行列式2

二阶三阶行列式计算方法

行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和变换。在实际应用中，行列式经常用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题。本文将介绍二阶三阶行列式的计算方法。

二阶行列式

二阶行列式是一个2×2的矩阵，它的计算方法如下：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} \\

a_{21} & a_{22}

\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

$$

其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$是矩阵中的元素。例如，对于矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，它的二阶行列式为：

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 \\ 3 & 4

\end{vmatrix} = 1\times4 - 2\times3 = -2

$$

三阶行列式

三阶行列式是一个3×3的矩阵，它的计算方法如下：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +

a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} -

a_{12}a_{21}a_{33}

$$

其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$是矩阵中的元素。例如，对于矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &

二阶行列式

1. 二阶行列式的概念问题

例1 判断以下几项中哪些是二阶行列式，哪些不是二阶行列式？

（1）111222abcabc

（2）sinsincoscos

（3）112233ababab

（4）611641723285439505

例2 将下列各式用行列式表示：

（1）24bac；（2）152xy；（3）242xx

2. 二阶行列式的算法问题

例3 展开下列行列式，并化简：

（1）97223；（2）223486mmmm；（3）sincossincossincos

例4 计算

（1）2cos112111cos12；（2）27423831225

例5 若关于x的方程21203xxa有解，则实数a的取值范围是

例6 若已知函数3cos22()2sincos3f且[0,2]，求的值

3. 二元一次方程组的行列式解法

例7.利用行列式解下列关于x,y的方程组：

（1）11603510xyxy

（2）sincossin3sin()cos()cos22xyxy

例8 判断m取什么值时，下列关于s,t的方程组有唯一解：

（1）22(1)(1)1(1)1msmtmmsmtm

（2）2(2)2711msmtmsmt

例9 用行列式的方法解关于x,y的方程组

(31)(14)54(1)(12)3kxkykkxkyk，并对所得的情况进行讨论

例10 在ABC中，如果2sin11cossinACB，试着判断ABC的形状

教案编号:NO2

课 题: §7.2行列式按行（列）展开

教学时间:

教学班级:

授课类型:讲授新课

教学目的的要求：

1.掌握余子式、代数余子式的概念；

2.理解并掌握行列式的展开的方法；

3.会用拉普拉斯法则展开行列式。

教学重点：

1.掌握余子式、代数余子式的概念；

2.理解并掌握行列式的展开的方法；

教学难点：

1.理解并掌握行列式的展开的方法；

教授思路及教学方法：

1.从上节课n阶行列式的定义直接计算行列式很复杂（不能简单按二阶和三阶的对角线法去展开，虽然内涵是一样的）提出有必要研究简化算法。

2.从分析三阶行列式计算入手，引入行列式按行展开算法，提出余子式、代数余子式的

概念。最后给出n阶行列式按行展开算法。

3.在教学拉普拉斯法则后，加强练习学会展开3阶以上的行列式。

教学过程：

一、教学引入:

1、 复习回顾

（1） 二阶、三阶行列式的计算

（2）n阶行列式的定义直接计算行列式很复杂，提出有必要研究简化算法。

二、讲授新课

1.余子式和代数余子式

在n阶行列式中，将元素ija所在的第i行和第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；同时，称ijjiijMA)1(为元素ija的代数余子式。

例如：三阶行列式

中的元素23a的余子式和代数余子式分别为：

3212311123Maaaa；32123111321231113223)1(Aaaaaaaaa

注：代数余子式的符号有规律可循（以五阶行列式为例）

------------

2.定理（拉普拉斯法则）：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与它的代数余子式乘积之和

或

特别地 如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，则此行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即

以此，我们选择拉普拉斯法则展开多阶行列式时，最好选择含0元素最好多的行或列。

1 第26讲 二阶行列式与三阶行列式

知识点概要

1.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：

设二元一次方程组（*）222111cybxacybxa（其中yx,是未知数，2121,,,bbaa是未知数的系数且不全为零，21,cc是常数项）

用加减消元法解方程组（*）:

当01221baba时，方程组（*）有唯一解：1221122112211221babacacaybababcbcx，

引入记号21aa

21bb表示算式1221baba，即21aa

21bb1221baba．

从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。

记D21aa

21bb，xD21cc

21bb，yD21aa

21cc，则：

①当D21aa

21bb=01221baba时，方程组（*）有唯一解，

可用二阶行列式表示为DDyDDxyx.

②当D=0时，0xyDD方程组（*）无穷组解；

③当D=0时，0xD或0yD，方程组（*）无解。

系数行列式1122abDab也为二元一次方程组解的判别式。

2.三阶行列式

（1）三阶行列式的展开方法：

①对角线方式展开：

②按某一行(或列)展开法：

2 333231232221131211aaaaaaaaa =112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa

=11a33322322aaaa-12a33312321aaaa+13a32312221aaaa

记322211aaM

3323aa，111111)1(MA，312112aaM

3323aa，

12A1221)1(M，312113aaM

3222aa，133113)1(MA