兰炼一中高二上学期数学期末考试

兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高二数学（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．抛物线22y x =的焦点坐标是( )A.102⎛⎫⎪⎝⎭， B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1,08⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 108⎛⎫⎪⎝⎭， 2．若命题“p ∧(¬q )”为真命题，则 ( )A ．p ∨q 为假命题B ．q 为假命题C ．q 为真命题D ．(¬p )∧(¬q )为真命题3．已知条件:12p x +>，条件2:560q x x -+<，则¬p 是¬q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．曲线192522=+y x 与)90(125922<<=-+-k k y k x 的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点 B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对5．i 为虚数单位，则201911i i +⎛⎫⎪-⎝⎭= ( )A ．i -B ．1-C ．iD ．1 6．复数 z 满足条件224z z +--=，则复数z 所对应的点Z 的轨迹是（ ） A.双曲线 B ．双曲线的右支 C ．线段 D ．一条射线 7．下列说法错误的是 ( ) A.回归直线过样本点的中心(),x y .B.对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小C.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D.在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位8．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断( ) A.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关9．过抛物线y 2＝8x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A.6B.8C.10D.1210．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]241670x x -+<成立的充分不必要 是（ ）A. 17,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．[]1,3x ∈C ．[)1,4x ∈D ．[]1,4x ∈11．已知F 是双曲线C ：225(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）B.3 D.5m12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ）A B C D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在复平面内，复数85,43i i +-+对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 .14．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.15．已知1F 是椭圆2212516x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，(1,3)A -是一定点，则1PA PF +的最大值是__________．16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，给出下列三个结论：①PMN ∆必为直角三角形；②直线PM 必与抛物线相切；③PMN ∆的面积为2p ．其中正确的结论是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知{}20:,:1,0100x p x q x m x m m x ⎧+≥⎫⎧-≤≤+>⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知直线122y x=-+和椭圆22221(0)x ya ba b+=>>相交于A，B两点，且a＝2b，若AB=求椭圆的方程.19. (本小题满分12分)某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高二年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.20．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2，且过点(4,P.(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，试求12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的值.21． (本小题满分12分)设抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，开口向上，焦点到准线的距离为14（1）求抛物线的标准方程；（2）已知抛物线C 过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点，求证：OA OB ⋅u u u r u u u r 为定值.22．(本小题满分12分)已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，124y y =-. (1)求抛物线方程；(2)点B 在准线l 上的投影为E ，D 是抛物线C 上一点，且AD EF ⊥， 求ABD △面积的最小值及此时直线AD 的方程.兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高二数学（文科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．抛物线22y x =的焦点坐标是( D )A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 108⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2．若命题“p ∧(¬q )”为真命题，则 ( B )A ．p ∨q 为假命题B ．q 为假命题C ．q 为真命题D ．(¬p )∧(¬q )为真命题3．已知条件:12p x +>，条件2:560q x x -+<，则¬p 是¬q 的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．曲线192522=+y x 与)90(125922<<=-+-k ky k x 的关系是( B )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对 5．i 为虚数单位，则201911i i +⎛⎫⎪-⎝⎭= ( A )A ．i -B ．1-C ．iD ．1 6．复数 z 满足条件224z z +--=，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ D ） A.双曲线 B ．双曲线的右支 C ．线段 D ．一条射线 7．下列说法错误的是( B ) A.回归直线过样本点的中心(),x y .B.对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小C.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D.在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位8．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断( C )A.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关9．过抛物线y 2＝8x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( C) A.6B.8C.10D.1210．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]241670x x -+<成立的充分不必要 是（ B ）A. 17,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．[]1,3x ∈C ．[)1,4x ∈D ．[]1,4x ∈11．已知F 是双曲线C ：225(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ A ）A.5B.3C.5mD.5m12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ C ） A ．5 B ．3 C ． 2 D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在复平面内，复数85,43i i +-+对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 . 答案：24i +14．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)15．已知1F 是椭圆2212516x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，(1,3)A -是一定点，则1PA PF + 的最大值是__________．答案：1516．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，给出下列三个结论：①PMN ∆必为直角三角形；②直线PM 必与抛物线相切；③PMN ∆的面积为2p ．其中正确的结论是 ． 答案：①②③解析：对于①：由题意得抛物线()220y px p =>的焦点为,0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭∴,0,2p P ⎛⎫- ⎪⎝⎭过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，则,,,22p p M p N p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴F 为MN 的中点，且1,2PF MN =∴PMN ∆为等腰直角三角形，故①正确； 对于②：直线PM 的方程为2p y x =+，由222p y x y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得2220,y py p -+=∴22440,p p ∆=-=∴直线PM 与抛物线相切，故②正确；对于③：由题意得211222PMN S PF MN p p p ∆==⨯⨯=，故③正确． 综上可得正确结论的序号为①②③． 故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知{}20:,:1,0100x p x q x m x m m x ⎧+≥⎫⎧-≤≤+>⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解法一：p 即{}210x x -≤≤，∴{}:210p A x x x ⌝=<->或, {}:11,0q B x x m x m m ⌝=<->+>或 ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴B A 0,129,110m m m m >⎧⎪⇔-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩即m 的取值范围是{m |m ≥9}.解法二:∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件. ∴p 是q 的充分不必要条件.而{}:210p P x x =-≤≤，{}:1,0q Q x m x m m =-≤≤+>∴P Q ,即⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥⇒-≤->.101.921,0m m m m ∴m 的取值范围是{}9m m ≥18．已知直线122y x =-+和椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若25AB =.解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22212244y x x y b ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩,消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0. 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵25AB =()2121211454x x x x ++-=即()251648252b --=，解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16. ∴所求椭圆的方程为221164x y +=. 19. (本小题满分12分)某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高二年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计参考公式：22() ()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中 n a b c d =+++.解析：(1)根据统计数据，可得2×2列联表如下：(2)则K 2的观测值为22180(60453045)365.1429 5.0241057590907K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.20．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，，且过点(4,P . (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，试求12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的值.解析：(1) ∵e ，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,P ，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，a ＝b ，得c ＝F 1(－，0)，F 20)，()()123,,3,MF m MF m =--=-u u u u r u u u u r，从而()()2123,3,3MF MF m m m ⋅=---=-+u u u u r u u u u r由于点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，故120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r .21． (本小题满分12分)设抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，开口向上，焦点到准线的距离为14（1）求抛物线的标准方程；（2）已知抛物线C 过焦点F 的动直线交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点，求证：OA OB ⋅u u u r u u u r 为定值.解析：（1）由题意知p =，2p =，抛物线的标准方程为212x y =. （2）设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . 由 得：2110216x kx --=，∴12116x x =- 故()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-u u u v u u u v 为定值. 22．(本小题满分12分)已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，124y y =-.(1)求抛物线方程；(2)点B 在准线l 上的投影为E ，D 是抛物线C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD △面积的最小值及此时直线AD 的方程.解析：（1）依题意,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当直线AB 的斜率不存在时，24,2AB p p =-=-=当直线AB 的斜率存在时，设:2p AB y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得2220p y y p k--= 由124y y =-得24p =，2p =，所以抛物线方程24y x =.（2）设()00,D x y ，2,4t B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,E t -，又由124y y =-，可得244,A t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 因为2EF t k =-，AD EF ⊥，所以2AD k t =，故直线2424:AD y x t t t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭由2248240y x x ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩，化简得2216280y ty t ---=，所以10102162,8y y t y y t +==--.所以10AD y =-== 设点B 到直线AD 的距离为d，d ==所以1162ABD S AD d ∆=⋅=≥，当且仅当416t =，即2t =± 2:30t AD x y =--=时，,2:30t AD x y =-+-=时，.。

高二数学一､选择题（每小题4分，共48分）1. 圆心为且过原点的圆的方程是()1,1A. ()()22111x y -+-=B. ()()22111x y +++=C ()()22112x y +++=D. ()()22112x y -+-=【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即()()2211(0)x y m m -+-=>，得，所以圆的方程为.故选D.()()220101(0)m m -+-=>2m =()()22112x y -+-=考点：圆的一般方程.2. 已知数列为各项均为正数的等比数列，若，则{}n a 243546225a a a a a a ++=35a a +=（） A. 5 B. C.D. 无法确5-5±定 【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，再利用各项均为正数即可求解. 223355225a a a a ++=【详解】由等比数列的性质可得：，，2243a a a =2465a a a =所以可化为，243546225a a a a a a ++=223355225a a a a ++=即，又因为数列为各项均为正数，所以，235()25a a +={}n a 355a a +=故选：.A 3. 已知等差数列的前项和为，若 {}n a n n S 45818,a a S =-=则A72 B. 68C. 54D. 90【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意得，.考点：等差数列的性质和前项和公式.4. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（）221259x y +=1F ,A B 2ABF △A. 20 B. 16C. 14D. 12【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得的周长为，从而可求得结果.2ABF △4a 【详解】由，得，得，221259x y +=225a =5a =所以的周长为2ABF △22112244520AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==⨯=， 故选：A5. 是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则P 2211620x y -=12,F F 19PF =2PF =（） A. 1 B. 17C. 1或17D. 2或18【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的定义即可求解.【详解】由双曲线方程为可得：，，2211620x y -=4a =6c =因为是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，P 2211620x y -=12,F F 由双曲线的定义可知：，又因为， 2128PF F a P -==19PF =所以或，由题意可知：，所以， 21PF =1722PF c a ≥-=217PF =故选：.B 6. 直线经过第一、二、四象限，则a 、b 、c 应满足（） 0ax by c ++=A.B.C.D.0,0ab bc ><0,0ab bc <<0,0ab bc >>0,0ab bc <>【答案】A 【解析】【分析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论. 0,0a cb b-<->【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， a cy x b b=--∵直线经过第一、二、四象限， ∴， 0,0a cb b-<->∴且． 0ab >0bc <故选：A.7. 已知数列的前项和，，则（）{}n a 221n S n =+n *∈N 5a =A. 20 B. 17 C. 18 D. 19【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，由，即可得出结果． 554a S S =-【详解】因为数列的前项和， {}n a 2*21,n S n n N =+∈所以． 22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=故选：C ．8. 经过圆的圆心C ，且与直线垂直的直线方程是（） 2220x x y ++=0x y +=A. x ＋y ＋1＝0 B. x ＋y －1＝0C. x －y ＋1＝0D. x －y －1＝0 【答案】C 【解析】【详解】圆的圆心C 为（-1，0）， 2220x x y ++=而直线与x+y=0垂直，所以待求直线的斜率为1， 设待求直线的方程为y=x+b ，将点C 的坐标代入可得b 的值为b=1， 故待求的直线的方程为x-y+1=0． 故选 C9. 已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为{}n a n 55,5,15n S a S ==11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭A.B.C.D.1001019910199100101100【答案】A 【解析】【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⇒⇒a n ＝n. 1145{545152a d a d +=⨯+=111a d =⎧⎨=⎩∴＝＝， 11n n a a +⋅()11+n n 111n n -+S 100＝＋＋…＋112⎛⎫- ⎪⎝⎭1123⎛⎫- ⎪⎝⎭11100101⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1－＝. 110110010110. 经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）()2,2P -22:12x C y -=A.B.C.D.22142x y -=22124y x -=22124x y -= 22142-=y x 【答案】B 【解析】【分析】根据题意设出双曲线的方程，然后代入点的坐标求解出方程中的参数，由此求P 解出双曲线的方程.【详解】设满足题意的双曲线方程为，()2202x y λλ-=≠代入，所以，所以，()2,2P -()22222λ--=2λ=-所以双曲线方程为：，即，2222x y -=-22124y x -=故选：B.11. （2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：的左，右焦点，点M22221x y a b-=在E 上，M F 1与轴垂直，sin ,则E 的离心率为 x 2113MF F ∠=A.B.32C.D. 2【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.12. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射()2,3--y ()()22321x y ++-=光线所在直线的斜率为（） A. 或B. 或C. 或D. 或53-5335-3223-2343-34-【答案】D 【解析】【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线()2,3-的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：. k ()32y k x +=-230kx y k ---=又因为光线与圆相切，,()()22321x y ++-=1整理：，解得：，或,故选D ． 21225120k k ++=43k =-34k =-考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.二､填空题（每小题4分，共20分）13. 在等差数列中，已知，则___________.{}n a 593,6a a ==13a =【答案】 9【解析】【分析】方法一：根据等差数列的性质即可求解. 方法二：根据等数列的定义得出公差，代入等差数列的通项公式即可求解. 34d =【详解】方法一：由等差数列的性质可得：，所以， 95132a a a =+13952a a a =-又因为，所以， 593,6a a ==132639a =⨯-=故答案为：.9方法二：因为在等差数列中，已知，所以公差，则{}n a 593,6a a ==953954a a d -==-，1394639a a d =+=+=故答案为：.914. ，则双曲线的两条渐近线的夹角是___________. 【答案】 90 【解析】【分析】首先根据双曲线的离心率得到渐近线方程为，再求渐近线的夹角即可. y x =±，所以双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为. y x =±因为与的夹角为， y x =y x =-90 所以双曲线的两条渐近线的夹角是. 90 故答案为：90 15. 等比数列的各项均为正数，且，则{}n a 154a a =_____.2122232425log log log log log a a a a a ++++=【答案】. 5【解析】【详解】试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，21534a a a =={}n a 32a =，()()()223512345152433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==．()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．16. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆22650x y x +++=226910x y x +--=心的轨迹方程为___________.【答案】2213627x y +=【解析】【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，【详解】圆的圆心为，， 22650x y x +++=(3,0)A -1=2r 圆的圆心为，， 226910x y x +--=(3,0)B 210r =设动圆的圆心为，半径为，P r 由题意得，，则，， ||2PA r =+||10PB r =-||+||=12>212PA PB ABa =｜｜，3c =由椭圆定义得的轨迹方程为，P 2213627x y +=故答案为：2213627x y +=17. 已知双曲线的（为双曲22221(0,0)x y a b a b -=>>c 线的半焦距），则双曲线的离心率为___________. 【答案】 2【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得：双曲线一个焦点到一条渐近线的距离，根d b =据题意可得：，再利用即可求出离心率. b =222c a b =+【详解】不妨设右焦点，双曲线的渐近线方程为：(c,0)F 22221(0,0)x y a b a b-=>>，由点到直线的距离公式可得：焦点到渐近线的距离，0bx ay ±=d b ==根据题意则有，又因为，所以，则，b =222c a b =+2214a c =2c e a ==故答案为：.2三､解答题18. 记为等差数列的前项和，已知，． n S {}n a n 17a =-315S =-（1）求的通项公式； {}n a （2）求，并求的最小值．n S n S【答案】（1）；（2），最小值为–16．29n a n =-2=8n S n n -【解析】【分析】（1）方法一：根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n 项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. n S 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，{}n a d 315S =-()3237152d ⨯⨯-+=-=2d 所以．29n a n =-[方法二]：函数+待定系数法设等差数列通项公式为，易得，由，即，即{}n a =+n a kn b +=7k b -315S =-2315a =-，解得：，所以．25k b +=-=2,=9k b -29n a n =-（2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以1(1)=+2n n n d S na -2=8n S n n -0n a <29<0n -14n ≤≤的最小值为，n S 41=4+6=16S a d -所以的最小值为． n S 16-[方法2]：函数法 由题意知，即， 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2=8n S n n -()2416n =--所以的最小值为，所以的最小值为．n S 24=44×8=16S --n S 16-【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n 项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n 项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n 项和公式求，再利用邻项变号法求最值； n S 方法二：利用等差数列前n 项和公式求，再根据二次函数性质求最值．n S 19. 已知圆内有一点，为过点且倾斜角为22:2270C x y x y +---=(1,2)P -AB P α的弦 （1）当时，求弦长； 4πα=||AB （2）当弦被点平分时，求直线的方程.AB P AB【答案】（1）2） 240x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意求出直线的斜率，表示出的方程，利用点到直线的距离公AB AB 式求出圆心到直线的距离，再由半径，利用垂径定理及勾股定理求出弦的长AB d r ||AB 即可；（2）根据为弦的中点，得出垂直于，根据直线的斜率求出直线的P AB OP AB OP AB 斜率，即可确定出直线的方程．AB 【详解】解：圆的方程可化为：， C 22(1)(1)9x y -+-=则，半径， (1,1)C 3r =当时，直线的斜率为1， 4πα=AB 则直线方程为， 3y x =+则圆心到直线的距离， d ==所以弦长； ||AB ===（2）设直线的斜率为，根据条件可知， AB k CP AB ⊥则， 121112CP k -==-+所以，2AB k =则直线的方程为， AB 2(1)2y x =++即．240x y -+=【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，涉及的知识有：直线的斜率与倾斜角之间的关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．20. 设椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左､右焦2222:1(0)x y C a b a b+=>>(12,,F F C 点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. 1e 2=2F l C ,M N （1）求椭圆的方程；C （2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说l 2OM ON ⋅=-l 明理由.【答案】（1）22143x y +=（20y --=0y+=【解析】【分析】(1)椭圆的顶点为，即，椭圆的离心率，(b =1e 2c a ===2a =，即可求得椭圆的方程；C (2)由题意知，当直线斜率不存在时，经检验不合题意，当直线斜率存在时，设存在直线l 为，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得()1y k x =-，由，代入即可求得的值，求得直线的方程. 2251234k OM ON k--⋅=+ 2OM ON ⋅=-k l 【小问1详解】椭圆焦点在轴上，2222:1(0)x y C ab a b+=>>x 一个顶点为，则，椭圆的离心率(b =，解得，1e 2c a ===2a =椭圆的方程为. ∴C 22143x y +=【小问2详解】由题可知，直线与椭圆必相交. l 当直线斜率不存在时，经检验不合题意.当直线斜率存在时，设存在直线为，l ()1y k x =-且，.由，()11,M x y ()22,N x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩整理得：，()22223484120kxk x k +-+-=，， 2122834k x x k ∴+=+212241234k x x k-=+()()121211y y k x k x =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()212121k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦121212OM ON x x y y x x ⋅=+= ()212121k x x x x +-++⎡⎤⎣⎦2241234k k -=+， 22222412813434k k k k k ⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭2251234k k --=+由，即， 2OM ON ⋅=- 22512234k k--=-+解得：k =故直线的方程为或， l )1y x =-)1y x =-. 0y --=0y +-=。

甘肃省兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·万州期末) 已知为命题，则“ 为假”是“p 为假”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）等差数列的前n项和为Sn ，若，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·河南期末) 已知实数对（x，y）满足，则2x+y取最小值时的最优解是（）A . 6B . 3C . （2，2）D . （1，1）5. （2分） (2016高三上·思南期中) 过抛物线y2=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 不确定D . 钝角三角形6. （2分） (2016高二上·上杭期中) 已知a∈R，“函数y=logax在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x+a ﹣1有零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2016高一下·宜春期中) 一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若且前4项和，则此样本的平均数和中位数分别是（）A . 22,23B . 23,22C . 23,23D . 23,248. （2分）(2014·安徽理) 在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，| |=| |=1，• =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A . 1＜r＜R＜3B . 1＜r＜3≤RC . r≤1＜R＜3D . 1＜r＜3＜R9. （2分） (2017高三下·漳州开学考) 已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ，则e1e2的取值范围为（）A .B .C . （2，+∞）D .10. （2分）已知A点的坐标是(-1,-2,6)，B点的坐标是(1,2,-6)，O为坐标原点，则向量的夹角是（）A . 0B .C .D .11. （2分） (2016高二上·蕲春期中) 方程 + =1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4③曲线C不可能是圆④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高二上·商丘期中) 已知F1、F2是椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥ ，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·桐乡期中) 若等差数列{an}的公差d≠0且a9 ， a3 ， a1成等比数列，则=________．14. （1分）命题“∃x0∈R，使”的否定为________命题（填“真”或“假”）．15. （1分） (2018高二上·淮北月考) 若点坐标为，是椭圆的下焦点，点是该椭圆上的动点，则的最大值为，最小值为，则 ________．16. （1分） (2015高二上·湛江期末) 已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得 =8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共36分)17. （5分）四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是CD的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与PC所成的角；（Ⅱ）线段PB上是否存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18. （1分） (2017高二下·淄川开学考) 设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为________．19. （5分）为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里．（1）求△ABD的面积；（2）求C，D之间的距离．20. （10分） (2016高二上·衡水期中) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．21. （5分） (2017高三上·济宁期末) 数列{an}是公比为q（q＞1）的等比数列，其前n项和为Sn ．已知S3=7，且3a2是a1+3与a3+4的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn= ，cn=bn（bn+1﹣bn+2），求数列{cn}的前n项和Tn ．22. （10分） (2018高三上·南阳期末) 平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点、．①求证：；②求面积的最大值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共36分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·南阳期末) 已知X是离散型随机变量，P（X=1）= ，P（X=a）= ，E（X）=，则D（2X﹣1）等于（）A .B . ﹣C .D .2. （2分）某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k=16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从65～80这16个数中应取的数是（）A . 71B . 68C . 69D . 703. （2分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取5人，则其中成绩在区间[142，148]上的运动员人数是（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A . i≤1005B . i>1005C . i≤1006D . i>10065. （2分）给出以下四个说法：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔20分钟抽取一件产品进行某项指标的检测，这样的抽样是分层抽样；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程y=0.2x+12中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是（）A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③6. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A . 众数B . 平均数C . 中位数D . 标准差7. （2分） (2016高二下·黄冈期末) 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），其正态分布密度曲线为函数f（x）的图象，且 f（x）dx= ，则P（x＞4）=（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·红桥期末) 甲、乙两人射击比赛，两人平的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·临汾模拟) 在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）11的展开式中，x3的系数是（）A . 220B . 165C . 66D . 5510. （2分） (2016高二上·枣阳期中) 如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，以OA为直径作一个半圆，若在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三上·太原期末) 执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A . ﹣2B . ﹣3C . 4D . 312. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（）A . 20种B . 15种C . 10种D . 4种二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·泰州期中) 不等式＜30的解为________．14. （1分）把2016转化为二进制数为________15. （1分）若随机变量ξ的分布列如下表：ξ01xP p且E（ξ）＝1.1，则D（ξ）＝________．16. （1分）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为________ ．三、解答题： (共6题；共70分)17. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 某市疾控中心流感监测结果显示，自年月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知位同学中有位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这位中的位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外位同学中逐个检测；（1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；（2）表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．18. （10分） (2018高二下·抚顺期末) 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合计1512137845附：（1）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，按分层抽样的方法，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取6名用户求抽取的6名用户中，男女用户各多少人；② 从这6名用户中抽取2人，求既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率.（2）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，填写下表，问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？P(χ2≥k)0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男女合计19. （10分）(2017·四川模拟) 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．20. （5分）设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N* ，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为Pn ．（1）求P2 ， P3的值；（2）求Pn的表达式．21. （5分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N（μ，σ2），同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在[30，80]内），样本数据分别区间为[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若P（ξ＜38）=P（ξ＞68），求a，b的值；（Ⅱ）现从样本年龄在[70，80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望．22. （30分） (2015高三上·江西期末) “女大学生就业难”究竟有多难？其难在何处？女生在求职中是否收到了不公平对待？通过对某大学应届毕业生的调查与实证分析试对下列问题提出解答．为调查某地区大学应届毕业生的调查，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500为大学生做问卷调查，结果如下：性别男女是否公平公平4030不公平160270（1）估计该地区大学生中，求职中收到了公平对待的学生的概率；（2）估计该地区大学生中，求职中收到了公平对待的学生的概率；（3）能否有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关？（4）能否有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关？（5）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的大学生中，求职中是否受到了不公平对待学生的比例？说明理由．附：K2=P（K2≥k）0.0000.0100.001k 3.841 6.63510.828（6）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的大学生中，求职中是否受到了不公平对待学生的比例？说明理由．附：K2=P（K2≥k）0.0000.0100.001k 3.841 6.63510.828参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、答案：略8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共70分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、22-1、答案：略22-2、答案：略22-3、答案：略22-4、答案：略22-5、答案：略22-6、答案：略。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（理科）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟.一、第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小5题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2017一中理）（5分）抛物线216y x =的准线方程是（ ） A.4x =B.4x =-C.164y =D.164y =-【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其开口方向以及p 的值，由抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：抛物线的方程为216y x =，其标准方程为2116x y =， 其开口向上，且132p =， 则其准线方程为：164y =-； 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程．2．（2017一中理）（5分）若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（ ）A.B.54C.45D.53【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到,a b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-，可得34b a =，即()222916c a a -=，解得53c a =． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．3．（2017一中理）（5分）“13m <<”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程22113xy m m+=--表示椭圆， 则满足103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即132m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，即13m <<且2m ≠，此时13m <<成立，即必要性成立，当2m =时，满足13m <<，但此时方程22113x y m m +=--等价为22111x y +=为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立 故“13m <<”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键． 4．（2017一中理）（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米．A ．22B ．42C ．43D ．23【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把4y =-代入抛物线方程求得0x 进而得到答案．得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将()2,2A -代入2x my =， 得2m =-∴22x y =-，代入()0,4B x -得022x = 故水面宽为42． 故选：B ．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．5．（2017一中理）（5分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A ．14B 5C ．12D 52【分析】由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+，由1121,,AF F F F B 成等比数列可得到22215c e a ==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c ，由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+， ∵1121,,AF F F F B 成等比数列， ∴()()()22c a c a c =-+，∴2215c a =，即215e =， ∴5e =5． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用,a c 分别表示出1121,,AF F F F B 是关键，属于基础题．6．（2017一中理）（5分）若()(),5,21,1,2,2A x x x b x x --+-，当AB 取最小值时，x 的值等于（ ） A. 19B ．87-C ．87D ．1914【分析】利用向量的坐标公式求出AB 的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值．【解答】解：()1,23,33AB x x x =---+，()()()22212333AB x x x =-+-+-+2143219x x -+求出被开方数的对称轴为87x =， 当87x =时，AB 取最小值． 故选：C ．【点评】本题考查向量的坐标公式、考查向量模的坐标公式、考查二次函数的最值与其对称轴有关． 7．（2017一中理）（5分）已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题:,1x q x R e ∀∈>，则（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命()p q ∨⌝是假命题【分析】利用函数的性质先判定命题p q ，的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】解：对于命题p ：例如当10x =时，81>成立，故命题p 是真命题； 对于命题:,1x q x R e ∀∈>，当0x =时命题不成立，故命题q 是假命题； ∴命题()p q ∧⌝是真命题． 故选：C ．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，属于基础题． 8．（2017一中理）（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线222:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值是（ ）A ．12B C ．13D 【分析】先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径12,PF PF ，最后在焦点三角形12PF F 中，利用余弦定理计算即可．【解答】解：依题意，曲线221:162x y C +=的焦点为()()122,0,2,0F F -， 双曲线222:13x C y -=的焦点也为()()122,0,2,0F F -， P 是曲线2C 与1C 的一个交点，设其为第一象限的点 由椭圆与双曲线定义可知1212PF PF PF PF +=-=解得12PF PF = 设12F PF θ∠=则()()()()222636341cos 326363θ++--==+-， 故选：C ．【点评】本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题．9．（2017一中理）（5分）已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值．【解答】解：椭圆的方程为22194x y +=， 26,24,25a b c ∴===，连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得2ABF ∆的周长22122l AF BF AB AF AF AB a AB =++=++=+， 当AB 位于短轴的端点时，AB 取最小值，最小值为24b =， 266410l a AB AB =+=+≥+=.故选：D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．10．（2017一中理）（5分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，O 是底面1111ABC D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）A ．12B 2C 2D 3【分析】过O 作11AB 的平行线，交11BC 于E ，则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离．作1EF BC ⊥于F ，进而可知EF ⊥平面11ABC D ，进而根据114EF BC =求得EF ． 【解答】解：过O 作11AB 的平行线，交11BC 于E ， 则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离． 作1EF BC ⊥于F ，易证EF ⊥平面11ABC D ， 可求得1124EF BC == 故选：B ．【点评】本题主要考查了点到面的距离计算．解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离． 11．（2017一中理）（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（ ） A ．22B 3C 2D 3【分析】设A 在第一象限，A B 、在准线上的射影分别为,M N ，过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,60,3AF AM m BN BF m BAF k ====∠==，当A 在第四象限时，可得3k =-． 【解答】解：设A 在第一象限，如图，设A B 、在准线上的射影分别为,M N ， 过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,2AF AM m BN BF m AE m ====∴=， 又4,60,3AB m BAF k =∴∠==， 当A 在第四象限时，可得3k =- 故选：B ．【点评】本题考查了抛物线的性质、定义，属于中档题．12．（2017一中理）（5分）过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，使得4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎭B ．)5,+∞C ． 55⎝D ．()55,⎛+∞ ⎝⎭【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB 只与双曲线右支相交，②AB 与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．【解答】解：由题意过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，使得4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，可得224b AB b a <=，并且24,1a b e >>，224b AB b a>=，并且24a b >，可得：51e <或5e 综合可得，有2条直线符合条件时，51e <或5e 故选：D ．【点评】本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2017一中理）（5分）给定下列命题： ①“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； ②“若1sin 2α≠，则6πα≠”； ③若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题；④命题“0,x R ∃∈使20010x x -+≤”的否定． 其中真命题的序号是__________．【分析】①直接由充分条件、必要条件的概念加以判断； ②找给出的命题的逆否命题，由其逆否命题的真假加以判断； ③由原命题的真假直接判断其逆否命题的真假；④首先判断给出的特称命题的真假，然后判断其否定的真假． 【解答】解：对于①，由1x >不能得到2x >，由2x >能得到1x >，∴“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，命题①为假命题；对于②， “若6πα=，则1sin 2α=”为真命题， ∴其逆否命题“若1sin 2α≠，则6πα≠”为真命题，命题②为真命题； 对于③，由0xy =，可得0x =或0y =，∴“若0xy =，则0x =且0y =”为假命题，则其逆否命题为假命题；对于④，0,x R ∃∈使20010x x -+≤22000131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∴命题“0,x R ∃∈使20010x x -+≤”为假命题，则其否定为真命题． ∴真命题的序号是②④．故答案为：②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，着重考查原命题与其逆否命题之间的真假关系，考查了命题与命题的否定，是中档题．14．（2017一中理）（5分）已知()()()2,1,3,1,4,2,7,5,a b c λ=-=--=，若,,a b c 三向量共面，则λ=__________．【分析】,,a b c 三向量共面三向量共面，存在,p q ，使得c pa qb =+由此能求出结果． 【解答】解：()()()2,1,3,1,4,2,7,5,a b c λ=-=--=，,,a b c 三向量共面三向量共面，∴存在,p q ，使得c pa qb =+， ()()7,5,2,4,32p q p q p q λ∴=--+-274532p q q p p q λ-=⎧⎪∴-=⎨⎪=-⎩， 解得331765,,32777p q p q λ===-=． 故答案为：657． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面定理的合理运用．15．（2017一中理）（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围 ． 【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形45PAF ∠<得到AF PF >，求出A 的坐标；求出,AF PF 得到关于,,a b c 的不等式，求出离心率的范围． 【解答】解：APQ ∆是锐角三角形，PAF ∴∠为锐角，双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，45PAF QAF ∴∠=∠<, AF PF ∴>F 为座焦点，设其坐标为(),0c -所以(),0A a所以2,b AF a c PF a =+=2b ac a∴<+即2220c ac a --< 解得12ca-<< 双曲线的离心率的范围是()1,2 故答案为：()1,2【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：222c a b =+考查双曲线的离心率问题就是研究三参数,,a b c 的关系．16．（2017一中理）（5分）如图，已知点C 的坐标是()2,2过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为__________．【分析】由题意可知：点M 既是Rt ABC ∆的斜边AB 的中点，又是Rt OAB ∆的斜边AB 的中点，可得OM CM =，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：由题意可知：点M 既是Rt ABC ∆的斜边AB 的中点，又是Rt OAB ∆的斜边AB 的中点． OM CM ∴=，设(),M x y ()()222222x y x y +-+-化为20x y +-=． 故答案为20x y +-=.【点评】本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将解答过程写在答题卡的相应位置）. 17（2017一中理）（一中）．（10分）给出两个命题： 命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅， 命题乙：函数()22xy a a =-为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的范围． （1）甲、乙至少有一个是真命题； （2）甲、乙中有且只有一个是真命题．【分析】根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅为真命题时，a 的取值范围A ，根据对数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数()22xy a a =-为增函数为真命题时，a 的取值范围B ．（1）若甲、乙至少有一个是真命题，则A B 即为所求 （2）若甲、乙中有且只有一个是真命题，则()()U U A C B C A B 即为所求．【解答】解：若命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅为真命题 则()222143210a a a a ∆=--=--+<，即23210a a +->，解得113A a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或若命题乙：函数()22xy a a =-为增函数为真命题 则221a a -> 即2210a a -->解得112B a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或（1）若甲、乙至少有一个是真命题 则1123AB a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或；（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题()()111132U U A C B C AB a a a ⎧⎫=<≤-≤<-⎨⎬⎩⎭或.【点评】本题以复合命题的真假判断为载体考查了函数的性质，其中分析出命题甲乙为真时，a 的取值范围，是解答的关键．18．（2017一中理）（12分）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，3SA =，（1）如图建立空间直角坐标系，写出,SB SC 的坐标； （2）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【分析】（1）以A 为原点建系，则()()()()0,0,3,0,0,0,3,1,00,2,0S A BC ，即可求解．（2）求出面SBC 的法向量 ()3,3,2n =．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则3sin 4n AB n ABθ⋅==⋅． 【解答】解：（1）以A 为原点建系如图，则()()()()0,0,3,0,0,0,3,1,00,2,0S A BC ．()()()3,1,0,3,1,3,0,2,3,AB SB SC ∴==-=-…（6分）（2）设面SBC 的法向量为(),,n x y z =． 则330230n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令3y =，则()2,3,3,3,2z x n ==∴=.设AB 与面SBC 所成的角为θ，则3sin 4n AB n ABθ⋅==⋅…12分【点评】本题考查了空间向量的应用，属于中档题．19．（2017一中理）（12分）如图，直棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ===． （Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ; （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明1//BC 平面1ACD （Ⅱ）证明DE ⊥平面1ACD ，作出二面角1D AC E --的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结1AC 交1AC 于点F ，则F 为1AC 的中点， 又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ， 因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ． （Ⅱ）因为直棱柱111ABC A B C -，所以1AA CD ⊥， 由已知,AC CB D =为AB 的中点，所以CD AB ⊥， 又1AA AB A =，于是，CD ⊥平面11ABB A ，设22AB =，则12AA AC CB ===，得90ACB ∠=， 112,6,3,3CD A D DE A E ====故22211A D DE A E +=，即1DE AD ⊥，所以DE ⊥平面1A DC ， 又122AC =，过D 作1DF AC ⊥于F ，DEF ∠为二面角1D AC E --的平面角， 在1A DC ∆中，116A D DC DF AC ⋅==，2232EF DE DF =+=， 所以二面角1D AC E --的正弦值．6sin DE DEF EF ∠==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（2017一中理）（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率6e =，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB 的中点．（1）求直线AB 的方程；（2）若以AB 210x y +-=相切，求出该椭圆方程．【分析】（1）根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆()222:30C x y a a +=>，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()31y k x =-+，联立消元，得到含有参数k 的关于x 的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程． （2）由圆心()3,1N10y +-=的距离d，可得AB =1k =-时方程①即2212424480,x x a AB x -+-=-224a =．【解答】解：（1）离心率e =，设椭圆()222:30C x y a a +=>， 设()()1122,,,A x y B x y 由题意，设直线AB 的方程为()31y k x =-+，代入2223x y a +=， 整理得()()()2222316313310k x k k x k a +--+--=．①()()2224313310a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，②且()12263131k k x x k -+=+，由()3,1N 是线段AB 的中点，得1232x x +=． 解得1k =-，代入②得212a >，∴直线AB 的方程为()113y x -=--，即40x y +-=..（6分） （2）圆心()3,1N10y +-=的距离d，AB ∴= 当1k =-时方程①即22424480x x a -+-=． 1221206124x x a x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=-⎪⎩12AB x ∴-224a =．∴椭圆方程为221248x y +=…（12分） 【点评】题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，关键设点的坐标，利用方程的思想，属于中档题．21．（2017一中理）（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点(),0M m 的直线与开口向右的抛物线有两个交点,A B ，则设该直线的方程为x ty m =+（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0FA FB ⋅<的等价转化；最后通过,m t 的不等式求出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(),P x y ()10x x =>化简得()240y x x =>．（Ⅱ）设过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ．设l 的方程为x ty m =+，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩得()22440,160y ty m t m --=∆=+>，于是121244y y t y y m+=⎧⎨⋅=-⎩①又()()()()()()112212*********,,1,,01110FA x y FB x y FA FB x x y y x x x x y y =-=-⋅<⇔--+=-+++<② 又24y x =，于是不等式②等价于()()222222121212121212121102104444164y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎡⎤⋅+-++<⇔+-+-+< ⎪⎣⎦⎝⎭③由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④对任意实数2,4t t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，解得33m -<+由此可知，存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m 的取值范围(3-+．【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．22．（2017一中理）（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，四点()()12341,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A B 、两点，若直线2P A 与2P B 直线的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到234,,P P P 三点在椭圆C 上．把23,P P 代入椭圆C ，求出224,1a b ==，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设():1l y kx b b =+≠，与椭圆方程联立，得()222418440kx kbx b +++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点()2,1-．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到234,,P P P 三点在椭圆C 上．把23,P P 代入椭圆C ，得22211,1344b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得出224,1a b ==，由此椭圆C 的方程为2214x y +=． 证明：（2）①当斜率不存在时，设()():,,,,A A l x m A m y B m y =-， ∵直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，22111A A P A P B y y k k m m---+=+=- 解得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设():1l y kx b b =+≠()()1122,,,A x y B x y ，联立2244y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，整理，得()222418440k x kbx b +++-=， 12221228144414kb x x k b x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩…① ∴直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-， ∴()()()()2212211212212112121121111P A P B x kx b x kx b kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+-+--+=+===-…②①代入②得：()()()21111k b b b -=--+又1,21b b k ≠∴=--，此时64k ∆=-，存在k ，使得0∆>成立， 直线l 的方程为21y kx k =--， 当2x =时，1y =-，l ∴过定点()2,1-．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。

甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年 高二上学期期末考试（文）试卷考试时间：120分钟，试卷满分：150分.一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. i 为虚数单位，已知复数21(1)i -+-a a 是纯虚数，则a 等于（ ） A. ±1 B. 1C.1- D. 0『答案』C『解析』复数21(1)a a i -+-是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-.故选：C.2. 命题“若(1)0-=x x ,则0x =或1x =”的否命题为( ) A. 若(1)0x x -≠则0x ≠或1x ≠ B. 若(1)0x x -≠,则0x ≠且1x ≠ C. 若0x ≠或1x ≠,则(1)0x x -≠D. 若0x ≠且1x ≠,则(1)0x x -≠『答案』B『解析』由否命题定义可知，“若(1)0-=x x ，则0x =或1x =”的否命题为“若(1)0x x -≠，则0x ≠且1x ≠”， 故选：B『点睛』本题考查了否命题的定义，属于基础题.3. 已知复数11i =-z ，121+i =z z ，则复数2z 等于（ ）A. 1B.2i C. iD.2『答案』C『解析』因为11i =-z ，121i =+z z ，所以()()()2222i i i i i 1+1+1+2i +i 2i =====i 1-1-1+1-i 2z .故选：C.4. 命题“关于x 的不等式240x ax -+>在(0,)+∞上恒成立”的否定是（ ） A. (,0)x ∃∈-∞，240x ax -+>B. (,0)x ∀∈-∞，240x ax -+>C. (0,)x ∃∈+∞，240x ax -+D. (0,)x ∀∈+∞，240x ax -+『答案』C『解析』根据全称命题的否定为特称命题，该命题的否定为“(0,)x ∃∈+∞，240x ax -+”.故选：C.5. 在命题“若抛物线的开口向下，则2{|0}x ax bx c ++<≠”的逆命题、否命题和逆否命题中（ ）A. 都真B. 都假C. 否命题真D. 逆否命题真『答案』D『解析』由题意知，命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题为：若2{|0}x ax bx c ++<≠，则抛物线的开口向下，该命题为假命题，由二次函数的图像及其性质可得抛物线的开口可能向上，也可能向下；而原命题为真命题，因为抛物线的开口向下，说明一定有函数的图像在x 轴的下方，即2{|0}x ax bx c ++<≠，所以其逆否命题为真命题，所以应选D ．6. 设椭圆2213x y m +=的离心率为e ，则4m =是12e =的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件『答案』A『解析』当4m =，所以2a =，1c ==，所以12e =，所以4m =是12e =的充分条件.当12e =，若焦点在x12=，所以4m =； 若焦点在y12=，所以94m =， 所以4m =不是12e =的必要条件.故选：A.7. 下列说法正确的是（ ）A. 在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 线性回归方程对应的直线y b x a ∧∧∧=+至少经过其样本数据点中的()11,x y ，()22,x y ，()33,x y (),n n x y 一个点C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 在回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比相关指数2R 为0.80的模型拟合的效果差『答案』C『解析』对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A 错；对于B ，线性回归方程对应的直线y b x a ∧∧∧=+可能不过任何一个样本数据点，所以B 错误； 对于C ，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C 正确；对于D ，回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比相关指数2R 为0.80的模型拟合的效果好，所以D 错误. 故选C.8. 给出下列命题（1）实数的共轭复数一定是实数；（2）满足|i ||i |2-++=z z 的复数z 的轨迹是椭圆；（3）若∈m Z ，2i 1=-，则123i i ii 0++++++=m m m m ； （4）若“a ，b ，c 是不全相等的实数”，则222()()()0a b b c c a -+-+-≠；（5）若“a ，b ，c 是不全相等的实数”，则a b ，b c ≠，c a ≠不能同时成立其中正确命题的序号是（ ） A. （1）（2）（3） B. （1）（3）（4） C. （2）（3）（5）D. （3）（4）（5）『答案』B『解析』（1）显然实数的共轭复数一定是实数，故正确；（2）设复数z 对应的点为(),a b ，则|i ||i |2-++=z z 等价于2=，即(),a b 到点()0,1和()0,1-的距离之和为2，又()0,1和()0,1-的距离为2，故复数z 的轨迹是线段，故错误；（3）123111212i ii i i i i i i i i i i 0i ++++++++⋅+⋅=-++=+++=-mm m m m m m m m m m m ，故正确；（4）若“a ，b ，c 是不全相等的实数”，则,,a b b c c a ---必有一个不等于0，则222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故正确；（5）若“a ，b ，c 是不全相等的实数”，则a b ，b c ≠，c a ≠可能同时成立，故错误.故选：B.9. 双曲线221916x y -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于7，那么点P 到另一个焦点的距离等于（ ） A. 1B. 13C. 1或13D. 15『答案』B『解析』设双曲线焦点为12,F F ，取17PF =，由题意可得3,4,5a b c ===，根据双曲线定义有2726PF a -==，所以21PF =或213PF =，当21PF =时，由21121710PF PF F F +=+<=于两边之和大于第三边矛盾，故舍去，所以213PF =.故选：B.10. 已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长（ ）A.B. 3C. D. 6『答案』D『解析』由题意，双曲线的一个渐近线为b y xa =-即0bx ay +=，设双曲线的的右焦点为(),0,0F c c >，则222c a b =+，所以焦点到渐近线的距离3bcd b c====，又离心率ce a ==3a =，所以双曲线C 实轴长26a =.故选：D.11. 已知P (x ，y )是椭圆221916x y +=上的动点，则z x y =-的最大值为（ ）A. 5B.C. 6D.『答案』A『解析』由P (x ，y )是椭圆221916x y +=上的动点，故可设()3cos ,4sin P θθ，则()3cos 4sin 5sin z x y θθθϕ=-=-=--，其中3tan 4ϕ=-，当()sin 1θϕ-=-时，此时22k πθπϕ=-+，z x y =-取得最大值为5；故选：A.12. 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 12B. 2C. 13D.『答案』B『解析』设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b --+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a+-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以2c e a ===， 故选：B二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点P 到x 轴的距离比它到焦点的距离小3，则p =___________.『答案』6『解析』根据抛物线的定义可知，点P 到焦点的距离等于它到准线2py =-的距离，所以32p ，得6p .故答案为：6.14. 双曲线C 与双曲线2214y x -=有公共的渐近线，且C 过点(2,0)，则C 的标准方程为__________．『答案』221416x y -=『解析』设C 的标准方程为22(0)4y x λλ-=≠，因为点()2,0在双曲线上，所以224λ==，故C 的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．『答案』221416x y -=15. 已知点M 在椭圆221369x y +=上，MP '垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P '，并且M 为线段PP '的中点，则点P 的轨迹方程是_____.『答案』2236x y += 『解析』设P （x ，y ），则M （x ，2y）．∵点M 在椭圆221369x y +=上，∴2213636x y +=，即P 点的轨迹方程为x 2+y 2=36．故填2236x y +=.16. 已知函数()()32,1x f x a g x x =-=+，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______『答案』[]1,1-『解析』函数()f x 和函数()g x 都是[]0,1上的增函数，故值域为()[]()[]1,2,1,2f x a a g x ∈--∈，要使两个值域有交集，则112a a -≤≤-，或者122a a -≤≤-，解得01a ≤≤，或者10a -≤≤，即[]1,1a ∈-.三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知命题:11p x ∀-≤≤“，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．『解』（I ）由题意2m x x >-在11x -≤≤恒成立，所以2max ()m x x >-(11)x -≤≤,因为221124x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以2124x x -≤-≤，即2max ()2x x -=,2m >，所以实数m 的取值范围是()2,+∞（II ）由q 得44a m a -<<+，因为q p ⇒，所以42a -≥，，即6a ≥，所以实数a 的取值范围是[)6,+∞18. 设命题p ：方程22112x y m m +=-+表示双曲线；命题q ：“方程22212x y m m +=表示焦点在x 轴上的椭圆”.（1）若p 和q 均为真命题，求m 的取值范围; （2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m取值范围.『解』（1）若p 为真命题，则(1)(2)0m m -+<，解得：1m 或2m <-. 若q 为真命题，则220m m >>，解得：2m >.若p 和q 均为真命题时，则m 的取值范围为2m >.（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 一真一假.当p 真q 假时，122m m m ><-⎧⎨≤⎩或解得：2m <-或12m <≤ 当p 假q 真时，212m m -≤≤⎧⎨>⎩，无解综上所述：m 的取值范围为2m <-或12m <≤.19. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线221243x y -=的一个焦点，O 是坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线:22l y x =-与抛物线相交于A ，B 两点， ①求AB；②若OA OB mOD +=，且D 在抛物线上，求实数m 的值.『解』（1）双曲线方程221243x y -=可化为2211344x y -=，因此2131,144c c =+==，所以双曲线的一个焦点是(1,0)，的于是抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，则12p =，24p =故抛物线的方程为24y x =． （2）①依题意，由2224y x y x =-⎧⎨=⎩可得2310x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理知123x x +=，1225AB FA FB x x ∴=+=++=②设()00,D x y ，则由OA OB mOD +=，得()01213x x x m m =+=，()01212y y y m m =+=由于D 在抛物线上，因此2412mm =，可得13m =． 20. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2014t x =-，5=-z y ，得到表2:表2（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求ˆy 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-)『解』（1）1234535t ++++==，012352.25z ++++==，51102132435545i ii t z==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii t==++++=∑，4553 2.2ˆ 1.25559b -⨯⨯==-⨯，ˆˆ 2.23 1.2 1.4a z bt =-=-⨯=-，所以ˆ 1.2 1.4zt =-. （2）将2014t x =-，5=-z y ，代入ˆ 1.2 1.4zt =-， 得ˆ5 1.2(2014) 1.4y x -=--，即ˆ1.22413.2y x =-. （3）当2022x =时，ˆ1.220222413.213.2y =⨯-=，所以预测到2022年底，该地储蓄额可达13.2千亿元.21. 为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（Ⅰ）请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；（Ⅱ）构造一个教学方式与成绩优良列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?（附：()()()()()22-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d 是样本容量）独立性检验临界值表：『解』（Ⅰ）乙班（“导学案”教学方式）教学效果更佳． 理由1、乙班大多在70以上，甲班70分以下的明显更多； 理由2、甲班样本数学成绩的平均分为：70.2；乙班样本数学成绩前十的平均分为：79.05，高10%以上．理由3、甲班样本数学成绩的中位数为6872702+=, 乙班样本成绩的中位数777877.52+=，高10%以上．（Ⅱ）列联表如下：由上表可得()22401041016 3.956 3.84120202614⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯K ．所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．22. 椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线22:2x C y =，且椭圆1C 的离心率为2，点A 为椭圆1C 上一动点(非长轴端点)，1F ，2F 为椭圆1C的左､右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点. （1）求椭圆1C 的方程；（2）若ABC 的面积为43，求直线AB 的方程.『解』（1）由椭圆和抛物线的对称性可设1C ､2C 交点的坐标为00(,)x y ，和00(,)x y -，，可得02y =-，代入抛物线22:2xC y =得01x =，将点代入椭圆方程得，221112a b +=①，离心率为2可得2222112c b aa =-=②， 联立①，②可得22a =，21b =，即椭圆方程为：2212x y +=.（2）由题意可知2(1,0)F ，且点A 不是长轴端点，因此可设直线AB 的方程为：1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线方程和椭圆方程可得：22(2)210m y my ++-=， 0∆>恒成立，12122221,22m y y y y m m --+==++，原点O 到直线AB的距离d =则点C 到直线AB的距离为2d =1224||223ABCS AB d ∆===，解得21m =或212=-m (舍去)，即直线AB 的方程为10x y ±-=.。

1兰州一中 2020－2021－1 学期期末考试试题高二数学(理)（命题：张海忠 审题：郑新英）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分 150 分，考试时 间 120 分钟。

答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。

一．选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．下列关于抛物线 y ＝2x 2 的图象描述正确的是( )1 A ．开口向上，焦点坐标为(0， 81C ．开口向上，焦点坐标为(0，2 2．下列判断正确的是( )1) B ．开口向右，焦点坐标为(0， ) 8 1)D ．开口向右，焦点坐标为(0， )2A ．若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ， 2x0 ≤0” C ．“ sin α= 1”是“α＝2π”的充分不必要条件6D ．命题“若 xy ＝0，则 x ＝0”的否命题为“若 xy ＝0，则 x ≠0” 3．下列结论中正确的是( )A ．椭圆 x 2 + y2 = 的焦点坐标是(±3，0) 5 4y 2 x 2 B ．双曲线 - = 1的顶点坐标是(±2，0) 4 3 C ．抛物线 y 2＝－12x 的准线方程是 x ＝3 D ．直线 3x －4x +1＝0 与圆(x +1)2+(y －2)2＝4 相交4．抛物线 y 2＝4x 的准线与双曲线 4x 2﹣y 2＝1 的两条渐近线所围成的三角形面积为()A ． 1 2B ．2C ． 2D ．45．已知矩形 ABCD ，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA ⊥平面ABCD ， M ， N 分 别 为 PC ， PD 上 的 点 ， 且NM = x AB + y AD + z AP ， PM = 2MC ， PN = ND则 x +y +z 的值为( )253c A ． -2B ． 2335 C ．1 D ．66．万众瞩目的北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日正式开幕，继 2008 年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为 40cm ， 短轴长为 20cm ，小椭圆的短轴长为 10cm ，则小椭圆的长轴长为( )cm A ．30 B ．20 C ．10 D ．107．已知命题 p ：“∃x 0＞0，x 0+t －1＝0”，若 p 为真命题，则实数 t 的取值范围是()A ．(1，+∞)B ．(－∞，1)C ．[1，+∞)D ．(－∞，1]x 2 y 2 2 58．已知椭圆 + = 1(a ＞b ＞0)的离心率为 ，以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半a 2b 2 5径的圆与直线 y ＝2x +1 相切，则 a 的值为( ) A ．2B ．C ．D ．19．已知点 P 是双曲线 x a 2 y 2 - = 1(a > 0, b > 0) 上一动点，AB 为圆 x b 2 2 + y 2a 2= 的直径，若 4PA ⋅ PB A ． 6 22最小值为 ，则双曲线的离心率为 2 B ． ( ) C ．2 D ． 10．若曲线 C 的方程是3 =| 2 2x + y | ，则 C 的形状是( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线D ．椭圆x 2 2 11．已知双曲线 C ： - y 3= 1的左焦点为 F ，过 F 的直线 l 交双曲线 C 的左、右两支分别于点 Q ，P ，若|FQ |＝t |QP |，则实数 t 的取值范围是()A ． (0, 2 3 - 3]6B ． (2 3 - 3，1]62 3 - 3C ． (-∞, ]6D ．( 2 3 - 3，2]633 2( x - 2)2 + ( y -1)223 2 y 2 2 2 12．已知 A (﹣4，0)，B 是圆(x ﹣1)2+(y ﹣4)2＝1 上的点，点 P 在双曲线 x - y= 1的右支9 7上，则|PA |+|PB |的最小值为( )A ．9B ． 2 5+6C ．10D ．12二．填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．命题“∃x ∈[1，3]，使 2x -1﹣m ＞0”是假命题，则实数 m 的取值范围是 ．14．已知双曲线 x a 2 y 2 - = 1(a > 0, b > 0) 的离心率是 ，b 2左、右焦点分别是 F 1，F 2，过 F 2 且与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A ，B 两点，则：(1)该双曲线的渐近线方程 是 ；(2)tan ∠AF 1F 2＝．215．已知点 P (x ，y )在椭圆 x + y = 1上运动，则 x +2y 的最4 3大值是 ；点 P 到直线 l ：x ﹣2y ﹣10＝0 的最小距离是．16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B 1，B 2 是椭圆 x2 + = 1的短轴端点，P 是椭圆上18 9异于点 B 1，B 2 的一动点，设点 Q 满足：QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2，则△PB 1B 2 与△QB 1B 2 的面积之比为．三．解答题(共 6 小题，共 70 分)17．(10 分) 已知向量 a = (-2，-1，2)，b = (-1，1，2)，c = (x ，1，2)．（1）当|c| = 2 时，若向量 k a +b 与向量 c 垂直，求实数 x 和 k 的值；（2）若向量 c 与向量 a ，b 共面，求实数 x 的值．18．(12 分)已知命题 p ：∀m ∈[﹣1，1]，不等式 a 2﹣5a +7≥m +2 恒成立；命题 q ：方程 tx 2+ay 2＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆．（1）若 t ＝1，(￢p )∨q 为假命题，求 a 的取值范围；（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数 t 的取值范围．22x 219．(12 分)求下列曲线的方程．3（1）求焦点在 x 轴上，焦距为 2，过点(1, ) 的椭圆的标准方程；22（2）求与双曲线 - y 2= 1有公共焦点，且过点( 2, 2) 的双曲线标准方程．20．(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中有曲线Γ：x 2+y 2＝1(y ＞0)．（1）如图 1，点 B 为曲线Γ上的动点，点 A (2，0)，求线段 AB 的中点的轨迹方程；（2）如图 1，点 B 为曲线Γ上的动点点 A (2，0)，求三角形 OAB 的面积最大值，并求出对应 B 点的坐标； （3）如图 2，点 B 为曲线Γ上的动图 1图 2点，点 A (2，0)，将△OAB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△DAC ，求线段 OC 长度的最大值．21．(12 分)如图 1，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，且 DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿 DE 折起到△A 1DE 的位置，使 A 1C ⊥CD ，如图 2．（1）求证：A 1C ⊥平面 BCDE ； （2）若 M 是 A 1D 的中点，求 CM 与平面 A 1BE 所成角的大小；图 1 图 2（3）线段 BC 上是否存在点 P ，使平面 A 1DP 与平面 A 1BE 垂直？说明理由．22．(12 分)已知圆 F : x 2 + ( y -1)2 = 1 16，动圆 M 与圆 F 外切，且与直线 y = - 3相切，该4 动圆圆心 M 的轨迹为曲线 C ．（1）求曲线 C 的方程；（2）过点 F 的直线与曲线 C 相交于 A ，B 两点，曲线 C 在点 A 的切线与 y ＝﹣1 交于点 N ， 求△ABN 面积的最小值．。

兰州市数学高二上学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2015高二下·遵义期中) 下列命题是真命题的是（）A . a＞b是ac2＞bc2的充要条件B . a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件C . ∃x0∈R，e ≤0D . 若p∨q为真命题，则p∧q为真2. （2分）关于异面直线的定义，下列说法中正确的是（）A . 平面内的一条直线和这平面外的一条直线B . 分别在不同平面内的两条直线C . 不在同一个平面内的两条直线D . 不同在任何一个平面内的两条直线.3. （2分）若为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（）A .B .C .D .4. （2分）已知圆C方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，直线a的方程为3x﹣4y﹣12=0，在圆C上到直线a的距离为1的点有（）个．A . 4B . 3C . 2D . 15. （2分） (2018高二上·牡丹江期中) 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数（）A . 至多一个B . 2C . 1D . 06. （2分） (2017高二下·辽宁期末) 已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是（）A . 若m∥n，m⊥α，则n⊥αB . 若m∥α，α∩β=n，则m∥nC . 若m⊥α，m⊥β，则α∥βD . 若m⊥α，，则α⊥β7. （2分）已知p：x2﹣5x+6≤0，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A . （﹣∞，3]B . [2，3]C . （2，+∞）D . （2，3）8. （2分） (2018高三上·西安模拟) 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共6题；共7分)9. （2分） (2019高二上·浙江期末) 双曲线的渐近线方程是________；焦点坐标________.10. （1分） (2016高一下·兰陵期中) 已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为________．11. （1分）(2017·和平模拟) 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为________cm3 ．12. （1分） (2018高二上·成都月考) 已知圆和点 ,是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是________．13. （1分） (2016高二上·江阴期中) 在平面直角坐标系xoy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为________14. （1分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A，B两点，则|AB|的最小值是________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （10分）已知，（1）求命题的否定；命题的否定；（2）若为真命题，求实数的取值范围.16. （5分）如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC=30°）及其体积．17. （5分）已知抛物线C1:x2=4y 的焦点F也是椭圆c2:的一个焦点， C1和C2的公共弦长为（1）求 C2的方程；（2）过点F 的直线 l与 C1相交于A与B两点，与C2相交于C ， D两点，且与同向（ⅰ）若求直线l的斜率；（ⅱ）设 C1在点 A处的切线与 x轴的交点为M ，证明：直线l 绕点 F旋转时，MFD总是钝角三角形。

甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题——★ 参*考*答*案 ★——一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分)二．填空题(共4小题，每小题5分，共20分，) 13．[4，+∞) 14．(1) y ＝±x ；(2)15．4、16．2三．解答题(共6小题，共70分)17．(10分)解：（Ⅰ）因为||22c =时，所以0x =． 且向量(21ka b k +=--，1k -，22)k +． 因为向量ka b +与c 垂直， 所以()0ka b c +=．即260k +=．所以实数x 和k 的值分别为0和3-．.................5分（Ⅱ）因为向量c 与向量a ，b 共面，所以设(,)c a b R λμλμ=+∈． 因为(x ，2，2)(2λ=-，1-，2)(1μ+-，1，2)，则：22222x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩解得121232x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为12-．.................10分18．(10分) 解：∵命题p ：∀m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a +7≥m +2恒成立， 即a 2﹣5a +7≥3，解得：a ≥4或a ≤1，故p 为真时，a ∈(﹣∞，1]∪[4，+∞)； 方程tx 2+ay 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故q 为真时，0＜t ＜a ； ………… 4分 (Ⅰ)t ＝1时，q 为真时：a ＞1，∵(￢p )∨q 为假命题，∴￢p 假且q 假，即p 真且q 假， 则，即a ∈(﹣∞，1]． ……………………………… 8分(Ⅱ)若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，(t，+∞)(﹣∞，1]∪[4，+∞)，∴t≥4；故实数t的取值范围是：[4，+∞)．……………………………… 12分19．(12分)解：(1)由题意焦点在x轴上，焦距为2，过点的椭圆，a==，解得a＝2，知c＝1，2a＝24所以b＝．故椭圆C的方程为+＝1．……………………………… 6分(2)双曲线双曲线的焦点为，设双曲线的方程为，可得a2+b2＝3，将点代入双曲线方程可得，，解得，所求双曲线的方程为：．……………………………… 12分20．(12分)解：(1)设点B的坐标为(x0，y0)，则y0＞0，设线段AB的中点为点M(x，y)，由于点B在曲线Γ上，则x02+y02＝1，①因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得x0＝2x﹣2，y0＝2y，代入①式得(2x﹣2)2+y2＝1，化简得(x﹣1)2+y2＝，其中y＞0；…………… 4分(2)设B(x0，y0)，0＜y0≤1，三角形OAB的面积为•2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B(0，1)；……………………………… 8分(3)如下图所示，易知点D(2，2)，结合图形可知，点C在右半圆D：(x﹣2)2+(y﹣2)2＝1上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值，且|OC|max＝|OD|+1＝2+1．……………………………… 12分21．(12分) (1)证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，∴A1C⊥平面BCDE．……………………………… 4分(2)解：如图建系，则C(0，0，0)，D(﹣2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(﹣2，2，0)，∴，，设平面A1BE法向量为，则，∴，∴，∴，又∵M(﹣1，0，)，∴＝(﹣1，0，)∴，∴CM与平面A1BE所成角的大小45°．……………………………… 8分(3)解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为(0，a，0)，则a∈[0，3]，∴，，设平面A1DP法向量为，则，∴，∴，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a＝0，6a＝﹣12，a＝﹣2，∵0≤a≤3，∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．………12分22．(12分)解：(1)由已知可得圆F的圆心为F(0，1)，半径为，设M(x，y)，动圆M半径r，因为动M与圆F外切，所以|MF|＝r+，又动M与直线y＝﹣相切，所以由题意可得y+＝r，所以|MF|＝y+1，即x2+(y﹣1)2＝(y+1)2，整理得x2＝4y，所以曲线C的方程为x2＝4y；……………………………… 6分(2)设A(x1，y1)B(x2，y2)，依题意可知，直l的斜率存在，故设直l的方程为y＝kx+1，联立消y可得x2﹣4kx﹣4＝0．则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，所以|AB|＝＝＝＝4(1+k2)，由y＝，得y′＝，所以过A点的切线方程为y﹣y1＝(x﹣x1)，又y，所以切线方程可化为y＝，令y＝﹣1，可得x＝＝2k，所以点N(2k，﹣1)，所以N到直l的距离为d＝＝2，所以S△ABN＝|AB|•d＝4≥4，当k＝0时，等号成立，所以三角形ABN面积的最小值为4．……………………………… 12分。

甘肃省兰州市数学高二上学期理数期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）命题，则是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·儋州期中) 已知不等式的解集为 ,则不等式的解集为（）A . 或B . 或C .D .3. （2分）在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）在△ABC中，A>B是cosA<cosB的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）顶点在原点，经过圆的圆心且准线与轴垂直的抛物线方程为（）A .B .C .D .6. （2分）已知且，则等于（）A . 5B . 10C .D . 157. （2分）(2019高一上·哈尔滨期末) 设，，，，则的大小关系为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·惠东模拟) 已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A . 2πB . πC . πD . +49. （2分）设向量，满足，且，，则（）.A . 1B .C . 2D .10. （2分）过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A .B .C . 1D .11. （2分） (2019高二上·定远期中) 如图,在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2014·江西理) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A .B .C .D . 3二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高三上·扬州期中) 设实数，满足则的最大值为________．14. （1分） (2020高二上·黄陵期末) 关于不等式的解集为，则________15. （1分）如图，是椭圆的长轴，点在椭圆上，且，若则椭圆的两个焦点之间的距离为________.16. （2分）下列语句:① 是无限循环小数；②x2-3x+2=0；③当x=4时,2x>0;④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?⑤一个数不是合数就是质数；⑥作△ABC≌△A'B'C'；⑦二次函数的图像太美了!⑧4是集合{1,2,3}中的元素.其中不是命题的有________,是真命题的有________.(只填序号)三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分） (2019高二上·漠河月考) 已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．18. （10分） (2018高二上·黑龙江月考) 在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，，且．（1）求角B的大小；（2）若的面积是，且，求b．19. （15分） (2016高三上·宝安模拟) 已知椭圆M：：（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．20. （15分） (2016高一下·汕头期末) 已知 Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n﹣4．（1）求a1的值；（2）若bn=an﹣1，试证明数列{bn}为等比数列；（3）求数列{an}的通项公式，并证明： + +…+ ＜1．21. （15分） (2015高三上·和平期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，点M和N分别为A1B1和BC的中点．（1）求证：AC⊥BM；（2）求证：MN∥平面ACC1A1；（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．22. （5分）(2017·朝阳模拟) 已知椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为．（Ⅰ）求椭圆W的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y 轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、。