(完整word版)衡水中学2019届高考理科数学模拟试题精编(十)

衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A 10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是 A.B.C.D.【答案】C11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C.D.【答案】A 12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·2·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C．4022 D ．4023·3··4· D ．3613 7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ）A ．115,106π- B ．21,3π- C ．7,106π- D ．4,53π- 9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式 )()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( ) A. )0,(-∞ B. ()+∞,0 C.)1,(-∞ D. ()+∞,1·5·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A.x23＋y24＝1(y≠0) B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ） A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．复数 在复平面内对应的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限2．已知全集U=R ， 则A ．B ．C ． 或D ． 或3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A ． 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ． 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ． 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D ． 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4．已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为A ． 11B ． 12C ． 13D ． 14 5．已知 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 时， A ． B ． C ． D ． 6．已知椭圆 和直线 ，若过 的左焦点和下顶点的直线与 平行，则椭圆 的离心率为 A ． B ． C ． D ． 7．如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 A ． B ． C ． D ． 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A ． 有四个两两全等的面 B ． 有两对相互全等的面 C ． 只有一对相互全等的面 D ． 所有面均不全等 9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．B．C．D．10．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A．B．C．D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．12．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A．B．C．D．二、填空题13．已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.14．已知数列，若数列的前项和，则的值为________.15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.16．已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为____________.三、解答题17．如图，在中，是边上的一点，，，.（1）求的长；（2）若，求的值.18．在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.如图1 如图2（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。

2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R A B =ð（ ）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求R A B ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =ð.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|1|z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 25+C. 45+D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则12PF PQ PF PQ +=+d ≥（d 为点2F 到渐近线0x =1=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 2||cos6||||m n m n a π∴==+，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，BM a ==，tanABAMBBM∴∠==3AMBπ∴∠=．故选：B．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xxf xaωϕπ+=(0,0,)a Rωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取（）A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】B【解析】分析：从图像可以看出()f x为偶函数，结合()f x的形式可判断出()siny xωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a aπ==，所以21=a ． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B 【解析】 【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a63,则c b b c + 的最大值是（ ）A. 8B. 6C. D. 4【答案】D【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高”容易联想到面积，11262a a ⨯=bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.6π B. 3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ） A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】 【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，|||MC AB =，|||MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||cos cos(90)||MN CMN MC θ∠=︒-=31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=tan 2θ=,所以直线AB 的方程为1)y x -， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. ,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. )+∞C. )+∞D. 2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减，所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，解得2a ≥，所以a 的取值范围为2⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】 【分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,1 2），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22sin 2cos 2cos 222αααααα=++=+-=0==．考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、 两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)A B ϕ> ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数 t 的取值范围是(,1)-∞。

河北衡水中学2019年高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A B = （ ）A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2}-2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A ．15 C ．5 D ．25 3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A ．46B ．46C ．718D ．3 4.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A ．4BC ．2D 5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）A ．[0,]6πB ．[,]63ππC ．[,]43ππD ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A ．3)2π+B ．3)22π+C ．2．47.函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.二项式1()(0,0)n ax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．169.执行如图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A ．81B ．812C ．814D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A ．201610101⨯-B ．10092017⨯C ．201710101⨯-D ．10092016⨯11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A ．函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：31y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(2,2)-C ．(2,)+∞D ．(2,0)(0,2)-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.向量(,)a m n = ，(1,2)b =- ，若向量a ，b 共线，且2a b = ，则mn 的值为 ． 14.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y x 的取值范围为 ． 16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠= ，90B ∠= ，120C ∠= ，90E ∠= ，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*121(2,)n n S S n n N -=+≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*12log ()n n b a n N =∈，求11{}n n b b +的前n 项和n T . 18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠= ，AC与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点(,22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅= （O 为坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.。

河北衡水中学2019届高三第三次摸底考试理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集，集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定集合A和集合B，然后进行集合的混合运算整理计算即可求得最终结果.【详解】求解二次不等式可得，则，则由补集的定义可知：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交并补运算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 欧拉公式(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.详解：由欧拉公式，可得，因为，所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.3. 对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】D【解析】分析：先化简，再运行程序得解.详解：=因为4＞（-2），所以输出故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图、指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的运算能力.(2)对数恒等式：(,且,), ,.4. 2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.【详解】设四只小鼠为：，由组合数公式可知，四只小鼠中不放回地拿出2只，共有种方法，其中满足题意的方法为：，，，四种方法，结合古典概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.本题选择C选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 的展开式中的系数为（）A. -160B. 320C. 480D. 640【答案】B【解析】，展开通项，所以时，；时，，所以的系数为，故选B。

高考理科数学模拟试题精编(十)(考试用时：120分钟试卷满分：150分) 注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤1}，集合B＝{(x，y)|y ＝2x,0≤x≤10}，则集合A∩B＝()A．{1,2}B．{x|0≤x≤1}C．{(1,2)}D．∅2．设i是虚数单位，复数(a＋1＋i)2－2a－1为纯虚数，则实数a 为()A．1 B．－1 C．1或－1 D．－123．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－429B ．－229 C.229D.4294．已知A (1,2)，B (2,4)，C (－2,1)，D (－3,2)，则向量CD →在向量AB →上的投影为( )A.55B.255C.22D.2235．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2D ．36．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A ．A 1818种B ．A 2020种C ．A 23A 318A 1010种D ．A 22A 1818种7．M ＝⎠⎛011x ＋1d x ，N ＝∫π20cos x d x ，由程序框图输出S的值为( )A ．ln 2B ．0C.π2D ．18．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )A.33π－1B.33π－13C.33πD.33π＋19．已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x )，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x )，f (x )＝a·b ，要得到y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平行移动π6个单位B ．向右平行移动π6个单位C ．向左平行移动π12个单位 D ．向右平行移动π12个单位 10．在线段AB 上任取一点C ，若AC 2＝AB ·BC ，则点C 是线段AB 的“黄金分割点”，以AC 、BC 为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB 上任取一点C ，若以AC 、BC 为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为( )A ．3－ 5B.5－2C.3－1D ．3－711．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2＝4x上，另一个顶点C(4,0)，则这样的正三角形有()A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与直线l：x＋ay＋1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝________.14．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．15．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.16．已知函数f(x)＝1|x|－1，下列关于函数f(x)的研究：①y＝f(x)的值域为R.②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③y＝f(x)的图象关于y 轴对称．④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知数列{a n}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}中, b1＝1，b2＝2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和．18．(本小题满分12分)某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准：85分及以上，记为A等级；分数在[70,85)内，记为B等级；分数在[60,70)内，记为C等级；60分以下，记为D等级．同时认定等级为A，B，C的学生成绩为合格，等级为D的学生成绩为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组作出甲校样本的频率分布直方图(如图1所示)，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图(如图2所示)．(1)求图1中x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率； (2)在选取的样本中，从甲、乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为底AB ，CD 上的点，且EF ⊥AB ，EF ＝EB ＝12FC ＝2，EA ＝12FD ，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2所示．(1)求证：平面ABD ⊥平面BDF ；(2)若二面角B -AD -F 的大小为60°，求EA 的长度．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．已知函数f (x )＝ln x －x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12·x ＋22.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1f (x )＜2e x .(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知曲线C 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上每一点的纵坐标变为原来的12倍(横坐标不变)，得到曲线C 2，直线l 的极坐标方程：3ρcos θ＋2ρsin θ＋m ＝0(1)求曲线C 2的参数方程；(2)若曲线C 2上的点到直线l 的最大距离为27，求m 的值． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＜|m－1|的解集非空，求实数m的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(十)1．解析：选C.根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，满足题意0≤x ≤1，所以集合A ∩B ＝{(1,2)}．故选C.2．解析：选A.(a ＋1＋i)2－2a －1＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i.∵(a ＋1＋i)2－2a －1是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1，故选A. 3．解析：选A.因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429，故选A.4．解析：选A.∵AB→＝(1,2)，CD →＝(－1,1)，∴向量CD →在向量AB →上的投影为AB →·CD →|AB →|＝15＝55，故选A.5．解析：选A.设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋2＝3，选A.6．解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A 22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A 1818种站法．根据分步计数原理，共有A 22A 1818种站法．故选D.7．解析：选A.M ＝∫101x ＋1d x ＝ln (x ＋1)10＝ln 2－ln 1＝ln 2.N ＝∫π20cos x d x ＝sin x π20＝sin π2－sin 0＝1，∵ln 2＜1，∴M ＜N ，∴S ＝M ＝ln 2.8．解析：选A .由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h.正三棱柱底面三角形的高为3r ，边长为23r ，则V 正三棱柱＝12×23r ×3rh ＝33r 2h ，所以该几何体的体积V ＝(33－π)r 2h ，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为(33－π)r 2h πr 2h＝33π－1.9．解析：选D .由题意得：f(x)＝a·b ＝2cos 4x －2sin 4x ＝2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2， 而y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2，故只需将y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．10．解析：选A.不妨记AB ＝1，则由AC 2＝AB ·BC 得AC ＝5－12，从而BC ＝3－52，于是“黄金矩形”的面积为5－2.现在线段AB上任取一点C ，设AC ＝x ，则BC ＝1－x ，由x (1－x )＜5－2得0＜x ＜3－52或5－12＜x ＜1，故所求概率为P ＝3－52＋1－5－12＝3－ 5.11.解析：选B.将几何体的展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为PA ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.12．解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由|AC |＝|BC |得(x 1－4)2＋y 21＝(x 2－4)2＋y 22，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2－8)＋y 21－y 22＝0，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，代入上式，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)＝0 ①，由①得x 1＝x 2或x 1＋x 2＝4，若x 1＝x 2，则|y 1|＝|y 2|，显然A ，B 关于抛物线的对称轴(x 轴)对称，考虑到△ABC 是正三角形，∴AC 与x 轴所成的角为30°，不妨设直线AC ：y ＝33(x －4)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎨⎧y ＝33(x －4)y 2＝4x⇒x 2－20x ＋16＝0⇒x ＝10±221，即这样的点A 有2个，对应的等边三角形也有2个，分别是△A 1B 1C 和△A 2B 2C ，如图所示．若x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝4，取AB 的中点D (x 0，y 0)(设y 0＞0)，则有x 0＝x 1＋x 22＝2，∴D (2，y 0)，又当x ＝2时，y 2＝4x ＝8，∴y 0＜22，再由y 21－y 22＝4x 1－4x 2得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0，∴直线AB ：y －y 0＝2y 0(x －2)，即2x ＝y 0y ＋4－y 20，联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x2x ＝y 0y ＋4－y 20⇒y 2－2y0y＋2y20－8＝0，∵方程y2－2y0y＋2y20－8＝0的判别式Δ＝(－2y0)2－4(2y20－8)＝32－4y20，而y0＜22，∴Δ＞0，该方程有2个不相等的实数根，即其对应的点A(点B)有2个，∴其对应的等边三角形有2个，分别是△A′B′C和△A″B″C.综上，可知符合要求的正三角形有4个．故选D.13．解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心C(1,2)，半径r＝2，依题意知弦长|AB|＝4，因此直线l经过圆心C(1,2)，故1＋2a＋1＝0，解得a＝－1.答案：－114．解析：设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为E(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a＝2b即a＝13，b＝12时，等号成立．答案：1 615．解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos 45°＝100 2.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.616.解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1，x ≥01－x －1，x ＜0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝8a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，(2分) 解得a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(4分)(2)c 1＝ab 1＝a 1＝1，c 2＝ab 2＝a 2＝3，从而等比数列{c n }的公比为3，因此c n ＝1×3n －1＝3n －1.(7分)另一方面，c n ＝ab n ＝2b n －1，所以2b n －1＝3n －1，因此b n ＝3n －1＋12.(9分) 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋31＋…＋3n －1)＋n2＝3n ＋2n －14.(12分) 18．解：(1)由题意，可知10x ＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x ＝0.004.(2分)∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%，(3分)乙学校的合格率为⎝⎛⎭⎪⎫1－250×100%＝0.96×100%＝96%.(4分) ∴甲、乙两校的合格率均为96%.(5分)(2)样本中甲校C 等级的学生人数为0.012×10×50＝6，乙校C 等级的学生人数为4.(6分)∴随机抽取3名学生中甲校学生人数X 的可能取值为0,1,2,3.(7分)∴P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16. ∴X 的分布列为(11分)数学期望E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95.(12分)19．解：(1)证明：由题意知EA 綊12FD ，EB 綊12FC ，所以AB ∥CD ，即A ，B ，C ，D 四点共面．(2分)由EF ＝EB ＝12FC ＝2，EF ⊥AB ，得FB ＝EF 2＋EB 2＝BC ＝22，则BC ⊥FB ，又翻折后平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF ＝EF ，DF ⊥EF ，所以DF ⊥平面EBCF ，因而BC ⊥DF ，又DF ∩FB ＝F ，所以BC ⊥平面BDF ，由于BC ⊂平面BCD ，则平面BCD ⊥平面BDF ，又平面ABD 即平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BDF .(6分)(2)以F 为坐标原点，FE ，FC ，FD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则F (0,0,0)，B (2,2,0)，设EA ＝t (t ＞0)，则A (2,0，t )，D (0,0,2t )，AB→＝(0,2，－t )，AD →＝(－2,0，t )．(8分) 设平面ABD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·AD→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －tz ＝0，－2x ＋tz ＝0， 取x ＝t ，则y ＝t ，z ＝2，所以m ＝(t ，t,2)为平面ABD 的一个法向量．(10分)又平面FAD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝t2t 2＋4×1＝12，所以t ＝2，即EA 的长度为 2.(12分)20. 解：(1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23，b 2＝a 2－c 2＝12－6＝6，(1分) ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(3分) (2)证明：由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切，∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0，同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，(5分)∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.(7分)∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.(8分)(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.(9分)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎨⎧y 1＝k 1x 1x 2112＋y 216＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝121＋2k 21y21＝12k 211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝12(1＋k 21)1＋2k 21，同理，可得x 22＋y 22＝12(1＋k 22)1＋2k 22.(10分)由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12(1＋k 22)1＋2k 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18.综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.(12分)21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x ＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－1＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，所以f (x )＝ln x －x 2＋x ＋2，此时，f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x，(2分) 由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，f ′(x )＜0得x ＞1，所以函数f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(4分)(2)证明：不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1f (x )＜2e x 等价于f (x )＜2e x12x 2＋x ＋1，(5分)由(1)f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f (x )max ＝f (1)＝2，所以f (x )≤2 ①，(6分)令g (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1(x ＞0)，所以g ′(x )＝e x －x －1，(g ′(x ))′＝e x －1，所以，当x ＞0时，(g ′(x ))′＞0，所以g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＞g ′(0)＝0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )＞g (0)＝0，即e x －⎝⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＞0，(10分)因为x ＞0，所以e x 12x 2＋x ＋1＞1，∴2e x12x 2＋x ＋1＞2≥f (x )．(11分)所以，x ＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1f (x )＜2e x ，(12分)．22．解：(1)设曲线C 1上一点P (x 1，y 1)与曲线C 2上一点Q (x ，y )，由题知：⎩⎨⎧x ＝x 1y ＝y 12，(2分)所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(4分)(2)由题知可得：直线l 的直角坐标方程为：3x ＋2y ＋m ＝0.(5分)设曲线C 2上一点B (2cos θ，sin θ)到直线l 的距离为d ，则d ＝|23cos θ＋2sin θ＋m |7＝|4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋m |7，(7分)当m ＞0时，d max ＝4＋m7＝27，解得：m ＝10，当m ＜0时，d max＝4－m 7＝27，解得：m ＝－10，综上所述：m ＝±10.(10分)23．解：(1)原不等式为：|2x ＋3|＋|2x －1|≤5，当x ≤－32时，原不等式可转化为－4x －2≤5，即－74≤x ≤－32，(2分)当－32＜x ＜12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴－32＜x ＜12.(3分)当x ≥12时，原不等式可转化为4x ＋2≤5，即12≤x ≤34，(4分)∴原不等式的解集为{x |－74≤x ≤34}(5分)(2)由已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －2，x ≤－324，－32＜x ＜124x ＋2，x ≥12，作出图象如图，由图象可得函数y ＝f (x )的最小值为4，(8分)∴|m －1|＞4，解得m ＞5或m ＜－3.(10分)。

河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·3·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．若{}na 是等差数列，首项10,a>201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0nS>成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C ．4022D ．4023·4·4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可 以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续 7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5.在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D 与平面A1BC1相交于点E ，则点E 为△A1BC1的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心6.设yx ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613B ．365C ．651·5·D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ） A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π-9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( ) A.)0,(-∞ B. ()+∞,0 C.)1,(-∞ D. ()+∞,1·6·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x23＋y24＝1(y≠0)B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632xf x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ）A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。

圆满word版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学绝密★启用前河北衡水中学2019 届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷 4 页， 23 小题，满分150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应地址。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔录签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题给出的选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．复数z( 3 4i)i 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U R ， M { x | x22x} ，则 e U MA ．{ x |2 x 0}B．{ x |2 x0}C．{ x | x2或 x 0}D．{ x | x2或 x0}3．某所高中 2018 年高考考生人数是 2015 年考生人数的 1.5 倍．为了更好的比较该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考各层次的达线率，获取以下柱状图则以下结论正确的选项是A．与 2015 年比较， 2018 年一本达线人数减少B．与 2015 年比较， 2018 年二本达线人数增加了0.5 倍C．与 2015 年比较， 2018 年艺体达线人数不变D．与 2015 年比较， 2018 年未达线人数有所增加4．已知等差数列{ a n}的公差为 2，前 n 项和为S n，且S10 100 ，则 a7A ．11 B． 12 C． 13 D． 145．已知f ( x)是定义在R上的奇函数，若x 0 时， f ( x) x ln x ，则 x 0 时， f ( x)A ．x ln x B．xln( x) C．x ln x D．x ln( x)6．已知椭圆C ： x2 y 2 和直线l：xy 1 ，若过椭圆C的左焦点和下极点的直线与直a 2 b21(a b 0)4 3线 l 平行，则椭圆 C 的离心率为理科数学试题第1页 ( 共 4 页 )圆满word 版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学A ．4B ．3C ．3D ．15 5 4uuuruuur uuur57．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，且 AE2EO，则EDA ． 1 uuur 2 uuurADAB3 3B ． 2 uuur 1 uuurADAB33C ． 2 uuur 1 uuurAD AB3 3D ． 1 uuur 2 uuurAD AB3 38．某几何体的三视图以以下列图，则此几何体 A ．有四个两两全等的面B ．有两个互相全等的面C ．只有一对互相全等的面D ．全部面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大体在公元 222 年，赵爽为《周髀 算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得 到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成） ．类 比“赵爽弦图” ，可近似的构造以以下列图的图形，它是由3 个全等的三角形与 中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设DF 2 AF 2 ，若在 大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．4B ． 2 13C ．9D ． 3 131313262610．已知函数 f ( x)e x, x 0（ e 为自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 f (x) a 0 有两个不等的实根，ln x, x 0则 a 的取值范围是A ． a1B ． 1 a 1C ． 0 a 1D ． a 111．已知双曲线x 2y 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点分别为 F 1, F 2 ，过 F 1 作圆 x 2 y 2 a 2 的切线，交双 a 2b 2曲线的右支于点 M ，若 F 1MF 2 45 ，则双曲线的渐近线方程为A ． y 2xB ． y3xC ． yxD ． y2x12．如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D1中，点E, F分别是棱BB 1,CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过E, F , O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有A1的部分为几何体V1，不含A1的部分为几何体 V2 ，已知M 为几何体V 2 中（内部与表面）的任意一点，设1 1 1 1 1，则 sin 的最AM 与平面 A B C D 所成的角为大值为2 A ． 22 5B ．26C ．26D ．二．填空题：本题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．理科数学试题 第 2页 ( 共 4 页)圆满word 版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学x y 1 013．已知实数x, y满足拘束条件 2 x y 4 0 ，则 z x2 y 的最小值为 ________．y 014 ．已知数列 { a } ，若数列 {3 n 1 a } 的前 n 项和T n 1 6 n1，则 a．n n55 ________515 ．由数字 0，1 组成的一串数字代码，其中恰好由 7 个 1， 3 个 0，则这样的不同样样数字代码共有 ______个． 16．已知函数 f ( x) sin( x) | x 2 | (| |) 的图像关于直线 x 2 对称，当 x [ 1,2] 时， f (x)的最大值为 ________． 32三．解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 ．（本小题 12 分）如图，在 ABC 中， P 是边 BC 上一点， APC 60 ， AB 2 3 ， AP PB 4 ．1 BP 的长；（ ）求（2）若 AC 5 3，求 cos ACP 的值．418．（本小题 12 分）在 ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， AB 2BC 2CD ，如图 1．以 DE 为轴将 ADE 翻折，使点 A 到达点 P 的地址，如图2．（ 1）证明：平面 BCP平面 CEP ；（ 2）若平面 DEP 平面 BCED ，求直线 DP 与平面 BCP 所成角的正弦值．19．（本小题 12 分）某高校为了对 2018 年录取的大一理工科再生有针对性地进行授课，从大一理工科再生中随机抽取 40 名， 对他们 2018 年高考的数学分数进行剖析，研究发现这 40 名再生的数学分数 x 在 [100,150)内，且其频率 y满足 y10an（其中 10n x 10(n 1) ， n N）20（ 1）求 a 的值；（ 2）请画出这 40 名再生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这 40 名再生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）理科数学试题 第3页 ( 共 4 页 )（ 3）将此样本的频率估计为整体的太绿，随机检查 4 名该校的大一理工科再生，记检查的 4 名再生中“高考数学分数不低于130 分”的人数为随机变量，求的数学希望．20 ．（本小题 12 分）已知抛物线 E ：x2 2 py( p 0) 的焦点为F， A(2, y0 ) 是E上一点，且 | AF | 2 ．（1）求E的方程；（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y x 3 交于点 P ，过点 P 作x轴的垂线交 E 于点M ，求证：直线BM 过定点．21．（本小题 12 分）已知函数 f (x) e ax x 1(a R) ．（1）当a 1时，求证：f ( x) 0；（2）议论函数f ( x)的零点个数．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，若是多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑．22．[选修 4 —4：坐标系与参数方程 ] （本小题 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为x2 2t2sin 2a cos (a 0)；直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），直线l与曲线C分别交于2y tM , N 两点．2（ 1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（ 2）若点P的极坐标为(2, )，| PM | | PN | 5 2 ，求a的值．23．[选修 4—5：不等式选讲 ]（本小题 10 分）已知函数 f (x) | x 2 | ．（ 1）求不等式 f (x 1) xf ( x 3) 的解集；（ 2）若函数g ( x) log2 [ f (x 3) f ( x) 2a] 的值域为R，求实数a的取值范围．理科数学试题第 4页 ( 共 4 页)理科数学试题第5页 ( 共 4 页 )理科数学试题第 6页 ( 共 4 页)理科数学试题第7页 ( 共 4 页 )理科数学试题第 8页 ( 共 4 页)。