2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲两直线的位置关系学案

【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲两直线的位置关系学案板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.2.两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．考点2 三种距离公式1.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝.2.点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.3.两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.[必会结论]1.与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.2.与对称问题相关的两个结论：(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b ，可求出x′，y′.[考点自测]1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )(2)点P(x0，y0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为.( )(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－，且线段AB 的中点在直线l 上．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.[课本改编]过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A.x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0 C.2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 A解析 设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1,0)，故c ＝－1，所求方程为x －2y －1＝0.3.[2018·重庆模拟]若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A.1 B ．－ C ．－ D ．－2答案 D解析 由a·1＋2·1＝0得a ＝－2，故选D.4.[课本改编]已知点(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A.B ．2－ 2C.－1D.＋1 答案 C解析由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.5.[课本改编]平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是( )A. B．2 C. D.75答案B解析依题意得，所求的距离等于＝2.6.[2018·南宁模拟]直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A.x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0答案D解析设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.板块二典例探究·考向突破考向平行与垂直问题例1 (1)直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )A.平行B．垂直C.相交但不垂直D．不能确定答案C解析由可得3x＋2m－n＝0，由于3x＋2m－n＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－，斜率之积不等于－1，故不垂直.(2)[2018·金华十校模拟]“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的( )A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行，得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.【变式训练1】(1)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件.(2)[2018·宁夏模拟]若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．答案0或16解析因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－＝或者m＝0，∴m＝或0.考向距离公式的应用例2 [2018·潍坊模拟]已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得＝2，解得k＝，此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.触类旁通与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离．利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离．(2)已知距离求参数值．列方程求出参数．(3)求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值.【变式训练2】(1)若直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝( )A.0 B．1 C．－1 D．2答案A解析∵直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为，∴∴n＝－2，m＝2(负值舍去)，∴m＋n＝0.(2)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．答案－或－79解析由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.考向对称问题命题角度1 点关于点的对称例3 过点P(0,1)作直线l 使它被直线l1：2x ＋y －8＝0和l2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l1与l 的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l2上，代入l2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A(4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题角度2 点关于线的对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n)重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n)连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得故m ＋n ＝.命题角度3 直线关于直线的对称 例5 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A.x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0 C.x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 A解析 设所求直线上任意一点P(x ，y)，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝y －2，y0＝x ＋2，由点P′(x0，y0)在直线2x －y ＋3＝0上，则2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.命题角度4 对称问题的应用例6 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB|－|PA||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A′(m，n)，则解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． P 为直线l 上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B ，P ，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P 即是直线A′B 与直线l 的交点，解得故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解得故所求的点P 的坐标为(12,10).触类旁通解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A·a ＋m 2＋B·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.核心规律1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．满分策略1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若直线无斜率，要单独考虑．2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的x，y的系数化成相等．板块三启智培优·破译高考题型技法系列 13——物理光学中对称思想的应用[2018·湖南模拟]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC 的重心，则AP等于( )A.2 B．1 C. D.43解题视点依入射光线与反射光线的对称性知，点P关于直线BC的对称点P2在直线RQ上，点P关于直线AC的对称点P1也在直线RQ上，所以点P1，D，P2三点共线(D为△ABC的重心)，利用kP1D＝kP2D即可破解．解析以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．设△ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D＝kP2D，即＝，解得m＝或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝.答案D答题启示许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.跟踪训练光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．解作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝.即10x－3y＋8＝0.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1.[2018·四川模拟]设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )A.－12 B．－2 C．0 D．10答案A解析由2m－20＝0得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p －2＝0，∴p＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.3.[2018·启东模拟]不论m为何值时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点( )A. B．(－2,0)C.(2,3) D．(9，－4)答案D解析由(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，由得定点坐标为(9，－4)，故选D.4.P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )A.(1,2) B．(2,1)C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)答案C解析设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x ＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1).5.[2018·绵阳模拟]若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )A. B. C. D.295答案C解析因为＝≠，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ| 的最小值为.6.[2018·合肥模拟]已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A.x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C.x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0答案B解析因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0.7.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )A.3 B．2 C．3 D．4 2答案A解析∵l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0是平行直线，∴可判断AB所在直线过原点且与直线l1，l2垂直时，中点M到原点的距离最小．∵直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0，∴两直线的距离为＝，又原点到直线l2的距离为，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为＋＝3.故选A.8.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．答案[－2,2]解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2].9.已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a 的值是________．答案0或1解析因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.10.[2018·银川模拟]点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．答案2 5解析直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝＝2，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.[B级知能提升]1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A.x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C.x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0答案A解析因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x ＋1，即x－y＋1＝0.故选A.2.[2018·宜春统考]已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )A.2x＋3y－18＝0B.2x－y－2＝0C.3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D.2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0答案D解析依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，则有＝，因此－5k＋2＝k＋6或－5k＋2＝－(k＋6)，解得k＝－或k＝2，故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.3.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案6x－y－6＝0解析设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.4.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b ＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．∵k2＝1－a ，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l2的斜率存在且l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y 轴上的截距互为相反数，即＝b ，④联立③④，解得或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝，b ＝2.5.[2018·合肥模拟]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程；(3)直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′. (2)在直线m 上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则... ⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M ，N 关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x －3y －9＝0.解法二：∵l∥l′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得 |－2＋6＋C|22＋32＝，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P(x ，y)为l′上任意一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)．∵点P′在直线l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x －3y －9＝0.。