第二章 行列式

第二章行列式知识点总结

一行列式定义

1、n级行列式111212122212nnijnnnnnaaaaaaaaaa1等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212njjnjaaa2的代数和,这里12njjj是一个n级排列;当12njjj是偶排列时,该项前面带正号；当12njjj是奇排列时,该项前面带负号,即：

1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjijjjnjnjjjnnnnaaaaaaaaaaaaa;

2、等价定义

121212()12(1)nnniiiijiiinniiiaaaa和121211221212()()(1)nnnnnniiijjjijijijijniiijjjaaaa和

3、由n级排列的性质可知,n级行列式共有!n项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;

4、常见的行列式

1上三角、下三角、对角行列式

2副对角方向的行列式

3范德蒙行列式：

二、行列式性质

1、行列式与它的转置行列式相等;

2、互换行列式的两行列,行列式变号;

3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;

4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;

5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;

6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;

三、行列式的按行列展开

1、子式

1余子式：在n级行列式ijDa中,去掉元素ija所在的第i行和第j列后,余下的n-1级行列式称为ija的余子式,记作ijM; 2代数余子式：(1)ijijijAM称为ija的代数余子式;

3k级子式：在n级行列式ijDa中,任意选定k行和k列(1)kn,位于这些行列交叉处的2k个元素,按原来顺序构成一个k级行列式M,称为D的一个k级子式;当()kn时,在D中划去这k行和k列后余下的元素按照原来的次序组成的nk级行列式M称为k级子式M的余子式;



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第二章矩阵运算和行列式线性代数与空间解析几何电子教案网络版

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课件作者：张小向§2.1矩阵及其运算§2.2方阵的行列式§2.3行列式的性质及计算§2.4 逆矩阵

§2.5矩阵的分块运算第二章矩阵运算和行列式

§2.1 矩阵及其运算

一. 矩阵与向量1. m



n矩阵

元素: a

ij(i= 1, …, m, j= 1, …, n) a

11a

12… a

1n

a

21a

22… a

2n

… … … …

a

m1a

m2… a

mn

注: 元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.

今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都

是实矩阵.



例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.

南京苏州常州啤酒(瓶装)20

16

200180190

啤酒(易拉罐)

50

20100120100

干啤3016150160140

生啤2516180150150重量

(Kg/箱)单价

(元/箱)数量(箱)

A=20 50 30 25

16 20 16 16B=200 180 190

100 120 100

150 160 140

180 150 150第二章矩阵运算和行列式§2.1 矩阵及其运算第二章矩阵运算和行列式§2.1 矩阵及其运算

例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若a

ij表示从i市

到j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为

1 4

2 3A= (a

ij) =0 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 1 0

例3. 直线的一般方程

A

1x+B

1y+C

1z+D

1= 0

A

2x+B

2y+C

2z+D

2= 0

A

1B

1C

1

A

2B

2C

2系数矩阵

第二章矩阵运算和行列式§2.1 矩阵及其运算3. 向量

n维行向量: 1n矩阵[a

1, a

2, …, a

n]

n维列向量: n1矩阵a

1

a

2

…

a

n

第i分量: a

i(i= 1, …, n) n阶方阵: nn矩阵2. 方阵

第二章矩阵运算和行列式§2.1 矩阵及其运算

第二章 行列式

基本内容及考点综述

一、基本概念

1.逆序、逆序数

在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.

2.n级行列式.

n级行列式

nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa,,,)1(21212121)(212222111211.

二、基本性质

1. 行列式与其转置列式相等即TDD.

2. 用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行(列)的所有元素,或行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

3. 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.

4. 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零.

5. 对换行列式中两行的位置,行列式反号.

6. 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.

7.11112111121111211211221221212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabbbbcbcbccccaaaaaaaaa

11221122||,8.0,||,0,kikikninkjkjnknjAikaAaAaAikAjkaAAAaAjk当当当当

其中ijA是元素ija的代数余子式.

9. (拉普拉斯定理)设在行列式D中任意取定了)11(nkk个行,由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.

三、基本方法

本章的重点是行列式的计算,关键是观察、分析行列式的特点,探索、寻找最佳的解题思路.下面介绍几种常见的行列式计算方法. 1.化三角形法.利用行列式的性质,将行列式化成上(下)三角行列式.

2.降价法,将行列式D按某一行展开或将D按某k行展开,将较高阶的行列式化成较低阶的行列式计算.

3.升阶法.将n阶行列式D增加一行一列变成1n阶行列式,使它更容易计算.

单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室

批准： 日期： 年 月 日 任课教员：刘 静

班 次 上课日期 节次 上课时数 累计时数 教学场所

06级电子信息3班 07. 09.14 3~4 2 4 20#B102

06级合训7、8班 07.11.14 1~2 2 4 236

课程名称： 线 性 代 数

章节名称： 第一章 行列式

课 题： 第二讲 行列式的性质

目的、要求： 1. 熟练掌握行列式的6条性质；

2. 能够利用行列式的性质计算行列式。

难点、重点： 行列式的性质及其应用。

器材设备： 多媒体设备

课 前 检 查

序号 题 目 学员姓名 成绩

1 行列式的定义

教学内容：

本次课讲介绍行列式的6条重要性质及利用性质计算行列式。

教学方法与思路：

1. 详细介绍行列式的6条重要性质，必要的给出证明；

2. 举例讲解如何利用性质将行列式转化成三角行列式来进行计算；

教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。

教学步骤：

1. 介绍行列式的性质；

2. 利用性质计算行列式。

3. 小结并布置作业。

教学内容、方法、步骤 教 学 内 容 课堂组织

- 1 - §5 行列式的性质

一、行列式的性质

首先给出转置行列式的概念。

性质1 设nnnnaaaaD1111,

nnnnaaaaD1111Τ,

则DDΤ．

证 令),,2,1,(njiabjiij, 则

nnnnbbbbD1111Τ

nnnppppppbbb212121)()1( )(21nppp

Daaanppppppnn21)(2121)1( (根据Th2)

性质2 设jnjiniaaaaDji11,,