分子轨道理论8

久期行列式
其中H aa = H bb
H aa &#H aa − H ab E2 = 1 − S ab
E1，E2 代入久期方程，得
基态能量 第一激发态能量
1 ψ1 = (φa + φb ) 2 + 2 S ab 归一化→ 1 ψ2 = (φa − φb ) 2 − 2S ab
η2 2 e2 e2 e2 ˆ − + H =− ∇ − 2m 4πε0ra 4πε0rb 4πε0 R
ˆ Hψ = E ψ
5
原子单位制（Atomic Unit）
(1) 单位长度 (2) 单位质量 (3) 单位电荷 (4) 单位能量 (5) 单位角动量 1a.u.= a0 = 0.529177A=52.9177pm 1a.u.= me =9.1095 × 10-28g 1a.u.= e
η2 d 2 ˆ ψ * Hψdτ ∫0 x( x − l )(− 2m dx 2 ) x( x − l )dx 10 h 2 = 2⋅ = < E >= l π 8ml 2 ψ *ψdτ ∫ x( x − l ) ⋅ x( x − l )dx
∫
l
∫
0
与一维势箱解法相比
ΔE 10 / π 2 ⋅ h 2 / 8ml 2 − h 2 / 8ml 2 10 = = ( 2 − 1)% = 1.3% 2 2 E h / 8ml π
i=1
m
利用ψ求变分积分，可得
E=
ˆ (∑ ciφi )H (∑ ciφi )dτ ∫
i =1
m
m
∂<E> ∂<E> ∂<E> = ...... = =0 = ∂c2 ∂cm ∂c1

第三节分子轨道理论（MOT）一、概述要点：A、配体原子轨道通过线性组合，构筑与中心原子轨道对称性匹配的配体群轨道。

B、中心原子轨道与配体群轨道组成分子轨道。

C、电子按照能量由低到高的顺序，依次排在分子轨道中。

形成LCAO-MO的三原则：二、ABn型分子构筑分子轨道的方法1、步骤1）列出中心原子A及配位原子B中参与形成分子轨道的原子轨道；2）将B原子轨道按等价轨道集合分类（由对称操作可彼此交换的轨道称为等价轨道）；3）将每一等价轨道集合作为表示的基，给出表示；再将其分解为不可约表示；4）用每一组等价轨道集合构筑出对应于上一步所求出的不可约表示的配体群轨道；5）将对称性相同的配体群轨道与中心原子轨道组合得分子轨道。

三、金属与配体间σ分子轨道（d轨道能级分裂）1）A原子用ns、np、(n-1)d 9个轨道，每个B原子用3个p(p x、p y、p z)轨道，共27个轨道形成分子轨道。

* 坐标系选择及配体编号xyz123546p xp y p zA 、中心原子取右手坐标系，配体取左手坐标系；B 、每个B 原子上三个p 轨道各用一个向量表示，方向指向波函数正值方向；C 、规定p z 向量指向中心原子，则p x 、p y 向量应存在于垂直于p z 向量的平面内；D、规定第一个B原子的p x向量与y 轴平行（* 方向相同），则该B原子的p y向量应与z轴平行（* 方向相同）；E、其余（6-1）个B原子的p x和p y 向量的方向由O h群对称性决定。

2）O h群将B原子的18个轨道分为如下等价轨道的集合：I、6个p z轨道（可用于形成σ分子轨道）II、12个p x或p y轨道（可用于形成π分子轨道）3）以上述轨道集合I 为基，得出在O h 群中的表示，并进行约化： Гσ = A 1g + E g + T 1u4）求出与中心原子价轨道相关的配体群轨道(用投影算符)：中心原子轨道d x 2-y 2 d z 2s(p z 1+p z 2+p z 3+p z 4+p z 5+p z 6)61(2p z 5+2p z 6-p z 1-p z 2-p z 3-p z 4)11212(p z 1-p z 2+p z 3-p z 4)ψ(E g ) =ψ(A 1g ) =(p z 1-p z 3)(p z 2-p z 4)(p z 5-p z 6)p x p yp z212121ψ(T 1u ) =配体群轨道示意图：yzyxy xz yxs ψA 1g d x 2-y 2 ψE g (x 2-y 2)yxzyxzxzzd z 2 ψE g (z 2) p x ψT 1u (x)zyzyzxzp y ψT 1u (y) p z ψT 1u (z)3、配合物的σ分子轨道能级图 1）σ分子轨道能级图t 1u *a 1g *e g *e g t 1u a 1gt 2gnp ns (n-1)dAO 1AO 2MO* MO (AO 1)(AO 2)中心原子轨道 σ分子轨道 配体σ群轨道2）d 轨道能级分裂对于许多配体如H2O、NH3、F−等，配体p z轨道能级低于金属轨道能级四、金属与配体间π分子轨道（强、弱场配合物）1．配体π群轨道构筑1）形成π分子轨道的原子轨道A1g：s E g：d x2-y2，d z2T1u：p x，p y，p z已用于形成σ分子轨道只剩余T2g：d xy，d xz，d yzB原子用于形成π分子轨道的原子轨道集合：12个p x或p y轨道。

轨道进行简单的介绍。
四 、配位化合物中的分子轨道理论
要点：
A、配体原子轨道通过线性组合，构筑与中心原子 轨道对称性匹配的配体群轨道。 B、中心原子轨道与配体群轨道组成分子轨道。
金属与配体间σ分子轨道（d轨道能级分裂）
1．可形成σ分子轨道的中心原子轨道 在八面体配合物MX6中，每个配体可提供一个Pz 轨道用于形成σ分子轨道。
（2）分子轨道由原子轨道线性组合而成的，而且
组成的分子轨道的数目同互相化合原子的原子轨道
的数目相同。 （3）分子中电子的排布遵从原子轨道电子排布三 原则，即能量最低原理、泡利不相容原理和洪特规 则。
1. 原子轨道线性组合的方式
形成LCAO-MO的三原则：
linear combination of atomic orbital-molecular orbital
分子轨道理论的作用：
1. 可以解释包括羰基配合物、 π 配合物等特殊配合物 在内的配位键的形成；
2. 可以计算出所形成配合物分子轨道能量的高低；
3. 可以定量地解释配合物的某些物理和化学性质；
不足：
计算分子轨道能量的高低需要冗长的计算，非常繁琐；
通常采用简化或某些近似的方法来得到分子轨道能量的相对 高低。这里只定性地对常见的八面体配位构型配合物得分子
分子 H2 He2 He2＋
键级
磁性
1s σ
1s
σ 1s*1 1s
分子 Li2 Be2 B2 C2 N2 O2 + O2 O2 F2 Ne2 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ 1s21s2σ
出的一个序列。 N2[(σ1s)2(σ1s*)2(σ2s)2(σ2s*)2(π2py)2(π2pz)2(σ2px)2]

例如，对于 H2(在此并不研究 H2 )而言，如果我们忽略 Vei项（略去 排斥势能项，不影响电子的波函数），并在方程两端添加一项1/R（添加
的排斥势能项1/R 可作为常数看待，并吸收到能量 E 中），则，H2 的波 动方程就可改写为：
<
Hψ =[-
1 2
▽2
-
1 r1
-
1 r2
+
1 R
]ψ
=
Eψ
可见，当忽略了电子间的排斥势能后，H2 的波动方程就变成H2+ 的波
令： 2h = [(αa-αb)2 + 4β2]1/2 - (αa-αb)
即：
E2 =
(αa +αb) + [(αa -αb)2 + 4β2]1/2 2
= 2αa -(αa -αb) + [(αa -αb)2 + 4 β2]1/2
2
=
2αa + 2h 2
= αa + h
同理：
E1 = αb - h 即：
例如：
++
ns
ns
σh
+
- 反对称 记为：σu 或 σ*
（antibonding σ orbital）
+
对称 记为：σg 或 σ
（bonding σ orbital）
± ±
-+
np
+-
np
- + - + 反对称
记为：σu 或 σ*
-+
对称
- 记为：σg 或 σ
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统