高三数学一轮复习学案

高三数学一轮复习学案

第三缉 数列

3．5数列通项的求法

高考要求：

掌握求数列的通项方法。 考点回顾：

（一）求数列的通项方法

1、由等差，等比定义，写出通项公式

2、利用迭加a n －a n －1=f （n ）、迭乘a n /a n －1=f （n ）、迭代

3、一阶递推q pa a n n +=+1，我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比数列

4、利用换元思想

5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明

6、对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 （二）主要方法：

1、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项。

2、运用等差（等比）数列的通项公式。

3、已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨

⎧≥-==-211

1

n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ） 4、已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n －1，则a n ＝

1

－n n

T T （注意：不能忘记讨论1=n ）。

5、已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f （n ）}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法。

6、已知)2)((1

≥=-n n f a a n n

，求n a 用累乘法。 7、已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数

列)}({n a f 为等差或等比数列。

8、已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a 。

考点训练

EG1．设{a n }的首项为1的正项数列，且()(),.....3,2,10112

21==+-+++n a a na a n n n n n 求它的通

项公式。

B1－1．已知数列{a n }，a 1=2，a n +1=a n +3n +2，求a n 。 EG2．已知数列{a n }，a 1=1，a n +1=

n n a a 求,13

2

+。 B2－1．数列{a n }中，a 1=1，2a n =n n a n a 求),2(21≥+-

B2－2．数列{a n }中，a 1=1，()N n a a a n n

n ∈+=

+2

21 ，求a n 。 B2－3．数列{a n }中，a 1=1，()2,1

222≥∈-=n N n S S a n n

n ，求a n 。

EG3．（理）（猜证）已知数列{a n }满足a 1=1，().2311

≥+=--n a a n n n

（1）求a 2，a 3 ，a 4；

（2）证明：2

1

3-=n n a 。

B3－1．（理）设正数数列{a n }前n 项和S n ，存在正数t ，使得对所有自然数n ，有

,2

n

n a t ts +=

则通过归纳猜想得到S n 并证明？ EG4、设数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，满足关系n tS 3()132-+-n S t =t 3

()N n n t ∈>>,2,0

（1）求证：数列{a n }是等比数列；

（2）设数列{a n }的公比为f （t ），作数列{b n }，使b 1=1，b n =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-11n b f （n =2，3，4，……）

求{b n }的通项公式。 实战训练 1．已知数列 ,32

1

9,1617,815,413

试写出其一个通项公式：_______________。 2．设a 1=1，a n +1=a n +1

2

，则a n ＝_________________。

3．已知数列}{n a 满足11=a ，1

31+=

+n n

n a a a ，则n a =_______。

4数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2

321n a a a a n = ，则=+53a a __________。

5．已知数列}{n a 前n 项和1322

++-=n n S n ，则=n a __________。

6．在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

7．数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（

）

A ．n

2

B ．12+n

C ．12-n

D ．1

2

+n

8．已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 。

9．数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（

）

A ．n

2

B ．12+n

C ．12-n

D ．1

2

+n

10．若数列{}n a 的前n 项和为2

n S n =，则（

）

A ．12-=n a n

B ．12+=n a n

C ．12--=n a n

D ．12+-=n a n

11．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,2

1

,110N n a a a a n n n ∈-=

=+求数列}{n a 的通项公式a n 。

直击高考

1．（2006年全国卷II ）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…。

（Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式。

2．（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）证明：

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈ 3．（理）（2006年江西卷）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

3

2

，且a n ＝n 1

n 13na n 2n N 2a n 1

*≥∈－－（，）＋－

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a 1•a 2•……a n <2•n ！ 实战训练参考答案： 1．11212

n n a n +=++ 2．

1

2n + 3．

1

32

n -