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第五节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[知识能否忆起]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β；
(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan α.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α±π
4. [小题能否全取]
1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2α
cos 2α的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选D
sin 2αcos 2α＝2sin αcos α
cos 2α
＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
A ．－
2
2
B.
22 C.32
D ．1
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝2
2
. 3．已知sin α＝2
3，则cos(π－2α)等于( )
A ．－
5
3
B ．－19 C.1
9
D.5
3
解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－1
9.
4．(教材习题改编)若cos α＝－4
5，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－
1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－72
10
. 5．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2
5
，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25
，即5tan α＋5＝2－2tan α.则7tan α＝－3，故tan α＝－37.
典题导入
[例1] (2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；
(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π
4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5
， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65.即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝4
5
.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665
.
由题悟法
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
以题试法
1．(1)已知sin α＝3
5
，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4＝________.
(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝5
5
，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17 C ．－4
3
D ．－7
解析：(1)
cos 2α2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝
cos 2α－sin 2α2⎝⎛
⎭
⎫
22sin α＋2
2cos α
＝cos α－sin α，∵sin α＝3
5，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－4
3，所以
tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43
＝－17.答案：(1)－7
5
(2)B
典题导入
[例2] (2013·德州一模)已知函数f (x )＝2cos 2x
2－3sin x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α
的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x
2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．
