2017年上海市虹口区高考数学二模试卷(解析版)
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2017年上海市虹口区高考数学二模试卷
一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）
1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝ ．
2．（4
分）复数所对应的点在复平面内位于第 象限．
3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a
n}，其前n项和为S
n，
则＝ ．
4．（4
分）若方程组无解，则实数a＝ ．
5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝ ．
6．（4分）
已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为 ．
7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4
，则＝ ．
8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直
线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
9．（5分）函数f（x
）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x
1、
x
2、x
3、x
4，则x
1+x
2+x
3+x
4＝ ．
10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2
的等腰三角形，则主视图的面积等于 ．
11．（5分）在直角△ABC
中，，AB＝1，AC＝2，M是△ABC
内一点，且，
若，则λ+2μ的最大值 ．
12．（5分）无穷数列{a
n}的前n项和为S
n，若对任意的正整数n都有S
n∈{k
1，k
2，k
3，…，
k
10}，则a
10的可能取值最多有 个．
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二、选择题（每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（5分）l
1、l
2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（ ）
A．如果l
1∥α，l
2∥α，则一定有l
1∥l
2
B．如果l
1⊥l
2，l
2⊥α，则一定有l
1⊥α
C．如果l
1⊥l
2，l
2⊥α，则一定有l
1∥α
D．如果l
1⊥α，l
2∥α，则一定有l
1⊥l
2
15．（5
分）已知函数，x
1、x
2、x
3∈R，且x
1+x
2＞0，x
2+x
3＞0，x
3+x
1＞0，
则f（x
1）+f（x
2）+f（x
3）的值（ ）
A．一定等于零 B．一定大于零
C．一定小于零 D．正负都有可能
16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结
论：
①3a﹣4b+5＞0；
②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；
③a2+b2＞1；
④当a＞0且a≠1
时，
的取值范围是（﹣∞，﹣
）∪（，+∞）．
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题满分76分）
17．（14分）如图ABC﹣A
1B
1C
1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC
＝4，直三棱柱的高等于4，线段B
1C
1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC
1的中
点为F．
（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；
（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．
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18．（14
分）已知定义在（﹣
，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0
，）时，
f（x
）＝．
（1）求f（x
）在区间（﹣
，）上的解析式；
（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）＝m
在（﹣
，）有解．
19．（14分）已知数列{a
n}
是首项等于且公比不为1的等比数列，S
n是它的前n项和，
满足．
（1）求数列{a
n}的通项公式；
（2）设b
n＝log
aa
n（a＞0且a≠1），求数列{b
n}的前n项和T
n的最值．
20．（16分）已知椭圆C
：＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x
0，y
0）的“伴
随点”为．
（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）如果椭圆C上的点（1
，
）的“伴随点”为（
，），对于椭圆C上的任意点M
及它的“伴随点”N
，求的取值范围；
（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，
Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．
21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 0 2 3 2 0 ﹣1 0 2
（1）求f{f[f（0）]}；
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（2）数列{x
n}满足x
1＝2，且对任意n∈N*，点（x
n，x
n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，
求x
1+x
2+…+x
4n；
（3）若y＝f（x）＝Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函
数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．
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2017年上海市虹口区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）
1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝ {2，3，4} ．
【解答】解：A＝{1，2，3，4}，
B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}＝{x|1＜x＜5}，
则A∩B＝{2，3，4}；
故答案为：{2，3，4}．
2．（4
分）复数所对应的点在复平面内位于第 四 象限．
【解答】解：
复数
＝
＝
﹣i
所对应的点在复平面内位于
第四象限．
故答案为：四．
3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a
n}，其前n项和为S
n，
则＝ 4 ．
【解答】解：由题意，a
n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S
n＝n
+＝n2，
∴
＝＝4，
故答案为：4．
4．（4
分）若方程组无解，则实数a＝ ±2 ．
【解答】
解：根据题意，方程组无解，
则直线ax+2y＝3与直线2x+2y＝2平行，
则有a×a＝2×2，且a×2≠2×3，
即a2＝4，a≠3，
解可得a＝±2，
故答案为：±2．
5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝ 1 ．
【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T
r+1＝xra7﹣r，
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令r＝6，则＝7，解得a＝1．
故答案为：1．
6．（4分）
已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为 2 ．
【解答】
解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，
其渐近线方程为：y＝±ax，
又有其渐近线方程是y＝±2x，
则有a＝2；
故答案为：2．
7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4
，则＝ ．
【解答】解：在△ABC中，∵a＝2，b＝3，c＝4，
∴cosA
＝
＝，可得：sinA＝
＝，
cosB
＝
＝，sinB＝
＝，
∴
＝
＝
＝．
另法：
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直
线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是 [0，5] ．
【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值
＝5，
直线l过P时，d取得最小值0，
∴d的取值范围[0，5]，
故答案为[0，5]．
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9．（5分）函数f（x
）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x
1、
x
2、x
3、x
4，则x
1+x
2+x
3+x
4＝ 4 ．
【解答】解：作出函数f（x
）＝的图象，
方程f（x）＝b有四个不同的实数解，
等价为y＝f（x）和y＝b的图象有4个交点，
不妨设它们交点的横坐标为x
1、x
2、x
3、x
4，
且x
1＜x
2＜x
3＜x
4，
由x
1、x
2关于原点对称，x
3、x
4关于（2，0）对称，
可得x
1+x
2＝0，x
3+x
4＝4，
则x
1+x
2+x
3+x
4＝4．
故答案为：4．
10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2
的等腰三角形，则主视图的面积等于 ．
【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，
（如图：SAB，SBC，SAC）
