第1章行列式

第一章 行列式

一、行列式的概念、展开公式及其性质

（一）行列式的概念

nnnnnnaaaaaaaaaA....................212222111211

nnnnnnAAAAAAAAAA....................212221212111*注意转置了

EAAA*1*AAA ★A是不同行不同列元素乘积的代数和。

（二）行列式按行（列）展开公式

★★njnjjjjjininiiiiAaAaAaAaAaAaA......22112211 ★★ijjiijMA)1(其中记得带符号

ijM是A中去掉第i行及第j列元素后的1`n阶行列式，称为ija的余子式，而ijjiM)1(是ija的代数余子式

1.上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积

nnnnnnaaaaaaaaa221122112211......

★★2.关于副对角线，其计算公式为

★★11212)1(11211121)1(......nnnnnnnnnnnaaaaaaaaa★★

3.两种特殊的拉普拉斯展开式，设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则

BABOABOA

★★BAOBABAOmn)1(★★ 区别于副对角线的矩阵求逆矩阵

（三）行列式的性质

1．经转置的行列式的值不变，即TAA

2.行列式中某一行各元素如有公因数k，则k可以提到行列式符号外，若行列式某行元素全是零，则行列式的值为零

★3.如果行列式中某行（列）的每个元素都是两个的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和★区别于分块矩阵运算

★mbblaa2121=mlbbaa2121=mlba11+mlba22★

★123123123，，，，，，，，，★

第1章 行列式及其应用 一、填空题

1．行列式1221



kk0的充分必要条件是 .

2．排列36715284的逆序数是 。 3．已知排列397461tsr为奇排列，则r = ， s = ，t = .

4．在六阶行列式ija中，623551461423aaaaaa应取的符号为 .

5．若54435231aaaaaji为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .

6.

设行列式

275620513

D，则第三行各余子式之和的值为 .

7.行列式30092280923621534215 .

8

．行列式

1110110110110111

.

9.

多项式0

211111

)(

321321321321





xaaaaxaaaaxaaaa

xf的所有根是 .

10

．若方程

22

5143214343314321

xx

 = 0 ，则 .

11．行列式



2100121001210012

D 12.

行列式

122305403



中元素3的代数余子式是 .

13.

设行列式

4321630211118751

D，设jjAM44,分布是元素ja4的余子式和代数余子式，

则44434241AAAA = ，44434241MMMM= .

14.已知四阶行列D中第三列元素依次为1，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，

,74，则D = .

15. 若方程组



02020

zykxzkyxzkx

仅有零解，则k .

二．选择题

1

．若行列式

x52231521

 = 0，则x （ ）.

（A）2 （B）2 （C）3 （D）3

2．线性方程组

47332

2121xxxx，则方程组的解),(21xx= （ ）.

（A）（13，5） （B）（13，5） （C）（13，5） （D）（5,13）

3

．方程0

93142112

xx

根的个数是（ ）.

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 （ ）.

1 线性代数练习题1 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 张松城 学号

一、选择题

1．若行列式x52231521 = 0，则x [ ]

（A）2 （B）2 （C）3 （D）3

2．线性方程组473322121xxxx，则方程组的解),(21xx= [ ]

（A）（13，5） （B）（13，5） （C）（13，5） （D）（5,13）

3．方程093142112xx根的个数是 [ ]

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列n（n >2）阶行列式的值必为零的是 [ ]

(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零

(C) 行列式零的元素的个数多于n个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n个

二、填空题

1．行列式1221kk0的充分必要条件是 .

2．多项式0211111)(321321321321xaaaaxaaaaxaaaaxf的所有根是 .

3．若方程225143214343314321xx = 0 ，则 .

1 / 28 第一章 行列式

线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。

本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法则。

本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。

§ 1 二阶、三阶行列式

一、内容提要

1．二阶行列式的定义

2112221122211211aaaaaaaa

其中ija称为行列式的元素，ija的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。

二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：

2111 aa 2212aa=21122211aaaa

其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。

2．三阶行列式的定义

333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa

三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：

 333231232221131211aaaaaaaaa

其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得2 / 28 六项的代数和就是三阶行列式的展开式。

二、例题分析

例1 求解二元线性方程组