2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷(解析版)
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2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每
题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1．（4分）函数y＝的定义域是 ．
2．（4分）若关于x，y
的方程组有无数多组解，则实数a＝ ．
3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ．
4．（4分）已知复数z
1＝3+4i，z
2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t
等于 ．
5．（4
分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值
范围是 ．
6．（4分）设变量x，y
满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为 ．
7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若
圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是 ．
8．（5分）
已知向量，，
如果
∥，
那么
的值为 ．
9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直
角三角形的概率是 ．
10．（5分）若将函数f（x
）＝
的图象向左平移个单位后，所
得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ．
11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的
体积V的取值范围是
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12．（5分）对于数列{a
n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a
n+T＝a
n成立，则称数
列{a
n}是以T为周期的周期数列．设b
1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有
若数列{b
n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以
是 ．（只要求填写满足条件的一个m值即可）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．（5分）下列函数中，周期为π
，且在上为减函数的是（ ）
A
． B
．
C
． D
．
14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A．9π B．10π C．11π D．12π
15．（5
分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近
线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（ ）
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．4x±3y＝0 D．3x±4y＝0
16．（5分）如图所示，∠BAC
＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P
是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（ ）
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A． B． C．
D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤．
17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A
1B
1C
1中，AA
1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分
别是A
1B
1，CC
1，BC的中点．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．
18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC，acosA，ccosB成
等差数列．
（1）求角A的大小；
（2）若，b+c＝6
，求的值．
19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且
这些情形发生的概率分别为p
1，p
2，…，p
n，则称H＝f（p
1）+f（p
2）+…f（p
n）（其中f
（x）＝﹣xlog
ax，x∈（0，1）
）为该条信息的信息熵．已知．
（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选
中”的信息熵的大小；
（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A
1，A
2，…，A
n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1
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时，选手A
k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．
20．（16分）设椭圆M
：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点
，且AP⊥PO．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k
1，k
2的直线交椭圆M于D，E两点，且k
1k
2＝1，求证：
直线DE恒过一个定点．
21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）
+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．
（1）试判断函数
与是否是“L函数”；
（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都
有．
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2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每
题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1．（4分）函数y＝的定义域是 [0，2] ．
【解答】解：要使函数有意义需
2x﹣x2≥0
解得0≤x≤2
故答案为：[0，2]
2．（4分）若关于x，y
的方程组有无数多组解，则实数a＝ 2 ．
【解答】解：根据题意，若关于x，y
的方程组有无数多组解，
则直线ax+y﹣1＝0与直线4x+ay﹣2＝0重合，
则有
＝
＝，
解可得a＝2，
故答案为：2．
3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ﹣1 ．
【解答】解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不
充分条件，
知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，
反之不成立．
则a的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
4．（4分）已知复数z
1＝3+4i，z
2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t
等于 ．
【解答】解：∵z
1＝3+4i，z
2＝t+i， ∴＝（3+4i）（t﹣i）＝3t+4+（4t﹣3）i， ∵是实数，
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∴4t﹣3＝0，得t
＝．
故答案为：．
5．（4
分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值
范围是 ．
【解答】解：∵函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的减函数，
∴0＜a＜1，且3a﹣0≥a0+1＝2，
∴≤a＜1．
故答案为：．
6．（4分）设变量x，y
满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为 ﹣4 ．
【解答】
解：由约束条件作出可行域如图所示，
，
联立方程组，解得B（3，2），
化目标函数z＝﹣2x+y为y＝2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为z＝﹣2×3+2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
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7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若
圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是 [3，7] ．
【解答】解：∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，
∴圆心C（4，3），半径r＝2；
设点P（a，b）在圆C上，则
＝（a+m，b）
，＝（a﹣m，b）；
∵∠APB＝90°，
∴（a+m）（a﹣m）+b2＝0；
即m2＝a2+b2；
∴|OP|＝，
∴|OP|的最大值是|OC|+r＝5+2＝7，最小值是|OC|﹣r＝5﹣2＝3；
∴m的取值范围是[3，7]．
故答案为[3，7]．
8．（5分）
已知向量，，
如果
∥，
那么
的值为 ．
【解答】
解：∵向量，
，
∥，
∴cos
（+α）•4﹣1•1＝0，求得cos
（+α
）＝，
即sin
（
﹣﹣α
）＝，即sin
（﹣α
）＝，
∴＝1﹣
2＝1﹣2
•
＝，
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故答案为：．
9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直
角三角形的概率是 ．
【解答】解：∵任何三点不共线，∴共有＝56个三角形．
8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，
所以构成直角三角形的概率为
＝，
故答案为．
10．（5分）若将函数f（x
）＝
的图象向左平移个单位后，所
得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ．
【解答】解：∵将函数f（x
）＝
的图象向左平移个单位后，
所得图象对应的函数解析式为：
f（x）＝|sin[ω（x
+
）﹣]|＝|sin[ωx+
（
﹣）]|，
∵当
﹣
＝时，即ω＝6k
+时，
f（x）＝|sin（ωx
+）|＝|﹣cos（ωx）|＝|cos（ωx）|，f（x）为偶函数．
∵ω＞0，
∴当k＝0时，ω
有最小值．
故答案为：．
11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的
体积V的取值范围是 （0，]
【解答】解：∵AP+AC＝4，
