贵州省湄潭县湄江中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

所以如图，以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系 B xyz ，则 C 1,0,0 ， A0,2,0 ， P0,0,2 ， PC 1,0, 2 ，
PA 0, 2, 2 ，即 PC PA 4 .
PC
在 PA 上的投影向量的长度为
PC PA PA
4 22
2，
故点 C 到直线 PA 的距离为
2
PC
2
2 3.
故选：A
7、A
【解题分析】设椭圆的长半轴长为 a1 ，双曲线的实半轴长为 a2 ，不妨设 PF1 PF2 ，利用椭圆和双曲线的定义可得
出
PF1 PF2
a1 a2 a1 a2
，再利用勾股定理可求得结果.
【题目详解】设椭圆的长半轴长为 a1 ，双曲线的实半轴长为 a2 ，不妨设 PF1 PF2 ，
AC
(2,
2,
2)
，则点
C
到直线
AB
的距离为
d
2
2
AC AC u
4
4
4
1 2 10
3 10
2
2
2
65 5
.
故选：C.
4、B
【解题分析】根据几何关系以及空间向量的线性运算即可解出
【题目详解】因为 PB 4PD ，所以 AB AP 4 CD CP ，
即 CD 1 AB AP CP 1 AB AP AP AC
2 1
∴1 m2 1 ，即 tan k 1，又 0 ，
∴ ；
4
2
故选：D 2、B
【解题分析】由 a3 a7 7 ，将 a3 , a7 转化为 a2 , a6 表示，结合 a2 a6 3 ，即可求解.
【题目详解】 a3 a7 a2 a6 2d 3 2d 7 ，

湄潭中学2012—2013学年第一学期测试高二年级数学（理科）试卷命题：王多谢一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）1、有如右程序程序执行后的结果是（ ）A 、4 6B 、6 4C 、6 6D 、4 42、执行下边的程序框图，若8.0=p ，则输出的n 为 （ ）A ．3B ．2C ．4D ．53、命题“21cos ,00≤∈∃x R x ”的否定是（ ） A 、21cos ,>∈∀x R x B 、21cos ,≤∈∀x R x C 、21cos ,00>∈∃x R x D 、不存在x 21cos ,>∈x R 4、“a=1”是“函数),1[32)(2+∞+-=在区间ax x x f 上是减函数”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、若双曲线122=+ky x 的离心率为2，则实数k 的值是（ ）A 、3B 、31C 、3-D 31- 6、抛物线82x y -=的准线方程是（ ） A 、321=x B 、2=y C 、41=x D 、4=y 7、若原点到直线则的距离是,608=++y ax a 的值为（ ）A 、37B 、 33C 、33±D 、37± 8、直线023022=--=++y x y ax 和直线平行，则a 的值是（ ）A 、-3B 、-6C 、23D 、32 9、已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK|=2|AF|,则△AFK 的面积为（ ）A 、4B 、8C 、16D 、3210、两圆0128062222=+++=-+y y x x y x 和的位置关系是（ ）A 、相离B 、外切C 、相交D 、内切11、为了解某幼儿园儿童身高情况，抽查该园120名儿童的身高绘制成如下的频率分布直方图，则抽查的120名儿童身高在大于或等于98cm 且小于104cm 的儿童有（ ）个A 、90B 、75C 、60D 、4596 98 100 102 104 106 (cm)12、3名学生排成一排，其中甲、乙站在一起的概率是（ ）A 、61B 、31C 、21D 、32 二、填空题（每小题5分，共20分）13、b a x b x a ,),5,,3(),1,2,(2若--==的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）。

2016-2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题(60分，每个5分)1．已知集合A=｛x｜﹣1＜x＜2｝，B={x|0＜x＜3｝，则A∪B=（）A．(﹣1，3）B．（﹣1，0) C．（0，2) D．(2，3）2．命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0=x0﹣1”的否定是（)A．∀x∈（0，+∞),ln x≠x﹣1 B．∀x∉（0，+∞），ln x=x﹣1 C．∃x0∈（0，+∞），ln x0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞），ln x0=x0﹣13．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（)A．若m∥α，n∥α,则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为（）A．B． C． D．5．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．要得到函数y=sin（4x﹣)的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位8．假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰"三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆,为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取( ）A．16，16，16 B．8，30，10 C．4,33，11 D．12，27，9 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+410．设S n是等差数列｛a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3，则S5=（) A．5 B．7 C．9 D．1111．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4,则m等于（）A．8 B．7 C．6 D．512．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈［﹣2,1)时,f （x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C． D．﹣1二、填空题（共20分，每题5分)13．已知A（﹣1，1，1）,B（0，1，1)则｜AB|= ．14．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2)处的切线方程为．15．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3,4，5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．16．下面是一个算法的流程图，当输入的值为3时，输出的结果为．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，内角A，B,C的对边长分别为a,b，c，且（2b﹣c)cosA=acosC．（Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=3，b=2c,求△ABC的面积．18．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（1)用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由．19．如图四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD=2PD=2，PD⊥面ABCD．（I）证明:PA⊥BD；（II）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．(1）求直线l的方程;（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．21．已知函数f（x)=+﹣ln x﹣，其中a∈R,且曲线y=f（x)在点（1,f（1）)处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1,0）．（1）求椭圆的方程;(2）设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点,若OM⊥ON，求直线l的方程．2016-2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高二（上）期末数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（60分，每个5分）1．已知集合A={x｜﹣1＜x＜2｝，B=｛x|0＜x＜3｝，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1,0）C．（0,2）D．(2,3)【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A=｛x|﹣1＜x＜2｝，B={x|0＜x＜3｝，∴A∪B={x｜﹣1＜x＜3}，故选：A．2．命题“∃x0∈(0，+∞），ln x0=x0﹣1”的否定是( ）A．∀x∈（0，+∞)，ln x≠x﹣1 B．∀x∉（0,+∞），ln x=x﹣1 C．∃x0∈（0,+∞）,ln x0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞),ln x0=x0﹣1【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0，+∞），ln x0=x0﹣1”的否定是:∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．故选：A．3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（)A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n，m⊥α,则n⊥αD．若m∥α，α⊥β,则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误;用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误;通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α,则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α,m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α,满足直线与平面垂直的性质定理，故C 正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β,也可能m∩β=A,所以D 不正确；故选C．4．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为（）A．B． C． D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积,关键是要根据几何概型的计算公式,列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系．【解答】解:正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率,P==，又∵S正方形=4,∴S阴影=,故选B．5．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接C1B，D1A,AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角,而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．【解答】解：连接C1B，D1A，AC,D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．6．若sinα=﹣，则α为第四象限角,则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα,然后求解即可．【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角,cosα==，tanα==﹣．故选:D．7．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选:B．8．假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取( )A．16，16,16 B．8，30，10 C．4，33，11 D．12，27，9【考点】分层抽样方法．【分析】由题意先求出抽样比例，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9600辆，而抽取48辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，∵“远景”型号的轿车产量是1600辆，应抽取辆，同样,得分别从这三种型号的轿车依次应抽取8辆、30辆、10辆．故选B．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2,代入柱体表面积公式,可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱,底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+(2+π）×2=3π+4，故选:D10．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若a1+a3+a5=3,则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3,再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列｛a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．11．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( ）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质直接求解．【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，∴，解得6＜m＜10，∵焦距为4，∴c2=m﹣2﹣10+m=4,解得m=8．故答案为：8．12．设f(x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈［﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C． D．﹣1【考点】函数的值．【分析】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D二、填空题（共20分,每题5分)13．已知A(﹣1，1，1），B（0，1，1)则|AB｜= 1 ．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】根据两点间的距离公式求值即可．【解答】解:A（﹣1，1,1），B(0，1，1），则|AB｜==1．故答案为：1．14．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2)处的切线方程为5x+y+2=0．．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解:y′=﹣5e x,∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为:5x+y+2=0．15．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件共有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解:由题意知,本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球,共有C52=10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件:1，2;1,5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故答案为：16．下面是一个算法的流程图，当输入的值为3时，输出的结果为8 ．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算变量y 的值，并输出满足条件的y值．【解答】解:模拟程序框图的运行过程知，输入x=3时，满足x＜5的条件，计算并输出y=32﹣1=8．故答案为：8．三、解答题（共70分)17．在△ABC中,内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b ﹣c）cosA=acosC．（Ⅰ）求角A的大小;（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．【考点】余弦定理;正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB,由sinB≠0，可得cosA=,结合A的范围，即可解得A的值．（Ⅱ）由b=2c及余弦定理可求得cosA=，解得c，b，由三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由（2b﹣c）cosA=acosC，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，得：2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB,…∵0＜B＜π，∴sinB≠0,所以cosA=，因为0＜A＜π，所以解得：A=．…(Ⅱ）因为b=2c．所以cosA===，解得c=，∴b=2．…所以S△ABC=bcsin A=×2××=．…18．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】（1)将成绩的十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图；（2）计算甲与乙的平均数与方差，即可求得结论．【解答】解:（1）茎叶图如下:(2）派甲参加比较合适，理由如下：（90﹣85)2+(92﹣85)2+（95﹣85）2］=41∵=，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适19．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD=2PD=2，PD⊥面ABCD．(I）证明：PA⊥BD；(II）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（I)证明AD⊥BD,PD⊥BD,推出BD⊥平面PAD,即可证明PA⊥BD．（II）DA，DB，DP两两垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出相关点的坐标,平面PAB的一个法向量，平面PCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．另解:（II）作AK⊥PB于K,连结DK，则DK⊥PB，设∠AKD=α，则α是二面角A﹣PB﹣D的平面角，通过求解三角形即可推出结果．【解答】解：（I）证明：在△ADB中，∵∠DAB=60°，AB=2AD=2,由余弦定理得,BD2=AD2+AB2﹣2AD•ABcos60°，∴BD2=3,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，又∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，又∵AD,PD是平面PAD内两相交直线(或PD∩AD=D）,∴BD⊥平面PAD，∵AP⊂平面PAD，∴PA⊥BD．（II)由（I）知，DA，DB,DP两两垂直,建立空间直角坐标系D﹣xyz则A(1，0，0），，，D（0，0，0），P（0,0，1)，设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，1），因为,，所以,解之x=1,，所以由于x轴∥平面PCB，设平面PCB的一个法向量可为m=（0，y’，1），因为，所以，解之，所以）设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ（（此处要看观察）)，因此,cosθ==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．另解：（II）由(I）知，AD⊥BD,又易知PD⊥AD,且PD∩BD=D，所以AD⊥平面PDB,作AK⊥PB于K，连结DK，则DK⊥PB（图5)，设∠AKD=α，则α是二面角A﹣PB﹣D的平面角,由于AD∥BC，所以BC⊥平面PDB，则二面角D﹣BP﹣C是直角，因此,二面角A﹣PB﹣C为90°+α，由(I）知,AD=1，,PD=1，所以PB=2，DK=√3/2,tanα=，sinα==,因此，，故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．20．已知直线l经过点(0,﹣2）,其倾斜角的大小是60°．（1)求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由已知中直线l的倾斜角可得其斜率，再由直线l经过点（0，﹣2),可得直线的点斜式方程，化为一般式可得答案．（2）由（1）中直线l的方程，可得直线在两坐标轴上的截距,代入三角形面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为直线l的倾斜角的大小为60°，故其斜率为，又直线l经过点（0,﹣2)，所以其方程为y﹣（﹣2）=x即．…（2）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．…21．已知函数f（x）=+﹣ln x﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f(1）)处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值;（2）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(1）由曲线y=f(x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x﹣2y=0可得f′(1)=﹣2，可求出a的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）∵f(x）=+﹣ln x﹣,∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线垂直于直线y=x，∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得:a=；（2)由(1）f(x)=+﹣lnx﹣,（x＞0），f′（x）=﹣﹣==，令f′(x）＞0,解得:x＞5，令f′（x）＜0,解得：0＜x＜5，故f（x)在（0，5）递减,在（5，+∞）递增．22．已知椭圆E:+=1(a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆的方程；（2）设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；（2)讨论直线MN的斜率是否存在,设出MN的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系,结合OM⊥ON，•=0求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．【解答】解：（1）依题意得,c=1，∴;…解得a=，b=1；∴椭圆E的标准方程为+y2=1；…(2）设M（x1，y1），N(x2,y2），①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意;…②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x﹣1）;…由得：[1+2k2]x2﹣4k2x+2（k2﹣1)=0，…∴x1+x2=,x1•x2=；…∴y1•y2=k2(x1﹣1)（x2﹣1）k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=;又∵OM⊥ON，∴•=0；∴x1•x2+y1y2==0，解得k=±,…∴直线l的方程为：y=±（x﹣1)．…2017年3月22日。

2016-2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高二(下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7｝，则∁U A=（）A．{1,3｝ B．{3，7，9｝C．{3,5，9｝D．｛3,9｝3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提）,而y=（）x是指数函数(小前提），所以y=(）x是增函数（结论）",上面推理的错误是（) A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错4．对于函数f(x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（)A．f（x）在(，)上是递增的 B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2π D．f（x)的最大值为25．若曲线f(x)=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P 的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1,0）D．(1，5)6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N＊，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除"时,假设的内容应为( ）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除7．已知函数f(x）的导函数f′(x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（)A．B．C．D．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16C．48 D．16+329．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1）,则（)A．f（a）=f（b） B．f（a)＜f（b)C．f（a）＞f（b）D．f(a）,f(b）大小关系不能确定11．的展开式中x6y2项的系数是（）A．56 B．﹣56 C．28 D．﹣2812．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为（) A． B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．根据如图所示的伪代码,当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为．14．已知向量=(，1），=（0，﹣1),=（t，),若﹣2与共线，则t= ．15．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．16．设函数f（x)满足f(x）=x2+3f′（1）x﹣f（1），则f(4）= ．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知y=f（x）是二次函数，方程f（0）=1，且f′（x）=2x+2 (1）求f（x）的解析式．(2）求函数y=f(x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．18．已知A、B、C为△ABC的内角,tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小(Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．19．7名师生站成一排照相留念,其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻;(3）若4名男生身高都不等,按从左向右身高依次递减的顺序站;（4)老师不站中间，女生不站两端．20．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个,白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；(Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．21．数列｛a n}满足：a1=，前n项和S n=a n,（1）写出a2,a3,a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且｜F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ)求椭圆C的方程;（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求｜AF2|•|F2B｜的取值范围．2016—2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高二（下)期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的( ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为(2，﹣3）,可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3）,故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限,故选D．2．已知集合U={1，3，5，7,9}，A={1，5，7}，则∁U A=( ）A．｛1，3｝B．｛3，7，9｝C．{3，5，9｝D．｛3,9｝【考点】1F:补集及其运算．【分析】从U中去掉A中的元素就可．【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（)x是指数函数（小前提),所以y=()x是增函数（结论）"，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】对于指数函数来说,底数的范围不同，则函数的增减性不同,当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解:∵当a＞1时,函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．4．对于函数f（x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是（）A．f(x）在（，）上是递增的 B．f(x）的图象关于原点对称C．f（x)的最小正周期为2πD．f（x)的最大值为2【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值,这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f（x)=2sinxcosx=sin2x,是周期为π的奇函数，对于A,f（x）在（，)上是递减的，A错误;对于B,f（x)是周期为π的奇函数，B正确;对于C，f（x)是周期为π，错误；对于D,f（x）=sin2x的最大值为1，错误;故选B．5．若曲线f(x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1,﹣3）C．(1,0）D．(1,5）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f(x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值,根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可．【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f(x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，所以过点P的切线的斜率k等于直线3x﹣y=0的斜率，即k=3，则f′（a）=4a3﹣1=3，解得a=1，把a=1代入得：f（1)=0,则点P的坐标为(1，0）．故选C6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N＊,如果ab可被5整除,那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】FC：反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”．故选：B．7．已知函数f（x)的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f （x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数图象可知，f(x）在（﹣∞，﹣2），（0,+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f(x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞)上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．8．某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16C．48 D．16+32【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积;L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得四棱锥的底面棱长为4，高为2，求出侧高后,代入棱锥表面积公式，可得答案．【解答】解:由已知中的三视图,可得四棱锥的底面棱长为4,故底面面积为：16，棱锥的高为2,故棱锥的侧高为：=2,故棱锥的侧面积为：4××4×=16，故棱锥的表面积为：16+16,故选：B9．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有（)A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】D2：分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有,方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法:任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种,都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b） B．f（a)＜f（b）C．f（a)＞f（b）D．f(a)，f(b）大小关系不能确定【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．【解答】解:∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时,f'（x）＜0，即f（x）在区间(﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a)＞f（b）故选C．11．的展开式中x6y2项的系数是（）A．56 B．﹣56 C．28 D．﹣28【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式的通项公式，可求的展开式中x6y2项的系数【解答】解：由题意,，故：A．12．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A． B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程；K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴,最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F（1，0)，双曲线的方程为故选D二、填空题(本大题共4个小题;每小题5分,共20分）13．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时,最后输出的m的值为 3 ．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数m=的值，代入a=2,b=3，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知:该程序的作用是计算分段函数m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案为：314．已知向量=(，1），=（0，﹣1），=（t，)，若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1)，∴﹣2=，又=（t,)，且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为:1．15．设m＞1，在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为 3 ．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上,由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点（，）当x=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即;解得m=3．故答案为：3．16．设函数f（x)满足f（x）=x2+3f′（1）x﹣f(1），则f（4）= 5 ．【考点】63：导数的运算．【分析】求函数的导数,先求出f′(1），f(1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2+3f′（1)x﹣f(1），∴f′(x）=2x+3f′(1）,令x=1,则f′(1)=2+3f′(1)，即f′(1）=﹣1，则f（x）=x2﹣3x﹣f（1），令x=1，则f（1）=1﹣3﹣f（1)，则f（1）=﹣1，即f（x）=x2﹣3x+1，则f（4）=42﹣3×4+1=16﹣12+1=5，故答案为：5．三、计算题（本大题共6个小题,共70分;解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知y=f(x）是二次函数，方程f（0）=1,且f′(x）=2x+2（1）求f（x）的解析式．（2)求函数y=f(x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．【考点】6G：定积分在求面积中的应用；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）利用二次函数以及导数的关系式得到解析式的系数；求导解析式；（2)利用定积分表示图象面积，然后计算定积分．【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f’（x）=2x+2．∴可设f(x）=x2+2x+c．又∵方程f（0）=1得到c=1,∴f（x）=x2+2x+1；（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点(0，1）,(﹣3,4），∴两函数图象所围成的图形的面积为==（）｜=9．18．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R)两个实根．（Ⅰ)求C的大小（Ⅱ）若AB=3,AC=，求p的值．【考点】HQ：正弦定理的应用；GR:两角和与差的正切函数．【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B,A,由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=(p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0,所以p≤﹣2,或p≥．由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0,从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=,所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===,解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是,A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan(45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB)=﹣（2+）=﹣1﹣．19．7名师生站成一排照相留念,其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?(写出必要的解答过程）(1)两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；(4)老师不站中间,女生不站两端．【考点】D9:排列、组合及简单计数问题．【分析】（1)根据题意,把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将6个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案, (2)根据题意，4名男生互不相邻，应用插空法,要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，（3)根据题意，先在7个空位中任选3个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有1种站法，由分步计数原理计算可得答案，（4)根据题意，分2种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．【解答】解:（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A22种顺序，将6个元素进行全排列，有A66种情况，则共有A66A22=1440种不同站法；(2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A33种情况，排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A44种情况,共有A33A44=144种不同站法；（3）根据题意,先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可,有A73种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站,则男生的顺序只有一个,将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况，则共有1×A73=210种不同站法;（4)根据题意，分2种情况讨论：①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A52种站法,男生站剩余的4个位置，有A44种站法，此时有2×A52×A44=960种不同站法，②、老师不在两端,则老师有4种站法,中间还有4个位置可站女生,女生有A42种站法，男生站剩余的4个位置,有A44种站法,此时共有4×A42×A44=1152种不同站法，则老师不站中间,女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．20．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个,白粽5个，这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个．（Ⅰ)求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可;（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个",则由古典概型的概率公式有P（A)==．(Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P(X=1）==，P（X=2）==，X012PEX=0×+1×+2×=．21．数列{a n}满足:a1=，前n项和S n=a n，(1）写出a2，a3，a4;（2）猜出a n的表达式,并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）根据，利用递推公式，分别令n=2,3，4．求出a1，a2,a3,a4;（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a n，然后利用数学归纳法进行证明即得．【解答】解：（1）∵，∴令n=2，，即a1+a2=3a2．∴．令n=3,得,即a1+a2+a3=6a3，∴．令n=4,得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．①当n=1时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即,则当n=k+1时,=，即．∴∴．∴当n=k+1时结论成立．由①②可知，对一切n∈N+都有成立．22．已知椭圆=1（a＞b＞0)的焦点是F1、F2，且|F1F2｜=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2｜•｜F2B｜的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】(Ⅰ)利用|F1F2｜=2,离心率为，建立方程组，求出a,b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ)分类讨论，设出方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求|AF2|•｜F2B｜的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为,由题意知解得．所以椭圆的标准方程为．…（Ⅱ）因为F2（1，0)，当直线的斜率不存在时，,，则，不符合题意．当直线y=k(x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．由消(3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．设,，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以,所以所以==当k2=0时，｜AF2|•｜F2B｜取最大值为3，所以｜AF2|•|F2B|的取值范围．又当k不存在，即AB⊥x轴时，｜AF2｜•｜F2B｜取值为．所以|AF2｜•|F2B｜的取值范围．…2017年6月19日。