矩阵分析期末试题

矩阵考试题及答案详解一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A与矩阵B相乘，结果为零矩阵，下列哪项说法是正确的？A. A和B中至少有一个是零矩阵。

B. A和B都是零矩阵。

C. A和B的行列式都为0。

D. A和B的秩之和小于它们各自维度的乘积。

答案：D2. 矩阵的转置操作，下列哪项说法是错误的？A. 矩阵的转置是将矩阵的行变为列。

B. 矩阵的转置不会改变矩阵的行列式。

C. 矩阵的转置不会改变矩阵的秩。

D. 矩阵的转置会改变矩阵的特征值。

答案：D3. 对于一个3x3矩阵，下列哪项说法是正确的？A. 它有9个元素。

B. 它有3个行向量。

C. 它有3个列向量。

D. 以上说法都正确。

答案：D4. 矩阵的逆矩阵，下列哪项说法是错误的？A. 只有方阵才有逆矩阵。

B. 矩阵的逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。

C. 矩阵的逆矩阵与原矩阵相乘结果为单位矩阵。

D. 矩阵的逆矩阵一定存在。

答案：D5. 矩阵的秩，下列哪项说法是正确的？A. 矩阵的秩等于矩阵中非零行（或列）的最大数量。

B. 矩阵的秩不会超过矩阵的行数。

C. 矩阵的秩不会超过矩阵的列数。

D. 以上说法都正确。

答案：D6. 矩阵的特征值，下列哪项说法是错误的？A. 特征值是矩阵的特征多项式的根。

B. 矩阵的特征值可以是复数。

C. 矩阵的特征值一定是实数。

D. 矩阵的特征值与矩阵的迹有关。

答案：C7. 矩阵的行列式，下列哪项说法是正确的？A. 行列式为0的矩阵是可逆的。

B. 行列式为0的矩阵是奇异矩阵。

C. 行列式为1的矩阵是单位矩阵。

D. 行列式为-1的矩阵是正交矩阵。

答案：B8. 矩阵的相似性，下列哪项说法是错误的？A. 相似矩阵有相同的特征值。

B. 相似矩阵有相同的行列式。

C. 相似矩阵有相同的秩。

D. 相似矩阵有相同的迹。

答案：D9. 矩阵的正交性，下列哪项说法是正确的？A. 正交矩阵的行列式为1或-1。

B. 正交矩阵的转置是其逆矩阵。

C. 正交矩阵的元素都是实数。

矩阵试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，那么矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正交的D. 单位的答案：B2. 如果矩阵B是正交矩阵，那么其逆矩阵是：A. B的转置B. B的负转置C. B的正转置D. B的负答案：A3. 对于任意矩阵C，下列哪个操作不会改变其行列式：A. 行交换B. 行乘以常数C. 行加到另一行D. 行乘以常数后加到另一行答案：C4. 矩阵D的秩为2，那么其行最简形矩阵的行数是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵E是3x3的单位矩阵，则E的行列式值为______。

答案：12. 矩阵F的转置矩阵记作F'，则F'的转置矩阵是______。

答案：F3. 矩阵G的逆矩阵存在，则G的行列式值不能为______。

答案：04. 若矩阵H的秩为3，则其至少有______个非零行。

答案：3三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵J：\[ J = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]求J的行列式。

答案：\[ \text{det}(J) = 1(5\cdot9 - 6\cdot8) - 2(4\cdot9 - 6\cdot7)+ 3(4\cdot8 - 5\cdot7) = 0 \]2. 已知矩阵K：\[ K = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]求K的逆矩阵。

答案：\[ K^{-1} = \frac{1}{(2\cdot4 - 3\cdot1)} \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1.5 \\ -0.5 & 1 \end{bmatrix} \]四、简答题（每题10分，共20分）1. 简述矩阵的转置操作及其性质。

错误!2０１2-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)一、(共3０分，每小题6分)完成下列各题:（1）设4R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475αSpan V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数.解:=A {}54321,,,,ααααα⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000410003011020201 21V V +和21V V 的维数为３和１（２） 设()Ti i 11-=α,()Ti i 11-=β是酉空间中两向量，求内积()βα,及它们的长度（i =）. (0, 2， 2);（３）求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000747510737201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----747510737201* (4)设-λ矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ｉth 标准形及其行列式因子.解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→2111λλλλ(5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α,定义 *Hx x α=,验证x 是向量范数．二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A ， （1）（5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基.解：（１）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε 线性变换Ｔ的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++（2)矩阵Ａ的核为AX=０的解空间。

一、填空题1、4[]R x 表示实数域R 上所有次数小于或等于3的多项式构成的向量空间,则微分算子 D 在4[]R x 的基 321234(),(),(),()1p x x p x x p x x p x ====下的矩阵表示______________。

2、λ-矩阵 322(1)()(1)A λλλλλλ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的初等因子组为______________________ _______________, Smith 标准形是___________________________3、已知矩阵210024120A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 1____,A =____,A ∞= _____F A = 其中1,∞⋅⋅分别是由向量的1-范数和∞-范数诱导出来的矩阵范数（也称算子范数），F ⋅是矩阵的Frobenius 范数。

4. 已知函数矩阵222()2x A x x⎛⎫= ⎪⎝⎭，则22()d A x dx =___________, 5、已知n 阶单位矩阵I , 则 sin_______,2I π= 2______,i I e π=cos _______.I π=6、设()m J a 表示主对角元均为 a 的m 阶Jordan 块。

则 ()k mJ a 的Jordan 标准形为________ _______, ()k m J a 的最小多项式为___________，这里0,a ≠ ,m k 是整数且 1,1m k >≥.二、 已知 220260114A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1）求矩阵的Jordan 标准形和最小多项式；（2）求矩阵函数 sin ,.t A A e30(())_______.t A x dx '=⎰三、矩阵 ,n n A B C ⨯∈. A 是正定Hermite 矩阵，B 是Hermite 矩阵，证明矩阵AB 的所有特征值是实数。

四、求矩阵101202A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的奇异值分解。