四川省成都石室中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题

成都石室中学2018-2019年度上期高2021届半期考试数学试题（总分：150分，时间：120分钟 ）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1、设全集为R ，集合{}04|2<-=x x A ，{}31|≤<-=x x B ，则A ∩(∁R B )＝( )A ．)0,2(--B ．)1,2(--C ．]1,2(--D ．)2,2(-- 2、下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是( )A ．()2x x f -=B ．()lg ||f x x =C ．1()f x x = D ．1()()2x f x =3、下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =与2()g x =B ．()||f x x =与()g xC ．()ln xf x e =与ln ()xg x e=D ．21()1x f x x -=+与()1g x x =-（1x ≠-）4、函数1()ln()23f x x x =---的零点所在区间为（ ）A ． )3,4(--B ．),3(e -- C. )2,(--e D ．)1,2(--5、函数()f x =( )A ．(1,3]B ．(1,2)(2,3]C ．(1,9]D ．(1,2)(2,9]6、如果函数()0,1x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数()log 1a y x =-+的图象大致是（ ）A B C D7、已知2log 3.47a =，4log 3.67b =，3log 0.31()7c =，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b8、已知幂函数()()2N m f x x m -=∈的图象关于原点对称，且在()0,+∞上是减函数，若()()22132m m a a --+<-，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,3)-B.23(,)32C.3(1,)2-D.23(,1)(,)32-∞-9．已知函数()()1lg 31f x ax a =--(a ≠1)在区间(0,4]上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．3(0,)4B ．3(0,]4C ．()0,1D ．()0,+∞10、已知()12+=x f x ，()x g y =与()x f y =的图像关于原点对称，则=-)21(g （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．011、已知函数()1y f x =-的图象关于1=x 对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的R x ∈恒成立，则a 的范围（ ）A.a <B.1a <C.aD.a >12、设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()[]()2()()10f x a f x --=恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,0 B.(,0)+-∞∞（1，） C.(,0]+-∞∞（1，） D ．(),1(1,0]+-∞--∞（1，）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13、已知角176=-πα，则角α的终边在第 象限。

成都石室中学2018-2019年度上期高2021届半期考试数学试题（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设全集为，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用补集的定义求出集合的补集，利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】，或，又，，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确.对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误.对于,是奇函数，不满足题意，故错误.对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3.下列各组函数中表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与（）【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，判断每组函数的定义域与对应法则是否都相同即可.【详解】对于，由于的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故排除.对于，的定义域为, 的定义域为，定义域相同，但对应关系不相同，所以不是同一函数，故排除.对于，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，故排除.对于，定义域相同，对应法则相同，表示同一函数，故选D.【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的定义域、对应法则是否都相同，二者有一个不同，两个函数就不是同一函数.4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由零点存在性定理，，所以零点所在区间为。

2018-2019学年四川省成都市石室中学高二上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1．若圆的方程为x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0，则该圆的圆心和半径r 分别为（ ） A ．（1，﹣2）；r ＝2 B ．（1，-2）；r ＝4 C ．（-1，2）；r ＝2 D ．（-1，2）；r ＝4【答案】A【解析】将圆方程化为标准形式,即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准形式:22(1)(2)4x y -++=, 则该圆的圆心为(1,2)-,半径为2, 故选:A. 【点睛】本题主要考查利用圆的方程确定圆心,半径,属于基础题.2．从随机编号为0001，0002，……，5000的5000名参加成都市零诊考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的三个编号分为0018，0068，0118，则样本容量是（ ） A ．20 B ．50C ．100D ．200【答案】C【解析】根据系统抽样的定义先确定样本间隔,再计算样本容量. 【详解】因为样本中编号最小的三个编号分为0018,0068,0118, 故样本间隔为50,则共抽取500050100÷=个样本, 故选:C. 【点睛】本题主要考查系统抽样的应用,属于简单题.3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（ ）A ．13B ．16C ．56D ．112【答案】B【解析】将问题转化为几何概型求解,利用与长度有关的几何概型计算即可 【详解】设A ={等待的时间不多于10分钟},则事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[]50,60时间段内,因此()60501606P A -==, 故选:B 【点睛】本题考查长度有关的几何概型,属于基础题4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数（ ） A ．648 B ．512C ．729D ．1000【答案】A【解析】0不能做首位,故按特殊位置先排法,先排百位,再排十位,个位即可. 【详解】0不能做首位,故按照百位,十位,个位的顺序排列, 共有998=648⨯⨯种排法, 故选:A. 【点睛】本题考查排列组合的基本应用,属于简单题.在答题时,一般遵循特殊元素(位置)先排原则. 5．直线l 过原点交椭圆16x 2+25y 2＝400于A 、B 两点，则|AB |的最大值为（ ） A ．8 B ．5C ．4D ．10【答案】D【解析】依据题意,直线l 的斜率一定存在,故设其方程为y kx =,联立直线方程与椭圆方程,利用弦长公式即可求最值. 【详解】①当直线l 的斜率不存在时,AB 是椭圆的短轴,显然这时的AB 不是最大值; ②当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y kx =,1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y联立221625400y kxx y =⎧⎨+=⎩,整理得22(1625)4000k x +-=;∴121224000,1625x x x x k -+==+,2212121(x )4AB k x x x ∴=+⋅+-2211625k k=+⋅+221401625k k +=+21914025251625k=+⋅+ 1914010252516≤+⋅=(当且仅当0k =时取等号), 0k ∴=时,AB 有最大值10,故选:D. 【点睛】本题考查直线与椭圆联立,求弦长的最值问题.需要一定的计算分析能力,难度不大. 6．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A ．-10B ．6C ．14D ．18【答案】B【解析】模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立输出6,故选B.【考点】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.7．从抛物线y 2＝8x 上各点向x 轴作垂线段，则垂线段中点的轨迹方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝2xC ．y 2＝xD ．y 212=x 【答案】B【解析】设垂线段中点为(,)x y ,00(,)x y 是抛物线上任意一点,找到二者之间的等量关系,再代入抛物线方程即可. 【详解】设垂线段中点为(,)x y ,00(,)x y 是抛物线上任意一点,则有0000122x x x x y y y y =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩, 2008y x =Q ,248y x ∴=,即22y x =就是垂线段中点的轨迹方程,故选:B. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,难度不大.求轨迹方程常用的方法有:直接法,定义法,相关点法等.8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D【解析】由直线11C D ⊥平面11BB C C 可得1PC 是点P 到直线11C D 的距离,则动点P 满足抛物线定义【详解】由题意,直线11C D ⊥平面11BB C C ,则111C D PC ⊥,即1PC 是点P 到直线11C D 的距离,所以点P 到直线BC 与它到点1C 的距离相等,所以点P 的轨迹是抛物线, 故选:D 【点睛】本题考查抛物线的定义,考查线面垂直的性质9．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）A ．x x <甲乙，m 甲>m 乙B ．x x <甲乙，m 甲<m 乙C ．x x >甲乙，m 甲>m 乙D ．x x >甲乙，m 甲<m 乙【答案】B【解析】从茎叶图来看乙中数据集中，甲比较分散，所以18+2227+31==20==29..22x x m m B <<∴甲乙甲乙，又选 10．已知双曲线C ：23x -y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（ ） A ．32B ．2C ．3D ．6【答案】C【解析】由双曲线的方程可得渐近线方程为33y x =±,则30MOF ∠=︒,设过点F 的直线与直线3y x =交于点M ,由OMN V是直角三角形,设90OMN ∠=︒,则60MFO ∠=︒,则可得直线MN的方程为)2y x =-,分别与渐近线方程联立得M ,N ,进而利用两点间距离公式求得MN【详解】由题,渐近线方程为3y x =±,所以30MOF ∠=︒, 设过点F的直线与直线y x =交于点M ,由OMN V是直角三角形,设90OMN ∠=︒,则60MFO ∠=︒,又直线MN 过点()2,0F ,所以直线MN的方程为)2y x =-,由)23y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以32M ⎛ ⎝⎭,由)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以(3,N ,所以3MN ==, 故选:C 【点睛】本题考查双曲线的弦长问题,考查双曲线的渐近线的应用,考查运算能力 11．过抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作斜率为12的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴的左侧），则AF FB=（ ）A．32- BC．32± D【答案】A【解析】设出直线l 的方程,代入抛物线方程中,求出A ,B 两点的纵坐标,再利用抛物线的定义即可得出结论.【详解】设直线l的方程为:122py x=+,1(A x,1)y,2(B x,2)y,联立21222py xx py⎧=+⎪⎨⎪=⎩,整理得22460y py p-+=,135y p-∴=,235y p+=,从而1552pAF y p-=+=,2552pBF y p+=+=,则||5535||55AFBF--==+,故选:A.【点睛】本题考查抛物线的定义及其简单的性质应用,难度不大.12．在平面直角坐标系上，矩形ABCD，顶点A（6，2），若点B，D是圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝12上两动点，点C是圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝14上动点，则这样的ABCD 有多少个（）A．0个B．2个C．4个D．无数个【答案】D【解析】以AC为直径画圆P,交圆22(3)(3)12x y-+-=于B,D两点,可推出BD过圆心P,所以四边形ABCD是矩形,又由C的任意性可知,这样的ABCD有无数个.【详解】如图所示,任取圆22(3)(3)14x y-+-=上一点C,以AC为直径画圆P,交圆22(3)(3)12x y-+-=于B,D两点,因为点(6,2)A在圆22(3)(3)10x y-+-=上,所以»»AB CD=,所以BD 过圆心P ,为圆P 的一条直径, 所以四边形ABCD 是矩形,又由C 的任意性可知,这样的ABCD 有无数个, 故选:D. 【点睛】本题考查圆的应用问题,考查数形结合思想,属于中档题.二、填空题13．双曲线16y 2﹣9x 2＝1的渐近线方程为_____． 【答案】y 34=±x 【解析】将双曲线方程化为标准形式,求出,a b ,即可得出结论. 【详解】将双曲线方程化为标准形式:22111169y x -=, 可得11,43a b ==, 故其渐近线方程为:34a y x xb =±=±, 故答案为: y 34=±x. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.14．乘积（a 1+a 2+a 3）（b 1+b 2+b 3+b 4）（c 1+c 2+c 3+c 4+c 5）展开后共有_____项． 【答案】60【解析】展开后的每一项都是由三个式子中任取一项相乘得到的,因而根据分步乘法原理即可得出结论. 【详解】根据多项式的乘法法则,可知展开后的每一项都是由123()a a a ++､1234()b b b b +++､12345()c c c c c ++++这三个式子,每一个中任取一项相乘后得到的, 而在123()a a a ++中有3种取法,在1234()b b b b +++中有4种取法, 在12345()c c c c c ++++中有5种取法,由分步乘法原理可得,总共有34560⨯⨯=种情况, 故答案为:60. 【点睛】本题考查分步计数原理的运用,属于简单题. 15．圆O ：x 2+y 2＝1上有一动点P ，圆内有一点A （14，0），求∠APO 最大时的余弦值_____．【答案】4【解析】若APO ∠最大,则cos APO ∠最小,PA m =,利用余弦定理可得222cos 2OP PA OAAPO OP PA+-∠=⋅,再利用均值定理求解即可【详解】要使APO ∠最大,则cos APO ∠最小, 设PA m =,3544m ≤≤,由题,则1OP =,14OA =,所以2222111516cos 223224m OP PA OAm APO OP PAm m +-+-∠===+≥=⋅, 当且仅当15322m m =,即m =时等号成立, 所以cos APO ∠, 故答案为【点睛】本题考查利用均值定理求最值,考查余弦定理的应用,考查转化思想16．已知实数x，y满足22020x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，（x、y∈Z），每一对整数（x，y）对应平面上一个点，以其中任意两个不同点分别为向量的起点和终点，得到一组模长或方向不同的向量，从这组向量中随机取出一个向量，其模长不超过2的概率_____．【答案】12【解析】作出可行域后,可求出基本事件有24个,而满足模长不超过2的向量有12个,即可得出概率.【详解】作出满足约束条件22020x yx yy-+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…(x､)y Z∈的可行域,如图中阴影部分所示,则满足题设条件的向量共有24个,其中模长为1的有4个,2的有4个,模长为2的有4个,5的有8个,模长为222个,模长为3的有2个,所以模长不超过2的向量共有12个,所以从这组向量中随机取出一个向量,其模长不超过2的概率为12,故答案为:12.【点睛】本题主要考查古典概型,结合了线性规划等基础知识,需要一定的计算和分析能力.三、解答题17．某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米．在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是多少米？【答案】3.84米【解析】试题分析：本题利用解析法解决．先建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），把点B（10，﹣4）代入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x=2代入抛物线方程求得y，可得最高支柱的高度．解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），∵过定点B（10，﹣4），代入x2=﹣2py，得p=．∴x2=﹣25y．当x=2时，y=，∴最长支柱长为4﹣|y|=4﹣=3.84（m），故在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是：3.84米．点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．解应用题需要把文字语言转化为形式化数学语言．本题就是要利用解析法解决，介入一个抛物线方程，利用抛物线的性质来解决问题．18．学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．分组频数频率[40，50）A0.04[50，60）40.08[60，70）200.40[70，80）150.30[80，90）7B[90，100]20.04合计C1（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（2）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（3）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．【答案】（1）2，0.14，50（2）65，69.5（3）1 36．【解析】(1)利用频率分布表,结合频率,直接求出A,B,C的值;(2)求出众数,中位数,画出频率分布直方图即可;(3)利用古典概型概率的求法,求解概率即可.【详解】(1)4750,500.0420.140.0850C A B===⨯===,;(2)众数为最高的小矩形区间中点65,中位数为0.40.02 601069.50.4-+⨯=,频率直方图如下:(3)设Ω={从分数在[80,100]的10名同学中随机抽取两名同学},()2936n CΩ==,A ={两名学生分数均不低于90分},n (A )=1, 根据古典概型计算公式可得()()()136n A P A n ==Ω. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及频率分布表的应用,难度不大.19．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为9，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求椭圆C 上的点到直线l ：4x ﹣5y +40＝0的最小距离？【答案】（1）221259x y +=．（2）41． 【解析】(1)根据题意列出方程组,求出a ,c ,b ,从而求出椭圆的标准方程.(2)由题可知直线l 与椭圆不相交,将直线:45400l x y -+=平移,可知其与椭圆相切时,切点到直线l 的距离最小或最大,据此可设直线m 平行于直线l ,将之与椭圆方程联立,进而得解. 【详解】(1)因为椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为9,最小值为1, 所以a +c =9,a ﹣c =1, ∴a =5,c =4, ∴b 2=a 2﹣c 2=9,∴椭圆的标准方程为:221259x y +=;(2)由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道,直线l 与椭圆不相交, 设直线m 平行于直线l ,则直线m 的方程可以写成4x ﹣5y +k =0,联立22450925225x y k x y -+=⎧⎨+=⎩,整理得25x 2+8kx +k 2﹣225=0, 令△=0,得64k 2﹣4×25(k 2﹣225)=0 解得k 1=25或k 2=﹣25,∴当k 1=25时,直线m 与椭圆交点到直线l 的距离最近, 此时直线m 的方程为4x ﹣5y +25=0,直线m 与直线l 间的距离d 41==, 所以,椭圆C 上的点到直线l :4x ﹣5y +40=0的最小距离是41. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质的应用,需要学生有分析解决问题的能力,属于中档题.解题关键是明确当直线的平行线与椭圆相切时,切点到直线的距离最大或最小. 20．已知关于x 的一元二次函数f （x ）＝ax 2﹣2bx +8．（1）设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{2，3，4，5}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f （x ）在区间（﹣∞，2]上有零点且为减函数的概率？（2）设集合P ＝[1，3]和Q [2，5]，分别从集合P 和Q 中随机取一个实数作为a 和b ，求函数y ＝f （x ）在区间（﹣∞，2]上有零点且为减函数的概率？ 【答案】（1）512．（2）724． 【解析】(1)利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;(2)作出不等式组对应的区域,求出对应区域的面积,结合几何概型的概率公式进行计算即可. 【详解】(1)总事件数n =3×4=12,若满足y =f (x )在区间(﹣∞,2]上有零点且为减函数,则()0220a b a f ⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩＞, 即满足条件的a ,b 为(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),共有5个, 则对应的概率P 512=; (2)由题设条件知1325a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩,若y =f (x )在区间(﹣∞,2]上有零点且为减函数,则()0220a ba f ⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩＞,即0220a b a a b ⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩＞, 对应的区域如下图所示:由220b a a b =⎧⎨-+=⎩得24a b =⎧⎨=⎩,即F (2,4), 由120a a b =⎧⎨-+=⎩得13a b =⎧⎨=⎩,即E (1,3), 由52b b a =⎧⎨=⎩得525a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即G (52,5),又A (1,5),D (3,5),则阴影部分的面积S =S △AED ﹣S △GDF 12=⨯2×212-⨯(352-)(5﹣4)=21744-=, 矩形ABCD 的面积S =2×3=6, 则对应的概率776424P =÷=. 【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型概率的计算,利用列举法求古典概型以及利用数形结合求解几何区域的面积是解决本题的关键.21．已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，2），端点A 在圆C ：（x +2）2+y 2＝16上运动． （1）求线段AB 的中点的轨迹方程H ． （2）判断（1）中轨迹H 与圆C 的位置关系． 【答案】（1）（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4． （2）两个圆相交【解析】（1）设()00,A x y ,(),M x y ,由中点公式可得002422x x y y =-⎧⎨=-⎩,代入圆C 的方程即可求解；（2）由题可得两圆的圆心,则可得到圆心距,将圆心距与半径的和及半径的差比较,即可判断位置关系 【详解】（1）设()00,A x y ,AB 中点(),M x y ,则004222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩, ∴002422x x y y =-⎧⎨=-⎩,代入圆C ：（x +2）2+y 2＝16, 可得圆H ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4（2）由题,圆心C 为（﹣2，0）,半径14r =, 由（1）圆心H 为（1，1），半径22r =,则圆心距为d ==∵121226r r d r r -=<<+=, ∴两个圆相交 【点睛】考查相关点法求轨迹方程,考查圆与圆的位置关系的判定22．已知椭圆C ：2222x y a b+=1左右焦点为F 1，F 21）x=0与该椭圆有一个公共点在y 轴上，另一个公共点的坐标为（m ，1）． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一点，过焦点F 1，F 2的弦分别为PM ，PN ，设1PF =u u u r λ112FM PF =u u u u r u u u u r ，λ22F N u u u u r，求λ1+λ2的值． 【答案】（1）22162x y +=；（2）10 【解析】(1)由直线过点,可得b =又点1)在椭圆上,可求得2a ,2b 的值,从而得出椭圆方程;(2)设出0(P x ,0)y ,1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,由E 在椭圆上,则有x 02+3y 02=6,又根据111PF F M λ=u u u r u u u u r ,222PF F N λ=u u u u r u u u u r ,可求出,M N 的坐标,再把M ,N 代入22036x y +=,进而可求12λλ+的值.【详解】(1)∵直线1)x=0与y 轴交点为),∴b =又∵直线1)x=0与椭圆有公共点(m ,1). ∴点在椭圆上, ∴23112a +=, ∴a 2=6,∴椭圆C 的方程为:22162x y +=;(2)设P (x 0,y 0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则有x 02+3y 02=6,根据1PF =u u u r λ112FMPF =u u u u r u u u u r ，λ22F N u u u u r, 可得M (012x λ+--2,01y λ-),N (22x λ-+2,02y λ-),把M ,N 代入x 02+3y 02=6,可得()()0021100222424102421042x x x x λλλλ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩⇒()()2111012222024552124455212x x λλλλλλλλ⎧---==⎪+⎪⎨---⎪=-=⎪+⎩, ∴λ1+λ2=10. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法,考查了平面向量在解决圆锥曲线问题中的应用,需要学生有较强的计算能力.。

成都七中实验学校2018--2019学年度期中考试高二数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 3．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 4．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 5．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ） A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣26．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ）A.B.C. D.7．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．58．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+= 9．如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影 为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成 立的个数为（ ） （1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ； （3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．1BC ．2 D11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为错误！未找到引用源。

2018-2019学年高二数学上学期期中试题实验班文一、选择题（12小题，共60分）1.直线MN 的斜率为2，其中点()11N -，，点M 在直线1y x =+上，则（ ） A. ()57M ， B. ()45M ， C. ()21M ， D. ()23M ，2.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（ ） A.若a ⊥b ，a ⊥α，，则B.若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥βC.若a ⊥β，α⊥β，则 或D.若，，则3.如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）A. B.C.D.4.已知,A B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（ ）A. 270x y +-=B. 50x y +-=C. 240y x --=D.210x y --=5.在正方体1111ABCD A BC D -中， P 为棱1AA 上一动点， Q 为底面ABCD 上一动点， M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）A. 棱柱B. 棱台C. 棱锥D. 球的一部分6.若直线()2210m x m m y +-+=与210x y --=互相垂直，则实数m =（ ）A. 1-B. 0C. 1-或0D. 17.如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面面积为3，体积为22， E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在正方体的侧面11BCC B 上的点P 到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是（ ） A. B. C. D.9.已知两点()1,0M -， ()1,0N ，若直线()2y k x =-上至少存在三个点P ，使得MNP是直角三角形，则实数k 的取值范围是（ ）A. 11,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B. 33,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []5,5- 10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.cm 3B.cm 3C.cm 3D.cm 311.已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形，SD ABCD SD AB ⊥=平面，且，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为（ ）A. 9πB. 43πC.12π D. 10π12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（）.A. 42πB. 22πC. 41πD. 21π 二、填空题（每小题5分，共20分）13.如图，在边长为4的正方形纸片ABCD 中， AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则折叠后以(),,,A B C D O 为顶点的四面体的体积为__________．14.如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111A B C D 的对角线11B D 上一点，且PQ 平面11AA B B ，则线段PQ 的长为__________．15.在三棱台中，，点、分别是棱、的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面平行的有__________．16.若圆()()22:24(0)C x a y a -+-=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为23，则a =__________．三、解答题（70分）17. （10分）已知ABC ∆的三个顶点()4,6A -， ()4,0B -， ()1,4C -，求： （1）AC 边上的高BD 所在直线的方程； （2）BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程； （3）AB 边的中线的方程.18. （12分）已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．19. （12分）如图所示，空间四边形ABCD 中，E F G 、、分别在AB BC CD 、、上，且满足::2:1AE EB CF FB ==，:3:1CG GD =，过E F G 、、的平面交AD 于H ，连接EH .（1）求:AH HD ；（2）求证：EH FG BD 、、三线共点.20. （12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，E 是棱1DD 的中点D 1C 1B 1A 1DCBA E（1）求三棱锥B B A E 11-的体积；（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使1//B F 平面1A BE ？证明你的结论。

2021-2022学年成都石室中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．x R ∀∈，3210x x -+> C ．0x R ∃∈，320010x x -+≤ D ．不存在0x R ∈，320010x x -+≤【答案】A【解析】根据特称命题的否定，直接得出结果.【详解】命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是“x R ∀∈，3210x x -+≤”.故选：A.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.2．若1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 、b 的夹角为（ ）A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】B【分析】利用平面向量垂直可得出()0a a b ⋅-=，求出cos ,a b <>的值，利用平面向量夹角的取值范围可求得向量a 、b 的夹角.【详解】由题意可得()22cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅<>=-<>=， 可得1cos ,2a b <>=，因为0,180a b ≤<>≤，故,60a b <>=.故选：B.3．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为 A ．8 B ．2 C ．12D ．18【答案】D【分析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得 p ＝18，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果．【详解】解：抛物线24x y =，y 2＝14x 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得p ＝18，故选D ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p 是解题的关键．4．{}11,A x x x R =-≥∈，{}2log 1,B x x x R =>∈，则“x B ∈”是“x A ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式可得集合，进而可得解.【详解】解不等式可得{}{11,0A x x x R x x =-≥∈=≤或}2x ≥， {}{}2log 1,2B x x x R x x =>∈=>，故B A ⊆，所以“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件， 故选：A.5．已知命题p ：0x ∀>，44x x+>，命题q ：()00,x ∃∈+∞，0122x =，则下列判断正确的是（ ） A ．p ⌝是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ⌝∨是真命题【答案】D【分析】根据均值不等式得到p 为假命题，根据指数函数单调性得到q 为假命题，对比选项得到答案. 【详解】0x >时，4424x x x x+≥⋅=，当2x =时等号成立，所以44x x +≥，所以p 为假命题；p ⌝为真命题，()p q ∧⌝为假命题，故A 和C 错误. 当0x >时，0221x >=，故q 为假命题，则()p q ⌝∧是假命题. 所以B 错误，D 正确. 故选：D.6．函数()()2sin ,0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ．2，3π-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，3π 【答案】A【分析】根据三角函数图象可得周期与对称轴，进而可得参数值. 【详解】由已知得35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故T π=，又0>ω，则222T ππωπ===， 即()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数经过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即52sin 2=212πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又2πϕ<，故3πϕ=-，故选：A.7．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．12-D ．110【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22y x z =-，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的可行域，如下图所示：目标函数12z x y =-化为22y x z =-， 由12310x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，设(1,1)A -，当直线22y x z =-过A 点时， 12z x y =-取得最小值为32-. 故选：B.8．以双曲线221916x y -=的焦点为椭圆C 的长轴顶点，且过点5794⎫⎪⎪⎝⎭的椭圆C 的方程为（ ）A ．2212516x y +=B ．221259x y +=C ．221169x y +=D ．221925x y +=【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b +=>>，代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程. 【详解】解：双曲线221916x y -=的焦点为()()5,0,5,0-， 设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则5a =，又椭圆过点5794⎫⎪⎪⎝⎭，所以2222579415b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得3b =， 所以椭圆的标准方程为221259x y +=. 故选：B.9．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A 2B 3C 2D 3【答案】A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积. 【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，2AB ∴=则ABC 2，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ， 则2222122d ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1112211332212O ABC ABCV Sd -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.10．以过圆2210x y x +=内一点()5,3的最短弦长为等差数列{}n a 的首项1a ，最长弦长为其末项n a ，若等差数列{}n a 的公差11,32d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则项数n 的取值不可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】由圆的弦长公式，求得18a =，10n a =，结合等差数列的公式，求得21n d=+，进而求得实数n 的范围，结合选项，即可求解.【详解】由题意，将圆2210x y x +=化为22(5)25x y -+=，可得圆心坐标为(5,0)C ，半径=5r ，设(5,3)A ，可得3AC =，由圆的弦长公式，可得2212538a =-=，10n a =， 设等差数列的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，即8(1)10n d +-=，所以21n d=+， 因为1132d ≤≤，所以2517d ≤+≤，即57n ≤≤，结合选项，可得n 的取值不可能是选项A. 故选：A.11．如图，在ABC 中，30CAB CBA ︒∠=∠=，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点、且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的乘积为（ ）A ．1B 31C ．2D 31【答案】C【分析】先设2AB c =，由条件分别得到AE 、BD ，BE 、AD 的值， 根据椭圆焦点和所过的点，由椭圆定义得到2a BD AD =+，求出a ， 代入离心率公式求解即可；根据双曲线焦点和所过的点，由双曲线定义得到2a AD BD =-， 求出a ，代入离心率公式求解即可.【详解】根据题意，设2AB c =，则AE BD c ==，3BE AD c ==， 所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆中，23a BD AD c c =+=，)312c a =，即椭圆离心率31ce a==； 所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的双曲线中，23a AD BD c c =-=-，)312c a =，即双曲线离心率31==ce a， 所以椭圆与双曲线的离心率的乘积为：))31312⨯=，故选：C.12．点P 是直线l ：2x =-上一动点，点()2,0F ，点Q 为PF 的中点，点M 满足MQ ⊥PF ，()MP OF R λλ=∈，过点M 作圆()2251x y -+=的切线，切点为S ，当MS 取得最小值时，则直线MF 的方程为（ ） A ．()2y x =±- B ．)22y x =±- C ．)32y x =±- D ．)222y x =±-【答案】D【分析】由题意首先求出M 的轨迹方程，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ，利用勾股定理得到2||||1MS MN -||MN 最小时，||MS 有最小值，设(),M x y ，利用两点的距离公式表示出MN ，即可求出MN 的最小值，从而求出M 的坐标，即可求出MF 的方程．【详解】解：依题意，因为MP OF λ=，所以向量MP 与向量OF 共线， 所以MP 与x 轴平行，故||MP 即为点M 到直线2x =-的距离d ， 又因为M 在线段PF 的垂直平分线上，所以||||MP MF d ==，所以M 点在以(2,0)F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线28y x =上，设圆22(5)1x y -+=的圆心为()5,0N ，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ， 则MNS 为直角三角形，且90MSN ∠=︒， 所以222||||||MS NS MN +=， 所以2||||1MS MN =-，当||MN 最小时，||MS 有最小值， 设(),M x y ，则()()22222510258225124MN x y x x x x x x =-+=-++=-+=-+，所以当1x =时min 26MN =，所以281y =⨯，解得22y =±，所以()1,22M 或()1,22M -，当()1,22M 时222212MF k ==--，此时MF 为()222y x =--；当()1,22M -时222212MF k -==-，此时MF 为()222y x =-；故选：D二、填空题13．在△4BC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin cos 2a A B b A a ⋅+，则ba=______． 2【分析】根据正弦定理化简后计算【详解】由正弦定理得2sin sin sin sin cos 2A A B B A A +，即sin 2B A 故sin 2sin B bA a== 214．若直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________. 【答案】(5⎤⎦【解析】由直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>没有公共点，分析出2b a ≤，再求e 的范围.【详解】∵双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程：b y x a =±，且直线2y x =与双曲线没有公共点， ∴2ba≤ 即2215b e a =+又1e >， ∴15e <≤故答案为：(5⎤⎦【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．已知斜率为k 的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点()1,1M --满足0MA MB ⋅=，则AB =______． 【答案】5【分析】求出抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．直线l 的方程为(1)y k x =-．利用0MA MB ⋅=，说明M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用平方差法求出斜率，设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，推出02y k=．通过点0(Q x ，0)y 在直线l 上，结合点222(1,)Q k k+是以AB 为直径的圆的圆心．转化求解直线的斜率，求解弦长即可． 【详解】解：由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．因为直线l 过抛物线的焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为(1)y k x =-． 因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+．设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，则02y k=．因为点0(Q x ，0)y 在直线l 上， 所以0221x k=+，所以点222(1,)Q k k +是以AB 为直径的圆的圆心． 由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为2222222||(2)(1)QM r k k =+++=，所以22222222(2)(1)(2)k k k+++=+，解得2k =-， 所以弦长222||22(2)2(2)54AB r k ==+=+=． 故答案为：5．16．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切; （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）. 【答案】（B ）（D ）【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，然后求出圆心到已知直线的距离d ，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数与半径r 比较大小即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可．【详解】由题意可得圆心坐标为(cos ,sin )θθ-，圆M 的半径为1，且圆心到直线l ：y kx =的距离为222cos sin 1sin()sin()111k k d kkθθθϕθϕ--++==+≤++（其中2sin 1k ϕ=+2cos 1k ϕ=+）.∴直线l 与圆M 有公共点，且对于任意实数k ，必存在实数θ，使直线l 与圆M 相切. 故答案为（B ）（D ）.【点睛】本题考查考查直线与圆的位置关系的应用，要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题． 三、解答题17．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135xy m m +=--表示双曲线.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()3,4；（2）5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）当1a =时，求得不等式22540m am a -+<的解，再由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可求得对应的实数m 的取值范围，由p q ∧可知p 、q 均为真命题，由此可求得实数m 的取值范围；（2）求得p ⌝和q ⌝中对应的m 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】命题p ：由题得()()40m a m a --<，又0a >，解得4a m a <<. 对于命题q ，由于方程22135x y m m +=--表示双曲线，则()()350m m --<，解得35m <<. （1）若1a =，命题p 为真时，14m <<.当p q ∧为真时，则p 真且q 真，1435m m <<⎧∴⎨<<⎩，34m ∴<<，因此，实数m 的取值范围是()3,4；（2）:p m a ⌝≤或4m a ≥，:3q m ⌝≤或5m ≥.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则{m m a ≤或}4m a ≥{3m m ≤或}5m ≥，345a a ≤⎧∴⎨≥⎩，解得534a ≤≤.当54a =时，则有54m m ⎧≤⎨⎩或}5m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意； 当3a =时，则有{3m m ≤或}12m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查计算能力，属于中等题.18．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=. （Ⅰ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析（2）121n n S n =-⋅+（） 【详解】分析：（Ⅰ）利用定义证明数列{}n b 为等比数列.( Ⅱ)先求出12n n a n -=⋅，再利用错位相减求出数列{}n a 的前n 项和n S .详解：（Ⅰ）由条件可得111n n a b n ++=+，n n a b n =，所以121n n a a n n +=⋅+，即bn +1=2bn ，又b 1=1，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得12n na n-=，所以12n n a n -=⋅． ①01221122232122n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（） ②12312122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（）③012311-2-222222212nn nn n S n n -=+++++-⋅=-⋅-整理得：121n n S n =-⋅+（） （n N +∈） 点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.19．已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=. (Ⅰ)求tan 2A 的值； (Ⅱ)若4B π=，3AB =，求ABC ∆的面积S .【答案】（Ⅰ）43- ；（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）由已知和三角形面积公式可得1cos sin 2A A =，进而得到tan 2A =，由二倍角的正切公式可得答案;(Ⅱ)由（1）式中的tan 2A =，可得sin cos A A ，由两角和的正弦公式可得sin C ，结合正弦定理可得边b ，代入面积公式可得答案.【详解】解：（Ⅰ）设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， ∵AB AC S ⋅=，∴1cos sin 2bc A bc A =，∴1cos sin 2A A =，∴tan 2A =∴22tan 4tan21tan 3A A A ==--. （Ⅱ）3CB CA -=，即3AB c ==， ∵tan 2A =，02A π<<，∴25sin A =5cos A =∴()25252310sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理知：sin 5sin sin sin c b cb B C B C=⇒=⋅ 1125sin 53322S bc A ===.【点睛】本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数各公式并灵活运用.20．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点.(1)求证：1//D F 平面11A EC ；(2)求平面AA 1C 1与平面A 1C 1E 夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，求得平面11A EC 的一个法向量，由空间向量的数量积运算可得证；（2）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-，根据面面角的向量求解方法可求得答案.【详解】(1)证明：以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =-,()112,2,0AC =,()12,1,2AE =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111220220m AC x y m A E x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令12x =，则()2,2,1m =-，因为1220m D F =⋅-=，所以1m D F ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；(2)解：由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-， 则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅，所以二面角11A AC E --的正弦值为211cos,3DB m -=.21．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为()2211x y -+=，求△PBC 面积的最小值． 【答案】（1）22y x =；（2）8.【详解】试题分析：（1）圆心到定点与到定直线距离相等符合抛物线定义，可直接写出标准方程22y x =；（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=，由点到直线的距离公式得()2000220x b y b x -+-=，同理()2000220x c y c x -+-=可得022x b c x -=-，面积表示为关于0x 的函数，进而利用基本不等式求最值.试题解析：解：（1）由题意可知圆心到1,02的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=， 又圆心（1，0）到PB 的距离为1，()0022001y b x by b x-+=-+，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以：0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >，则()()222000204482x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：022x b c x -=-，所以()0001424822S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以C PB 面积最小值为8.【解析】1、抛物线的定义；2、点到直线的距离公式及基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查抛物线的定义、点到直线的距离公及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．如图，设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点．（i ）证明：11MB NB+为定值； （ii ）求四边形MPNQ 面积的取值范围． 【答案】(1)221(0)43x y y +=≠ (2)（i ）证明见解析；（ii ）12,83⎡⎣【分析】（1）推出||||EB ED =，转化求解圆A 的标准方程，利用椭圆定义可得点E 的轨迹方程．（2）（i ）设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出||MB ，||NB ，代入计算可得；（ii ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得||MN ，由PQ l ⊥，设PQ 方程，求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得||PQ ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【详解】(1)解：圆A ：222150x y x ++-=即为22(1)16x y ++=，可得圆心(1,0)A -，半径4r =， 由//BE AC ，可得C EBD ∠=∠， 由AC AD =，可得D C ∠=∠， 即为D EBD ∠=∠，即有EB ED =， 则||||||||||4||2EA EB EA ED AD AB +=+==>=，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有24a =，即2a =，1c =，223b a c =-=， 则点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠；(2)解：（i ）证明：依题意：l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以)1212||1111MB k x k x +-+-，)2222||1111NB k x k x +-+- 所以()()()()()2112122112222211111111111MB NB k x k x k x x k x x x x +==+-+-+--++--其中()22222211212228412121444343k k k x x x x x x k k ⎛⎫-+-=+--⋅ ⎪++⎝⎭2221122228412911434343k k x x x x k k k -+--=--=+++ 所以()2212122122121114439311143k k MB NB k x x x x k k +++===++--++故1143MB NB +=为定值；（ii ）椭圆221:143x y C +=，设直线:1l x my =+，由PQ l ⊥，设:(1)PQ y m x =--，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(34)690m y my ++-=， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ， 可得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+， 则322422223636||1||1(34)34m MN m y y m m m =+⋅-=++++2222236(44)111234m m m m +++=⋅+， A 到PQ 的距离为2211d m m ++，2222224434||1611m m PQ r d m m +=-=-++则四边形MPNQ 面积为2222114341||||1222341m m S PQ MN m m ++=⋅=⋅++22211242413431m m m +==+++当0m =时，S 取得最小值12，又2101m >+，可得32483S <=即有四边形MPNQ 面积的取值范围是12,83⎡⎣．。

2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷（理科）一、选择题1．复数z＝2﹣3i的虚部为（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，1，2，3}3．若平面向量，，若，则x＝（）A．B．C．1或D．1或4．若tanθ＝3，则＝（）A．2 B．﹣2 C．D．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，则异面直线OD1与A1C1所成的角为（）A．900B．600C．450D．3006．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．已知命题；命题q：抛物线x2＝4y的准线为x＝﹣1，则下列命题为真命题的是（）A．￢p B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．p∨（￢q）8．甲、乙两人约定在上午9：00到10：40之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为（）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为21，则判断框中应填入的条件为（）A．k≤3 B．k≤4 C．k≤5 D．k≤610．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个函数f（x）的图象，则“f（x）是偶函数”是“φ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，f'（x+2）＝f'（4﹣x），若函数f（x）≥6xlnx+2恒成立，则实数b的取值范围为（）A．[4+ln2，+∞）B．[5+ln5，+∞）C．[6+4ln3，+∞）D．[6+6ln6，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上）13．某乡镇中学有初级职称教师100人，中级职称教师70人，高级职称教师30人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为14．计算：15．已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是16．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第1000个数是三、解答题：（本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为y＝1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆M的极坐标方程为ρ2＝6ρsinθ．（1）求圆M的平面直角坐标方程，并写出圆心和半径；（2）若直线l与圆M交于A，B两点，求|AB|的值．18．已知函数f（x）＝2x3﹣12x．（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．19．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．1.4720.60.782.35 0.81 ﹣19.3 16.2表中．（1）根据散点图判断，y＝a+bx与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v ＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．20．如图所示，已知三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等边三角形，且PA＝PB＝AC＝2，D，E 分别是AB，PC的中点．（1）证明：AB⊥平面CDE；（2）若PC＝，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21．已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的面积为π．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx+2与椭圆C相交于A，B两点，点D的坐标为，问直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．22．已知函数f（x）＝alnx+x2，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；（3）试比较与（n∈N*且n≥2）的大小，并证明你的结论．参考答案一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卡上）1．复数z＝2﹣3i的虚部为（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3【分析】根据复数的代数形式确定虚部即可．解：由z＝2﹣3i知，z的虚部为﹣3．故选：D．2．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】利用交集的定义是解本题即可．解：集合A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{0，2}；故选：B．3．若平面向量，，若，则x＝（）A．B．C．1或D．1或【分析】由，可得x（3x﹣1）＝2解方程即可．解：∵，，，∴x（3x﹣1）＝2，∴x＝1或x＝﹣，故选：C．4．若tanθ＝3，则＝（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】直接利用三角函数关系式的变换求出结果．解：由于：tanθ＝3，故：，故选：A．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，则异面直线OD1与A1C1所成的角为（）A．900B．600C．450D．300【分析】连结AC，BD，交于点O，连结OD1，AD1，由A1C1∥AC，得∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线OD1与A1C1所成的角．解：连结AC，BD，交于点O，连结OD1，AD1，∵A1C1∥AC，∴∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角（或所成角的补角），∵OA＝＝＝，AD1＝＝，OD1＝＝，∴cos∠AOD1＝＝＝0，∴∠AOD1＝90°．∴异面直线OD1与A1C1所成的角为90°．故选：A．6．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可．解：函数f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x）则函数为奇函数，可排除C，D，由4x2﹣1≠0得x2≠，得x≠±，当x＝1时，f（1）＝＝＞0，排除B．故选：A．7．已知命题；命题q：抛物线x2＝4y的准线为x＝﹣1，则下列命题为真命题的是（）A．￢p B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．p∨（￢q）【分析】分别判断p、q命题的真假，再判断逻辑连词命题真假即可，根据条件可得答案．解：命题p由复数模长公式计算易得；正确．则p真命题．则￢p假命题．命题q由抛物线定义可知：抛物线x2＝4y的准线为y＝﹣1，q错误，则q假命题．则￢q真命题．由逻辑连词连接命题判断可知D正确．故选：D．8．甲、乙两人约定在上午9：00到10：40之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率计算公式，求出试验发生包含的所有事件对应的区域面积与满足条件的事件对应的区域面积，计算面积比即可．解：由题意知本题是一个几何概型，则试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω＝{（x，y）|0≤x≤100，0≤y≤100}，集合对应的面积是边长为100的正方形的面积s＝10000，而满足条件的事件对应的集合是{（x，y）|0≤x≤100，0≤y≤100，|x﹣y|≤20}，对应的区域为阴影部分，其中A（20，0），B（100，0），C（100，80），则△ABC的面积为S＝×80×80＝3200，∴两人能够会面的概率是P（A）＝1﹣＝．故选：C．9．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为21，则判断框中应填入的条件为（）A．k≤3 B．k≤4 C．k≤5 D．k≤6【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得：当S＝0，k＝1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S＝1，k＝2，当S＝1，k＝2时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S＝6，k＝3，当S＝6，k＝3时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S＝21，k＝4，此时，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为k≤3，故选：A．10．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个函数f（x）的图象，则“f（x）是偶函数”是“φ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用三角函数的平移关系式，求解函数的解析式，利用充要条件判断求解即可．解：把函数y＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin（2x++φ），该函数是偶函数的充要条件是+φ＝kπ+，k∈Z，所以则“f（x）是偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件．故选：B．11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣，化为＝0，解得．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，f'（x+2）＝f'（4﹣x），若函数f（x）≥6xlnx+2恒成立，则实数b的取值范围为（）A．[4+ln2，+∞）B．[5+ln5，+∞）C．[6+4ln3，+∞）D．[6+6ln6，+∞）【分析】根据f'（x+2）＝f'（4﹣x）可求出对称轴和a，然后把a代入函数和不等式，构造新函数求导数和单调性，转化为求最小值．解：∵f（x）＝x3+ax2+bx+2，则f′（x）＝x2+2ax+b，∵f'（x+2）＝f'（4﹣x），∴f′（x）关于x＝3对称，即﹣，∴a＝﹣3，∴f（x）＝x3﹣3x2+bx+2，∵f（x）≥6xlnx+2恒成立，∴x3﹣3x2+bx+2≥6xlnx+2，即b≥﹣x2+3x+6lnx恒成立，则设g（x）＝﹣x2+3x+6lnx，∴g′（x）＝﹣x+3+，＝，＝，＝，∴g（x）在区间（0，6）上满足g′（x）＞0，为增函数，在区间（6，+∞）上满足g′（x）＜0，为减函数，∴g（x）max＝g（6）＝6+6ln6，∴实数b的取值范围为[6+6ln6，+∞），故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上）13．某乡镇中学有初级职称教师100人，中级职称教师70人，高级职称教师30人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为3【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：要从其中抽取20人进行体检，则高级职称教师应该抽取的人数为20＝＝3，故答案为：3，14．计算：e﹣1【分析】根据题意，由定积分公式求出sin xdx与e x dx的值，相加即可得答案．解：根据题意，sin xdx＝﹣（cos x）＝﹣[cosπ﹣cos（﹣π）]＝0，e x dx＝（e x）＝e﹣1，则e﹣1，故答案为：e﹣1．15．已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与定点（0，0）距离的平方求解．解：由实数x，y满足，作出可行域如图，A（2，﹣1），B（﹣1，2），C（2，2），由图可知，点（0，0）与可行域内点C（2，2），的距离的平方最大为8；点（0，0）与x+y＝1的距离的平方最小为（）2＝．∴x2+y2的取值范围是[，8]．故答案为：[，8]．16．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第1000个数是1968【分析】由等差数列的通项及简单的合情推理得：将所得的数分组为（1），（2，4，6），（7，9，11，13，15），（16，18，20，22，24，26，28）…可知前n组共有实数n2个，且第n组有2n﹣1个实数，且最后一个数为1+2+3+4+…+（2n﹣1）＝n（2n﹣1），又312＜1000＜322，即1000在第32组中，由前32组中共322＝1024个数，且最后一个数为2016，设第1000个数为t，则有2016﹣t＝2×（1024﹣1000），所以t＝1968，得解．解：由已知将所得的数分组为（1），（2，4，6），（7，9，11，13，15），（16，18，20，22，24，26，28）…可知前n组共有实数n2个，且第n组有2n﹣1个实数，且最后一个数为1+2+3+4+…+（2n ﹣1）＝n（2n﹣1），又312＜1000＜322，即1000在第32组中，由前32组中共322＝1024个数，且最后一个数为2016，设第1000个数为t，则有2016﹣t＝2×（1024﹣1000），所以t＝1968，故答案为：1968．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为y＝1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆M的极坐标方程为ρ2＝6ρsinθ．（1）求圆M的平面直角坐标方程，并写出圆心和半径；（2）若直线l与圆M交于A，B两点，求|AB|的值．【分析】（1）把ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y代入，即可得到圆M的直角坐标方程，化为标准方程可得圆心坐标与半径；（2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求|AB|的值．解：（1）由ρ2＝6ρsinθ，把ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y代入，得x2+y2＝6y，∴x2+（y﹣3）2＝9，则圆心为（0，3），半径为3；（2）圆心（0，3）到直线y＝1的距离d＝2，又r＝3，∴|AB|＝2．18．已知函数f（x）＝2x3﹣12x．（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）求出导函数，得到极值点，通过导函数的符号，求函数f（x）的单调区间和极值．解：（1）f（x）＝2x3﹣12x，则f'（x）＝6x2﹣12，则f（1）＝﹣10，f′（1）＝﹣6，故切线为6x+y+4＝0．（2），列表如下：xf'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的增区间是和，减区间为，极大值是，极小值是．19．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．1.4720.60.782.35 0.81 ﹣19.3 16.2表中．（1）根据散点图判断，y＝a+bx 与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v ＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．解：（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型．…（1分）（2）由公式可得：，…，…所以所求回归方程为．…（3）设t＝kx，则煤气用量，…当且仅当时取“＝”，即x＝2时，煤气用量最小．…答：x为2时，烧开一壶水最省煤气．…20．如图所示，已知三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等边三角形，且PA＝PB＝AC＝2，D，E 分别是AB，PC的中点．（1）证明：AB⊥平面CDE；（2）若PC＝，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（1）连接PD，推导出PD⊥AB，AB⊥CD，由此能证明AB⊥平面CDE．（2）推导出PD⊥CD以D为原点，以的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）连接PD，因为PA＝PB＝PC，底面ABC是等边三角形，又因为D是AB的中点，所以PD⊥AB，AB⊥CD，又因为CD∩PD＝D，所以AB⊥平面CDE．解：（2）因为PA＝PB＝AC＝2，由（1）可知PD＝CD＝，而PC＝，所以PD⊥CD，以D为原点，以的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），由题得平面ABP的一个法向量为＝（0，1，0）．设平面BCP的一个法向量为＝（x，y，z），所以，令z＝1，得x＝，y＝1，所以＝（），所以cos＜＞＝＝，由题意知二面角A﹣PB﹣C为锐角，所以二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．21．已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的面积为π．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx+2与椭圆C相交于A，B两点，点D的坐标为，问直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．【分析】（1）由椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的面积为π，列方程给求出a2＝2，b2＝c2＝1，由此能求出椭圆方程．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出k AD+k BD为定值，且定值为0．解：（1）由已知可得解得a2＝2，b2＝c2＝1，故所求的椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6＝0，则△＝64k2﹣24（1+2k2）＝16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则，，所以＝＝，所以k AD+k BD为定值，且定值为0．22．已知函数f（x）＝alnx+x2，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；（3）试比较与（n∈N*且n≥2）的大小，并证明你的结论．【分析】（1）利用导数，需要分类讨论，可得函数的单调区间；（2）a＝1时，f（x）＝lnx+x2，要证明f（x）≤x2+x﹣1，即lnx﹣x+1≤0．构造函数g （x）＝lnx﹣x+1，利用导数即可证明；（3）利用函数的单调性，即，n∈N+，n≥2令x＝n2，代入计算，并利用放缩法证明即可．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝，①当a≥0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝．当时，a+2x2＜0，所以f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减；当时，a+2x2＞0，所以f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增．综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．证明：（2）当a＝1时，f（x）＝lnx+x2，要证明f（x）≤x2+x﹣1，即证lnx≤x﹣1，即lnx﹣x+1≤0．即lnx﹣x+1≤0．设g（x）＝lnx﹣x+1则g'（x）＝，令g′（x）＝0得，x＝1．当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．所以x＝1为极大值点，也为最大值点所以g（x）≤g（1）＝0，即lnx﹣x+1≤0．故f（x）≤x2+x﹣1．（3）证明：lnx≤x﹣1（当且仅当x＝1时等号成立），即，则有+＝，故：+。

成都石室中学高2020届2018—2019学年度上期半期考试化学试卷可能用到的相对原子量：H-1 C-12 O-16 N-14 P-31 Co-59 Na-23Ⅰ卷选择题(共42分)选择题(每题只有一个选项符合题意，每题2分，共42分)1.下列离子方程式正确的是A. NaHS溶于水: NaHS H++S2－+ Na＋B. NaHCO3溶液中的水解平衡：HCO3－+H2O H3O++ CO32－C. (NH4)2SO4溶于水：(NH4)2SO42NH4++SO42－D. HF溶于水：HF+H2O H3O++F－2.下列说法不正确．．．的是A. NH4F水溶液存放于塑料试剂瓶中B. 明矾可以用来净水，是利用明矾水解生成Al(OH)3胶体，从而起到杀菌消毒功效C. 将Fe2(SO4)3的溶液蒸干、灼烧可得到Fe2(SO4)3固体D. 草木灰(有效成分为K2CO3)不能与NH4Cl混合使用，是因为K2CO3与NH4Cl反应生成氨气会降低肥效3.下列说法正确的是A. 常温下向饱和AgCl水溶液中加入盐酸，Ksp值变大B. 用稀盐酸洗涤AgCl沉淀比用水洗涤损耗AgCl小C. 在含有BaSO4沉淀的溶液中加入Na2SO4固体，c(Ba2+)增大D. 物质的溶解度都随温度的升高而增加，物质的溶解都是吸热的4.醋酸溶液中存在电离平衡：CH3COOH H+＋CH3COO－，下列叙述不正确．．．的是A. 0.1 mol/L 的CH3COOH 溶液加水稀释或加热均可使CH3COO－的物质的量增多B. 0.1 mol/L 的CH3COOH 溶液加水稀释，c(CH3COO－)/［c(CH3COOH) ·c(OH－)］不变C. 向0.1 mol/L CH3COOH溶液中加入少量纯醋酸，平衡向右移动，电离程度增大D. 0.1 mol/L CH3COOH溶液加水稀释后，溶液中c(CH3COOH)/c(CH3COO－)的值减小5.关于化学反应速率和限度，下列说法正确的是：A. 密闭容器中进行的如下反应：2X(g)+Y(g)Z(g)+W(s) ΔH＞0，升高温度，正反应速率增大，逆反应速率减小B. 对于反应：H2S(g) H2(g)＋S(s)ΔH＞0 ，加压或降温都能使化学平衡向逆反应方向移动C. 一定条件下，2L 密闭容器中存在反应：CO(g)+H2O(g)CO2(g)+H2(g) △H＜0。

成都石室中学2018-2019年度上期高2021届半期考试数学试题（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设全集为，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用补集的定义求出集合的补集，利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】，或，又，，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确.对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误.对于,是奇函数，不满足题意，故错误.对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3.下列各组函数中表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与（）【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，判断每组函数的定义域与对应法则是否都相同即可.【详解】对于，由于的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故排除.对于，的定义域为, 的定义域为，定义域相同，但对应关系不相同，所以不是同一函数，故排除.对于，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，故排除.对于，定义域相同，对应法则相同，表示同一函数，故选D.【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的定义域、对应法则是否都相同，二者有一个不同，两个函数就不是同一函数.4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由零点存在性定理，，所以零点所在区间为。

成都石室中学2018-2019年度上期高2021届半期考试数学试题（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设全集为，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用补集的定义求出集合的补集，利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】，或，又，，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确.对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误.对于,是奇函数，不满足题意，故错误.对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3.下列各组函数中表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与（）【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，判断每组函数的定义域与对应法则是否都相同即可.【详解】对于，由于的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故排除.对于，的定义域为, 的定义域为，定义域相同，但对应关系不相同，所以不是同一函数，故排除.对于，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，故排除.对于，定义域相同，对应法则相同，表示同一函数，故选D.【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的定义域、对应法则是否都相同，二者有一个不同，两个函数就不是同一函数.4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由零点存在性定理，，所以零点所在区间为。