导纲正切函数的定义图像与性质

●课 题§4.10.1 正切函数的图象和性质(一)●教学目标(一)知识目标1.正切函数的图象；2.正切函数的性质.(二)能力目标1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象；2.理解正切函数的性质.(三)德育目标1.用数形结合的思想理解和处理有关问题；2.发现数学规律；3.提高数学素质，培养实践第一观点.●教学重点正切函数的图象和性质●教学难点正切函数的性质的简单应用●教学方法引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题.(启发引导式)●教具准备幻灯片一张内容：课本P 69图4—27，§4.10.1●教学过程Ⅰ.课题导入师：常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质?Ⅱ.讲授新课师：为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.∵tan(π＋x )＝xx x x cos sin )cos()sin(--=++ππ＝tan x (其中x ∈R ，且x ≠2π＋k π，x ∈Z ) 根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.现在利用正切线画出函数y ＝tan x ，x ∈(－2π，2π)的图象 师：引导学生完成.生：在教师指导下完成.师：打出幻灯片§4．10．1，让学生对照然后说明可将所得图象向左、右平移，即可得到y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠2π＋k π，(k ∈Z )的图象，叫做正切曲线.师：引导学生观察得出正切曲线的特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝2π＋k π(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的. 师：现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.(师生共同完成以下活动)(1)定义域：｛x ｜x ≠2π＋k π，k ∈Z ｝ (2)值域：R(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T ＝π(4)奇偶性：∵tan(－x )＝－tan x∴正切函数是奇函数∴正切曲线关于原点O 对称(5)单调性：正切函数在开区间(－2π＋k π，2π＋k π)，k ∈Z 内都是增函数. 注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数下面，来看性质的简单应用.［例1］求函数y ＝tan2x 的定义域.解：由2x ≠k π＋2π，(k ∈Z ) 得x ≠2πk ＋4π，(k ∈Z ) ∴y ＝tan2x 的定义域为： ｛x ｜x ∈R 且x ≠2πk ＋4π，k ∈Z ｝ ［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0解：画出y ＝tan x 在(－2π，2π)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜2π 结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2π)(k ∈Z )［例3］不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小.解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数∴tan135°＜tan138°Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 71 2.(3)、3、62.(3)tan x ＜0的x 的取值范围为：｛x ｜k π－2π＜x ＜k π，k ∈Z }3.y ＝tan3x 的定义域为｛x ｜x ≠3πk ＋6π，k ∈Z ｝ 6.tan(－413π)＝－tan 43π＝tan 4π tan(－517π)＝－tan 517π＝－tan 52π ∴tan(－413π)＞tan(－517π) Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解决一些较简单问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 72，习题4.10 1、4、5(二)1.预习正切函数的性质的应用2.预习提纲(1)y ＝tan(x ＋ϕ)的单调性如何?(2)y ＝tan ωx 的周期又如何?●备课资料 1.正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋2π (k ∈Z )． 2.在下列函数中，同时满足的是( )①在(0，2π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan21x D.y ＝－tan x 答案：C3.函数y ＝tan(2x ＋4π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数. 4.函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( )A.(2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z B.(2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z C.(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z D.(2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z 解：由⎩⎨⎧≥≤0tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π 答案：C5.已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值.解：y ＝(tan x －1)2＋2当tan x ＝1时，y min ＝2附：函数f (x )±ｇ(x )最小正周期的求法.若f (x )和ｇ(x )是三角函数，求f (x )±ｇ(x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：一、定义法［例1］求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜＝ ｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π. 二、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T ＝||2ωπ，正余切函数T ＝||ωπ． ［例2］求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周期.解：y ＝x x x x tan tan 1tan tan 12-=-＝2·x xx 2cot 2tan 2tan 12=-∴T ＝2π 三、最小公倍数法设f (x )与ｇ(x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±ｇ(x )的最小正周期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分母的最大公约数分子的最小公倍数 ［例3］求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则52,3221ππ==T T ，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π／1＝2π. ［例4］求y ＝sin3x ＋tan52x 的最小正周期. 解：∵sin3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π，其最小公倍数是110π＝10π. ∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期是10π. 四、图象法［例4］求y ＝｜sin x ｜的最小正周期.解：由y ＝｜sin x ｜的图象：可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.。

又 2 3 1 ,
2
2
而y tanx在( , )内单调递增,
22
tan(2 ) tan(3 ) tan1,即tan2 tan3 tan1.
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题型二 求函数的单调区间 例2:写出下列函数的单调区间
(1)y=tan ( x );
26 (2)y=|tanx|. 分析:(1)用换元法,(2)用图象解.
基础强化
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1.y=tanx(x≠kπ+ ,k∈Z)在定义域上的单调性为( )
2 A.在整个定义域上为增函数
B.在整个定义域上为减函数
C.在(-
2
+kπ,
2 +kπ)(k∈Z)上为增函数
D.在(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上为减函数
2
2
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解析 :Q f x tanx的定义域是{x | x R且x k , k Z}.
正解 :Q 函数y tanx图象的对称中心为( k , 0),
2
其中k Z,2x k ,其中x ,
2
3
k 2 , k Z,
23
又 ,当k 1时, ,
2
2
6
当k 2时, .故的值为 或 .
3
63
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技 能 演 练(学生用书P28)
4
2
注意一定不能忽略后者.
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②正切函数y=tanx的最小正周期为π,这一点也是与正弦函数
､余弦函数不同的.形如y=tanωx的函数的最小正周期 这
可T 以 |作 为| , 公式使用.
③关于正切函数的单调性有下列命题:

1y、=ta作n图x 的x 基本(思路,：利)用的正图切象线，作由出正函切数函数
22
的周期性，将图象左、右扩展得到正切曲线； 2、图象特征：正切曲线是由相互平行的直线
x k (k Z ) 所隔开的无穷多支曲线
2
组成，每支曲线向上、向下可无限接近相应 的两体直线； 3、由函数y=tanx图象可变换得到函数 y=Atan(ωx+φ)的图象。
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习 模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系
统
5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产 生 一些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物 ， 正常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看 就懂 一做 就错
看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三

tana大纲笔记
正切函数（tangent）是三角函数中的一种，表示直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比值。

以下是关于正切函数的大纲笔记：
1. 定义：正切函数定义为直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比值，记作tan(α)，其中α是一个锐角。

2. 性质：
周期性：正切函数具有周期性，周期为π。

无界性：正切函数在开区间(kπ - π/2, kπ + π/2)内是无界的。

单调性：在每个开区间(kπ - π/2, kπ)内，正切函数是单调递增的；在每个开区间(kπ, kπ + π/2)内，正切函数是单调递减的。

3. 图像：正切函数的图像是周期函数，形状类似于波浪线。

4. 三角恒等式：
tan(α + β) = tanα + tanβ / 1 - tanαtanβ
tan(α - β) = tanα - tanβ / 1 + tanαtanβ
tan(α + π/2) = -1 / tanα
tan(-α) = -tanα
5. 应用：正切函数在三角函数计算、三角形的角度计算、振动分析等领域有广泛应用。

以上是大纲笔记的简要内容，如有需要，可以查阅数学教材或相关资料获取更多详细信息。