一类新弱化缓冲算子的构造

第一章灰色系统的概念与基本原理1.1 灰色系统理论的产生于发展动态1.1.1 灰色系统理论产生的科学背景1、在系统研究中，由于内外扰动的存在和认识水平的局限，人们得到的信息往往带有某种不确定性。

随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，对不确定性系统的研究也日益深入。

邓聚龙于80年代创立的灰色系统理论。

2、中国学者邓聚龙在1982年创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。

3、灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。

1.1.2 灰色系统理论的产生与发展动态1、灰色系统理论的产生——1982年，北荷兰出版公司的《系统与控制通讯》（Systems & Control Letters）杂志刊载了我国学者邓聚龙的第一篇灰色系统系统论文“灰色系统的控制问题”（The control problem of grey systems）；同年，《华中工学院学报》刊载了邓聚龙的第一篇中文灰色系统论文“灰色控制系统”。

这两篇开创性论文的公开发表，标志着灰色系统理论的问世。

1.1.3 不确定性系统的特征与科学的简单性原则1、信息不完全、不准确是不确定性系统的基本特征。

2、系统演化的动态特性、人类认识能力的局限性和经济、技术条件的制约，导致不确定性系统的普遍存在。

3、信息不完全是不确定性系统的基本特征之一。

信息不完全是绝对的，信息完全则是相对的。

4、概率统计中的“大样本”，实际上表达了人们对不完全的容忍程度。

通常情况下，样本量超过30即可视为“大样本”。

5、不确定性系统的另外一个基本特征是数据不准确。

从不准确产生的本质来划分，又可分为概念型、层次型和预测型三类：（1）概念型。

概念型不准确源于人们对某种事物、观念或意愿的表达，如人们通常所说的“大”、“小”、“多”、“少”、“高”、“低”、“胖”、“瘦”、“好”、“差”以及“年轻”、“漂亮”、“一堆”、“一片”、“一群”等，都是没有明确标准的不准确概念，难以用准确的数据表达。

灰色系统理论及其应用第一章灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。

1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。

目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。

国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。

灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。

1.2几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。

其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。

也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。

模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。

比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。

概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。

要求大样本，并服从某种典型分布。

灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。

如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。

1.3灰色系统理论的基本概念定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。

一、引言在今天的文章中，我们将探讨如何利用调和平均数构造灰色缓冲算子。

灰色系统理论是一种针对不完全信息和不确定性问题的数学工具，而调和平均数是灰色系统理论中常用的运算工具。

通过构造灰色缓冲算子，我们可以更好地处理不完全信息和不确定性问题，为系统分析和决策提供更可靠的依据。

二、灰色系统理论概述灰色系统理论是由我国科学家黄锡凌教授于1982年提出的，它是一种研究不完全信息系统的理论工具。

在灰色系统理论中，常常需要对不完全信息进行分析和处理，以求得对系统行为和发展趋势的预测和决策支持。

灰色理论充分考虑了不完全信息和不确定性对系统分析和决策的影响，因而具有较强的实用性和适用性。

三、调和平均数的概念与运用调和平均数是数学中常用的一种平均数，它被广泛应用在各种领域的数据分析和处理中。

调和平均数的计算方法是将一组数的倒数取平均后再取倒数，它对特殊值具有较强的抑制作用，因此对于数据中的异常值处理和稳健性分析具有重要意义。

在灰色系统理论中，调和平均数常常用于处理不完全信息和不确定性数据，尤其在系统评价、风险分析和预测模型建立中发挥着重要作用。

通过利用调和平均数，我们可以更好地处理数据的不确定性和多样性，提高系统分析和预测的准确性和可靠性。

四、利用调和平均数构造灰色缓冲算子在灰色系统理论中，灰色缓冲算子是一种重要的系统分析工具，它可以有效地消除系统数据中的噪声和异常值，提高模型的稳定性和可靠性。

利用调和平均数构造灰色缓冲算子的关键在于寻找数据序列中的基准数据，并通过调和平均数的操作对数据进行平滑处理。

在构造灰色缓冲算子时，我们可以首先利用调和平均数对数据序列进行平滑处理，然后再根据平滑后的数据构造灰色缓冲算子模型。

这样可以有效地提高模型对系统数据的适应性和鲁棒性，从而更好地支持系统分析和预测决策。

五、个人观点与总结在我看来，利用调和平均数构造灰色缓冲算子是一种具有较高实用价值的方法。

通过对不完全信息和不确定性数据的处理，我们可以更好地分析和预测系统的行为和发展趋势，为决策提供更可靠的支持。

几类新型无穷维矩阵Hamilton算子的一般化构造杜鹃;任文秀;霍晓霞【摘要】利用无穷维Hamilton算子的验证方法,推导出三种形式的矩阵Hamilton算子的判别条件,进而利用这些条件构造出六类新型Hamilton算子,同时说明了结论的正确性和一般性.最后,对于在形式化过程中未实现的算子做了分析,并对未来工作做了展望.【期刊名称】《内蒙古工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(037)001【总页数】7页(P7-13)【关键词】微分形式;判别条件;一般化;无穷维矩阵Hamilton算子【作者】杜鹃;任文秀;霍晓霞【作者单位】内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051;内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051;内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言20世纪70年代,F.Magrin[1],Vinogradov[2]等人首次提出无穷维Hamilton系统的概念.后来,Gel’fand,Dorfman,Olver等人[3-5]做了进一步的探索.无穷维Hamilton系统在数学、物理、力学、控制、工程等领域都有广泛应用,因此将发展方程(组)平移到该体系下具有重要研究价值.而该系统的结构性质取决于其所对应的Hamilton算子.因此,无穷维Hamilton算子是一个重要的科研方向,可用于研究发展方程的对称、守恒律、双Hamilton系统等问题[6-9],而这些都离不开对Hamilton算子的验证.然而,该问题的难点在于雅克比恒等的证明,所以人们一般采用比较简单等价证明方法,即微分形式的语言:prvD θ(Θ)=0(1)由于Hamilton算子种类繁多,为了避免重复繁琐的证明过程,考虑将其形式化具有重要意义.例如,Cooke[10]用该方法构造出三阶和五阶标量Hamilton算子的一般式.贾[11]用同样的方法构造并分别证明了三种形式的矩阵Hamilton算子,但类型比较少,而且缺乏一般化.因此本文将对矩阵Hamilton算子做进一步探讨.主要构造了如下三种形式的候选矩阵Hamilton算子采用同样的方法分别得出使其成为Hamilton算子对应的判定条件,这是本文的关键.对于二阶算子D0,利用判定条件构造出四个类型的矩阵Hamilton算子,如分离变量型、指数型、幂型等,并用具体实例加以说明构造的意义.对于三阶算子K0,J0,推导出T,L满足的条件,从而构造出新型Hamilton算子,并对于在一般化过程中遇到的不能成为Hamilton算子的类型做了讨论,最后做了一些展望.1 本文主要结果本节首先给出与本文相关的公式及符号约定,然后分别将二、三阶矩阵Hamilton 算子形式化,并给出判别条件,从而构造出新型Hamilton算子,并对结论进行了验证.1.1 符号约定本节介绍的公式、符号类同文献[4],具体如下:第一,如果不做特殊声明,本文中出现的任何形如f(u,v)的函数都用f记;第二,延拓算子是对应于u=(u1,u2,…)T的单位向量;第三,标量Hamilton算子f Dx+Dx·f与f Dx·f具有等价性.1.2 二阶矩阵Hamilton算子的构造本小节主要将二阶矩阵Hamilton算子形式化.具体结论如下:命题1 若二阶矩阵微分算子具有以下形式且满足下面条件其中H=h1+h2,则D0一定是Hamilton算子.证明首先,由于算子D0满足下式故算子D0为斜伴随算子.其次,令θ=(θ,ξ)T是对应于变量u=(u,v)T的单位向量.算子D0对应的泛函双向量为通过计算D0θ并约定D0θ=(θ*,ξ*)T可得所以因为对于任意的函数M=M(u,v,ux,vx)其中,从而prvD0θ(Θ)=(fuH+2fvg-f Hu-HvH+Tuf+TvH)ξx∧θ∧θx+(HuH+Hvg-2guf-gvH+TuH+Tvg)ξx∧ξ∧θx}dx,其中T=h2-h1.令上式中三向量ξx∧θ∧θx,ξ∧θ∧θx,ξ∧θ∧ξx,ξx∧ξ∧θx的各系数为零,整理即得(a)-(d),从而prvD0θ(Θ)=0因此D0为Hamilton算子.命题得证.通过观察(a)-(d),由f,g,h1,h2的不同情形构造如下几个类型的Hamilton算子.型1 若算子D1具有以下形式且满足fu=hv,fv=hu则D1一定是Hamilton算子.证明在算子D0中,令f=g=f,h1=h2=h便得到算子D1.然后分别代入等式(a)-(d)的左边并整理得2h(fu-hv)+2f(fv-hu),h′(fu-hv)+f′(fv-hu),h′(hu-fv)+f′(hv-fu),2h(hu-fv)+2f(hv-fu),显然,条件(a)-(d)成立当且仅当fu=hv,fv=hu.由命题1可知D1为Hamilton算子. 特别地,由型1可得出如下结论:结论1 若算子D11具有以下形式其中fv=hu,则D11一定是Hamilton算子.结论2(分离变量型) 若算子D12具有以下形式其中,P=P(u),Q=Q(v),Pu=Qv,则D12一定是Hamilton算子.令结论2中P=u,Q=v,即为文[4]中当σ=1时,多变气体动力学方程所对应的一个Hamilton算子.根据命题1,还可以构造出如下类型的Hamilton算子,篇幅所限,这里不再给出证明. 型2(指数型) 若算子D2具有以下形式ki(i=1,2,3)为常数,则D2一定是Hamilton算子.特别地,令型2中的k1=k3=0,k2=1,即为文[12]中水动力系统所对应的一个Hamilton算子.型3(幂型) 若算子D3具有以下形式λ,ki(i=1,2,…,5)为常数,则D3一定是Hamilton算子.特别地,令型3中的k1=k3=1,λ=γ-2,其余常数为零,即为文[5]中气体动力学方程所对应的一个Hamilton算子.型4 若算子D4具有以下形式则D4一定是Hamilton算子.型4等价于文[11]中命题6的Hamilton算子,从而验证了该结论的正确性.1.3 三阶矩阵Hamilton算子的构造本小节将两种三阶矩阵Hamilton算子形式化,并给出如下具体结论:命题2 若三阶矩阵微分算子具有以下两种形式或其中T,L是斜伴随算子且分别满足则K0,J0一定是Hamilton算子.证明首先,故K0为斜伴随算子当且仅当T*=-T,即T是斜伴随算子.其次,令θ=(θ,ξ,τ)T是对应于变量u=(u,v,w)的单位向量.算子K0对应的泛函双向量为通过计算K0θ并约定K0θ=(θ*,ξ*,τ*)T可得故得从而因此,当时,K0为Hamilton算子.同理可验证,若L满足为Hamilton算子,证明略. 根据以上命题,通过对斜伴随算子T,L的分析,可构造出如下类型的Hamilton算子. 型1 三阶矩阵微分算子或一定是Hamilton算子.证明对于算子K1,这里T=f(w)Dx+Dx·f(w),由命题2,斜伴随性显然.其次,因此,K1为Hamilton算子.同理可证J1为Hamilton算子.型1中的J1是文[13]中非散射Boussinesq方程所对应的一个Hamilton算子的一般化.型2 三阶矩阵微分算子的形式为或其中,P=P(w),Q=Q(u),则K2,J2一定是Hamilton算子.证明对于算子K2,这里由命题2,斜伴随性显然.其次,因此,K2为Hamilton算子.同理可证J2为Hamilton算子.型2中J2与文[11]证明所得的Hamilton算子一致,再次验证了本文结论的正确性.2 结语本文由矩阵Hamilton算子一般化而得出的判别条件具有较重要意义.其一,可以构造出新型Hamilton算子;其二,验证其它同类型的Hamilton算子;其三,对于Hamilton算子对的证明也具有重要意义.原因在于如果算子D,K为Hamilton算子,二者为Hamilton算子对只需验证D+K为Hamilton算子即可.值得注意的是,命题1的判别条件仅仅是一个充分条件,对于一些具体的Hamilton算子并不满足这些条件,如文[12]中的二阶幂型Hamilton算子.本文在构造其它类型三阶Hamilton算子的过程中发现,验证条件(1)往往不能成立.比如下面三种形式对于E1,若斜伴随算子T,L为(P)型时(其中f,P为关于u,v,w的函数),其结果取决于Dx的系数,结果为零当且仅当Dx的系数为常数,即E1是平凡的,没有构造的必要.对于E2,特别地,若A是斜伴随算子,则A=B.相应地,若A也有T,L的如上两种形式,以上结果同样取决于Dx的系数,通过计算发现E2也是平凡的.同理,E3也是.值得一提的是还存在一类形如E=(Γ+ΓT)Dx+Γx的算子(DNLP型算子)[13],得出使其成为三阶矩阵Hamilton算子所满足的条件是构造的难点.今后值得进一步探讨的问题有：第一,其它类型二、三阶矩阵Hamilton算子的一般化问题;第二,高阶情形的一般化构造,如DNLP型;第三,本文所构造的新型矩阵Hamilton算子在Hamilton算子对、守恒律等相关问题上的应用.参考文献:[1] Magrin.A simple model of the integrable Hamiltonianequation[J].Journal of Mathematical Physics,1978,19(5):1156～1162. [2] Vinogradov.Hamiltonian Structures in Field Theory[J].Doklady Akademii Nauk Sssr,1978,19(1):790～794.[3] Gel'Fand I M,Dorfman I Y.Hamiltonian operators and algebraic structures related to them[J].Functional Analysis & ItsApplications,1979,13(4):248～262.[4] Olver P.J.Applications of Lie Groups to DifferentialEquations[M].Springer-Verlag,1999.[5] Olver P.J.Hamiltonian structures for systems of hyperbolic conservation laws[J].Journal of Mathematical Physics,1988,29(7):1610～1619.[6] 额布日力吐.无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性及其在弹性力学中的应用[D].内蒙古大学,2011.[7] Wei F H,Alatancang,Huang J J.A Class of Infinite Dimensional Hamilton Operators with Finite Algebra Ascent[J].Journal of Inner Mongolia University,2012.[8] 闫利君,吴德玉,阿拉坦仓.一类无穷维Hamilton算子的谱[J].数学的实践与认识,2016,46(10):242～247.[9] 海国君,阿拉坦仓.某类无穷维Hamilton算子的Moore-Penrose可逆性[J].数学杂志,2017,37(2):358～364.[10] Cooke.Classification results and the Darboux theorem for low-order Hamiltonian operators[J].Journal of Mathematical Physics,1991,32(1):109～119.[11] 贾利东,任文秀,张育红.特殊无穷维矩阵Hamilton算子的探讨[J].内蒙古工业大学学报(自然科学版),2014,33(4):246～250.[12] H Gümral,Y Nutku.Multi-hamiltonian structure of equations of hydrodynamic type[J].Journal of Mathematical Physics,1990,31(11):2606～2611.[13] H Gumral,Y Nutku.Bi-Hamiltonian structures of d-Boussinesq and Benney-Lax equations[J].Journal of Physics A GeneralPhysics,1994,27(1):193.。

第１８卷，第２期　中国传媒大学学报自然科学版　２０１１年６月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＯＭＭＵＮＩＣＡＴＩＯＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＣＨＩＮＡ（ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ）　Ｖｏ１．１８．Ｎｏ．２　

Ｊｕｎｅ，２０１１　

基于灰色系统理论的互联网人数预测研究　武艳辉，吴正朋，李梅　（中国传媒大学应用数学系，北京１０００２４）　

摘要：在灰色系统缓冲算子公理体系下，利用反函数定理，构造了２类新弱化缓冲算子，并将其与党氏弱化缓冲算　子进行比较，论证了党氏弱化缓冲算子为新算子的特例，研究了其特性及各种弱化缓冲算子之间的内在关系，从而　大大地拓广了弱化缓冲算子的应用范围。对序列前一部分增长（衰减）速度过快，而后一部分增长（衰减）速度过　慢的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题，提供了多种　解决方案，首次将缓冲算子的构造与函数联系起来，从而为缓冲算子的构造开辟了新方向。　关键词：弱化缓冲算子；灰色系统；反函数定理　中图分类号：Ｎ９４文献标识码：Ａ文章编号：１６７３—４７９３（２０１１）０２—００５４—０６　

Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｐｅｒｓｏｎ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ　ｏｆ　ｗｗｗ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｇｒｅｙ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｔｈｅｏｒｙ　

ＷＵ　Ｙａｎ－ｈｕｉ，ＷＵ　Ｚｈｅｎｇ－ｐｅｎｇ，ＬＩ　Ｍｅｉ　（Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００２４，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｔｈｅｏｒｉｅｓ　ｏｆ　ｂｕｆｆｅｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｓｅｖｅｒａｌ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ｂｕｆｆｅｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｔｒｉｃｔｌｙ　ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅｒｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ，Ｗｈｉｃｈ　ａｌｌ　ｈａｖｅ　ｔｈｅ　ｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙ．ｗｅ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅｍ　ｔｏ　ｂｅ　ｗｅａｋｅｎｉｎｇ　ｂｕｆｆｅｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｑｕａｎｔｉａｔｉｖｅ　ｆｏｒｅｃａｓｔ　ｉｎ　ｐｒｅｔｒｅａｔｍｅｎｔ　ｆｏｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄａｔａ　ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ　ｉｓ　ｒｅｓｏｌｖｅｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．　

灰色系统理论及其应用第一章灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。

1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。

1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。

目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。

国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。

灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。

1.2几种不确定方法的比较（系统科学---系统理论）概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。

其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。

也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。

模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。

比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。

概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。

要求大样本，并服从某种典型分布。

灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。

如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。

三种不确定性系统研究方法的比较分析项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列算子频率统计截集数据要求任意分布典型分隶属度可布知侧重点内涵内涵外延认知表达目标现实规律历史统计规律特色小样本大样本凭经验1.3灰色系统理论的基本概念定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。