《根与系数的关系》同步测试题

《根与系数的关系》同步练习1一、填空：1、已知方程0132=+-x x 的两根是21,x x ，则：=+21x x ，21x x = ，2、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的值是 .3、若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．4、已知一元二次方程 2 x 2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，,c= .二、选择1、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( )（A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ）0≠mn2、两根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2+21x+5=0B.6x 2-13x-5=0C.7x 2-12x+5=0D.2x 2+15x-8=03、已知方程22x x -=，则下列说中，正确的是 （ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积是两根和的2倍4、已知方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值可以是（ ）（A ） —1 （B ） 1 （C ） 5 （D ） 以上三个中的任何一个5、已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是2-，则这个方程是（ ）（A ）0232=-+x x （B ）0232=++x x （C ）0232=--x x （D ）0232=+-x x 三、解答题1、 如果方程062=--bx ax ①与方程01522=-+bx ax ②有一个公共根是3，求a ,b 的值，并求方程的另一个根.2、已知关于x的方程( a2– 3 ) x2– ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数，求a的值.3、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。

《根与系数的关系》同步练习1一、填空：1、已知方程0132=+-x x 的两根是21,x x ，则：=+21x x ，21x x = ，2、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的值是 .3、若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．4、已知一元二次方程 2 x 2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，,c= .二、选择1、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( )（A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn2、两根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2+21x+5=0B.6x 2-13x-5=0C.7x 2-12x+5=0D.2x 2+15x-8=03、已知方程22x x -=，则下列说中，正确的是 （ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积是两根和的2倍4、已知方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值可以是（ ）（A ） —1 （B ） 1 （C ） 5 （D ） 以上三个中的任何一个5、已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是2-，则这个方程是（ ）（A ）0232=-+x x （B ）0232=++x x （C ）0232=--x x （D ）0232=+-x x三、解答题1、 如果方程062=--bx ax ①与方程01522=-+bx ax ②有一个公共根是3，求a ,b 的值，并求方程的另一个根.2、已知关于x 的方程 ( a 2 – 3 ) x 2 – ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数，求a 的值.3、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。

浙教版八年级下 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．52．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣13．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,14．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．135．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或76．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣17．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣1510．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝,x1•x2＝．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．答案与解析一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5【解析】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为﹣＝﹣＝6,故选：B．2．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,∴x1x2＝﹣1．故选：D．3．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,1【解析】解：设方程的另一个根为t,根据题意得2+t＝﹣p,2t＝﹣2,解得t＝﹣1,p＝﹣1．故选：C．4．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．13【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝﹣2,所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．5．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或7【解析】解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,∴4a2﹣14a+6a＝0,解得a＝0或a＝2,∴当a＝0时,方程为x2﹣7x＝0,∵x1＝0,∴x2＝7；当a＝2时,x2﹣7x+12＝0,∵x1＝4,∴x2＝7﹣4＝3,故选：C．6．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1【解析】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0,解得a＜3,根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1）,x1x2＝a2﹣a﹣2,∵x12+x22﹣x1x2＝16,∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16,即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16,整理得a2﹣5a﹣6＝0,解得a1＝﹣1,a2＝6,而a＜3,∴a的值为﹣1．故选：B．7．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【解析】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根,∴m2+m﹣2021＝0,∴m2+m＝2021,∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n,∵m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,∴m+n＝﹣1,∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．故选：B．8．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,∴,∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时,有a﹣b+1＝0,此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时,有a+b+1＝0,此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0,∴a+1≠﹣（a+1）,∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15【解析】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,∴α2+3α＝6,由根系数的关系可知：α+β＝﹣3,∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15故选：B．10．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2【解析】解：设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为a、b,根据根与系数的关系得a+b＝m,ab＝1,而|a﹣b|＝2,∴（a﹣b）2＝4,∴（a+b）2﹣4ab＝4,∴m2﹣4×1＝4,解得m＝±2,∵Δ＝m2﹣4＞0,∴m的值为2或﹣2．故选：D．二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝2,x1•x2＝﹣．【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,∴a＝2,b＝﹣4,c＝﹣5,∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2,x1•x2＝＝﹣,故答案为：2,﹣．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝2．【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝1,所以x1+x2﹣x1•x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是4．【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,设另一根为a,∴﹣1+a＝3,解得：a＝4,则另一根为4．故答案为：4．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是3．【解析】解：∵a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3,ab＝﹣1,∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3,故答案为：3．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是﹣2或﹣．【解析】解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2,x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0,x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0,（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0,∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．①如果x1﹣2＝0,那么x1＝2,将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0,得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0,整理,得k2+4k+4＝0,解得k＝﹣2；②如果x1﹣x2＝0,则Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．解得：k＝﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程x2﹣7x+2＝0．【解析】解：∵小明看错了一次项系数b,∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c,∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7,∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【解析】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,∴m+n＝,mn＝﹣,∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．【解析】解（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×1⋅m＝m2+4,∵无论m为何值时m2≥0,∴m2+4≥4＞0,即Δ＞0,所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个实数根x1,x2∴x1+x2＝m+2,x1x2＝m．∵,∴（m+2）2﹣2m＝16+m,即m2+m﹣12＝0,解得：m＝﹣4或m＝3∴实数m的值为﹣4或3．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．【解析】解：（1）由题意△≥0,∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0,∴m≤2；（2）当m＝1时,方程为x2+x﹣1＝0,则x1+x2＝﹣1,x1x2＝﹣1,x12+x1＝1,x22﹣1＝﹣x2,∴（x12+2x1）（x22﹣2）＝（1+x1）（﹣x2﹣1）＝﹣x1x2﹣1﹣x1﹣x2＝1﹣1﹣（﹣1）＝1．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×（t﹣2）＝（t﹣3）2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根；（2）解：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0,（x﹣t+2）（x﹣1）＝0,解得x1＝t﹣2,x2＝1,∵方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,∴t﹣2＝3×1,解得t＝5；或3（t﹣2）＝1,解得t＝（舍去）．故整数t的值为5．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为x2﹣x﹣2＝0．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．【解析】解：（1）设原方程的根为x 1,x2,则新方程的根为﹣x1,﹣x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣2,所以﹣x1+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣1×（﹣1）＝1．（﹣x1）•（﹣x2）＝x1x2＝﹣2,所以所求新方程为x2﹣x﹣2＝0；故答案为x2﹣x﹣2＝0；（2）设原方程的根为x1,x2,则新方程的根为,,因为x1+x2＝,x1•x2＝﹣,所以+＝＝＝﹣3,•＝＝＝﹣2,所以所求新方程为x2+3x﹣2＝0．。

苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣22．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣63．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．94．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．36．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为；12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为．14．当整数m＝时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝．18．方程的整数解有组．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣2【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）和x1x2的值，再把所求代数式化为两根和与两根积的式子即可求得答案．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，则原式＝x1x2﹣2x1﹣2x2+4＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（﹣1）+4＝﹣1+2+4＝5，故选：C．【点评】本题主要考查根与系数的关系，把所求代数式化为两根和与两根积的形式是解题的关键．2．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣6【分析】运用一元二次方程根的判别式，确定m与n的关系，结合已知求出．【解答】解：由求根公式可知当一元二次方程根为有理根时判别式的算术平方根比为有理数，△＝（m+1）2+4×2×（3m2﹣4m+n）＝25m2﹣30m+1+8n，要使对任意有理数m，均为有理数，△必须是m的完全平方式，此方程必定有两个相等的根．∴△＝302﹣4×25×（1+8n）＝0，解得n＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及数的规律，有一定综合性．3．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．9【分析】先对原方程进行变形，将其转化为a与b的函数关系式，然后根据自变量b的取值范围来确定a的取值．【解答】解：由a+8b﹣2b2＝7，得a＝2（b﹣2）2﹣1，∵1≤b≤4，∴﹣1≤b﹣2≤2，∴﹣1≤2（b﹣2）2﹣1≤7，即﹣1≤a≤7，∴a可取的整数值有：﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7共9个．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识点，在解答此题时，首先将a转化成关于b的一元二次方程的关系式，然后再根据定义域来确定值域．4．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个【分析】求得和为﹣5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．【解答】解：∵﹣5+0＝﹣5；﹣4+（﹣1）＝﹣5；﹣3+（﹣2）＝﹣5；1+（﹣6）＝﹣5；2+（﹣7）＝﹣5；3+（﹣8）＝﹣5；4+（﹣9）＝﹣5…∴p＝﹣5×0＝0或﹣4×（﹣1）＝4或﹣3×（﹣2）＝6或1×（﹣6）＝﹣6或2×（﹣7）＝﹣14；或3×（﹣8）＝﹣24；或4×（﹣9）＝﹣36…．故选：D．【点评】本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数．5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用已知条件将方程变形，整理为平方差形式，分析两数相乘所有的可能．【解答】解：∵，可变形为：（x﹣7）（y﹣7）＝49∵x，y为整数，当x＝14时，y＝14，当x＝8时，y＝56，当x＝56时，y＝8，∴其他数据都在不符合要求，符合要求的只有三组．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程的解法，整理为整式方程后再进行分析解决，题目比较简单．6．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零【分析】首先把方程变形2007（x+a）＝﹣2008b，根据b＞0可得x+a＜0，进而得到x＜﹣a，再根据方程有正整数解可得：﹣a＞1，即有a＜﹣1，继而得到ab＜0．【解答】解：原方程可化为：2007（x+a）＝﹣2008b，∵b＞0，∴﹣2008b＜0，∴x+a＜0，∴x＜﹣a，若方程有正整数解，则须使得：﹣a＞1，即有：a＜﹣1，∴ab＜0故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程整数根的解法，以及整数的奇偶性，题目比较简单．二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝﹣．【分析】由α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，可得α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，根据根与系数的关系，求出α2+β2，代入变形后的代数式得结果．【解答】解：∵实数α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，∴实数α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，∴α+β＝3，α•β＝﹣11．∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9+22＝31∴+＝＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解决本题的关键是：根据α、β分别满足两个方程而得到α、β是同一个方程的两个根．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为26．【分析】根据韦达定理得a+b＝﹣4，ab＝﹣5，代入a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得．【解答】解：∵方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，∴a+b＝﹣4，ab＝﹣5，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16+10＝26，故答案为：26．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝﹣4．【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，则x1﹣x2＝﹣＝﹣＝﹣4，故答案为：﹣4【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是15．【分析】由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1•x2的值，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2，∴x12+x22﹣x1•x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝32﹣3×（﹣2）＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2018；【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，∴a2+a＝2019，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，故答案为：2018．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此题的关键．12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143＝0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143＝0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）＝39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39＝1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26＝1、5x﹣5a+26＝39联立解得a＝2.8不符合，②当5x﹣26＝39、5x﹣5a+26＝1联立解得a＝18，③当5x﹣26＝3、5x﹣5a+26＝13联立解得a＝8.4不符合，④当5x﹣26＝13、5x﹣5a+26＝3联立解得a＝12.4不符合，∴当a＝18时，方程为5x2﹣90x+325＝0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39＝1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为3，或5，或6，或2．【分析】根据条件|m﹣2|+|m﹣n|＝1，分情况讨论①|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1；②|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0；然后分别可以求出m的值，进而得到n的值，最后分别计算m+n的值．【解答】解：当|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1，∴m＝2，n＝1或n＝3，∴m+n＝3或5．当|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0，∴m＝3或m＝1，n＝m，∴m+n＝6或2．综上，m+n＝3，或5，或6，或2．故答案为：3或5或6或2．【点评】此题主要考查了有理数的绝对值和数学中的分类讨论思想的运用，分类讨论时要考虑全面，此题比较简单，基础性较强．14．当整数m＝1时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．【分析】方程若有解，则方程根的判别式△≥0，求出满足条件的m的取值范围，并求两个解集的公共部分．【解答】解：若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+9＝0，则△＝36﹣36m≥0，解得m≤1，若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，则△＝16m+20≥0，m≥﹣，故﹣≤m≤1，∵m为整数，m＝﹣1，0，1，m＝0时方程mx2﹣6x+9＝0不是一元二次方程，故应舍去，当m＝﹣1时方程mx2﹣6x+9＝0即x2+6x﹣9＝0，解得：x＝﹣3±3，方程的解不是整数，当m＝1时，x2﹣6x+9＝0解得：x1＝x2＝3，两方程的解都为整数，故答案为：m＝1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式等知识点，题目比较典型．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．【分析】首先利用根与系数的关系得出有关x1，x2的方程，利用质数的性质得出方程的解．【解答】解．x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，p+q＝x1x2﹣x1﹣x2＝28，X1＝＝1+，因为两根均为正整数，且29为质数，所以x2＝2 或x2＝30，即方程可化为（x ﹣2）（x﹣30）＝0，∴方程的两根分别为2，30，（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．故填：29．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及质数的性质，题目比较典型．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是a＝b＝c＝m＝0．【分析】先观察，易得a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解，根据（1）可推知b和d具有相同的奇偶性，然后根据若b和d同为奇数与b和d同为偶数两种情况讨论，最终得知只有a＝b＝c＝m＝0一组解．【解答】解：显然，a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解．为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）＝1．由方程（1）可知，6是5n2的约数，因为6与5互质，所以6是n2的约数，从而6是n的约数，进一步5n2有约数36，因此6又是6a2+3b2+c2的约数，即6是3b2+c2的约数，所以3是c2的约数，故可设n＝6m，c＝3d，代入（1）得2a2+b2+3d2＝10m2（2）b2+3d2＝10m2﹣2a2所以b和d具有相同的奇偶性．①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数：式（2）左边被8除的余数为2+1+3＝6或0+1+3+4；式（2）右边被8除的余数为0或2．此时方程（2）无解，从而方程（1）无解．②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数，（2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8，所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m2不能被8整除，m一定为奇数；这样可设a＝2a1﹣1，b＝2b1，d＝2d1，m＝2m1﹣1，其中a1，b1，d1，m1都是正整数，则方程（2）化为2a1（a1﹣1）﹣10m1（m1﹣1）﹣2＝﹣（b12+3d12），10m1（m1﹣1）﹣2a1（a1﹣1）+2＝b12+3d12（3）由于m1（m1﹣1）及a1（a1﹣1）为偶数，则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b1和d1不能同为偶数，否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立，然而b1和d1同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立，于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解．综上讨论知，方程只有一组解a＝b＝c＝m＝0．【点评】此题考查了方程的解的推理过程，体现了探索发现的过程，通过反证法得出矛盾，逐步去掉多余的信息是解题的关键．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝0．【分析】首先根据|a﹣b|+|ab|＝2分情况讨论，可以分成三种情况；（1）|ab|＝0，|a﹣b|＝2；（2）|ab|＝1，|a﹣b|＝1；（3）|ab|＝2，则|a﹣b|＝0再根据条件a、b是整数分别讨论即可．【解答】解：（1）若|ab|＝0，则|a﹣b|＝2则ab之中必有一个为0若a＝0，则|b|＝2，则b＝±2若b＝0，则|a|＝2，则a＝±2∴ab＝0（2）若|ab|＝1，则|a﹣b|＝1∵a、b是整数∴不存在（3）若|ab|＝2，则|a﹣b|＝0∵|a﹣b|＝0∴a＝b又∵|ab|＝2∴不存在综上：ab＝0【点评】此题主要考查了求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，主要根据条件考虑全面，不要漏掉每一种符合条件的情况，此题综合难度较大．18．方程的整数解有4组．【分析】首先将y用x表示，平方后根据已知条件分析各项数据，得出所有的可能．【解答】解：∵，∴＝x＝1998+y﹣2已知x，y为非负整数，所以1998y是个完全平方数，∵1998＝2×3×3×3×37，y＝2×3×37＝222，x＝888 或者y＝2×3×37×2×2＝888，x＝222，0也是整数，0也有平方根．∴整数解有（888，222），（222888，），（0，1998）和（1998，0）共4组．故答案为：4．【点评】此题主要考查了方程整数解的有关知识，以及完全平方数，题目比较简单．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．【分析】先假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为偶数，进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数．【解答】证明：假设a、b、c全为奇数△＝b2﹣4ac≥0有：x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，∴b2﹣4ac＝n2，∴（b﹣n）（b+n）＝4ac，∵若n为偶数，（b﹣n）（b+n）＝奇数×奇数＝奇数≠4ac，∴n只能为奇数，b﹣n为偶数b+n为偶数，∴（b﹣n）（b+n）＝偶数×偶数＝2a×2c（a≤c），即b﹣n＝2a，b+n＝2c，解得：b＝a+c，此时b＝奇数+奇数＝偶数，与原假设矛盾，∴原假设不成立．∴如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数．【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根、整数的奇偶性问题，注意对于不能直接证明的问题，采用反证法往往是一种不错的方法．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）将a+b＝﹣2、ab＝﹣5代入+＝中即可求出结论；（2）将a2+2a＝5、a+b＝﹣2代入a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，∴a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）+＝＝＝﹣；（2）a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系结合一元二次方程的解找出a2+2a＝5、a+b＝﹣2、ab＝﹣5是解题的关键．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．【分析】（1）计算其判别式，由方程根的情况可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可用m表示出两根之和、两根之积，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）＝8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2﹣3，∵x12+x22＝22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）＝6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9＝0，解得m＝1或m＝﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣4k+13≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2﹣3）＝2k2﹣4k+7，∵x12+x22＝23，∴2k2﹣4k+7＝23，解得k＝4，或k＝﹣2，∵k≤，∴k＝4舍去，∴k＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，∵x12+x22＝11，∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，∵k≤，∴k＝4（舍去），∴k＝﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算；（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，∴（2a）2﹣4（a﹣6）×a≥0，a﹣6≠0，解得，a≥0且a≠6；（2）∵x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵x1x2﹣x1＝4+x2，∴x1x2＝4+x2+x1，即＝4+，解得，a＝24．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．【分析】（1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）≥0，解得k≥﹣；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，由+＝﹣可得：2（x1+x2）＝﹣x1x2，∴2（2k+1）＝﹣（k2﹣2），∴k＝0或k＝﹣4，∵k≥﹣，∴k＝0．【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．【分析】首先根据已知条件可得m2﹣1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．【解答】解：∵m2﹣1≠0∴m≠±1∵△＝36（m﹣3）2＞0∴m≠3用求根公式可得：x1＝，x2＝∵x1，x2是正整数∴m﹣1＝1，2，3，6，m+1＝1，2，3，4，6，12，解得m＝2．这时x1＝6，x2＝4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．【分析】由于方程的类型已经确定，则r≠0，由根与系数关系得到关于r的两个等式，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．【解答】解：由题意可得：r≠0时，设方程的整数根为x1，x2，不妨设x1≤x2，由根据系数关系可得：x1+x2＝＝﹣1﹣①，x1x2＝＝3﹣②，②﹣①得：x1x2﹣（x1+x2）＝4，则x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，由x1≤x2得：x1﹣1≤x2﹣1，5＝1×5＝（﹣5）×（﹣1），∴或，解得：或，将上述x1，x2的值代入②得：12＝3﹣或0＝3﹣解得：r＝﹣或，故存在有理数r的值为：﹣或．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？【分析】（1）假设出装卸工作需要小时数，表示出第一人与最后一人所用时间，再由10小时装卸完毕，列出方程；（2）从装卸时间入手列出方程．【解答】解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时．根据题得，解得x＝16（小时）；（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y﹣1）t小时，按题意，得，即（y﹣1）t＝12．解此不定方程得，，，，，即参加的人数y＝2或3或4或5或7或13．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及不定方程的解法，综合性较强．29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．【分析】分别假设方程的根为奇数、偶数、分数，然后将方程变形，得出矛盾，进而根据有理数的概念可判断出方程x2+2px+2q＝0此方程的根是无理数．【解答】解：①首先，方程的根不可能是奇数；若x为奇数，则x2为奇数，而2px+2q是偶数，因此x2+2px+2q取奇数值，不可能是0；②其次，方程的根不可能是偶数；若x为偶数，则x2+2px能被4整除，而这时常数项2q被4除时余2，因此不能满足x2+2px+2q≠0；③最后，方程的根不可能是分数；若x为分数，则x+p也是分数，而方程可以变为（x+p）2＝p2﹣2q，等号右端的p2﹣2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！综上可知，当p，q是两个奇数时，方程x2+2px+2q＝0不可能有有理根，即此方程的根是无理数．【点评】此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识，注意运用假设法解题，得出矛盾，然后判断假设正确与否，有一定难度．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．【分析】根据求根公式可知：x＝＝（2m﹣3）±，根据4＜m＜40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可．【解答】解：解方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0，得，∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数，∴2m+1＝25或49，解得m＝12或24．∴当m＝12时，，x1＝26，x2＝16；当m＝24时，．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解为x＝．要注意根据实际意义进行值的取舍．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．【分析】（1）根据k2﹣2k＝0得出k的值，进而求出x的值；（2）当k2﹣2k≠0进行分析，利用代入消元法求出k的值．【解答】解：（1）当k2﹣2k＝0，即k＝0或k＝2，①若k＝0时，原方程化为4x+8＝0，即x＝﹣2符合题意；②若k＝2时，原方程化为﹣8x+8＝0，则x＝1符合题意；（2）当k2﹣2k≠0，即k≠0且k≠2时，原方程可化为：（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0，解得x1＝，x2＝，将k＝，代入x2＝得x1x2+2x1﹣x2﹣2＝﹣2，∴或或或∴或或或（舍去），或或，解得：k＝1或﹣2或，综上：k的值为1，﹣2，【点评】此题主要考查了一元二次方程整数根的求法和代入消元法解方程，题目难度不大．。

4.6 一元二次方程根与系数的关系综合练习一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、关于的一元二次方程两根互为倒数，那么。

3、关于的方程的两根为，且，那么。

4、是方程的两个根，那么：；；。

5、关于的一元二次方程的两根为和，且，那么；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。

7、是的一根，那么另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。

二、求值题：1、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

3、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

4、两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、关于的一元二次方程〔1〕求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

〔2〕假设这个方程的两个实数根、满足，求的值。

3、假设，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

5、关于的一元二次方程〔〕的两实数根为，假设，求的值。

6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。

答案与提示一、填空题：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韦达定理得：，，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。

3、提示：由于韦达定理得：，，∵，∴，∴，解得：。

4、提示：由韦达定理得：，，；；由，可判定方程的两根异号。

有两种情况：①设＞0，＜0，那么；②设＜0，＞0，那么。

5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。

6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。

7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，∴，∴8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：，，∴2、提示：由韦达定理得：，，∴3、提示：由韦达定理得：，，∴4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。

《一元二次方程的根与系数关系》同步
练习
1．若关于x 的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）
A．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=0
2．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
3．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使
1
1
x
+ 2
1
x
=0成立？则正确的结论是（）
A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在
4．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）
A. 10B．9C．7D．5
5.若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）
A. ﹣10B．10C．﹣6D．﹣1
程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为__________。

1.已知是关于x的方程的两个实根，且，求m的值。

2.
已知是关于x的方程的两个实根，k
取什么值时，。

3. 当k为何值时，一元二次方程
的两实根的绝对值相等，求出与k值相应的实数根。

4.
已知关于x的方程有两个正实根，求k的取值范围。

5．若矩形的长和宽是方程的两根，求矩形的周长和面积。

答案
1. B
2. C
3. A
4. A
5. A
1.
2. －3
3. 时，时，时，
4. （提示：需，两根和大于0，两根积也大于0）。

5．周长，面积6。

一元二次方程的根与系数的关系综合练习一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、关于的一元二次方程两根互为倒数，那么。

3、关于的方程的两根为，且，那么。

4、是方程的两个根，那么：；；。

5、关于的一元二次方程的两根为和，且，那么；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。

7、是的一根，那么另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。

二、求值题：1、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

3、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

4、两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、关于的一元二次方程〔1〕求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

〔2〕假设这个方程的两个实数根、满足，求的值。

3、假设，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

5、关于的一元二次方程〔〕的两实数根为，假设，求的值。

6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。

答案与提示一、填空题：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韦达定理得：，，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。

3、提示：由于韦达定理得：，，∵，∴，∴，解得：。

4、提示：由韦达定理得：，，；；由，可判定方程的两根异号。

有两种情况：①设＞0，＜0，那么；②设＜0，＞0，那么。

5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。

6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。

7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，∴，∴8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：，，∴2、提示：由韦达定理得：，，∴3、提示：由韦达定理得：，，∴4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.-32C.32D.-22.已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<03.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是()A.x2-7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0D.x2-7x-12=04.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为()A.0或2B.-2或2C.-2D.2二、填空题5.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为.6.若关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是.7.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式x12-2x1+2x2的值等于.三、解答题8.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x-11=0;(2)3x2-1=2x2-5x.9.已知方程3x2-x-1=0的两根分别为α,β,求下列各式的值:(1)α2+β2;(2)1α+1β.10.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.11. 已知一直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长.详解详析1.A[解析] 由x2-3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=-3,由根与系数的关系,得x1+x2=-ba =--31=3.故选A.2.A[解析] A项,∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,A项正确.B项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a.∵a的正负不确定,∴B项不一定正确.C项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2<0,C项错误.D项,∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,D项错误.故选A.3.A4.D[解析] ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2, ∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2+2k-4-4=-3,解得k=±2.当k=2时,原方程为x2-x=0,∴Δ=(-1)2-4×1×0=1>0,∴该方程有两个不相等的实数根,∴k=2符合题意;当k=-2时,原方程为x2+3x+4=0,∴Δ=32-4×1×4=-7<0,∴该方程无解,∴k=-2不合题意,舍去.故k=2.故选D.5.-2[解析] ∵a=1,b=-k,c=-2,∴x1·x2=ca=-2.∵关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根为1, ∴另一个根为-2÷1=-2. 故答案为-2.6. m>12 [解析] 设x 1,x 2为关于x 的方程x 2+2x-2m+1=0的两个实数根.由题意,得{Δ>0,x 1x 2<0,即{4-4(1-2m )>0,-2m +1<0, 解得m>12. 故答案为m>12.7.2028 [解析] ∵x 1,x 2是方程x 2-4x-2020=0的两个实数根,∴x 1+x 2=4,x 12-4x 1-2020=0,即x 12-4x 1=2020,则原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028. 故答案为2028. 8.解:(1)a=1,b=-3,c=-11, Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-11)=53>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=3,x 1x 2=-11. (2)原方程可变形为x 2+5x-1=0. a=1,b=5,c=-1,Δ=b 2-4ac=52-4×1×(-1)=29>0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=-5,x 1x 2=-1. 9.解:由根与系数的关系,得α+β=13,αβ=-13. (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=132-2×-13=19+23=79.(2)1α+1β=α+βαβ=13-13=-1.10.解:(1)证明:∵在方程x 2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t 2-6t+9=(t-3)2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根.(2)当t=1时,方程的两个根互为相反数.理由:设方程的两个根分别为m,n.∵方程的两个根互为相反数,∴m+n=t-1=0,解得t=1.∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.11.[解析] 首先根据根的判别式求出k的取值范围,再根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2k;x1x2=k2+3,再根据勾股定理得到x12+x22=52,接着利用完全平方公式变形得到(x1+x2)2-2x1x2=25,则(1-2k)2-2(k2+3)=25,求出k的值,进而求出两条直角边长.解:∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k-1)2-4(k2+3)>0,.∴-4k-11>0,∴k<-114令方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1-2k,x1x2=k2+3.∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5, ∴x12+x22=52,∴(x1+x2)2-2x1x2=25,即(1-2k)2-2(k2+3)=25,∴k2-2k-15=0,解得k1=5,k2=-3.∵k<-11,∴k=-3.4把k=-3代入原方程,得x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.。

根与系数的关系练习题在代数学中，根与系数之间存在着一种密切的关系。

通过练习题的形式，我们可以更好地理解这种关系。

让我们来解答一些关于根与系数的练习题，以加深对这一概念的理解。

假设我们有一个一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c分别是方程的系数，x是方程的根。

我们将通过解答练习题来探索根与系数之间的关系。

练习题一：已知方程2x^2 + 3x + 1 = 0的根为x1和x2，求a、b、c的值。

解答：根据二次方程的性质，我们知道方程的根满足以下关系式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a将已知条件代入上述关系式，我们可以得到：x1 + x2 = -3/2x1 * x2 = 1/2根据以上关系式，我们可以解得：a = 2b = -3c = 1练习题二：已知方程3x^2 + 2x - 5 = 0的根为x1和x2，求a、b、c的值。

解答：同样地，我们可以利用根与系数之间的关系式来解答这个练习题。

根据二次方程的性质，我们有：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a将已知条件代入上述关系式，我们可以得到：x1 + x2 = -2/3x1 * x2 = -5/3通过求解以上关系式，我们可以得到：a = 3b = -2c = -5通过这两个练习题的解答，我们可以观察到根与系数之间的关系。

根据根的值，我们可以推导出方程的系数。

这种关系对于解决二次方程问题非常有用。

然而，需要注意的是，并非所有的方程都可以通过已知的根来唯一确定系数。

例如，对于方程x^2 - 4 = 0，根的取值可以是2或-2。

因此，我们无法仅通过根来确定方程的系数。

在解决方程问题时，我们需要综合考虑根与系数之间的关系以及其他已知条件。

通过这些练习题，我们不仅加深了对根与系数关系的理解，还提醒自己在解决代数问题时要注意综合考虑各种因素。

代数学中的根与系数之间的关系是一个复杂而有趣的主题，通过不断练习和探索，我们可以更好地理解和应用这一概念。