式的形式，记

112112212222baDbaabba 111221121212122aaDabbaaa

那么方程组的解可以写为

2221121122212111aaaaababDDx

2221121122111122aaaababaDDx

例 求解二元线性方程组

.12,12232121xxxx

解： 323(4)7021D

1212231214,21,1121DD

因此12121421 2,377DDxxDD

二 三阶行列式

定义，设有9个数排成三行三列的数表

111213212223313233

aaaaaaaaa

记111213212223112233122331132132112332122133132231,313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

上式称为数表所确定的三阶行列式。

行列式的计算（1）沙路法

注：分母都是原方程组系数的行列式

3 D322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa

(2) 对角线法则

注意： 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．

例：计算下列三阶行列式

2-43-122-4-21D

解; 按对角线法则展开有

12(2)21(3)(4)(2)4 1142(2)(2)(4)2(3) 4632482414D

例：求解方程211123049xx

解 方程左端的三阶行列式222318921256Dxrxxxxx=0，解得

2x或3x。

小结：二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.

二阶与三阶行列式的计算————对角线法则

2112221122211211aaaaaaaa

111213212223112233122331132132112332122133132231,313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

§2，全排列及其逆序数

1. 排列与逆序

对于n个不同的元素,我们可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序

定义1 由n个自然数1,2,,n组成的一个无重复的有序数组12niii,称为一个n级排列.

说明：对角线法则只适合二阶和三阶行列式

4 例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列.

显然, n级排列共有!n个.

排列12n中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.

定义2 在n个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n级排列12tsniiiii中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若tsii,则称这两个数,tsii组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12()niii或。

例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4.

根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数：

设在一个n级排列12niii中，比(1,2,,)titn大的且排在ti前面的数共有it个，则ti的逆序的个数为it，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即

12121().nnniiiiitttt

【例1】 计算排列45321的逆序数.

解： 因为4排在首位,故其逆序数为0；

比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0；

比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2；

比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；

比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4．

可见所求排列的逆序数为

(45321)002349

定义3 如果排列12niii的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12niii的逆序数为偶数，则称它为偶排列.

例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12n的逆序数是0，因此是偶排列.

2.对换

定义4 在排列12tsniiiii中,将任意两数ti和si的位置互换，而其余的

5 数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换.

例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.

经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实.

定理1 对换改变排列的奇偶性.

也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列.

推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.

n阶行列式的定义

定义5设有2n个数，排成n行n列的表：

111212122212nnnnnnaaaaaaaaa

作出表中位于不同行列的n个数的乘积，并冠以符号(1)，得到!n个形如1212(1)njjnjaaa的项，其中12njjj为自然数1,2,,n的一个排列，为这个排列的逆序数.所有这!n项的代数和121212(1)nnjjnjjjjaaa称为n阶行列式，记作

1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa.

其中12njjj表示对所有的n级排列12njjj求和.行列式有时也简记为det()ija，这里数ija称为行列式的元素，1212()12(1)nnjjjjjnjaaa称为行列式的一般项.

【例2】证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).

12124n 1(1)2212(1)nnnn

证明：第一式左端为对角线行列式，结果显然，下证第二式

注意当时，一阶行列式aa，不要与绝对值记号相混淆.