高考数学第一轮复习学案25

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2021最新高考数学第一轮复习教案1教学目的1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，了解虚数产生历史过程;2.理解并掌握虚数单位的定义及性质;3.掌握复数的定义及复数的分类.教学重点虚数单位的定义、性质及复数的分类.教学难点虚数单位的性质.教学过程一、复习引入原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号，进而建立了自然数的概念。

自然数的全体构成自然数集.为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零，这样将数集扩充到有理数集有些量与量之间的比值，如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无理数，有理数和无理数合并在一起，构成实数集.数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，数学理论的研究和发展也推动着，数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具.二、新课教学(一)虚数的产生我们知道，在实数范围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决.对于复数 (a、b都是实数)来说，当时，就是实数;当时叫虚数，当时，叫做纯虚数.可是，历引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事，那么，历是如何引进虚数的呢?16世纪意大利米兰学者卡当(1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数’‘与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数.德国数学家菜不尼茨(1664—1716)在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说：“一切形如，习的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻.”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地.法国数学家达兰贝尔(.1717—1783)在 1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明：现行教科书中没有使用记号而使用).法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了，这就是的探莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的.挪威的测量学家未塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C 就表示复数 .象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”.高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法.至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了.经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集.( )的数叫复数，常用一个字母z表示，即 ( )( )叫复数的代数形式;都有 ;( )的实部记作 ;b叫复数 ( )的虚部，用表示;(2) (4) (5)(7) (8)10( )当时z是实数，当时,z是虚数.例2. ( )取什么值时，复数是( )(1) 实数 (2) 纯虚数 (3) 零解：∵ ，∴ ，(1)z为实数，则解得：或(2) z为实数，则解得：(3)z为零，则解得：2021最新高考数学第一轮复习教案2教学目标(1)了解数的概念发展的过程和动力;(2)了解引进虚数单位i的必要性和作用;理解i的性质.(3)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;(4)了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想.教学建议1.教材分析(1)知识结构首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括;然后说明，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解。

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版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用25指数与指数函数模2022版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.5指数与指数函数模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2022·长沙模拟]下列函数中值域为正实数的是()A．y＝－5某11－某B．y＝3C．y＝1某－12某D．y＝1－2答案B1某解析∵1－某∈R，y＝的值域是正实数，311－某∴y＝的值域是正实数．3答案D解析12某－7，某＜0，3．设函数f(某)＝某，某≥0，A．(－∞，－3)C．(－3,1)答案C若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()B．(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)1a1a1a1－3解析当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即＜8，即＜，因为22220＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a2＜1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.1某2＋2某－14．函数y＝的值域为()2A．(－∞，4]C．(0,4]答案C解析设t＝某＋2某－1＝(某＋1)－2，则t≥－2.22B．(0，＋∞)D．[4，＋∞)1t1－2因为y＝是关于t的减函数，所以y≤＝4.又y>0，所以0221某5．[2022·西安模拟]函数y＝a－(a>0，a≠1)的图象可能是() a答案D11解析当a>1时函数单调递增，且函数图象过点0，1－，因为0<1－<1，故A，B均aa11不正确；当0aa1某2－2某＋26．函数y＝的递增区间是________．2答案(－∞，1]1u22解析令u＝某－2某＋2，∵y＝是减函数，而u＝某－2某＋2的递减区间为(－∞，1]．所21某2－2某＋2的递增区间是(－∞，1]．以y＝27．[2022·山东高考]已知函数f(某)＝a＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.3答案－2解析①当0ff某－＝0，＝－1，2a＋b＝0，即0a＋b＝－1，－11a＝，解得2b＝－2，3此时a＋b＝－.2－＝－1，＝0，f②当a>1时，函数f(某)在[－1,0]上单调递增，由题意可得fa＋b＝－1，a＋b＝0，－1即3显然无解．所以a＋b＝－.2答案113解析∴某＋2＋某＝9，∴某＋某＝7，∴(某＋某)＝49，∴某＋某＝47，－122－2－1－1某＋某－1－47－41∴2＝＝.某＋某－2－847－8139．[2022·厦门质检]已知指数函数f(某)＝a(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．(1)求函数f(某)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．11某某－2解(1)将点(－2,9)代入到f(某)＝a中得a＝9，解得a＝，∴f(某)＝. 33某12m－11m＋3(2)由f(2m－1)331某∵f(某)＝在R上为减函数，3∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．1某10．[2022·青岛模拟]已知定义在R上的函数f(某)＝2－|某|.23(1)若f(某)＝，求某的值；2(2)若2f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解(1)当某＜0时，f(某)＝0，无解；1某当某≥0时，f(某)＝2－某，213某2某某由2－某＝，得2·2－3·2－2＝0，22t3看成关于2的一元二次方程，1某某某解得2＝2或2＝－，∵2＞0，∴某＝1.21t1t2t(2)当t∈[1,2]时，22－2t＋m2－t≥0，22即m(2－1)≥－(2－1)，∵2－1＞0，∴m≥－(2＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(2＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2022·长春模拟]若存在正数某使2(某－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)答案D某2t2t2t4t2t某1某某解析不等式2(某－a)<1可变形为某－a2有－a<1，所以a>－1.某y－y－某12．已知某，y∈R，且2＋3>2＋3，则下列各式中正确的是()A．某－y>0B．某＋y<0C．某－y<0D．某＋y>0答案D1某y－y－某某－某－yy某－某某解析因为2＋3>2＋3，所以2－3>2－3.f(某)＝2－3＝2－某为单调递增函3数，f(某)>f(－y)，所以某>－y，即某＋y>0.13．[2022·南昌模拟]已知函数y＝9＋m·3－3在区间[－2,2]上单调递减，则m的取值范围为________．答案m≤－18某某1某2解析设t＝3，则y＝t＋mt－3，因为某∈[－2,2]，所以t∈，9. 9又因为y＝9＋m·3－3在[－2,2]上递减，某某4。

课时作业(二十五) 平面向量的基本原理及坐标表示A 级1．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．22．(2011·广东卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1D ．23．(2012·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．24．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．45.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →6．(2012·聊城模拟)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .8．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin α－m ，cos α)，且a ∥b ，则实数m 的最小值为________．9．(2012·广州模拟)在▱ABCD 中，A B →＝a ，A D →＝b ，A N →＝3NC →，M 为BC 的中点，则M N →＝________.(用a ，b 表示)10．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．11．(2012·广州模拟)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，OP →＝t 1OA →＋t 2AB →， (1)求点P 在第二象限的充要条件．(2)证明：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线；(3)试求当t 1，t 2满足什么条件时，O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形．B 级1．(2012·烟台模拟)已知a ＝(－1，3)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．42．已知向量O A →＝(3，－4)，O B →＝(0，－3)，O C →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是__________．3．已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AP →，AD →.答案课时作业(二十五)A 级1．A 设a ＝λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，1＝mλ，即λ＝±1，又∵a 与b 共线且方向相反， ∴λ<0，即λ＝－1.2．B 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.3．B如图，设AB →＝λAC →，则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.4．C ∵OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，∴OC →＝－BA →， ∴OC →∥BA →.又由坐标知点O ，C ，A ，B 不共线，∴OC ∥BA ，①正确； ∵AB →＋BC →＝AC →，∴②错误； ∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确；∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →＝(－4,0)，∴④正确．故选C.5．D 由向量加法的三角形法则知：BD →＝AD →－AB →正确，排除B ； 由向量加法的平行四边形法则知：AC →＝AB →＋AD →， AO →＝12AC →＝12AB →＋12AD →，排除A ，C ，故选D.6．解析： ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c 得：1－1＝m －12，∴m ＝－1. 答案： －17．解析： 由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .又因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案： 23 －138．解析： ∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＋m ＝0， ∴m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎫α－π3≥－2. 答案： －29．解析： M N →＝M C →＋C N →＝12A D →－14A C →＝12b －14(a ＋b )＝－14a ＋14b 答案： －14a ＋14b10．解析： 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)． 11．解析： (1)OP →＝t 1(1,2)＋t 2(3,3)＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，P 在第二象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2＜02t 1＋3t 2＞0有解．∴－32t 2＜t 1＜－3t 2且t 2＜0.(2)证明：当t 1＝1时，有OP →－OA →＝t 2AB →，∴AP →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线．. (3)由OP →＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，得点P (t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，∴O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形有三种情况．当OA →＝BP →，有⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋3t 2－4＝12t 1＋3t 2－5＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝2t 2＝1；当OA →＝PB →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝－12t 1＋3t 2－5＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0t 2＝1；当OP →＝BA →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2＝－32t 1＋3t 2＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0，t 2＝－1.B 级1．D 由题意得OA →·OB →＝a 2－b 2＝0，b 2＝a 2＝4，|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝2|OA →|2，因此有4b 2＝2(a －b )2，由此得a ·b ＝0，|OA →|2＝(a －b )2＝a 2＋b 2＝8，故△AOB 的面积等于12|OA →|2＝12×8＝4.2．解析： 由题意得A B →＝(－3,1)，A C →＝(2－m,1－m )， 若A 、B 、C 能构成三角形，则A B →，A C →不共线， 则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案： m ≠543．解析： ∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ，CP →＝AP →－AC →＝AP →－b ， 又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，∴3AP →＋4(AP →－a )＋5(AP →－b )＝0.∴AP →＝13a ＋512b .∴设AD →＝tAP →(t ∈R )，则AD →＝13t a ＋512t b .①又设BD →＝kBC →(k ∈R )，由BC →＝AC →－AB →＝b －a ，得BD →＝k (b －a )． 而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →.∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .②由①②得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①得AD →＝49a ＋59b .。

[练案25]第六讲 正弦定理、余弦定理A 组基础巩固一、单择题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( C ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.故选C.2．已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( D )A ．2B ．1C ． 3D ． 2[解析] 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得1sin π6＝b sinπ4，所以112＝b 22，所以b ＝ 2. 3．已知△ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，则a ︰b ︰c ＝( A ) A ．1︰1︰ 3 B ．2︰2︰ 3 C ．1︰1︰2D ．1︰1︰4[解析] △ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，所以A ＝π6，B ＝π6，C ＝23π，a ︰b ︰c ＝sin A︰sin B ︰sin C ＝12︰12︰32＝1︰1︰ 3.4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( C )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C.5．(2020·某某武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，…，解得b ＝6，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )A ．A ＝30°，B ＝45° B ．C ＝75°，A ＝45° C ．B ＝60°，c ＝3D ．c ＝1，cos C ＝13[解析] 由C ＝75°，A ＝45°可知B ＝60°，又asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2sin 60°sin 45°＝322＝6，符合题意，故选B.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∴△ABC 是等边三角形，故选C.二、多选题7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝8，A ＝30°，则此三角形的边角情况可能是( ACD ) A ．B ＝90° B ．C ＝120° C ．c ＝4 3 D ．C ＝60°[解析] ∵asin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a＝1，∴B ＝90°，C ＝60°，c ＝4 3.故选A 、C 、D.8．(2020·某某某某期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )A ．在△ABC 中，a ︰b ︰c ＝sin A ︰sinB ︰sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝BC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C[解析] 对于A ，在△ABC 中，由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ，故A 正确；对于B ，若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，可得A ＝B 或A ＋B ＝π2，故B 错误；对于C ，若sin A >sin B ，根据正弦定理a＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得a >b ，再根据大边对大角可得A >B .若A >B ，则a >b ，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得sin A >sin B ，故C 正确；对于D ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，再根据比例式的性质可知D 正确．故选A 、C 、D.三、填空题9．(2015·某某卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝__1__. [解析] ∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或5π6，又C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由a sin A ＝b sin B ，得3sin 2π3＝bsinπ6，∴b ＝1.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝__2__ [解析] 解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin (B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，ab＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B ＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2. 11．(2017·某某节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152.[解析] 取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC .△ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152. 12．(2019·某某)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝1225，cos ∠ABD ＝7210.[解析] 在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin [π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin (∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 三、解答题13．(2019·)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin (B ＋C )的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．解得c ＝5. 所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin A ＝a b sin B ＝3314.在△ABC 中，B ＋C ＝π－A . 所以sin (B ＋C )＝sin A ＝3314.14．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[解析] 由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos (C ＋60°)＝－22. 由于0°<C <120°，所以sin (C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin (C ＋60°－60°)＝sin (C ＋60°)cos 60°－cos (C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. B 组能力提升1．(2020·某某省级示X 性高中联合体联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a ＝(C)A ．3B ．4C ．6D ．8[解析] 由3sin A ＝2sin C 及正弦定理，得3a ＝2c ，设a ＝2k (k >0)，则c ＝3k .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，解得k ＝3或k ＝－53(舍去)，从而a ＝6.故选C.2．(2020·某某某某七中一诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin (A ＋C )＝(a ＋c )·(sin A －sin C )，则A ＝(C)A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 依题意，知(b ＋c )sin B ＝(a ＋c )(sin A －sin C )，由正弦定理，得(b ＋c )b ＝(a ＋c )·(a －c )，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，所以A ＝120°.故选C.3．(2020·某某四校摸底调研)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin Asin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C ＝(B)A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋b a ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.故选B.4．(2020·某某某某部分重点中学第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为(B)A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形[解析] 由2a cos B ＝c 及正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C ．在△ABC 中，因为sin C＝sin (A ＋B )，所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，整理得sin (A －B )＝0，又A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B .因为sin A sin B (2－cosC )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B [2－(1－2sin 2C 2)]＝sin 2C 2＋12，即sin A sin B (1＋2sin 2C 2)＝12(1＋2sin 2C 2)，所以sin A sin B ＝12.又A＝B ，且A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B ＝π4，所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形．故选B.5．(2019·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin (B ＋π2)的值．[解析] (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得23＝3c 2＋c 2－222×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255. 因此sin (B ＋π2)＝cos B ＝255.。

课时作业(八)一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数〞的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析此题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，假设函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，那么有对称轴x＝a≤1，故“a＝1〞是“函数f(x)＝x2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数〞的充分不必要条件．2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析假设a>0，A不符合条件，假设a<0，D不符合条件，假设b>0，对B，∴对称轴－ba<0，不符合，∴选C.3．设f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，那么( )A．f(1)＞c＞f(－1) B．f(1)＜c＜f(－1)C．f(1)＞f(－1)＞c D．f(1)＜f(－1)＜c答案 B解析由f(－1)＝f(3)得－b2＝－1＋32＝1，所以b＝－2，那么f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．4．(2021·卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )答案 D解析 假设a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．应选D.5．对一实在数x ，假设不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，那么a 的取值范围是( ) A ．a ≥－1 B ．a ≥0 C ．a ≤3 D ．a ≤1答案 A6．假设函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞)答案 D解析 f (x )的减区间为(5，＋∞)，假设f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，那么a ≥5，应选D.7．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．0≤a ≤1 B ．0≤a ≤2 C ．－2≤a ≤0 D ．－1≤a ≤0答案 D解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2假设f (x ) 在[0,1]上最大值是a 2， 那么0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0，应选D.8．如下图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，那么|OA |·|OB |等于( )A.c aB ．－c aC ．±c aD ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a(∵a <0，c >0)．9．假设f (x )＝2ax 2＋bx ＋c (a >0，x ∈R )，f (－1)＝0，那么“b <－2a 〞是“f (2)<0”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由f (－1)＝0，得c ＝b －2a ，∴f (2)＝3(2a ＋b )， 假设f (2)<0，那么b <－2a ；假设b <－2a ，那么f (2)<0，应选A. 二、填空题10．关于x 的方程2mx 2－2x －3m －2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是________．答案 m >0或者m <－4解析 设f (x )＝2mx 2－2x －3m －2，方程2mx 2－2x －3m －2＝0的两个实根，一个小于1，另一个大于1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0f 1<0或者⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 1>0解得m >0或者m <－411．函数y ＝x 2－4x ＋3在区间[0，m ]上的值域为[－1,3]，那么实数m 的取值范围是________．答案 2≤m ≤4 三、解答题12．函数g (x )＝－x 2＋ax ＋a 对任意x ∈[0,1]，都有g (x )>0，务实数a 的取值范围． 答案 a >12解析 ⎩⎪⎨⎪⎧g 0>0g1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >02a －1>0，∴a >1213．假设f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，求a 的取值范围．答案 0<a ≤1解析 ∵f (x )＝－(x －a )2＋a 2对称轴为x ＝a ，要使f (x )在[1,2]上为减函数，只要[1,2]⊆[a ，＋∞)即可，∴ag (x )＝ax ＋1在[1,2]上为减函数，只要a >0即可，∴0<a ≤1.14．(2021·?高考调研?原创题)某食品公司为理解最新品种食品的场需求，进展了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品味)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间是(将第x 天记为x )x1 10 11 18 单价(元/件)P918而这20天相应的销售量Q (百件/天)与x 对应的点(x ，Q )在如下图的半圆上．(1)写出每天销售收入y (元)与时间是x (天)的函数． (2)在这20天中哪一天销售收入最高？解析 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20]，x ∈N *，Q ＝100－x －102，x ∈[1,20]，x ∈N *，∴y ＝100QP＝100x －102[100－x －102]，x ∈[1,20]，x ∈N *.(2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤[x －102＋100－x －1022]2＝2500，∴当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2，即x ＝10±52时，y 有最大值． ∵x ∈N *，∴取x ＝3或者17时，y 有最大值． 答：第3天或者第17天销售收入最高．四季寄语情感寄语在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷. 落红不是无情物,化作春泥更护花. 愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好 挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗 对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地 燕子声声里,相思又一年 朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界 愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊 没有你在身边,我的生活永远是冬天! 让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。

学习必备 欢迎下载一．课题：集合的概念二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：集合中元素的 3 个性质，集合的 3 种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的 3 个性质，集合的 3 种表示方法；3．若有限集 A 有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n 1，非空子集有 2n 1个，非空真子集有 2n 2 个． （二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的 3 个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析：22 1} ， E { x | y x21} ，例 1 ． 已 知 集 合 P { y x1} ， Q { y | y xF {( x, y) | y x 2 1} ，G { x | x1} ，则（ D）(A)P F(B)Q E(C)E F(D)Q G解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．例 2．设集合 P xy, x y, xy ， Qx 2 y 2 , x 2 y 2 ,0 ，若 PQ ，求 x, y 的值及集合 P 、Q ．解：∵ PQ 且0 Q ，∴0 P ．（1）若 x y 0 或 x y 0 ，则 x 2 y 20，从而 Q x 2 y 2 ,0,0 ，与集合中元素的互异性矛盾，∴ x y 0 且 xy0；（2）若 xy0 ，则 x0 或 y 0 ．当 y时， P x, x,0 ，与集合中元素的互异性矛盾，∴y0 ；当 x 0时，P {y, y,0} ， Q { y 2 ,y 2 ,0} ，y y 2yy 2由 P Q 得 y y 2①或 y y 2②y 0y 0由①得 y1，由②得 y1 ，∴x0 或 x 0，此时 P Q {1, 1,0} ．y1 y 1学习必备欢迎下载例 3．设集合 M{ x | x k1, k Z} ， N { x | x k1, k Z} ，则（ B ）2 44 2(A)M N(B)M N (C)M N(D)M N解法一：通分；解法二：从 1开始，在数轴上表示．4例 4．若集合 Ax | x 2 ax 1 0, x R ，集合 B 1,2 ，且 A B ，求实数a 的取值范围．解：（1）若 A ，则a 24 0 ，解得 2 a2；（2）若 1A ，则12 a 1 0 ，解得 a2 ，此时 A {1} ，适合题意；（3）若 2 A ，则 222a1 0 ，解得 a5，此时 A {2, 5} ，不合题意； 综上所述，实数 m 的取值范围为 [ 2,2)2 2．例 5．设 f (x) x 2 px q ， A { x | x f ( x)} ， B { x | f [ f ( x)] x} ，（1）求证： A B ； （2）如果 A { 1,3} ，求 B ． 解答见《高考 A 计划（教师用书）》第 5 页． （四）巩固练习：1．已知 M { x | 2x 2 5x3 0} ， N { x | mx 1} ，若 N M ，则适合条件的实数 m 的集合 P 为 {0, 2,1} ； P 的子集有 8个； P 的非空真子集有 6 个．32．已知： f (x) x 2ax b ， Ax | f ( x)2x2 ，则实数 a 、 b 的值分别为 2,4 ．3．调查 100 名携带药品出国的旅游者， 其中 75 人带有感冒药， 80 人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ．4．设数集M{ x | mx m3} ， N{ x | n1x n}，且 M、N 都是集43合 { x |0x1}的子集，如果把 ba 叫做集合x | ax b的“长度”，那么集合MN 的长度的最小值是1．12五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．一．课题：集合的运算二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．四．教学过程： （一）主要知识：1．交集、并集、全集、补集的概念；2．A B A A B ，A B AA B ；3．C U A C U B C U (A B)，C U A C U B C U (A B)．（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．（三）例题分析：例 1．设全集U x| 0 x 10,x N，若A B 3 ， A C U B1,5,7 ，C U A C U B9 ，则 A1,3,5,7 ， B2,3,4,6,8 ．解法要点：利用文氏图．例 2．已知集合 Ax | x 3 3x 22 x 0 ， B x | x 2 ax b 0 ，若A Bx | 0 x 2 ， ABx | x2 ，求实数 a 、 b 的值．解：由 x 33x 2 2x0 得 x( x 1)(x 2)0 ，∴2 x 1 或 x 0 ，∴ A ( 2, 1) (0, )，又∵ A Bx | 0 x 2 ，且A Bx | x2 ，∴ B [ 1,2] ，∴ 1和 2 是方程 x 2 ax b 0 的根，由韦达定理得：1 2 a ，∴ a 1 ．1 2 b b 2说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．例 3．已知集合 A {( x, y) | x 2 y 0} ， B {( x, y) |y1 0}，则A B；x2A B {( x, y) |( x 2 y)( y 1) 0} ；（参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第6 题）．解法要点：作图．注意：化简 B {( x, y) | y 1, x 2} ， (2,1)A ．例 4．（《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 15 题）已知集合A { y | y2(a2a 1)y a(a21) 0}， B{ y | y1 x2 x 5,0 x 3} ，22 若 A B ，求实数 a 的取值范围．解答见教师用书第 9 页．例 5．（《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 16 题）已知集合A ( x, y) | x 2 mx y 2 0, x R ， B( x, y) | xy1 0,0 x2 ，若 AB，求实数 m 的取值范围．分析：本题的几何背景是： 抛物线 y x 2 mx 2 与线段 y x 1(0x 2) 有公共点，求实数 m 的取值范围．解法一：由x 2mx y 20 得 x 2( m 1)x 1 0①xy 1 0∵ AB，∴方程①在区间 [0,2] 上至少有一个实数解，首先，由 (m 1)2 4 0 ，解得： m 3 或 m 1 ． 设方程①的两个根为 x 1 、 x 2 ，（ 1）当 m 3 时，由 x 1 x 2(m1) 0 及 x 1 x 2 1知 x 1 、x 2 都是负数，不合题意；（ 2）当 m 1时，由 x 1 x 2 ( m 1) 0 及 x 1 x 2 1 0 知 x 1 、 x 2 是互为倒数的 两个正数，故 x 1 、 x 2 必有一个在区间 [0,1] 内，从而知方程①在区间 [0,2] 上至少有一个实数 解，综上所述，实数 m 的取值范围为 ( , 1]．解法二：问题等价于方程组y x 2mx 2在 [0,2] 上有解，y x 1即 x 2 (m 1)x 1 0 在 [0,2] 上有解，令 f (x)x 2 (m 1) x 1，则由 f (0) 1知抛物线 y f (x) 过点 (0,1) ，∴抛物线 yf ( x) 在 [0,2] 上与 x 轴有交点等价于 f (2) 22 2(m 1)1 0 ①(m 1)2 4 0或 0 1 m②22f (2) 222(m 1) 1 0由①得 m3，由②得3m1 ，22∴实数 m 的取值范围为 ( , 1] ．（四）巩固练习：1．设全集为 U ，在下列条件中，是 B A 的充要条件的有 （ D ）①A B A ，②C U A B，③C U A C U B ，④ A C U B U ，(A)1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个2．集合 A {( x, y) | ya | x |} ， B {( x, y) | yx a} ，若 AB 为单元素集，实数a 的取值范围为 [ 1,1] ．。

第五节 指数函数 【高考新动向】 一、考纲点击1．了解指数函数模型的实际背景；2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

二、热点、难点提示1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若以e 为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现. 【考纲全景透析】 1．根式（1）根式的概念根式的概念 符号表示 备注如果nx a =,那么x 叫做a 的n 次方根1n n N *>∈且 当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数零的n 次方根是零当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数 0)a >负数没有偶次方根（2）．两个重要公式①(0)(0)n an x a aa a n a a ⎧⎪=⇒=≥⎧⎨=⎨⎪-<⎩⎩为奇数为偶数；②()n a a =注意。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念①正整数指数幂:()n n a a aa n N *=∈个;②零指数幂:01(0)a a =≠;③负整数指数幂:1(0,);p p a a p N a -*=≠∈④正分数指数幂:0,,1)mna a m n N n *=>∈>、且;⑤负分数指数幂:1(0,,1) mnm n mna a m n N naa-*==>∈>、且⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=ax a>1 0<a<1图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

第13讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分【备考策略】1能理解泰勒公式的本质2能运用泰勒公式求解【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ，去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可知识讲解1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式234e 12!3!4!!nxx x x x x n =+++++++L L()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n -+=-+-++-+-L L由此可以判断下列各式正确的是（ ）．A ．i e cos isin x x x =+（i 是虚数单位）B ．i e x i =-（i 是虚数单位）C ．()()2ln 221ln 202x x x x ³++³D ．()()24cos 10,1224x x x x £-+Î2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ¢¢=+¢-+-+×××+-+×××（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.(1)分别求e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：i e 10p +=.（其中i 为虚数单位）；(3)若30,2x æö"Îç÷èø，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围.（参考数据5ln 0.92»）1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算e x ，ln x ，sin x ，cos x 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内可以多次进行求导数运算，则当(),x a b Î，且0x x ¹时，有()()()()()()()()()02300000000''''''0!1!2!3!f x f x f x f x f x x x x x x x x x =-+-+-+-+L ．其中()'f x 是()f x 的导数，()''f x 是()'f x 的导数，()'''f x 是()''f x 的导数……．取00x =，则sin x 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，sin1精确到0.01的近似值为 ．2．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数()f x ，规定()()f x f x ¢=¢éùëû，()()()2f x f x ¢¢éù=ëû，…，()()()()1n n f x f x ¢-éù=ëû，()()n f x 叫做函数()f x 的n 阶导数．若函数()f x 在包含0x 的某个闭区间[],a b 上具有n 阶导数，且在开区间(),a b 上具有()1n +阶导数，则对闭区间[],a b 上任意一点x ，()()()()000f x f x f x x x ¢=+-+()()()()()()()()2200002!!n nn f x f x x x x x R x n -++-+L ，该公式称为函数()f x 在0x x =处的n 阶泰勒展开式，()()n R x 是此泰勒展开式的n 阶余项．已知函数()()ln 1f x x =+．(1)写出函数()f x 在1x =处的3阶泰勒展开式（()()n R x 用()()3R x 表示即可）；(2)设函数()f x 在0x =处的3阶余项为()g x ，求证：对任意的()1,1x Î-，()0g x £；(3)求证：()27*222311111111e N 2222nn æöæöæöæö++++<Îç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ．1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设0.10.1e a =，19b =，ln 0.9c =-则（ ）A ．cb a <<B ．a bc <<C ．b a c <<D ．bc a <<2．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>3．（2021·全国·统考高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（ ）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知134e 3a =，2e eb =，则（ ）A ．2a b <<B ．2a b <<C ．2a b <<D ．2b a <<2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设ln 2a =，b =c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．a b c<<3．（2024·全国·模拟预测）若log 4a =，14log 7b =，12log 6c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a c b>>4．（2023高三·全国·专题练习）已知453ln 4a =+，15b =-，43ln 54c =+，则（ ）A ．c a b>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c b a>>5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设13sin0.2,0.16,ln 22a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>1．（2024·辽宁·一模）设123322e 1e 3a b c -==-=-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a<<D ．a c b<<2．（2024·辽宁·二模）若0.011.01sin0.01,1ln1.01,e a b c =+=+=，则（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．c b a>>D ．c a b>>3．（2024·山西·二模）设202310121011a æö=ç÷èø，202510131012b æö=ç÷èø，则下列关系正确的是（ ）A ．2e a b<<B ．2e b a <<C ．2e a b <<D ．2e b a <<4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若ln 4a =，32b =，33sin tan 44c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．c<a<b6．（2023·全国·模拟预测）已知4ln 3a =，83b =，1sin 3c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c <<D ．b c a<<7．（2024·全国·模拟预测）已知20222023e a -=，ln2024ln2023b =-，1sin 2023c =，则（ ）A ．c<a<bB ．a c b<<C ．c b a <<D ．b c a<<8．（2024·全国·模拟预测）已知π10e a =，9π1sin 10b =+，61.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b >>D ．c b a>>9．（2024·湖南邵阳·一模）设e56a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．c<a<b10．（23-24高三上·安徽·期末）已知61log 4=a ，41log 3b =，()1e 1e c =+，则（ ）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．a c b<<11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设ln 2a =，b =c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．a b c<<12．（2024·湖南长沙·一模）已知实数,a b 分别满足e 1.02a =，()ln 10.02b +=，且151c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b13．（2023高三·全国·专题练习）已知453ln 4a =+，15b =-，43ln 54c =+，则（ ）A ．c a b>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c b a>>14．（23-24高三下·安徽·阶段练习）设ln1.01a =，1101b =，tan 0.01c =，则（ ）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b<c<a D ．b a c<<15．（2024·甘肃陇南·一模）若0.10.25,7,e 4a b c ===，则（ ）A ．c b a>>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．a c b>>16．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知()616,ln ,log 71ln555a b c ===-，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>17．（2024·辽宁沈阳·一模）已知πππ3642e ,e ,m n p -===，则（ ）A ．n m p >>B ．m p n >>C ．p n m>>D ．m n p>>1．2．3．4．18．（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）①13sin1010π> ②141sin sin 334< ③16tan 16> ④()tan π3sin 3->A ．1B ．2C ．3D ．419．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知函数()ln(1)f x x x =+-.(1)求()f x 的单调区间；(2)试证明11111ln(1)234n n+++++>+L ，*N n Î.20．（21-22高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：()*1ln2ln3ln4ln (N ,1)34514n n n n n n -+++×××+<Î>+.。

第三章：一元函数的导数及其应用（模块综合调研卷） （19题新高考新结构）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．e【答案】A【分析】求出e x y a =+的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程1y x a =++，再设与曲线ln y x =相切的切点为00(,)x y ，求得函数ln y x =的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得00,x y 的值，进而得到a 的值.【详解】由曲线e x y a =+，得e x y ¢=，在0x =处的切线斜率为1，当0x =时，1y a =+，曲线e x y a =+在0x =处的(1)1(0)y a x -+=´-，即1y x a =++，曲线ln y x =，导数为1y x¢=，设切点为00(,)x y ，则11x =，解得001,0==x y ，切点在切线1y x a =++上，即有011a =++，得2a =-.故选：A.2．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ¥ì-Îï=í-Î+ïî则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（ ）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=【答案】B【分析】根据分段函数结合导函数求出()5f ¢，再根据点斜式得出直线方程.【详解】当(]0,2x Î时，()23f x x ¢=-，当(]4,6x Î时，()()()2244f x f x f x =-=-，则()()44f x f x ¢¢=-，所以()()5418f f ==-，()()5414f f ¢¢==-．则所求的切线方程为()()845y x --=--，即4120x y +-=．故选：B.3．某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为327cm 的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（ ）A ．34cm B ．38cm C ．312cm D ．316cm 【答案】C【分析】写出圆柱的体积解析式，构造函数，利用导数求出圆柱体的最大体积【详解】设圆锥的底面半径为R ，高为H ，圆柱的底面半径为(0)r r R <<，高为h ，则h R r H R-=，所以()H h R r R =-，所以()22ππH V r h r R r R==-圆柱.设()()2(0)f r r R r r R =-<<，则()()22223f r r R r r rR r -=¢=--.令()0f r ¢=，得23r R =或0r =（舍去），当20,3r R æöÎç÷èø时，()()0,f r f r ¢>单调递增，当2,3r R ¥æöÎ+ç÷èø时，()()0,f r f r ¢<单调递减，所以()f r 的最大值为23222433327f R R R R R æöæöæö=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以V 圆柱的最大值为()2234π4π442712cm 279399R H R H V æö===´=ç÷èø圆锥.故选：C.4．已知17611ln ,,e 567a b c ===则（ ）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】A【分析】比较a b ，大小，构造()ln 1f x x x =-+，结合单调性即可比较大小；比较b c ，大小，构造()()1e x h x x =-，结合单调性即可比较大小.【详解】令()()ln 101f x x x x =-+<<，则()10xf x x-¢=>，所以()f x 单调递增，又()10f =，所以()0f x <，即ln 1x x <-，所以51ln66<-，所以51ln 66->，即61ln 56>，所以a b >，设()()()1e ,0,1xh x x x =-Î，则()e 0x h x x ¢=-<，所以()h x 单调递减，()()01h x h <=，即1e 1xx <-，故176e 17117<=-，，即171e 716<，所以b c >，所以a b c >>，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合a b ，的特点，6515lnln ,15666a b =-=-==-，构造()ln 1f x x x =-+；结合b c ，的特点，171111e 167717b c ==×=-，，构造()()1e xh x x =-；从而得解.5．若函数ln ()x xf x x m=-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(0,e)B ．(e,)+¥C ．(0,2e)D ．(2e,)+¥【答案】D【分析】将函数ln ()x x f x x m=-有两个零点，转化为函数ln ,x xy y x m ==的图象有两个不同交点问题；由此设ln (),0xh x x x=>，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意知函数ln ()x x f x x m=-有两个零点，即ln 0x xx m -=有两个不等实数根，即函数ln ,x xy y x m==的图象有两个不同交点；设ln (),0x h x x x=>，则()21ln (),0xh x x x ¢-=>，当0e x <<时，()0h x ¢>，()h x 在()0,e 上单调递增；当e x >时，()0h x ¢<，()h x 在()e,+¥上单调递减；当01x <<时，()0h x <，当1x >时，()0h x >，作出()h x 的图象如图：当直线xy m=与()h x 图象相切时，设切点为000ln ,x x x æöç÷èø，此时00020010ln 01ln x x x x m x --=-=，则001,2ln x x =\=故此时12e 1m==，结合图象可知，要使函数ln ,x xy y x m==的图象有两个不同交点，需满足1,2e 2e10m m <\><，故(2e,)m Î+¥，故选：D6．已知定义在()0,¥+上且无零点的函数()f x 满足()()()1xf x x f x =¢-，且()10f >，则（ ）A ．()()1122f f f æö<<ç÷èøB ．()()1212f f f æö<<ç÷èøC ．()()1212f f f æö<<ç÷èøD ．()()1212f f f æö<<ç÷èø【答案】D【分析】将题设条件转化为()()()()2f x xf x xf x f x ¢-=，从而得到()()e ,0x x k k f x =×>，进而得到()ex x f x k =×，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.【详解】由()()()1xf x x f x =¢-变形得()()()f x xf x x f x ¢-=，从而有()()()()2f x xf x x f x f x ¢-=，()()x x f x f x ¢éù=êúêúëû，所以()e x xk f x =×，因为()10f >，所以()1101e k f =>，则()exx f x k =×，则()()2222e 1e e e e xx x x xk x k kx f x k k -¢-×==，故当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x ¢<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,¥+单调递减，所以()112f f æö<ç÷èø，()()21f f <，又()322212e 422e 2e f f k k -æö-==ç÷èø，而33e 2.719.716>»>，所以32e 4>，()122f f æö>ç÷èø综上，()()1212f f f æö<<ç÷èø.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用()e e x x k k ¢=，由()()x x f x f x ¢éù=êúêúëû到得()e x x k f x =×，是解决本题的关键.7．已知函数()f x 与()g x 是定义在R 上的函数，它们的导函数分别为()f x ¢和()g x ¢，且满足()()()()62,35f x f x f x g x +-==--，且()()()12,31f x g x f --=¢¢=-¢，则()12024k g k =¢å=（ ）A ．1012B ．2024C ．1012-D ．2024-【答案】D【分析】根据()()35f x g x =--得到()()3312g x g x -+-=，故()()12g x g x +-=，求导得到()()g x g x ¢-=¢，()()35f x g x =--两边求导得到()()3f x g x ¢¢=--，从而得到()()22g x g x ¢+¢+=-，故()()4g x g x ¢¢=+，故4是()g x ¢的一个周期，其中()()()()13242g g g g ¢¢¢¢+=+=-，根据周期性求出答案.【详解】由于()()35f x g x =--，则()()635f x g x -=--，两式相加得()()()()633102f x f x g x g x +-=-+--=，故()()3312g x g x -+-=，所以()()12g x g x +-=，故()()0g x g x ¢¢--=，即()()g x g x ¢-=¢，其中()()35f x g x =--两边求导得，()()3f x g x ¢¢=--，故()()()()1312f x g x g x g x --=---¢¢-¢=¢，故()()312g x g x ¢¢-+-=-，将x 替换为3x +得()()22g x g x ¢¢-++=-，又()()g x g x ¢-=¢，故()()22g x g x ¢+¢+=-，将x 替换为2x +得()()242g x g x ¢¢+++=-，则()()4g x g x ¢¢=+，故4是()g x ¢的一个周期，其中()()()()13242g g g g ¢¢¢¢+=+=-，故()()()()12344g g g g ¢¢¢¢+++=-，故()()()()()()12024506123450642024k g k g g g g =¢¢¢¢éùå=´+++=´-=-ë¢û.故选：D【点睛】结论点睛：设函数()y f x =，x ÎR ，0a >，a b ¹．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ；（5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ；（10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为4a ．8．设函数()()ln 2f x x =-，点()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中122x x <<，且121112x x +=，则直线AB 斜率的取值范围是（ ）A ．10,2æöç÷èøB ．10,e æöç÷èøC ．10,4æöç÷èøD ．10,2e æöç÷èø【答案】A 【分析】()()2121ln 2ln 2AB x x k x x ---=-，令()21,2i i t x i =-=，所以2121ln ln 0-=>-AB t t k t t ，利用不等式)ln lna ba ba b-<>>-可得答案.【详解】不等式)ln lna ba ba b-<>>-，证明如下，即证ln<ab令)1t t>，设()()12ln1g t t t tt=-+>，()()221tg tt--¢=<，可得()g t在()1,¥+上单调递减，所以()()10g t g£=恒成立，所以ln<ab)ln lna ba ba b-<>>-.因为()()2121ln2ln2ABx xkx x---=-，令()21,2i it x i=-=，因为122x x<<，所以120t t<<，所以2121ln ln-=>-ABt tkt t，由121112x x+=，得()12122x x x x+=，即()()()121222222t t t t+++=++，则有124t t=，所以2121ln ln12-<<=-t tt t.故选：A.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分。

最新高考数学一轮复习经典教案最新2023年高考数学一轮复习经典教案作为一名为他人授业解惑的教育工作者，总归要编写教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。

那么问题来了，教案应该怎么写？以下是店铺收集整理的最新2023年高考数学一轮复习经典教案，希望能够帮助到大家。

最新2023年高考数学一轮复习经典教案1【高考要求】：简单复合函数的导数(B).【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数.2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征.3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值.【知识复习与自学质疑】1.复合函数的求导法则是什么?2.(1)若，则 ________.(2)若，则 _____.(3)若，则 ___________.(4)若，则 ___________.3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数.4.函数的单调性是_________________________________________.5.函数的极大值是___________.6.函数的值,最小值分别是______,_________.【例题精讲】1. 求下列函数的导数(1) ;(2) .2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的.切线相同,求的值.【矫正反馈】1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________.2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为,若,则函数的周期是____________.4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________.5.曲线上的点到直线的最短距离是___________.【迁移应用】1.设 , 若存在 ,使得 ,求的取值范围.2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.最新2023年高考数学一轮复习经典教案2一、知识梳理1.三种抽样方法的联系与区别：类别共同点不同点相互联系适用范围简单随机抽样都是等概率抽样从总体中逐个抽取总体中个体比较少系统抽样将总体均匀分成若干部分;按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分采用简单随机抽样总体中个体比较多分层抽样将总体分成若干层，按个体个数的比例抽取在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体中个体有明显差异(1)从含有N个个体的总体中抽取n个个体的样本，每个个体被抽到的概率为(2)系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按照事先研究的规则抽取样本.(3)分层抽样的步骤：①分层;②按比例确定每层抽取个体的个数;③各层抽样;④汇合成样本.(4) 要懂得从图表中提取有用信息如：在频率分布直方图中①小矩形的面积=组距 =频率②众数是矩形的中点的横坐标③中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值2.方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征，一般地，设一组样本数据，，…，，其平均数为则方差，标准差3.古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率P=特别提醒：古典概型的两个共同特点：○1 ，即试中有可能出现的.基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的;○2 ，即每个基本事件出现的可能性相等。

新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。

以下是教学案的详细内容。

目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。

2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。

3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。

教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。

2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。

3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。

4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。

教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。

2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。

3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。

4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。

结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。

希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。

届高考数学第一轮复习导学教案第一课时一元二次不等式【学习目标】1.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。

经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式。

3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。

【学习难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

[自主学习][课前热身]1．不等式29610x x ++≤的解集是 ．2．不等式104x x -<-的解集是 ．3．不等式()120x x ⋅->的解集是 ．4．不等式221x x +>+的解集是 ．5．已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则实数,a b 的值分别为[典型例析]例1 解不等式：（1）22203x x -+-> （2）28116x x -≤ （3）22101x x x --≥-例2解关于x 的不等式（1）2(1)10ax a x -++< （2）220x x m ++≥例3 解关于ｘ的不等式(1)1(0)2a x a x ->>-[当堂检测]1．不等式21212x x -<+-≤的解集是 ．2. 若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b = , c = .3.关于x 的不等式11ax x <-的解集是{}12x x x <>或，那么a = .4．若关于x 的不等式20x ax a -->的解集为R ，则实数a 取值范围是 .若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 取值范围是[学后反思]____________________________________________________ _______ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结25 三角函数的图象与性质高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲 研读1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在R 上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内的单调性一、基础小题1．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π6的最小正周期是( )A ．2π5B ．5π2 C ．2π D ．5π 答案 D解析 由T ＝2π25＝5π，知该函数的最小正周期为5π.故选D.2．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－ 3 答案 B解析 因为函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以函数y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝1－(－2)＝3，故选B.3．若直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z答案 B解析 因为直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，所以a ＝12，故tan x ≥2a 即tan x ≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z . 4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由正弦函数的图象和性质可知π2≤a ＋π6≤7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D.5．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x 在[－π，π]的图象大致是( )答案 A解析 显然f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除D ；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，sin 2x ＞0，sin x ＞0，即f (x )＞0，排除B ，C.故选A.6．下列函数中同时具有以下性质的是( )①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3答案 C解析 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A ；当x ＝π3时，对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0，对于D ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝32，又图象关于直线x ＝π3对称，从而排除B ，D ，经验证y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6同时具有性质①②③④，故选C. 7．(多选)下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法，正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 答案 AB解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6满足上述关系式，故A 正确；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选AB.8．(多选)已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的最大值为1 C ．f (x )的图象关于y 轴对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减答案 ABC解析 ∵f (x )＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为1，A ，B 正确；∵f (－x )＝－cos (－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，C 正确；∵f 1(x )＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，故f (x )＝－cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，D 错误．故选ABC.9．函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos 2x 的图象向左平移φ个单位长度得到，则正数φ的最小值为________．答案 π2解析 函数y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2＝1＋cos （2x ＋π）2的图象可由y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2的图象向左平移π2个单位长度得到，故正数φ的最小值为π2.二、高考小题10．(2022·北京高考)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98 D ．偶函数，最大值为98 答案 D解析 因为f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x )＝cos x －cos 2x ＝f (x )，且函数定义域为R ，所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.故选D.11．(2022·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.给出下列结论：①f (x )的最小正周期为2π； ②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f (x )的最大值； ③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象．其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以最小正周期T ＝2π1＝2π，故①正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12≠1，故②不正确；将函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故③正确．故选B.12．(2022·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12 答案 A解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知，12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.13．(2022·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A.①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 答案 C解析 ①中，f (－x )＝sin |－x |＋|sin (－x )|＝sin |x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，①正确．②中，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，函数单调递减，②错误.③中，当x ＝0时，f (x )＝0，当x ∈(0，π]时，f (x )＝2sin x ，令f (x )＝0，得x ＝π.又f (x )是偶函数，∴函数f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin |x |≤|sin x |，∴f (x )≤2|sin x |≤2，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.14．(2022·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.15．(2022·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2 C ．π D ．2π 答案 C解析 由已知得f (x )＝tan x1＋tan 2x＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.16．(2022·全国Ⅲ卷)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题： ①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称； ④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________． 答案 ②③解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，定义域关于原点对称，f (－x )＝sin (－x )＋1sin （－x ）＝－sin x －1sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋1sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x ＜0＜2，命题④错误．17．(2022·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t＝cos x ，则t ∈[－1，1]，g (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数g (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，∴当t ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )有最小值－4.18．(2022·北京高考)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________． 答案 π2解析由降幂公式得f (x )＝sin 22x ＝1－cos4x 2＝－12cos 4x ＋12，所以最小正周期T ＝2π4＝π2.三、模拟小题19．(2022·浙江温州中学高三月考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin 3x 的最小正周期为( ) A ．π B ．2πC ．3π D ．6π答案 B解析 y ＝sin 2x 的最小正周期为π，函数y ＝sin 3x 的最小正周期为2π3，π与2π3的最小公倍数为2π，所以函数f (x )＝sin 2x ＋sin 3x 的最小正周期为2π.故选B.20．(多选)(2022·湖南长沙第一中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|sin x |，sin x ≥cos x ，|cos x |，sin x ＜cos x ，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的值域是[0，1]B ．f (x )是以π为最小正周期的周期函数C ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递增D ．f (x )在[0，2π]上有2个零点 答案 AD 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π（k ∈Z ），|cos x |，－3π4＋2k π<x <π4＋2k π（k ∈Z ）， 作出函数f (x )的大致图象如图所示：由图可知f (x )的值域是[0，1]，故A 正确；因为f (π)＝|sin π|＝0，f (2π)＝|cos 2π|＝1，所以f (2π)≠f (π).所以π不是f (x )的最小正周期，故B 错误；由图可知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2上单调递减，故C 错误；由图可知，在[0，2π]上，f (π)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝0，所以f (x )在[0，2π]上有2个零点，故D 正确．故选AD.21．(多选)(2022·福建福州高三调研)已知函数f (x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )，下列关于该函数的结论中正确的是( )A ．f (x )的一个周期是2πB ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为2 D ．f (x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数 答案 ABD解析 f (x ＋2π)＝sin [sin (x ＋2π)]＋cos [cos (x ＋2π)]＝sin (sin x )＋cos (cos x )＝f (x )，故A 正确；f (π－x )＝sin [sin (π－x )]＋cos[cos (π－x )]＝sin (sin x )＋cos (－cos x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )＝f (x )，故B 正确；由于sin x ∈[－1，1]，cos x ∈[－1，1]，所以sin (sin x )＜1，cos (cos x )≤1，故f (x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )＜2，C 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)且单调递增，故y ＝sin (sin x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，同理可判断，y ＝cos (cos x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，故f (x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，D 正确．22．(2022·福建厦门高三模拟)用M I 表示函数y ＝sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，则M [0，a ]＝________；a 的取值范围为________．答案 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，13π12解析 作出函数y ＝sin x 的图象，如图所示：显然，M [0，a ]的值为1，∵M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，∴M [a ，2a ]的值为12，作出直线y ＝12与y ＝sin x 相交于A ，B ，C 三点，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，12，由图象可得⎩⎪⎨⎪⎧5π6≤a ，2a ≤13π6⇒5π6≤a ≤13π12，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，13π12.一、高考大题1．(2022·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R ). (1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ， 所以y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即当x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且最大值为1＋22.2．(2022·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin (x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin (x ＋θ)＝sin (－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.二、模拟大题3．(2022·荆州模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.(1)求函数f (x )的最大值及相应的x 的取值的集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴与对称中心．解 (1)当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即当x ＝k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值，为2；则使函数f (x )取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z .(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋k π2，k ∈Z . 即函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝3π8＋k π2，k ∈Z . 由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ， 即函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，0，k ∈Z .4．(2022·安徽亳州高三质量检测)已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x ). (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的单调性．解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1－32.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，A ∩C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．5．(2022·信阳高三阶段考试)已知向量m ＝(3sin ωx －cos ωx ，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12，设函数f (x )＝m ·n ，若函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称且ω∈[0，2].(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)先列表，再用五点法画出f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象．解 (1)f (x )＝(3sin ωx －cos ωx ，1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －12cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， ∴2ωπ3－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴ω＝32k ＋1，k ∈Z .又ω∈[0，2]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π＋π2≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . (2)列表如下：∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，7π12上的大致图象如图所示．。

第二十五课时 函数的应用课前预习案1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；2.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.3.了解指数函数、对数函数以及幂函数函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.构建函数模型的基本步骤：（1）审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择数学模型；（2）建模：将文字语言、图形（或者数表）等转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义.1..某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价20元,羽毛球每只定价5元,该店制定了两种优惠方法:(1)买一副球拍赠送一只羽毛球;(2)按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍,羽毛球30只,两种优惠方法中,较省钱的一种是 ( )A.不能确定B.(1)(2)同样省钱C.(2)省钱D.(1)省钱2.容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（ ）A ．10)(a b·m ％ B ．10)1(a b－·m ％C ．9)(a b ·m ％D ．9)1(a b －·m ％课堂探究案典型例题考点一 一次函数与二次函数模型【典例1】某厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x +-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.考点二 分式函数模型【典例2】围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位：m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）.（Ⅰ）将y 表示为x 的函数;（Ⅱ）试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.考点三 分段函数模型【典例3】某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；② 该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）.（1）把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？当堂检测1．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的101，要使通过玻璃的光线强度为原来的31以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3=0.4771) （ ）A 10B 11C 12D 132.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位m )的取值范围是 （ ）(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]3．如图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点Ｐ沿着A—B—C—M运动时，以点Ｐ经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）课后拓展案A组全员必做题1.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随时间变化的情况由微机记录后再显示出的图像如图所示.现给出下面说法:(1)前5分钟温度增加的速度越来越快;(2)前5分钟温度增加的速度越来越慢;(3)5分钟后温度保持匀速增加;(4) 5分钟后温度保持不变.其中正确的说法是( )A.(1)(4)B.(2)(4)C.(2)(3)D.(1)(3)2.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）x40m组提高选做题已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=).10(31000108),100(3018.10)(22x x x x x x R （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？ （注：年利润=年销售收入-年总成本）参考答案1.D2.B【典例1】（1）[3,10]；（2）该厂选取6千克/小时速度时，最大利润为457500元.【典例2】（1）2360225360(2)y x x=+->；（2）24m x =时，总费用最小，最小为10440元. 【典例3】（1）2100575,610,N 3130575,1138,Nx x x y x x x x **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+-≤≤∈⎪⎩.（2）22x =时，取得最大值833.1.B2.C组全员必做题1.B2.2500组提高选做题(1)38.110,01030100098 2.7,103xx xWx xx⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩；（2）年产量为9千件时，所获利润最大，最大为38.6万元.。

2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量yx =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）.在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：Ay =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为 A.y =2x －1－1（x ＞1） B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0）D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：Af （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季某某，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4. ∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）. 答案：－x -（x ≤－4） f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________. 解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x =31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞）B.（－∞，0］C.［0，2）D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C深化拓展y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x －1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x =y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅱ）函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1）B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）.答案：B2.（文）（2004年全国Ⅲ，文3）记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B（理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0）B.y =ln （2x ）（x ＞0） C.y =21ln x （x ＞0）D.y =21ln （2x ）（x ＞0）解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）. 答案：C3.（2004年，5）函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.a ∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.（2004年某某，7）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是AC D2x y OOy x-1-1解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x. 答案：C 5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上. 把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－7127106.（2004年全国Ⅲ，15）已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g （x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x ∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x .∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---x x3113⎩⎨⎧<≥.0,0x x ∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2. 答案：－2 培养能力 f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，某某数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m5=5，得m =－1. f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0= f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4. 故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）. f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）. （1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）； （2）判定f －1（x ）的奇偶性； （3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数. （3）log axx-+11＞1. 当a ＞1时， 原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0. ∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11x x a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新 f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）. （1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，某某数a 的取值X 围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41a ≠t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］. 则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立. 由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称. y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）.4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （2004年某某，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于 －x－1x －1C.1－10－x D.1－10x解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】 若函数y ＝axax+-11（x ≠－a 1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝axax+-11的反函数为y ＝a ax x +-1.∵函数y ＝axax+-11的图象关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝axax+-11与它的反函数y ＝a ax x +-1ax ax +-11＝a ax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】 函数y =xx12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。