《第一章行列式》
- 格式：docx
- 大小：308.90 KB
- 文档页数：89
第一章 题型1.1利用行列式的性质和按行（列） 行列式
展开定理计算行列式
例1 （1996年，1, 2） 4阶行列式
(A) a1a2a3a4 — b1b2b3b4
(C) aE-0b2 a3〉4 也屁 a1 0 0
0 a2 b2
0 b3 a3
b4 0 0
(B) a1a2a3a4
(D) (a2a3 - a4 bi
0
0
b^bA
b2bs a〔a4 -
bib4 答案：D
分析：考虑到行列式的零元素比较多，可根据行（列）
开计算
详解：按第一行展开得 展开定理直接按第一行展
a2 b2 0
原式=a1 b3 a3 0 -b〔
0 0 a4
0
0
b4 a2
b3
0 b2
a3
0 a2
=a〔a4
b3 b2
a3 - bm a2 b2
b3 a3
题型1.2利用行列式和矩阵的运算性质计算行列式
例 1 （1988 年，1）设 4 阶矩阵 A=（a,「2,r3,r4 ）B =伊，「2,「3,「4）,其中
a,B,r2,r3,r4 均为四维歹0向量，且已知行列式|A=4,
答案：40
A + B=[a +、2?2,2?3,2*],于是仕+目=
=8。戏,匕,丫3尸4 详解因为 =8(|「，2, 3, 4
评注1应当注意矩阵运算与行列式运算的差异,
评注2作为解题技巧，本题也可令A = 一4
〔0
0
_0 0
1
0
0
足题设条件，丁是同样可得到正确答案，即 I T：, 2, 3, 4 。+0,2夺4|
|) =8(| A + B|) = 40
般来说 #|A+|B
0
0
1
0 01
0
0
1 一1
I。
0
-0 0
1
0
0 0
0
1
0 01
0
0
1 ，则A,B满
5
0
0
0 0
2
0
0 0
0
2
0 0
0
0
2 =40
例2 （2005年，1）设«1«2«3均为三维列向量，记矩阵 1,・ 2,
A = (%,C(2,C(3 ), B =(% +a2 +0(3,% 十夕2 + 40(3,0(1 十四2 + 弘3),如果 A =1 ,
一2 =a21、：1 ■ 322上2 , a2n、：n,
：m =am1：1 ' am1： 2 ’amn「n，
A + B 彳=.
答案：3
详解： A + B「= A（B+A」）B[ = |A|A4 + B ||B"1 =3
题型1.3利用秩、特征值和相似矩阵等计算行列式
例1 （1995年，1）设A是n阶矩阵，满足AA「= E （E是n阶单位矩阵,A是A
的转置矩阵），A <0 ,求A + E
分析：已知矩阵等式 AA「=E求抽象矩阵A + E的行列式，自然想到要利用此等 那么B =
答案：2
分析
即可 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算
详解 B =(：• 1 r2 y3, ； 1 • 2； 2 - 4 3, 1 3 2 ' 9- 3)
1 1 1
1 2 3
1 4 9_ 由题设，有 / 、
（：1,： 2,： 3）
丁是有B = A • =1 2 =2
详解 用行列式性质对列向量组化简得
B = ：、•「2 •「3,；1 2- 2 4「3,；1 3： 2 9 3
=E +c（2 +c（3,a2 03,2^3 =2%,叫华
1本题相当丁矩阵B的列向量组可由矩阵 股地，若 〜+为+幺户2+83*2+女
=2
评注
将其转化为用矩阵乘积形式表示。
、=an，1 auM •…an； A的列向量组线性表示，关键是
则有「1, , 'm L *：2"，:\ a11
]a!2 a21
a22 am1
am2
_a〔n a2n amn
一1
评注2作为做题技巧，可令A = 0
0 01 一1
1
■1 1
2 3于是B = 2
4 9
例 3 (2010 年，2, 3)设 A,B 为 阶矩阵，且A =3, B =1 I 2, A"1 +B = 2 ,则 式条件。一种方法是将E=AAT直接代入要计算的行列式中；另一种方法是“凑”
出可利用已知矩阵等式左端的形式 AAT =E带入计算。
详解1：根据AAT =E有
A + E = A + AA： = A（E 十 AT） = A|E + AT| =|A«E + A）T| = A|E+A=|AA+E,
于是（1 — A）A + E = 0 因为 1 —A >0,故 A十 E =0
详解 2: （A + E）AT =|AAT +A：=|E+A：= A + E，即有 A+E|A=|A+E，也即
（1 一 A） A + E| = 0 因为 1 — AA0 故 A + E= 0
例2 （1999年，1）设A是mxn矩阵，B是R m矩阵，则（）
（A） 当m〉n时，必有行歹U式 AB。0
（B） 当m > n时，必有行歹0式 AB = 0
（C） 当n》m时，必有行列式|AB#0
（D） 当n:>m时，必有行歹U式 AB =0
答案：B
分析：四个等式在丁区分行列式是否为零， 而行列式是否为零乂是矩阵是否可逆 的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆乂与矩阵是否满秩相联 系，最终只要判断AB是否满秩即可
详解：因为AB为m阶方阵，且r（AB）三min（ r（A）,r（B） }苴min《m, n }
当m>n时，由上式可知，r（AB）壬n 式AB=0,因此正确选项为B 评注：本题未知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行 求解是困难的，对丁此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用： （1）矩 阵的秩（判断行列式是否为零）；（2）行（列）向量组的线性相关性（3）方程组 解的判定；（4）特征值和相似矩阵的性质等进行计算。 例3 （2000年，3）若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为I,〕」,】，则行 2 3 4 5 歹0式 B^-E =o 答案：24 分析：利用特征值的公式计算行列式： 一2 •….知，其中 璀⑵…，"为n 阶矩阵A的n个特征值。 详解：因为A与B相似，而相似矩阵具有相同的特征值，所以 B的特征值也为 -,-,-,-,乂 Bx = ^x,入。0,i =1,2，…,n 有（B」—E）x = （【—1）x 可见矩阵 B」—E 2 3 4 5 . 有特征值—-1,即1, 2, 3, 4,从而有行列式B」-E =仆2乂3乂4 = 24 君i 评注：一般来说，抽象行列式的计算不能利用通常的的行列式性质化三角形行列 列式等方法进行计算，典型的方法应是通过矩阵关系式或矩阵特征值计算， 这一 点在复习时应注意。 第二章 矩阵 题型2.1 有关逆矩阵的计算与证明 例1 （1990年，3）已知对丁 n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明： 矩阵E—A可逆，并写出其逆矩阵的的表达式（E为n阶单位阵）。 【分析】利用逆矩阵的定义进行讨论 【详解】由 Ak=0得 E=E-Ak =（E-A）（E+A+…+Ak‘）， 所以E - A可逆且（E - A）」=E + A+…+AkJL。 例2 （1996年，1）设A=E-^T,其中E是n阶单位矩阵，E是n维非零列向量， 匕丁是匚的转置，证明： （1） A2 = A的充要条件是 日=1 ; （2） 当日=1时，A是不可逆矩阵。 【分析】本题有几点值得注意：（1） 以为常数，利用这一点 与矩阵乘法的结合 律经常可简化计算；（2） 一个题有多部分构成时，后面的部分应尽可能利用前面 的部分已有的结论；（3）证明某矩阵不可逆，除了通常根据行列式、矩阵秩和方 程组的解等进行判断外，另一个典型方法就是反证法，即假设 A可逆，再在已知 等式两边同乘以A」导出矛盾即可。 【详解】（1） 1=（£-归）（£-，顷）=£-2归+泌也）0 =E-（2- T ） T, 因此 A? = A：= E—(2— T ) T = E— T = ( T 一1) T =0= T =1( =0) (2)【详解1】当 M=1时，At=(E—矍T)E=E一览弋=0 因为匚#0,故Ax = 0有非零解，因此|A=。,说明A不可逆。
