2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)
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2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)
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2017年上海市虹口区高考数学一模试卷
一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）
1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=
．
2．已知，则复数z的虚部为 ．
3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α= ．
4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是 ．
5．数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则= ．
6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的 条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．
7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于 ．
8．若正项等比数列{an}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为 ．
9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 ．
10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是 ．
11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 ．
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20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；
（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．
21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{an}的首项a1=a．
（1）如果an=f（n）（n∈N*），写出数列{an}的通项公式；
（2）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{an}是等差数列，求首项a的取值范围；
（3）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{an}的前n项和Sn．
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2017年上海市虹口区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）
1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=
{2，4，8} ．
【考点】交集及其运算． 【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．
【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，
∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，
∴A∩B={2，4，8}．
故答案为：{2，4，8}．
2．已知，则复数z的虚部为 1 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．
【解答】解：由，
得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，
则z=3+i．
∴复数z的虚部为：1．
故答案为：1．
3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α= 0 ．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．
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【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，
∴sinα﹣cosα=1，
∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，
∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．
故答案为：0．
4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是 ．
【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．
【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．
【解答】解：由题意，方程组
解之得 故答案为
5．数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则=
．
【考点】数列的极限．
【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．
【解答】解：数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn==n2．an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
则==
故答案为：；
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6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的 充分不必要 条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．
【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），
若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；
而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；
因此由p可以推得q成立，由q推不出p，
可见p是q的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于 6 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．
【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，
焦点坐标为F（c，0），
则焦点到其渐近线的距离d===b=2，
则c====3，
则双曲线的焦距等于2c=6，
故答案为：6
8．若正项等比数列{an}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为 2 ．
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【考点】等比数列的性质．
【分析】利用数列{an}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．
【解答】解：∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，
∴a3a5=a42，
∵等比数列{an}各项均为正数，
∴a3+a5≥2，
当且仅当a3=a5=2时，取等号，
∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．
故答案是：2．
9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．
【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为： =8，
∵a2=b2+c2，∴c==2，
∴椭圆的焦距为；
故答案为：4．
10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式
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的展开式中含x2项的系数是 60 ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果
【解答】解：由函数f（x）=，
当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，
此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，
∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，
∴Tr+1=C6r2rxr，
当r=2时，系数为C62×22=60，
故答案为：60
11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 42或22 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知： =41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．
【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，
过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，
当M（20，40）位于抛物线内，
∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，
当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，
由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，
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当M（20，40）位于抛物线外，
当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值， 即=41，解得：p=22或58，
由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，
故答案为：42或22．
12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是 [，+∞） ．
【考点】圆方程的综合应用．
【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a
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的取范围．
【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，
可设x=cosθ，y=sinθ，
则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2； ∴﹣≤x+2y≤，
∴当a≥时，
|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；
∴实数a的取范围是[，+∞）． 故答案为：．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）
A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行
B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直
C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直
D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．
【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，故不正确．
故选A．
14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
