河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学(理)试题 Word版含解析

2019-2020学年度下学期第三次调研考试答案一．选择题（共12小题）1．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：D．2．解：由z（1+2i）＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：A．3．解：由条形图得到：全国从2014年到2018年国内生产总值逐年增加，增长速度较为平稳．国内生产总值相比上一年年增长额最大在2017年；故选：C．4．解：由函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，则函数f（|x﹣2|）为复合函数单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间（﹣∞，2），再根据复合函数的单调性同增异减，可得函数的单调递减区间为（﹣∞，2）．故选：B．5．解：由双曲线的性质可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，∵∠F2MN＝∠F2NM，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，且，解得n＝75．故选：D．7．解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．8．解：由已知AC＝4，∠ADC＝120°，如图所示；可构造△ADC的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，△ADC面积最大，此时△ADC为等腰三角形，＝×AC•tan30°×AC＝××＝4．其面积为S△ADC故选：D．9．解：根据三视图，可得三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P﹣ABC的体积为，，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P﹣ABC的侧面积为．故选：C．10．解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．11．解：由题意知函数的定义域为（0，+∞），，∵函数f（x）恰有一个极值点1，∴f′（x）＝0有且仅有一个解，即x＝1是它的唯一解，也就是另一个方程无解，令，则，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而，所以当时，方程无解，故选：C．12．解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）、D （x 4，y 4），由，即（1﹣x 1，1﹣y 1）＝λ（x 3﹣1，y 3﹣1），则x 1+λx 3＝1+λ，y 1+λy 3＝1+λ，由，同理可得：x 2+λx 4＝1+λ，y 2+λy 4＝1+λ．则（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）＝（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4），将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，由题意可得：AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ＝﹣．则a 2（y 1+y 2）＝4b 2（x 1+x 2）①，同理可得：a 2（y 3+y 4）＝4b 2（x 3+x 4），∴λa 2（y 3+y 4）＝4λ2（x 3+x 4），②①+②得：a 2[（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2＝4b 2，则椭圆的离心率e ＝＝＝．故选：A ．二．填空题（共4小题）13．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m ），则﹣＝（2，﹣m ﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝﹣5．故答案为：﹣5．14．17种，解：按照甲乙是否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在C 病区，则丙丁分配在AB 病区，有两种。

2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>,(){}ln 10N x x =->,则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D. ()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】解出集合M 、N ,利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误.【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞,(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以,M N ⊇,()2,M N =+∞,()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.2. 已知复数2(2)z i =+,则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3iC. 4D. 4i【答案】C 【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+,所以z 的虚部为4. 故选：C .3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％业灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中,大多数本科生选择继续深造,大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中,硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中,留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％,硕士生选择就业达89.2％,则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％,则判断选项B正确；。

2020届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =I （ ）A ．φB ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[1,2]【答案】C【解析】求出函数()1222y x x=-的定义域，表示出集合N ，得出M N ⋂.【详解】{0N x x =≤Q 或}2x ≥，[)2,M N ∴=+∞I .故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的表示，集合的运算，属于基础题.解此题要理解集合N 表示函数()1222y x x =-的定义域.2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：(1)23i z i -=-，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．2i -C ．12D ．52【答案】A【解析】通过运算得出5122z i =-，从而判定出的z 的虚部. 【详解】23(23)(1)12i i i z i --+==-5122i =-，故z 的虚部为12-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.对复数的实部，虚部的正确理解是判断答案的关键.3．已知抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点F 在直线:4l x y +=上，则点F 到C 的准线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】由抛物线的方程判断出焦点在y 轴上，所以由直线方程求出焦点坐标()0,4，得到8p =，进而求出点F 到C 的准线的距离. 【详解】在方程4x y +=中，令0x =，得4y =，即42p=，8p ∴=，则点F 到C 的准线的距离是8p =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.4．如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是（ ）A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减 【答案】D【解析】结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确；2018年1月至5月的同比数据均为正数，故2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查统计图表的识别和判断，考查学生抽象概括能力和推理论证能力，属于基础题.5．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．C ．16D ．20【答案】D【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r的坐标，则2AC u u u r 可求. 【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r， (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r，241620AC ∴=+=u u u r .故选：D. 【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题.6．已知函数()()3212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．0y =C ．10160x y --=D ．20x y -+=【答案】C【解析】先求出()f x '，代入1x =算出()1f '，再由奇函数的性质得出()00f =，从而求得a 的值；然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线的方程. 【详解】()()2321f x x f ''=-，()()1321f f ''∴=-，即()11f '=，即()322x x a f x =-+-.又()f x 为奇函数，2a ∴=.()32x x f x =∴-，()232f x x '=-.(2)4f ∴=，(2)10f '=.由点斜式得曲线()y f x =在点(2,4)处的切线方程为10160x y --=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数的计算，函数的奇偶性，属于中档题. 曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线方程的方法： （1）求出()0f x '，则切线的斜率()0k f x '=；（2）直线的点斜式写出切线方程为：()()()000y f x f x x x '-=⋅-. 7．函数()f x 的图象可看作是将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）而得到的，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由三角函数的图象变换规律得()2cos 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再由诱导公式得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【详解】将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，而2cos 22sin 22sin 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.由函数sin y x =的图象通过变换得到()sin y A ωx φ=+的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.8．设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】由()tan2xf x =得出()f x 在(),ππ-上单调递增，再由换底公式与对数函数，指数函数的单调性判断出0.2530log 2log 22π<<<<，从而得出b a c <<.【详解】()tan 2x f x =的最小正周期212T ππ==， 与正切函数tan y x =类比可知，()f x 在(),ππ-上单调递增，321log 21log 3=<，521log 21log 5=<， 由221log 3log 5<<，得351log 2log 20>>>，而0.20221>=，且0.2122π<<， 于是得0.2530log 2log 22<<<，所以()()()0.253log 2log 22f f f <<，即b a c <<.故选：D. 【点睛】本题主要考查了正切函数，指数函数，对数函数的单调性以及换底公式，考查了学生推理能力与计算能力，属于中档题.9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A ．6 B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】按入住a 宾馆的代表团的个数分类讨论. 【详解】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数， 综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB 3πC ．6πD ．12π【答案】A【解析】由三视图知，该几何体是一个正方体截去一角所得的几何体（如图），再由正方体的性质，计算出它的外接球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一棱长为1的正方体截去一角所得的几何体1111ABD A B C D -（如图所示），故其外接球即为该正方体的外接球，球的一条直径为13B D =，所以所求外接球的表面积2343S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图与球的表面积计算，属于基础题.11．已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1xC y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】由题意得：直线OD 垂直平分2MF ，设点(),M m n ，()2,0F c ，则,22m c n D +⎛⎫⎪⎝⎭，可得方程组：122na m c n m c a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，求得212,a a M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，将2222,a c a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程得()2222222241a c a a c c --=，化简可得：5e =【详解】不妨设点M 在第二象限，设(,)M m n ，2(,0)F c ，由D 为2MF 的中点，O 、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分2MF ，则:1OD y x a=， 故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =， 将212,a a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241a c a a c c--=，化简可得225c a =，即e =M 在第三象限时，同理可得e =故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题. 12．当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意分析得到：()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()g x 是周期为4的周期函数，正确作出()()f x g x ，的图象，将方程()()f x g x =的实根的个数问题转化为函数()()f x g x ，的图象交点个数问题，观察图象即得结果. 【详解】由()(6)g x g x =-，(1)(1)g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()(6)(2)g x g x g x =-=-，令2t x =-，则()(4)g t g t =+，即()g x 为周期函数，且最小正周期为4.对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =；当[1,2)x ∈时，()1f x =；当[2,3)x ∈时，()2f x =；当[3,4)x ∈时，()3f x =；当[4,5)x ∈时，()4f x =；…；当[1,0)x ∈-时，()1f x =；当[2,1)x ∈--时，()2f x =；当[3,2)x ∈--时，()3f x =；当[4,3)x ∈--时，()4f x =；当[5,4)x ∈--时，()5f x =；….结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()f x 与函数()g x 共有6个交点，即方程()()g x f x =的根的个数为6. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的图象应用，函数的性质，属于中档题.方程的根的个数问题转化为两个函数的图象交点个数问题，利用数形结合求解是常用方法.二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】23【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到rn的值. 【详解】解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为 .321(1)2n r r r r n nC x ⋅--⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，再根据它为常数项，可得320r n -=，求得23r n=， 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14．已知实数,x y 满足4041010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则11y z x +=+的最大值是________.【答案】2【解析】首先作出可行域，11y z x +=+表示可行域内的点(,)M x y 与定点(1,1)--P 连线斜率k 的值，故结合图形可求出结果. 【详解】作出可行域，如图所示：11y z x +=+表示可行域内的点(,)M x y 与定点(1,1)--P 连线斜率k 的值，由图可知k 均为正数，故要求z 的最大值，只需求k 的最大值， 显然当直线PM 过点()1,3A 时，k 最大，且max 31211k +==+，所以z 的最大值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查的是非线性目标函数的最值的求解.解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，确定目标函数的几何意义. 常见的三类目标函数：（1）截距型：形如z ax by =+；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-； （3）斜率型：形如y bz x a-=-. 15．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积. 【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆， 底面积12S S =圆0022124sin cos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+⎪⎝⎭. 故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin sin sin b C a A b B c C +=+，24c b +=，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，则AD 的最小值为________.【答案】23【解析】由正弦定理化边得：222bc a b c +=+，再由余弦定理求出角A ,由条件2BD DC =得：1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，两边平方得到222144cos 999AD c b bc A =++u u u r ，结合条件24c b +=，利用基本不等式求解即可.【详解】由正弦定理得222bc a b c +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==.又(0,)A π∈，3A π∴=， 由2BD DC =，得2BD DC =u u u ru u u r，1233AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，两边平方得222144cos 999AD c b bc A =++u u u r 22142999c b bc =++212(2)99c b bc=+-()22112429923b c c b +⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭，当且仅当22c b ==时取等号.即min 23AD =. 故答案为：23【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式求解最值，属于中档题.将2BD DC =转化为1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r是解决此题的一个关键技巧.三、解答题 17．已知数列中，，且.（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）当时，求数列的前2020项和.【答案】（1）①时，不是等比数列；②时，是等比数列；（2）. 【解析】（1）将递推公式变形为，则当时，首项为零，不是等比数列；当时，数列是等比数列.（2）先求出的通项，然后利用分组求和法、并项求和法以及公式法即可求出. 【详解】 （1），，∴①当时，，故数列不是等比数列；②当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3.（2）由(1)且当时有：，即，，.【点睛】本题主要考查了等比数列证明、数列前项和的求解，属于中档题. 对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.18．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；【解析】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE ，由题意可得四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥，再由点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，求得CD ，同理求得1DB ，得1DB CD =，可得1B C DE ⊥，由线面垂直的判定可得；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，可得AO ⊥BC ，由正棱柱的性质可得AO ⊥平面11BCC B ，以O 为坐标原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD 与平面1BC D 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1C BD C --的平面角的余弦值.【详解】(1)设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE .∵多面体11ABC DB C -是正三棱柱沿平面11DB C 切除部分所得，12BC CC ==， ∴四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥. ∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ， ∴CD =同理1DB ==∴1DB CD =. ∵E 为1B C 的中点， ∴1B C DE ⊥.又∵11B C BC ⊥，1BC DE E =I ， ∴1B C ⊥平面1BC D ；(2)取BC 的中点O ，连接AO . ∵ABC V 为正三角形，AO BC ∴⊥.由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ， 且平面ABC I 平面11BCC B BC =， ∴AO ⊥平面11BCC B .以点O 为原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz .则()1,0,0B ，()11,2,0B ，()1,0,0C -，(3D ，(3CD ∴=u u u r ，(3BD =-u u u r ，()12,2,0B C =--u u u r.设平面CBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则3030n BD x y z n CD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 令1z =，得0x =，3y =()0,3,1n =-r.由（1）可知，平面1BC D 的一个法向量为()12,2,0B C =--u u u r.()()10232106cos ,41344n B C ⨯-+⨯-+⨯∴==+⨯+r u u u r ，又∵二面角1C BD C --的平面角为锐角， ∴二面角1C BD C --6【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题.19．某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9)，[9,10]，统计结果如下表所示：以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间[5,7)内的天数不少于2的概率；（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z 服从正态分布()2,1.44N μ，其中，μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）.①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)内的天数（精确到个位）；②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案： 方案一：直接发放奖金，日纯利润低于μ时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）1316；（2）①819；②奖励方案二. 【解析】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间[)5,7内的频率为12，基于“用样本频率估计总体分布的概率”的思想，可知日纯利润在区间[)5,7内的频率为12，记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X ，则1~5,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，基于二项分布的性质即可求解；（2）①基于正态分布的3σ原则及其性质即可求解；②首先计算方案一的数学期望，其次针对方案二，列出随机变量Q 的分布列，计算出方案二的数学期望，比较两方案的结果，判断出选择方案二更有利. 【详解】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间[)5,7内的频率为203011002+=， 记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X ，则1~5,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴所求的概率(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=01555511131C C 2216=--=. （2）①1(4.55 5.520 6.5307.5100x =⨯+⨯+⨯+⨯308.5109.55) 6.85+⨯+⨯=，6.85μ∴=.又 1.44σ=，(3.978.29)(6.85 2.88 6.85 1. 44)P Z P Z ∴<<=-<<+(2)P Z μσμσ=-<<+1()[(22)2P Z P Z μσμσμσμσ=-<<++-<<+()]P Z μσμσ--<<+0.8186=.故该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)的天数为10000.8186819⨯≈. ②易知1()()2P Z P Z μμ<=≥=. 对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y ，则Y 的可能取值为70，90，其对应的概率均为12，故1()(7090)802E Y =⨯+=. 对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q ，则Q 的所有可能取值为50，100，150，200.121(50)233P Q ==⨯=；111227(100)2323318P Q ==⨯+⨯⨯=；121122(150)C 2339P Q ==⨯⨯⨯=； 1111(200)23318P Q ==⨯⨯=.Q ∴的分布列为17()50100318E Q ∴=⨯+⨯21150200100918+⨯+⨯=.()()E Q E Y >Q ，∴从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利.【点睛】本题主要考查了事件的概率，正态分布以及分布列计算的相关相识，考查了学生的数据分析能力和应用数学解决实际问题的能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，过椭圆C的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P -的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点O '与原点O 关于直线l 对称，试求四边形OAO B '的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】（1）由题得：过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=-，又由该2=，联立2c a =，解方程组即得； （2）由题得直线l 的斜率k 一定存在，可设直线:2l y kx =-，代入椭圆方程，消元化简得：()221416120k x kx +-+=，由弦长公式求得||AB =，再求出点O到直线AB 的距离d =2||14OAO BSd AB k '=⋅=+四边形，最后求出四边形OAO B '的面积的最大值. 【详解】（1）过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=-，即0bx cy bc -+=，又该直线与圆O 相切，bc a ==，又离心率c e a ==1b ∴=， 222213114b e a a ∴=-=-=，24a ∴=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由点O '与原点O 关于直线l 对称，得2OAB OAO B S S '=△四边形. 当直线l 的斜率不存在时，l x ⊥轴，四边形OAO B '不存在，不合题意.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线:2l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而12AB x =-==，又点O 到直线AB 的距离d =，2OABOAO B S S '∴==△四边形2||14d AB k ⋅=+，t =，则0t >，288244OAO B t S t t t'==≤++四边形，当且仅当2t =，即k =>0∆，∴四边形OAO B '的面积的最大值为2.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，求椭圆的面积的最值等问题，运用了弦长公式，点到直线的距离公式，属于难题；同时考查了学生的逻辑推理和运算求解能力. 21．已知函数f(x)＝mx-lnx-1（m为常数）．（1）若函数f(x)恰有1个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式mx-e x≤f(x)+a对正数x恒成立，求实数a的最小整数值．【答案】（1）{m|m≤0或m=1}（2）实数a的最小整数值为-1【解析】（1）首先写出f（x）的定义域，函数f（x）恰有1个零点⇔方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得1lnxmx+=，设g（x）1lnxx+，然后求导，找出g（x）的最值，结合图象求出m的范围；（2）mx-e x≤f（x）+a⇔lnx-e x≤a-1．设h（x）=lnx-e x，求导判断h（x）的单调区间，利用单调性求出a的最值即可．【详解】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），函数f（x）恰有1个零点⇔方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得1lnxmx+ =，设g（x）1lnxx+=，则()2lnxg xx-='，令g′（x）＞0．得0＜x＜1，令g′（x）＜0，得x＞1，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=1处取得唯一的极大值，即为最大值，故g（x）的最大值为g（1）=1．当x趋近于0时，lnx+1趋近于-∞，所以g（x）为负数，当x趋近于+∞时，x的增长速度大于lnx+1的增长速度，且当x＞1时10 lnxx+＞，故g（x）趋近于0，由图可知，当m≤0或者m=1时，方程m=g（x）仅有一个实数解，∴m的取值范围为{m|m≤0或m=1}；（2）∵mx-e x≤f（x）+a，∴lnx-e x≤a-1，设h （x ）=lnx -e x ，∴()1x h x e x ='- 又∵()1x h x e x ='-在（0，+∞）上为减函数，h ′（1）=1-e ＜0，1202h e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'＞， ∴()1x h x e x ='-存在唯一的零点0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 此时h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，+∞）上单调递减，且()0001x h x e x -'==0， ∴001x e x =，x 0=-lnx 0， 由单调性知()000()x max h x h x lnx e ==-=-（x 0+01x ）， 又0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故005122x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭＜＜， ∴mx -e x ≤f （x ）+a 对任意正数x 恒成立时，a -1≥-2，∴a ≥-1，∴实数a 的最小整数值为-1．【点睛】本题考查了函数的求导，利用导数求单调区间，求最值，还涉及到函数的零点等知识，内容丰富，综合性强，较难解决．22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0)απ≤<），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若0α=，求直线l 被圆C 所截得的弦长；（2）设(1,0)P ，且直线l 与圆C 交于,A B 两点，若1PA PB -=，求角α的大小.【答案】（1）4；（2）3πα=或23π【解析】（1）将圆的极坐标方程，直线的参数方程都化为直角坐标方程，即可求得结果；（2）直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中，利用直线参数方程中t 的几何意义进行求解.【详解】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.当0α=时，直线l 的方程为0y =，恰好经过圆C 的圆心，故直线l 被圆C 所截得的弦为圆C 的直径，其长为4.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2240x y x +-=，得22cos 30t t α--=，24cos 120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，123t t ⋅=-，12,t t 异号， 12PA PB t t ∴-=-122cos 1t t α=+==，所以1cos 2α=±， 又0απ≤<，所以3πα=或23π. 【点睛】 本题主要考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，体现了转化与化归的数学思想，同时考查了直线参数方程中参数的几何意义，体现了参数方程解题的优势.23．已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析.【解析】（1）利用零点分段讨论方法可解不等式()4f x ≤.（2）利用绝对值不等式可求m ，再利用基本不等式求出41a b+的最小值后可证341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.【详解】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+=当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立， ∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭． 【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。

2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A.{}0,2B.{}2,2-C.2,0,2D.{}2,1,0,1,2--2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪-≤⎩则1x y ++的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.44.平面向量a 与b 的夹角为60︒， ()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 125.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A.()|sin cos |f x x x =+B.22()sin cos f x x x =+C.()|sin ||cos |f x x x =+D.()sin ||cos ||f x x x =+6.已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A.240B.120C.48D.367.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）A.297B.302C.307D.3128.设函数()()2sin f x x ωϕ=+， x R ∈，其中0ω>，ϕπ<.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=， 12πϕ= B. 23ω=， 1112πϕ=- C. 13ω=， 1124πϕ=- D. 13ω=，724πϕ= 9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）A.乙丁B.乙丙C.丙丁D.甲丁10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ）A.121 C.3111.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A.2e -B.e -C.e 2-D.1e-12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）B. C.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的标准方程为______．14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题（题型注释）17.已知等差数列n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<）试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）21.已知函数()l e n xm f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值； （2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值． 23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．参考答案1.C【解析】1.求出集合A ，利用交集的定义可得出集合AB .{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-.故选：C. 2.D【解析】2.先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -在复平面内对应的点所在的象限.由1z i i ⋅=-+得21(1)1,1i i iz i z i i i--+-+===+∴=-. 所以z -对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D. 3.C【解析】3.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-， 将直线l ：1y x z =-+-进行平移， 当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值， 因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3． 故选：C ．4.B【解析】4.因为2,1a b ==， a 与b 的夹角为60︒，故cos601a b a b ⋅=⋅=，则244a b +=+=B 。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。

1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,复数z 满足()12i z i -⋅=,则z =（ ）A. 1D. 2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解．【详解】由z （1﹣i ）＝2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B ．2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =（ ） A. (]2,1-B. []2,1-C. (),2-∞-D. (],2-∞-【答案】A【解析】 化简集合B,根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.3.已知直线l ：y x m =+和圆O ：221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线l 与圆O 相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O ：221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,所以直线l 与圆O 相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,解得m =,所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选：A.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（ ）A. 40万件B. 41.5万件C. 45万件D. 48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得。

河北省衡水中学2020届高三下学期全国第三次联考数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．(★★) 3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.毕业去向本科生硕士生博士生总体人数比例人数比例人数比例人数比例深造2282％231％489％3002％国内1583％94％290％1967％出国699％137％199％1035％（境）就业490％2224％943％3657％签三方就154％1656％864％2674％业灵活就业336％568％79％983％未就业64％39％23％126％合计2836％2494％1455％6785％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误的是（）.A ．清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B ．清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C ．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D ．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半(★★) 4. 若圆关于直线 对称，则 的最小值为A ．4B ．C ．9D ．(★★) 5. 要使得满足约束条件，的变量 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 6. 若 是公比为的等比数列，记 为的前 项和，则下列说法正确的是（）A ．若是递增数列，则B ．若是递减数列，则C．若，则D．若，则是等比数列(★) 7. 为了得到函数的图象，需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度(★★★)8. 设是定义在上的奇函数，且当时，.若，，大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 如图是由等边△ 和等边△ 构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（）A．B．C．D．(★) 10. 区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有，，，四个点，若图中恰有条边，则满足上述条件的图的个数为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中点和点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为千米，短半轴长约为千米，则该椭圆的离心率约为.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（月日前后）和秋分（月日前后），地球会分别运行至图中点和点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（）A．①B．①②C．②③D．①③(★★) 12. 正方体的棱长为，在，，，，，这六个顶点中.选择两个点与，构成正三棱锥，在剩下的四个顶点中选择两个点与，构成正三棱锥，表示与的公共部分，则的体积为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 的展开式中的系数为_________.(用数字作答)(★★★) 14. 记为正项等差数列的前项和，若，则_________.(★★) 15. 若抛物线的焦点到双曲线的一个焦点的距离为，则的值为_________.(★★★★) 16. 已知函数，若的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______.三、解答题(★★★) 17. 在锐角△ 中，内角，，所对的边分别为，，，若，边上的高，.（1）求的长：（2）过点作，垂足为，且为锐角，，求.(★★★) 18. 如图，在三棱锥中，平面，为棱上的一点，且平面.（1）证明：；（2）设. 与平面所成的角为.求二面角的大小.(★★★) 19. 2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？(★★★★) 20. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过椭圆的右焦点作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点，且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.(★★★★) 21. 已知函数，若是函数的零点，是函数的零点.（1）比较与的大小；（2）证明：.(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线 C的参数方程为( 为参数)，曲线上异于原点的两点，所对应的参数分别为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当时，直线平分曲线，求的值；（2）当时，若，直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程.(★★★) 23. 已知函数.（1）求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.。

2020届河北省衡中同卷高三第三次调研考试理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共计60125=⨯分）1．已知复数z 满足(2)12,i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．iB ．i -C ．455i- D ．455i+ 2．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥D ．,sin 10x R x ∀∈+≤3．在同一直角坐标系中，曲线sin()4y x π=+经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩''，，后所得到的曲线A ．1sin(2)34y x π=+ B ．11sin()324y x π=+ C ．3sin(2)4y x π=+D ．3cos2y x =4．若1()nx x的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含3x 项的系数是( ) A ．792B ．-792C ．330D ．-3305．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ） A ．60B ．70C ．80D ．906．在极坐标系中,点(2,)π6A 与(2,)6πB -之间的距离为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()()f x f x -=，当12x ≤≤时，()21x f x =-，则(2017)f =A ．−1B ．0C ．1D ．29．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（ ） A ．5局3胜制B ．7局4胜制C ．都一样D ．说不清楚11．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．4012．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．2020年6月7日，令人期待、激人奋进、引人遐想…，相邻那将会属于你的“福数”，此时，映入你眼帘的是：“i ，一个虚数单位，复数762020i i i Z ++=，那么z =_____14．曲线xy e =上的点到直线2y x =-的最短距离是_____15.若()201922019012201912x a a x a x a x +=++++ ，31223222a a a -+-++20192019(1)22nnn a a -+-=_____ 16.已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x >'+，且()2019f x -为奇函数，则不等式()20181x f x e -<的解集为_____三、解答题：（本题共6小题，共70分．其中17题10分，其他题目12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.已知函数:()p f x =[0,)+∞，:q 关于a 的不等式2(25)(5)0a m a m m --+->，若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，求实数m 的取值范围18．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：2=2sin 3ρρθ+，直线l ：sin()23πρθ+=.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为(0,4)，直线l 与曲线C 相交于M N 、两点，求22PM PN +的值．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy，再求ˆy 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．()1从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；()2若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并判断程是否是“恰当回归方程”；附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，⋯⋯，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆnni i iii i nni ii i x y nxy x x y y bx nx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，411546i ii x y==∑．20．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>21．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进。

河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集R U =，集合}06|{2≥--=x x x A ，}1|{≥=x x B ，则=B A C U I )(( )A ．}31|{<≤x xB ．}32|{<≤x xC ．}3|{>x xD ．2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，364S S =，852=-a a ，则=2a( )A ．4B ．－4C ．12D ．－123．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+,0,01,042y y x y x 则目标函数y x z +=的最大值为 ( )A ．lB ．2C．37 D ．44．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生 近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视的人数分别为 ( )A ．600，72B ．600，80C ．1200，90D ．1200，3005．已知双曲线以椭圆14822=+y x 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 2±=D ．4±=y6．用数字0，l ，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中比3000大的奇数的个数是( )A ．6B ．12C ．18D ．247．函数xx xy sin cos +=的部分图象大致为( )8．运行如图所示的程序框图，若输出结果为713，则判断框中应该填的条件是 ( ) A ．?5>kB ．?6>kC ．?7>kD ．?8>k9．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2=，则=⋅FE FD ( )A ．98-B ．43-C ．94-D ．41-10．设c b a ,,均为正数，且c b a cba 2log 21,21log 21,21log 2=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则 ( )A ．C b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．C a b <<11．如图，已知半圆的直径20||=AB ，l 为半圆外的一条直线，且与BA 的延长线交于点T ，4||=AT ，半圆上相异两点M ，N 与直线l 的距离||MP ，||NQ 满足条件1||||||||==NA NQ MA MP ，则||||AN AM +的值为 ( ) A ．22B ．20C ．18D ．1612．已知函数x x x f ln )(=，ex ax x g 3221)(3--=，若函数)(x f 的图象与函数)(x g 的 图象在交点处存在公切线，则函数)(x g 在点())1(,1g 处的切线在y 轴上的截距为( )A ．e32-B ．e32C ．ee 323+-D ．ee 322+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若),(1)1(R y x yi ixi ∈+=+，则=+||yi x ____________． 14．已知直线l 1是曲线x y ln =在1=x 处的切线，直线l 2是曲线xe y =的一条切线，且21//l l ，则直线l 2的方程是______________．15．如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．若ο90=∠BPC ，2=PB ，2=PC ，则四棱锥ABCD P -的体积的最大值为__________．16．已知离心率为21的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好过抛物线x y 162=的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上的一个动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________．三、解答题（共70分。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I )理科数学一､选择题：（每小题5分，共60分．）1.已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D. ()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞. 故选：A.2.已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3B. 3iC. 4D. 4i【答案】C 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .3.以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.则下列选项错误的是（ ）A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 【答案】D【详解】A. 根据统计表，本科生选择继续深造的比例为80.4%，硕士生选择就业的比例为89.2%，所以判断正确.B. 根据统计表，本科生就业率17.3%, 硕士生的就业率为为89.2%.判断正确.C. 根据分布图，签三方就业的毕业生中，硕士生的就业城市主要分布在北京、广东、上海；本科生的就业城市相对比较分散.判断正确.D. 根据分布图, 毕业学生中，本科生人数占绝大多数，签三方就业的毕业生中,留在北京的本科生占18.2%，而硕士生和博士生分别占43.0%、51.2%，所以毕业生留在北京的没有达到一半，所以判断错误. 故选：D4.若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ） A. 4 B. 42C. 9D. 92【答案】C【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号， 此时，min 219a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故选：C5.要使得满足约束条件42y xy x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ）A. 4x y +≤B. 4x y +C. 6x y +D. 6x y +【答案】C【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .6.若{}n a 是公比为()0q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则10a <，0q < B. 若{}n a 是递减数列，则10a >，01q << C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，()1110n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.7.为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象，向右56π个单位长度即可. 故选：D.8.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭大小关系为（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f = 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增.又因为28tan tan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以b c a <<. 故选：B .9.如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A12B.23C.34D. 1【答案】B【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23. 则等边三角形的高为()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =⨯ 所以()()230,2,03,13，，A J C⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23,0OJ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭()23233,1,03,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭所以233032nm m ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n =故选：B .10.区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A ，B ，C ，D 四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（ ） A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D 【详解】如图，A ，B ，C ，D 四点最可确定AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6条边. 由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C -=(个).故选：D.11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C 点和D 点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误； 根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ） A.13B.24C.23D. 1【答案】A【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△，可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△ 故选：A二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60【详解】由题得()6162166(2)(2)rr rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：6014.记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.15.若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=p 的值为_________.【答案】2【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以1FF p ===2p =. 故答案为：2.16.已知函数()(2)1x f x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为_________. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由()(2)10x f x kx k e x =+--<得，(2)1xkx k e x +<+，即1(2)xx k x e ++<，在平面直角坐标系中画出函数g()(2)x k x =+和1()+=x x h x e的图象如图所示，为了满足不等式()0f x <的解集中恰有三个整数，只需要满足(2)(2)(3)(3)h g h g >⎧⎨⎩，解得324354k e e <故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，35AE =sin ACE ∠.【答案】（1）12BC =（2）5sin ACE ∠=【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质，可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-= 则25cos BAD ∠=所以51sin ,tan 52BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC =（2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =.由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin ACE ∠=18.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD 的一个法向量为()111,,n x y z =， 平面ABD 的一个法向量为()222,,m x y z =则00CD n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00BD m BA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即11100x y z =⎧⎨+=⎩，2220x y z -=⎧⎨=⎩，令121,1y x ==可得(0,1,1),(1,1,0)n m =-= 所以1cos ,2n m n m n m⋅<>==由图知，二面角B AD C --的平面角为锐角，所以二面角B AD C --的大小为60︒.19.2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？ 【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=，设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B故44()0.20.8,0,1,2,3,4k k k P X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===，4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元，则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元，则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元)则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =. （1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【详解】（1）由12F F =c =， 设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =， 在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边所在直线方程y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， 由题意知()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k +≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.21.已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点. （1）比较1x 与2x 的大小；（2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析【详解】（1）解:()11120x f x e x =+-= ()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤ 因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <.因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x <方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+， 令函数()ln 2,0t H t t e t =-+>则1()t H t e t '=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减， 所以()0max 00001()ln 220t H t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x <（2）证明：令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减.由题意得()()()ln 2x h x f x g x e x =-=-- ()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=- 因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x e h x e x x '==-= 因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x ' 所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减.所以原命题得证.(二)选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线DMN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --.所以直线MN 的方程为21y x =+.曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ，所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-=设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x < 综上，解集为1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立.②当[1,1)x 时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-.因为()()f x g x 恒成立，所以7(1)x a x --，即76111x ax x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.。