上海市浦东新区2017届高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B= ．

2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是 ．

3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为

．

4．抛物线的焦点和准线的距离是 ．

5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y= ．

6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为 ．

7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是

．

8．函数，的单调递减区间是 ．

9．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，则= ．

10．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x）﹣f（2﹣x）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f（x）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 ．

11．已知各项均为正数的数列{an}满足（2an+1﹣an）（an+1an﹣1）=0（n∈N*），且a1=a10，则首项a1所有可能取值中最大值为

．

12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为

．

二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.

13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（ ）

A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段

14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：

则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）

A．（1）（3）（4） B．（2）（4）（3） C．（1）（3）（2） D．（2）（4）（1）

15．已知2sinx=1+cosx，则=（ ）

A．2 B．2或 C．2或0 D．或0

16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（ ）

A．（3，8） B．（2，16） C．（4，8） D．

三、解答题（共5小题，满分80分）

17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．

（1）求D，C两点在球O上的球面距离；

（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．

18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．

（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．

（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．

方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；

方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．

19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．

（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；

（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．

20．（16分）若数列{An}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且An≠0，则称数列{An}为“k级创新数列”．

（1）已知数列{an}满足且，试判断数列{2an+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；

（2）已知正数数列{bn}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{bn}的前n项积Tn；

（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{cn}的通项，求证：cn+2=cn+1+cn，n∈N*．

21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．

（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；

（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；

（3）证明：f（x）是奇函数．

2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B= [2，4） ．

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．

【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），

集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），

则A∩B=[2，4），

故答案为：[2，4），

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．

2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是 1 ．

【考点】QH：参数方程化成普通方程．

【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．

【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，

∴直线l在y轴上的截距是1．

故答案为1．

【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．

3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为

8π ．

【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．

【解答】解：由题意，底面的半径r=2，

∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，

故答案为：8π．

【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．

4．抛物线的焦点和准线的距离是 2 ．

【考点】K8：抛物线的简单性质．

【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．

【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y

∴抛物线开口向上，满足2p=4

∵=1，焦点为（0，）

∴抛物线的焦点坐标为（0，1）

又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1

∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2

故答案为：2

【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．

5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y= 5 ．

【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．

【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．

【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，

则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5， ∴3x﹣y=5，

故答案为：5．

【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．

6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为 9 ．

【考点】BC：极差、方差与标准差．

【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．

【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，

设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2

有1=

∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9

故答案为：9．

【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．

7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是 0.98 ．

【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．

【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．

【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，

甲、乙两人各向A目标射击一次，

射手甲或射手乙击中A目标的概率：

p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98． 故答案为：0.98．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．

8．函数，的单调递减区间是 ．

【考点】H5：正弦函数的单调性．

【分析】函数=﹣sin（x﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．

【解答】解：由函数=﹣sin（x﹣），

令x﹣，k∈Z

得： +2kπ≤x≤，

∵，

当k=0时，可得单调递减区间为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．

9．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，则= ．

【考点】8J：数列的极限．

【分析】先表示出Sn，an，即可求出极限的值．

【解答】解：由于数列{an}是公差为2的等差数列，Sn是{an}的前n项和，

则Sn=na1+n（n﹣1）•2=n（n+a1﹣1），

an=a1+（n﹣1）•2=2n+a1﹣2，