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统计力学中的勒让德变换阎玉立;张印杰【摘要】勒让德变换是理论物理学中一个重要的工具,多变量函数的勒让德变换有明显的对称性.系综是统计力学教学中的核心内容.利用勒让德变换的无量纲性,从微正则系综的特性函数熵的勒让德变换出发,类比的定义了配分函数的勒让德变换.同时得到各种系综的特性函数和配分函数以及它们之间的关系和相应的热力学公式.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)010【总页数】4页(P5-7,23)【关键词】勒让德变换;系综;特性函数【作者】阎玉立;张印杰【作者单位】河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002;河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002【正文语种】中文【中图分类】O414.2在经典力学[1]、热力学和统计力学[2，3]等本科生和研究生的物理课程中勒让德变换经常应用，经典力学中拉格朗日函数和哈密顿函数的关系用勒让德变换表达，热力学中内能和自由能、吉布斯函数等状态函数的关系用勒让德变换表达.虽然勒让德变换经常被应用，但它总作为新的方法出现，并且这些应用过程中都没有体现勒让德变换的对称性[4，5].有人介绍了单变量函数的勒让德变换，从代数方法、几何方法两个方面讨论了勒让德变换的性质，解释了变换的对称性和一些结构问题[6].我们把勒让德变换推广到多变量函数的勒让德变换，得到变换的对称性及偏微商的关系，并且应用到经典力学和热力学中[7].在统计力学中，系综的变化相应于热力学中对熵进行勒让德变换[3].本文研究勒让德变换在统计力学中的应用.从微正则系综的基本关系出发，利用勒让德变换的无量纲性，从熵的勒让德变换类比地定义了配分函数的变换，从而导出了其他几种系综的特性函数和配分函数及它们之间的关系和相应的热力学公式.多变量函数：Φ=Φ(x1，x2,…,xn)，其中xi(i=1，2，…，n)为独立变量.为方便，假设Φ在N维空间都是光滑和可导的，在每一点都有si=∂Φ∂xi=∂iΦ，则如果将函数Φ=Φ(x1,x2,…,xn)中的m(m≤n)个独立变量xj(j=1，2,…,m)用其对应变量sj代替，通过勒让德变换构成一个新函数Ψ，Lj:Φ(x1,x2,…,xm,xm+1,…,xn)→Ψ(s1,s2,…,sm,xm+1,…,xn),考虑式(1)，则dΨ=∑mj=1(sjdxj+xjdsj)-∑ni=1sidxi ,j=1,2,…,m；i=1,2,…,n;m≤n,化简得任意给定一组变量就唯一决定一个函数，不同函数实质上是用它的独立变量组来区分的.因此任一函数的微分形式可表为把式(4)前半部分同式(3)比较得xj=∂Ψ∂sj，与sj=∂Φ∂xj可以看出变换前后对应的两个变量是互相关联的.另外式(2)可改写为变换前后的两个函数是等效的，勒让德变换具有明显的对称性[7].系综方法是统计力学教学中的核心内容，一般研究3种系综:微正则系综、正则系综和巨正则系综.自变量数目为n的体系，相互等价的特性函数的数目N为[7]对具有3个自变量的均匀系统，等价特性函数的数目有8个，即共有8种系综.本文从微正则系综的基本关系出发，利用熵的勒让德变换，类比的定义了配分函数的变换，同时得到各种系综的特性函数和配分函数.微正则系综的特性函数是熵，相应的热力学公式：如果从熵开始经勒让德变换到其他函数是很困难的.由于历史原因，勒让德变换的变量并不总是成对出现的，例如，一个系统的能量E与温度的倒数(β=1/kT，k为玻耳兹曼常量)是成对的，然而关于温度的日常经验是如此普遍，温度经常用于很多关系中，比方熟悉的方程：F=E-TS，这个方程把自由能和熵联系起来，但也遮掩了β和E之间的对称性.如果我们定义无量纲的量：S′=S/k，F′=βF，它们之间的二元性可以完美的表示为F′(β)+S′(E)=βE.因此我们把式(7)改写为微分形式[3]：如果我们从无量纲的量S′出发，用勒让德变换得到其他无量纲的量，3对对应的变量为β，E ；α，N；γ，V.为了把无量纲的量最终表达为统计力学中的特性函数，我们还需知道β、α、γ的常用表达.由热力学公式dS=1T dE+pT dV-μT dN，则比较式(9)与式(10)得则式(9)变为d ln Ω=d(Sk)=βdE+βpdV-βμdN，从上式得β=(∂ln Ω∂E)V，N，p=1β (∂ln Ω∂V)E，N，和μ=-1β(∂ln Ω∂N)E，V.从Sk (E，V，N)出发经勒让德变换到其他函数，并类比定义配分函数的变换.与Sk (E，V，N)函数等效的特性函数的数目共有7个，令x1↔E，x2↔V，x3↔N，s1↔β，s2↔γ，s3↔α.3.1.1 微正则系综的特性函数是熵，从Sk (E，V，N)出发改变一个变量的勒让德变换有3种，即有3种特性函数，对应3种系综.设变量变换为E→β，即系统与外界之间只有能量的交换，由式(5)得上式改写为Ψ1(β，V，N)=βE-Sk(E，V，N)，把β=1/kT代入，得令Ψ1=βF，则有F+TS=E，即熟悉的热力学方程.F(T，V，N)为自由能函数，正则系综的特性函数.由式(3)，可得函数的微分方程dΨ1=Edβ-γdV-αdN，再考虑γ=βp，α=-βμ，有若把Ψ1=βF代入上式，则有dF=-SdT-pdV+μdN，即我们熟悉的自由能的微分方程.设变量变换为V→γ，即系统与外界之间只有力的相互作用，得到一种新的系综，由式(5)得Ψ2(E，γ，N)+Sk (E，V，N)=γV.设变量变换为N→α，即系统与外界之间只有粒子数的交换，得到一种新的系综，由式(5)得Ψ3(E，V，α)+Sk (E，V，N)=αN.3.1.2 从Sk (E，V，N)出发改变两个变量的勒让德变换有3种，即有3种特性函数，对应3种系综设变量变换为E→β，V→γ，即系统与外界之间只有能量的交换和力的相互作用，由式(5)得Ψ4(β，γ，N)+Sk (E，V，N)=βE+γV，令Ψ4=βG，把β=1/kT，γ=βp代入，得G+TS=E+pV，G为吉布斯函数，即熟悉的热力学引入的物理量. 设变量变换为E→β，N→α，即系统与外界之间只有能量的交换和粒子数的交换，由式(5)得Ψ5(β，V，α)+Sk (E，V，N)=βE+αN，令Ψ5=βJ，把β=1/kT，α=-βμ代入，得J+TS=E-μN， J(T，V，μ)为巨热力学势，正是巨正则系综的特性函数.设变量变换为V→γ，N→α，即系统与外界之间只有力的相互作用和粒子数的交换，由式(5)得Ψ6(E，γ，α)+Sk (E，V，N)=γV+αN.3.1.3 从Sk (E，V，N)出发改变3个变量的勒让德变换有1种，即有1种特性函数，对应1种系综设变量变换为E→β，V→γ，N→α，即系统与外界之间不仅有能量、粒子数的交换，也有力的相互作用，由式(5)得Ψ7(β，γ，α)+Sk (E，V，N)=βE+γV+αN.最后一种勒让德变换改变3个变量，即能量、粒子数、体积都改变得到的是零系综，因此实际上只有7种系综分布.由式(8)再考虑β=1/kT，微正则系综的配分函数为Ω(E，V，N)=eSk=eβTS.设变量变换为E→β，特性函数由Sk (E，V，N)经勒让德变换到Ψ1(β，V，N)：相应的，则配分函数Ω(E，V，N)变换到配分函数：即正则系综的配分函数.同理，类比特性函数其他勒让德变换可得相应系综的配分函数.设变量变换为V→γ，配分函数变换为 A(E，γ，N)=∑EΩ(E，V，N)e-γV.设变量变换为N→α，配分函数变换为 B(E，V，α)=∑EΩ(E，V，N)e-αN.设变量变换为E→β，V→γ，配分函数变换为C(β，γ，N)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-γV.设变量变换为E→β，N→α，配分函数变换为Ξ(β，V，α)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-αN，即巨正则系综的配分函数.设变量变换为V→γ，N→α，配分函数变换为D(E，γ，α)=∑EΩ(E，V，N)e-γVe-αN.设变量变换为E→β，V→γ，N→α，配分函数变换为M(β，γ，α)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-γVe-αN.对正则系综的配分函数式(16)，两边取对数，ln Z(β，V，N)=βTS-βE=-β(E-TS)，再考虑式(15)有正则系综的配分函数和特性函数的关系：则正则系综的特性函数F=-kTln Z(β，V，N)，这是正则系综里面重要的热力学量的表达式.再考虑式(14)有 d ln Z=-dΨ1=-Edβ+βpdV-βμdN，则有正则系综的热力学公式：E=-(∂lnZ∂β)V，N，p=1β(∂lnZ∂V)β，N，μ=-1β(∂lnZ∂N)β，V与我们在统计力学中学过的一样.同理，类比于特性函数的勒让德变换，从Ω(E，V，N)出发可以得到其他系综的配分函数和特性函数之间的关系及相应的热力学公式.通过介绍多变量函数的勒让德变换在统计力学中的应用，可以更进一步的理解勒让德变换的对称性及应用的广泛性.从以上的介绍，特性函数的变换和配分函数的变换与统计力学中的介绍相统一，从数学的角度，在统计力学中从一种系综到另一种系综不过是在进行变量变换的勒让德变换，而勒让德变换不会改变系统的性质，所以从这个观点来看，这些系综是等价的.如果能在学课程之前了解勒让德变换，会对学生学习统计力学有很大帮助.【相关文献】[1] 周衍柏.理论力学教程[M].3版.北京:高等教育出版社，2009:231-237.[2] 汪志诚.热力学统计物理[M].4版.北京:高等教育出版社，2008:51-70.[3] David chandler.现代统计力学[M].鞠国兴,译.北京:高等教育出版社，2013:61-63.[4] 李英德.常用数学工具在热力学关系式证明中的应用[J].大学物理，2009，28(2):24-27.[5] 汤引生，李英.麦氏恒等式与麦氏关系式证明与应用[J].商洛学院学报，2010，24(6):92-94.[6] R.K.P.Zia， Edward F.Redish， Susan R.McKay.Making Sense of the Legendre Transform[J].Am J Phys,2009,77(7):614.[7] 阎玉立，张印杰.认识勒让德变换[J].大学物理，2013，32(11):8-11.。
在特殊函数中的应用1 作出0-4阶勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y0=legendre<0,x>;y1=legendre<1,x>;y2=legendre<2,x>;y3=legendre<3,x>;y4=legendre<4,x>;plot<x,y0<1,:>,'g*',x,y1<1,:>,'b+',x,y2<1,:>,'ro',x,y3<1,:>,'k:',x,y4<1 ,:>,'r:'>>> legend<'P_0','P_1','P_2','P_3','P_4'>;title<'Legendre'>>>〔仿真结果〕2 作出二阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre<2,x>;plot<x,y<1,:>,'g*',x,y<2,:>,'b+',x,y<3,:>,'ro'>>> legend<'P_2^0','P_2^1','P_2^2'>3 作出三阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre<3,x>;plot<x,y<1,:>,'g*',x,y<2,:>,'b+',x,y<3,:>,'ro',x,y<4,:>,'k:'>>>legend<'P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3'>4 作出整数阶贝塞尔函数的图形>>cleary=besselj<0:5,<0:0.2:10>'>;plot<<0:0.2:10>',y>ylabel<'j_v<x>'>xlabel<'x'>legend<'J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5'>text<1,0.8,'J_0<x>'>text<2,0.6,'J_1<x>'>text<3,0.5,'J_2<x>'>text<4.2,0.4,'J_3<x>'>text<5.1,0.4,'J_4<x>'>>>text<6.5,0.4,'J_5<x>'>Legendre函数2007年12月13日星期四 01:00Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的,是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的.1. 氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画：l=0,m=0,即s轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y0n=legendre<0,cos<t>,'sch'>;polar<t,y0n<1,:>.^2>;l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y1n=legendre<1,cos<t>,'sch'>;polar<t,y1n<1,:>.^2,'r'>;hold on;polar<t,y1n<2,:>.^2,'g'>;l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y2n=legendre<2,cos<t>,'sch'>;polar<t,y2n<1,:>.^2,'r'>; %d<z^2>hold on;polar<t,y2n<2,:>.^2,'g'>;polar<t,y2n<3,:>.^2,'b'>;Legendre多项式函数〔7.12〕由于展开式〔7.13〕而称为Legendre〔勒让德〕多项式的母函数.展开项系数称为Legendre多项式,下节将证明它满足Legendre方程式〔7.11〕.称为阶.将式〔7.13〕左边利用二项式定理展开,有在上式中,含有的项只出现在含的项和以前各项中.在这些项中,将含的各项展成幂级数,并找出所有含的项,其系数合为〔7.13〕其中,这是因为当时,求和中最低幂项是,当时,最低幂项是. Legendre多项式的具体形式写成〔7.14〕Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues〔洛德利格〕公式〔7.15〕〔7.14〕式和〔7.15〕的正确性可以代入Legendre方程式〔7.11〕直接证明.由式〔7.14〕和〔7.15〕可得出前几阶Legendre多项式具体形式图7.1显示在区间〔－1,1〕上的图形,一般有图7.1 Legendre 函数4,40) 3, 2,1, 0, ( n x P n )( 第二类Legendre 函数值得一提的式,Legendre 方程〔7.11〕应有另一个独立的解,这个解称为第二类Legendre 函数,记为.其形式为 等一般的形式是由于的对数形式,第二类Legendre 函数在边界是无界的〔并非全部〕.因此不能构成Legendre 方程的本征函数系,所以,对将不在作讨论.Legnedre 多项式的零点的零点都是一阶的,全部位于区域〔－1,1〕内.且与的零点相互穿插,在的两个相邻零点之间必有一个的零点；反之亦然.2.3 Legnedre 多项式的性质Legendre 多项式的性质如下： 递推公式 ①<7.16><7.17> <7.18><7.19>② <7.20>对称性 ③<7.21>特殊点的值④<7.22>⑤<7.23>⑥<7.24>积分表达形式⑦ <7.25>Laplace第一积分⑧ <7.26>取,由式〔7.26〕得取,由式〔7.26〕得⑨ <7.27>Laplace第二积分⑩<7.28>积分公式〔7.29〕〔7.30〕〔7.31〕利用Rodrigues公式〔7.15〕可证明积分公式,下面证明方程〔7.31〕.利用式〔7.15〕,有将积分作次分部积分,然后设,并利用积分公式得下面由母函数入手,证明Legendre多项式得递推公式,将母函数式〔7.12〕写下〔7.12〕对式〔7.12〕两边取导数,得用乘上两边,得将上式左边中母函数再作展开,得等式〔7.32〕比较〔7.32〕式两边项得系数,得递推关系.这是式〔7.20〕的结果.同理,对式〔7.12〕两边的求导,得将上式两边乘以,并将左边母函数展开,得〔7.33〕比较项的系数,得这就是式〔7.19〕.其它递推公式可依此导出,这里不再证明.利用母函数,已证明Legendre式多项式〔7.14〕满足递推公式〔7.16〕～〔7.20〕,则式〔7.14〕是Legendre方程〔7.11〕的解.下面证明定理.定理设函数是在〔－1,1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函数, 若满足递推公式〔7.16〕和式〔7.17〕～〔7.20〕 , 则是Legendre方程的解.将递推公式〔7.16〕两边对求导,得〔7.34〕再将式〔7.16〕乘以,得〔7.35〕将式〔7.34〕乘以,并与式〔7.35〕相加,得〔7.36〕由式〔7.17〕,将换成,有〔7.37〕将式〔7.37〕两边对求导,得〔7.38〕或写成〔7.39〕将式〔7.39〕代入式〔7.36〕,得〔7.40〕再由式〔7.16〕将式〔7.40〕中的项替代,最后,得到Legendre方程2.4 Fourier－Legendre级数第6章§1.3讨论了区间〔－1,1〕上,Legendre方程的本征值为〔7.41〕相应的本征函数是Legendre多项式〔7.42〕由Legendre方程〔7.11〕知,.在边界,因而Legendre方程的解满足自然边界条件,因而有本征函数正交性〔7.43〕第6章§1.4还讨论了函数在区间〔－1,1〕上用Legendre函数展成的广义Fourier级数,称为Fourier－Lengendre级数.模计算如下：将母函数式〔7.12〕两边平方,得〔7.47〕Fourier－Lengendre级数展开定理若在区间〔－1,1〕上连续,或有限第一类间断点,那么,Fourier－Lengendre 级数〔7.44〕其中〔7.45〕〔7.46〕在〔－1,1〕上的连续点收敛于；在的间断点,则收敛于平均值；在,收敛于；在,级数收敛于.将方程〔7.47〕两边对从－1到1积分,并利用正交关系式〔7.43〕可知式〔7.47〕右边的第二项积分等于零.于是,有〔7.48〕式〔7.48〕左边的积分可完成为〔7.49〕将式〔7.49〕与式〔7.48〕的右边相比较,得[例7.1]在〔－1,1〕区间上,试求展成Fourier－Lengendre级数.解设根据积分公式〔7.30〕可知,当时,所有积分等于零,即利用式〔7.29〕,计算得〔被积函数是奇函数〕于是有由上述计算可得出以下结论：在的Fourier－Lengendre级数中,若是奇数,只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数,只含偶数阶Lengendre多项式.且Lengendre 多项式的阶数最高阶为.下面列出部分的Fourier－Lengendre多项式的阶数：2.5具有轴对称性的物理问题举例由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解.把对称轴取作求坐标的轴,Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为〔7.50〕Laplace方程描写的轴对称问题的形式解：<7.51>对于球内问题,有对于球外问题,应为零.[例7.2]半径为的均匀带电圆环,总电量为,如图7.2,求圆环周围空间的电势.图 7.2 带电的圆环解先由Coulomb〔库仑〕定律求在轴上的电势,〔7.52〕将式〔7.52〕作Laurant〔罗朗〕展开,得〔7.53〕势〔7.53〕可看成是形式解〔7.51〕在的边界条件.比较两式,且有,得[例7.3]半径为的半球导体,球面温度保持在,底面温度保持为,如图7.3,求半导体球内的稳定温度分布.图7.3 半圆形导体解稳定时,导体内的温度分布满足Laplace方程.温度分部具有轴对称性.对于球内问题,由式〔7.51〕有〔7.54〕边界条件是〔7.55〕〔7.56〕由式〔7.55〕,有显然,只有当为奇数时才有.因而,式〔7.54〕成为〔7.57〕由式〔7.56〕,有利用Fourier－Legendre级数展开定理,有〔7.58〕最后一步积分是利用习题7.2第3①题的结果求得的.将式〔7.58〕换写成表达式,并代入式〔7.57〕,有〔7.59〕§ 3* 连带LEGENDRE多项式3.1 连带LEGENDRE多项式上节讨论了对称的定解问题,当时,式〔7.5〕转变成Legendre方程〔7.10〕.当物理问题是非轴对称时,将式〔7.5〕写下：〔7.59〕类似地,作代换,令,式〔7.5〕变成连带Legendre方程〔7.60〕式〔7.60〕的本征值是,只有当取等整数时,式〔7.60〕才有本征函数解.设〔7.61〕于是,有将上述结果代入式〔7.60〕得〔7.62〕另则,由Legendre方程〔7.11〕对作次求导,得〔7.63〕比较式〔7.63〕与〔7.62〕有〔7.64〕由式〔7.61〕得到满足方程〔7.60〕的连带Legendre多项式〔7.65〕在以上推导中,阶导数表示为特别是3.2 连带LEGENDRE多项式的性质积分表达式①〔7.67〕递推公式②〔7.68〕③ <7.69> ④〔7.70〕⑤〔7.71〕对称性⑥〔7.72〕⑦〔7.73〕⑧〔7.74〕正交关系⑨〔7.75〕⑩〔7.76〕。
勒让德变换武际可. §1 勒让德变换的提出法国数学家、天文学家勒让德（Legendre, Asrien-Marie ，1752-1833）出生在一个比较富有的家庭，从小受到良好的教育。
18岁时，通过了数学物理的毕业论文答辩。
只后在大学教授过数学，31岁时被选入科学院。
1789年法国大革命后，于1790年宣布要对当时相当混乱的度量衡制度进行改革。
科学院组成了一个由拉格朗日为首的委员会。
委员会建议以从赤道到北极的一千万分之一为长度基本单位――米，这个方案于1791年被法国国民议会通过。
于是就要着手实际测量从赤道到北极的长度。
勒让德参加了测量，并且是经度局的一名成员。
1813年拉格朗日逝世，勒让德接替他成为经度局的主席。
他在数学上的贡献，勒让德多项式就是在计算地球形状时的一项创造。
勒让德在数学上的贡献是多方面的，他在解析数论、椭圆函数、几何学、天体力学等方面都有重要的贡献。
1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。
勒让德变换在勒让德的贡献中，开始并没有引起人们广泛的注意，而且，开始只是对于几何问题的讨论引进的。
不过随着历史的发展，它在无论是数学还是力学与物理中都显示了它的重要性，经过人们对它的推广，被广泛应用于许多方面。
勒让德变换是从以下偏微分方程出发的∂∂∂++=∂∂∂∂222220z z zR S T x x y y（1.1）其中若令,z zp q x y ∂∂==∂∂，再令R 、S 、T 仅是p,q 的函数。
令曲面(,)z f x y =的切平面为0px qy z v +--=， （1.2）则应当有222220v v v R S T q p q p∂∂∂-+=∂∂∂∂ （1.3） （1.2）式在变量x,y 与它们的对偶变量p,q 之间给了一个变换。
把这个变换具体写出来就是对它求微商得,;,v v zzp q x y x y p q ∂∂∂∂====∂∂∂∂ （1.4）考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即222222p p zz x y x x y q q zz x y x y y ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，222222xy vv pp p p q xy vv q q p q q ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭于是有2222222222222222111,,,z v z v z vx q x y p q y p vv p p q v v p qq ∂∂∂∂∂∂==-=∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∂∂∂∆∂∂∂∂∂其中＝这个变换把一个拟线性方程（1.1）变到一个线性方程（1.3）。
勒让德转换10/02/03在课上以及叙述过程中，我们已经看到勒让德转换是怎样使我们能够在那些我们可能在实际生活中遇到试验条件下控制独立变量。
比如说,在实际生活中不可能将系统的熵（常数）作为控制变量，我们会本能的去测量和控制相对更为容易操作的温度。
为了改变独立变量，我们现在给出勒让德转换公式(T,V ,N)→ U(S,V ,N)-TS TS N V S U N V T −→Φ),,(),,(通过我们已经学过的知识，势能Φ通常被认为是赫姆霍茨自由能，F 。
它的变换形式是：dF=-SdT-PdV+dN dN PdV SdT dF μ+−−=为了更全面的表达勒让德变换，我们可以用矩阵符号来表示系统的内能和赫姆霍茨势能：i i X Y /Φ TS PV N μ＋ — ＋),,(N V S U ),,(N V T F — — ＋矩阵的解释如下：第一栏表明了势能Φ，通过圆括号内的几个独立变量参数表征。
矩阵的第一行表示了共轭对，用于定义系统并建立系统与外部环境能量之间的相互作用。
我们可以按如下步骤记下势能的变化形式：i i X Y 1 确认势能Φ的独立变量。
以U(S,V ,N) 为例，它的独立变量是S,V ,N2 独立变量在积分形式的势能Φ表达式中应以积分形式出现。
对U(S,V ,N)，dS,dV 和dN 出现在dU 的表达式中。
3 独立变量还必须乘以它们各自的变量，对于U(S,V ,N)，我们有TdS, PdV , μdN 。
4 对于积分形式的势能Φ， 每一个积分形式的共轭对的符号是通过横截相对应的势能Φ和共轭对所在的那行决定的。
对于内部能量我们最终得到：i i X Y dN PdV TdS dU μ+−=注意到做功由PV 外的其他因素决定，i i i X Y ∑对于内部能量表达式来说总是正的。
我们可以使用上述矩阵得到勒让德变换的内能：比如说，从(S,V ,N)变换到(T,V ,N)，使用以下方法我们可以很方便的得到正确的变换结果，甚至可以用积分形式来表示：1 确认以独立变量出现在势能中的强度特性(s)。
1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。
勒让德变换在勒让德的贡献中，开始并没有引起人们广泛的注意，而且，开始只是对于几何问题的讨论引进的。
不过随着历史的发展，它在无论是数学还是力学与物理中都显示了它的重要性，经过人们对它的推广，被广泛应用于许多方面。
勒让德变换是从以下偏微分方程出发的∂∂∂++=∂∂∂∂222220z z z R S T x x y y（1.1） 其中若令,z z p qx y ∂∂==∂∂，再令R 、S 、T 仅是p,q 的函数。
令曲面(,)z f x y =的切平面为0px qy z v +--=， （1.2）则应当有2220v v v R S T q p q p ∂∂∂-+=∂∂∂∂ （1.3） （1.2）式在变量x,y 与它们的对偶变量p,q 之间给了一个变换。
把这个变换具体写出来就是对它求微商得,;,v v zz p q x yx y p q ∂∂∂∂====∂∂∂∂ （1.4） 考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即222222pp zz x y x x y q q zz x y x y y ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，222222xy vv pp p p q xy vv q q p q q ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭于是有2222222222222222111,,,z v z v z vx q x y p q y p vv p p q v v p qq ∂∂∂∂∂∂==-=∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∂∂∂∆∂∂∂∂∂其中＝这个变换把一个拟线性方程（1.1）变到一个线性方程（1.3）。
§2. 勒让德变换 令2.1 2.2 2.3y y x dyy t dxu u t duu ''＝（），（）＝＝，（）＝（），（）＝2.4 dt。
（）从（2.2）反解出x 为t 的函数并代入下式u xt y ＝－ （2.5）把这个式子微分得d d d d d d d d d d d y yu x t t x x x t t x x t x x＝＋－＝＋（－）＝， 由此，显然得到u 是t 的函数，并且对t 的导数是x 。
（2.5）式确定了变量u 、y ，x 、t 之间的一个变换。
它把y ＝y(x)变到了t t x u u t ＝（）＝（）（2.6）同样，由（2.5）可以得y xt u ＝－，它定义了另一个与上面变换相反的变换。
所以这两个变换是相互的，它们的关系是对等的。
勒让德变换有这样一个性质，即如果在x 、y 平面上的两条曲线是相切的，变换到u 、t 平面也是相切的，反之亦然。
具有这种性质的变换称为接触变换。
勒让德变换是接触变换的特殊情形。
把以上的思想推广到多变量的情形，设有n 个变量12,,,n q q q 的函数12(,,,)n U U q q q = ，它具有直到二阶以上的连续微商，取新的一组变量(1,2,,)i iU Q i n q ∂==∂ （2.7）它们组成对原变量12,,,n q q q 的一组变换其雅科比行列式20i j i jQ Uq q q ∂∂=≠∂∂∂ 从（2.7）可以把原变量反解出来得12(,,,)(1,2,,)i i n q q Q Q Q i n == （2.8）考虑新函数1nci i i U Q q U ==-∑， （2.9）对上式微分得========∂=∂∂=-∂∂=-∂∂==∂∑∑∑∑∑∑∑∑（＋）－＋（)＋（)11111111d d d d d d d d d d nnci i i i i i i inni i i i i i i nni i i i i i ic nni i i i i iUU Q q q Q q q Uq Q Q q q U q Q Q q q U q Q q q由此我们证明了(1,2,,)ci iU q i n Q ∂==∂ （2.10）两个函数U 和cU 的关系由（2.9）给出。
对应的变量和函数的关系分别由（2.7）和（2.10）给出。
它们概括了力学与物理中许多对偶关系。
用方程表示。
此式子表示中的 u 对而言是个参数，且参数 u 会满足的 。
即求算表达式关于变量 的极值。
为方便讨论，把讨论限定在为严格单调递增。
会有这方程是因为在也就是斜率不变的状况下，对每个而言，所有与曲线相交且斜率为的直线族为。
若令，该直线即是在的切线方程。
把x当作常数并由右图直接观察可知，在的情况下，值是最小的，也就是说直线方程中这部分是最大的，而正好，正是原方程所求的极值。
§3 .勒让德变换在力学与物理中的应用 1）.气体的热力学函数在热力学中，常见的自变量或状态变量有：T 、S 、p 、v 四个，即温度、熵、压强与体积。
这四个变量之间两两对偶，前两个之积和后两个之积的量纲都是能量。
用体积和熵为自变量表示的内能U （S ，v ），有d d d U T S p v ＝－ （3.1） 可以将自变量改变为其对偶的自变量，于是我们还有和内能同一量纲的三个热力学函数F （T ，v ）、H （S ，p ）、G （T ，p ），即亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它们和内能之间的关系是d = d = d =-Sd d =+dH d d =+ dG=-d +d U U T S pdv F U TS F T p vH U PV T S v p G U PV TS S T v p－－－＝＋－ （3.2）我们看到，这些热力学函数之间的关系恰好是勒让德变换。
所以，勒让德变换实际上是在我们得到了一个不变量后，要得到它的对偶自变量下的不变量的一个重要的变换。
2）.哈密尔顿函数在分析力学中，我们有描述n 自由度系统的拉格朗日第二类方程d 01,2,d j jL Lj n q q ∂∂∂∂ －＝（＝，） （3.3）其中L ＝T －U 这里L 为系统的拉格朗日函数，T 为系统的动能，U 为系统的势能，j q （j ＝1,2, ，n ）为系统的广义坐标。
如果我们引进系统的广义动量 1,2,j j Lp j n q∂∂ ＝（＝，） （3.4）可以证明，从上式中我们可以把j q 反解出来作为j p 和j q 的函数。
我们希望引进新的函数H ，它是p ，q 的函数。
为此令 1nj jj H p qL ∑ ＝＝- （3.5） 我们把两边进行变分并利用（3.3）与（3.4）得111111d d d d d d d d d d d d d nj j j j jnn j j j j j j j j j jnnj j j j j j j j j j nj j j j j H H H p q p q L Lp q q p q q q q p q q p p qp q pq q p ∂∂∂∂∂∂∂∂∑∑∑∑∑∑ ＝＝＝＝＝＝＝（＋）＝（＋）－（＋）＝（＋）－（＋）＝（－＋）比较等式两边，我们就得到j jj jHpq H qq ∂∂∂∂ ＝－＝ （3.6）这就是动力系统的哈密尔顿形式的典则方程。
我们看到（3.5）也是一个勒让德变换。
另外，由于拉格朗日函数是j q 与j q 的函数，按照（3.5）转换为哈密尔顿函数是j p 和jq的函数，所以变换是把部分自变量变量j q 变到自变量j p 而保持自变量j q 不变。
由此可以知，勒让德变换可以把自变量中的任意个变量变换到它的对偶量。
3).弹性力学的余能原理现在我们来讨论弹性体，在（2.9）中，令U 为弹性体的势能，它是广义位移q 的函数。
则cU 就是弹性体的余能。
对于弹性体来说，因为自变量是坐标的连续函数，这时（2.9）中的求和号，应当改用积分号。
我们知道弹性体的总势能是 1:T d dd 2t DDDU v v s *∂Γ⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝（）－－u f u t u （3.7）其中Γ是应变张量T 是应力张量，f 是体力向量场，u 是位移场，v 是体积，s 是表面积，D 是体积占据的空间区域，D ∂是区域的表面，下标t 是表面上给定外力t 的部分。
1:Td d d :Td d 2c DDDD DU v v s U v s ∂∂=Γ⋅⋅Γ⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰－－－＝－u f u t u t u （3.8） 在满足几何约束的条件下，从总势能的变分0U δ＝可以得到弹性体的平衡方程和应力边条件，可以推出在满足平衡条件下，从余能的变分0cU δ＝可以得到弹性体的几何关系与位移边条件。
这就是弹性力学的余能原理。
§4. 广义变分原理我们来考察式（2.9）把所有的项移到一边，然后用一个函数不是它，即令=∏=∑＋－1nci i i U U Q q （4.1）其中U 是广义位移q 的函数，而cU 是广义力Q 的函数。
显然对∏求变分，我们得到δδδδδδδ==∏=∂∂--∂∂∑∑＋－（＋）＝[（＋(）11)]nci i i i i cni i i i i i i U U Q q q Q U U Q q q Q q q考虑到δi q 与δi Q 的任意性，我们就有∂=∂∂=∂i i ci iU Q q U q q （4.2）上式既包含了平衡条件，也包含了几何条件，其中U 是应变能，cU 是余应变能。
得到的前一个式子是拉格朗日定理，而后一个式子是卡斯提也努定理。
对于得到平衡或几何条件来说，相应的广义力与广义位移应当等于零，即（4.2）的左端应当等于零。
这时对应的（4.1）应当适当修改为∏=＋c U U （4.3）一般说来，对于弹性力学的情形，这就相当于Hellinger-Pranger-Reissner 两变量的变分原理。
采用（3.7）和（3.8）的符号，对于弹性力学问题，我们可以把（4.3）写为：t DD DD Dv s v v s =∂*∂∏==Γ⋅+Γ⋅⋅∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＋－－（）－－11:Td d 1:T d d d 2nci ii U U Q q u t u u f u t u （4.4）如果在余能原理的泛函中，通过本构关系把其中都好应力变换为应变。
然后加入上式中。
这时，对它进行变分，自变函数是位移、应力和应变。
我们就得到三变量变分原理。
它和胡海昌变分原理是等价的。
§5 结论勒让德变换是把一个物理不变量变为其对偶坐标下的不变量。
由于在物理中，对偶是一个十分基本的概念，所以勒让德变换对于理解这类问题起着重要作用。
